Terme, Rechengesetze, Gleichungen - robert

Terme, Rechengesetze, Gleichungen
Aufgabe:
Ein Junge kauft sich eine CD zu 15 € und eine DVD zu 23 €. Er bezahlt mit einem 50 € - Schein. Wie viel €
erhält er zurück?
Schüler notieren mögliche Rechenwege:
(1)
15 € + 23 € = 38 €
50 € - 38 € = 12 €
oder:
(2)
50 € - 15 € - 23 € = 12 €
oder:
(3)
50 € - 15 € = 35 €
35 € - 23 € = 12 €
usw.
Bis auf Beispiel 2 sind mehrere Rechnungen notwendig. Wie könnte man die Rechnung mit allen auftretenden Beträgen in einer Zeile notieren?
(1)
50 € - (15 € + 23 €) =
50 € 38 €
= 12 €
Das ist ein Term!
(2)
(50 € - 15 €) – 23 € =
35 €
- 23 € = 12 €
Das ist ein Term!
MERKE:
1.) Eine Klammer gibt eine Rechenvorschrift an. Man benutzt Klammern, wenn man die Reihenfolge in einer
Rechnung deutlich machen will. Was in einer Klammer steht, muss zuerst berechnet werden!
2.) Eine aus Klammern, Zahlen und Rechenzeichen zusammengesetzte Aufgabe bezeichnet man als Term.
Beispiele:
1.)
85 − (42 − 36) =
85 − 6 = 79
(85 − 42) − 36 =
43 − 36 = 7
2.)
(75 − 38) + 29 =
Zuerst die Klammer ausrechnen!
Schrittweise untereinander rechnen!
Gleichheitszeichen unter Gleichheitszeichen!
47 + 29 = 76
75 − (38 + 29) =
75 − 67 = 8
3.)
99 − 56 + 23 =
43 + 23 = 66
4.)
(65 − 37) + 36 − 11 =
28 + 36 − 11 =
Stehen in einer Aufgabe keine Klammern, gilt:
Rechne von links nach rechts!
Klammer zuerst!
Von links nach rechts!
64 − 11 = 53
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5.)
In der Klammer von links nach rechts!
356 − (54 + 18 − 29) =
356 − (72 − 29) =
Klammer zuerst!
356 − 43 = 313
6.)
(98 − 56) + 33 − (29 − 17) =
42 + 33 − 12 =
Klammern zuerst!
Von links nach rechts!
75 − 12 = 63
Innere und äußere Klammer
Aufgabe:
Berechne: Multipliziere den Quotienten aus den Zahlen 96 und 12 mit 4 und addiere zu diesem Ergebnis 4.
Reihenfolge der Berechnungen:
1.) 96 : 12 = 8
2.) 8 ⋅ 4 = 32
3.) 32 + 4 = 36
Aufgabe in einer Zeile mit den entsprechenden Klammern:
[(96 : 12) ⋅ 4] + 4 =
[
8 ⋅ 4] + 4 =
32
+ 4 = 36
MERKE:
Stehen 2 oder mehr Klammern ineinander, so wird die innere Klammer immer zuerst berechnet.
Weitere Beispiele:
96 : (12 ⋅ (4 + 4)) =
(96 : (12 ⋅ 4)) + 4 =
96 : (12 ⋅
(96 :
96 :
8 )=
96
=1
48 ) + 4 =
2
+4=6
156 : ((12 ⋅ 4) + 4) =
156 : (
156 :
48 + 4) =
52
=3
Punktrechnung vor Strichrechnung
Aufgabe: Versuche die Rechnung in einer Zeile zu notieren:
Jens hat für seine Eisenbahn 350 € gespart. Er kauft sich davon 5 Güterwagen zu je 55 €. Wie viel € bleiben
ihm übrig?
350 − 5 ⋅ 55 =
350 − 275 = 75 €
MERKE:
Punktrechnung geht immer vor Strichrechnung.
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Ein komplizierter Term mit allen Rechenregeln:
96 − (2 ⋅ (18 + 23 ) + 5) − 4 =
96 − (2 ⋅
41 + 5) − 4 =
96 − ( 82
+ 5) − 4 =
96 −
87
−4 =
9
−4 =5
Innere Klammer zuerst!
Punkt vor Strich in der Klammer!
Klammer zuerst!
Von links nach rechts!
Wir merken uns:
Reihenfolge der Berechnungsschritte bei Termen
1.) Innere Klammer zuerst
2.) Nächste Klammer berechnen
3.) Punktrechnung vor Strichrechnung
4.) Von links nach rechts rechnen
Die Aufgabe mit der Ziffer 7:
Du hast 4 mal die Ziffer 7 zur Verfügung. Außerdem darfst du alle Rechenzeichen und Klammern benutzen.
Zur Lösung der Aufgaben musst du die Ziffer 7 immer 4 mal benutzen!
Man darf auch 2 mal die Ziffer 7 zu der Zahl 77 zusammensetzen!
0 = 77 − 77
1 = 77 : 77
2 =7:7+7:7
3 = (7 + 7 + 7) : 7
4 = 77 : 7 − 7
5 = 7 − ((7 + 7) : 7)
6 = (7 ⋅ 7 − 7) : 7
7 = (7 − 7) ⋅ 7 + 7
8 = (7 ⋅ 7 + 7) : 7
9 = (7 + 7) : 7 + 7
10 = (77 − 7) : 7
Aufgabe:
Notiere den Term in einer Zeile!
1.) Subtrahiere die Summe der Zahlen 48 und 57 vom Produkt der Zahlen 48 und 57.
