Mathematik - Trigonometrie

Mathematik - Trigonometrie
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Rechtwinklige Dreiecke
Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus den Punkten A, B und C (gegen den Uhrzeigersinn). An A
liegt der Winkel α, an B β und an C γ. Da das Dreieck rechtwinklig ist, ist γ = 90 Grad. Die Seite a
liegt A, b B und c C gegenüber. a und b sind Katheten, c ist die Hypothenuse.
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Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
a2 + b2 = c2
(1)
So kann man die Länge einer Seite herausfinden, wenn man die Längen beider anderer Seiten
kennt.
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Trigonometrische Funktionen: sin, cos, tan
Je nach dem, wie groß die Winkel α und β sind, unterscheiden sich die Längenverhältnisse der Seiten.
Die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan entsprechen diesen Seitenverhältnissen:
a
c
b
cosα =
c
a
tanα =
b
sinα =
(2)
(3)
(4)
Also:
Sinus: Gegenkatethe durch Hypothenuse
Cosinus: Ankathete durch Hypothenuse
Tangens: Gegenkathete durch Ankathete
Kennt man α oder β und die Länge einer Seite, dann kann man so die anderen Seitenlängen
herausfinden.
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Arcusfunktionen asin, acos, atan
Die Funktionen Arcus Sinus (sin−1 auf dem Taschenrechner), Arcus Cosinus (cos−1 ) und Arcus Tangens (tan−1 ) bestimmen den Winkel, der zu einem Seitenverhältnis gehört.
b
a
a
= acos = atan
c
c
b
Mit ihrer Hilfe kann man einen Winkel aus zwei Seitenlängen bestimmen.
α = asin
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(5)
Bogenmaß
Die Größe eines Winkels kann außer in Grad auch in Bogenmaß angegeben werden. Dabei entspricht
die Zahl Π einem Winkel von 180 Grad.
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