Term:
(48 ⋅ 57) − (48 + 57) =
2736 −
105 = 2631
2.) Multipliziere die Differenz der Zahlen 103 und 67 mit dem Quotienten der Zahlen aus 180 und 15.
Term:
(103 − 67) ⋅ (180 : 15) =
36
⋅
12
= 432
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Terme und Grundrechenarten
1.) Berechne schriftlich die folgenden Aufgaben:
a.) 527 ⋅ 389
b.) 8172 : 12
c.) 355 ⋅ 607
d. ) 7545 : 15 e.) 63214 : 14
f .) 53209 : 20
2.) Berechne schriftlich:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Die Summe der Zahlen 36.785 ; 4098 ; 996.023 ; 78 ; 4227.
Subtrahiere die Zahlen 56.788 ; 3456 ; 70985 ; 349 ; 22 von 150.000.
Das Produkt der Zahlen 3984 und 735.
Den Quotienten der Zahlen 7.263.624 und 12.
Den Quotienten der Zahlen 389.821 und 15.
3.) Berechne schrittweise unter Beachtung der Rechenregeln die folgenden Aufgaben:
a.) 32 ⋅ 26 + 12 ⋅ 14 − 15 ⋅ 9 =
b.) 67 − 13 ⋅ 8 + 9 =
c.) (123 − 57 ) + 439 =
d.) 56 ⋅ ( 78 − 25 )  + 39 =
e.) 950 − 18 ⋅ ( 96 : 3 ) + 24  =
f.) ( 255 + 224 : 7 ) − 14 ⋅ 12 =
g.) 8 + 3 ⋅ (29 − 4 ⋅ 5 + 12 : 6) + (6 + 6 ⋅ 6) : (7 − 7 : 7) =
h.) (14 + 18 ⋅ 2 − 44) ⋅ (17 ⋅ 5 − 21 − 42 : 3) =
i.) 885 ⋅ ((326 − 275) : 17) − 700 =
j.) ((25 ⋅ 36) + 540) : 20 + 50 =
k.) 240 : ((598 ⋅ 6 + 12) : 90) =
4.) Notiere jeweils einen Term in einer Zeile und berechne ihn dann schrittweise:
a.) Addiere das Produkt der Zahlen 25 und 24 zu der Differenz aus 100 und 53.
b.) Multipliziere den Quotienten der Zahlen 156 und 12 mit der Summe der Zahlen 24 und 57.
c.) Subtrahiere das Produkt der Zahlen 125 und 8 von 1000.
d.) Dividiere die Summe der Zahlen 86 und 84 durch die Differenz der selben Zahlen.
e.) Bilde das Fünffache der Zahl 48 und subtrahiere davon 26.
f.) Die Klassen 5a (32 Schüler) und 5b (30 Schüler) machen eine gemeinsame Busfahrt. Jeder Schüler
muss 9 € bezahlen. Wie teuer ist die Busfahrt?
g.) Ein anderes Busunternehmen hatte die gleiche Fahrt für 682 € angeboten. Wie viel Euro hätte jeder
der Schüler bezahlen müssen?
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Gleichungen und Ungleichungen
1.) Wahre und falsche Aussagen
Aufgabe:
Prüfe, ob folgende Aussagen (Behauptung) wahr (w) oder falsch (f) sind:
a.)
Addiert man 56 und 40, so erhält man das Gleiche, wie wenn man 32 mit 3 multipliziert.
56 + 40 = 32 ⋅ 3
96 = 96
b.)
Bildet man das Produkt aus 4 und 25, so erhält man das Gleiche, wie wenn man den Quotienten
aus 1000 und 10 bildet.
4 ⋅ 25 = 1000 : 10
100 = 100
c.)
Gleichung (=)
(w)
58 ist kleiner als das Produkt aus 3 und 19.
58 < 3 ⋅ 19
58 < 57
d.)
Gleichung (=)
(w)
Ungleichung (<)
(f )
Die Differenz aus 200 und 153 ist größer als der Quotient aus 576 und 12.
200 − 153 > 576 : 12
47 > 48
(f )
Ungleichung (>)
MERKE:
Eine Aussage (Behauptung) in der Mathematik kann nur wahr (w) oder falsch (f) sein.
Übung:
Überprüfe durch Rechnung, ob die folgenden Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind. Notiere w oder f:
1.)
2.)
36 ⋅ 45 > 18 ⋅ 91
645 + 583 = 593 + 635
3.)
4.)
172 < 300 − 12
1575 : 15 = 31⋅ 5
5.)
6.)
7.)
82 = 28
96 ⋅ 48 ≠ 48 ⋅ 96
496 : 16 > 1000 − 972
8.)
9.)
10.)
83 > 12 + 4 ⋅ 125
98 ⋅ 66 = 33 ⋅ 196
24 ⋅ 25 − 7 < 256 + 331
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2.) Platzhalter – Grundmenge -Lösungsmenge
Auf einem Glücksrad sind die Zahlen von 10 bis 99 notiert. Die Gewinnbedingungen lauten:
a.)
b.)
c.)
3⋅
+ 50
d.)
ist kleiner als 50.
ist durch 12 teilbar.
ist kleiner als 60.
ist größer als 85 und kleiner als 95.
Gib die Grundmenge (G) und jeweils die Lösungsmenge (L) an.
G = {10, 11, 12, 13............97, 98, 99}
a.)
L = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
b.)
L = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96}
c.)
L ={
d.)
L = {86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94}
}
MERKE:
1.) Zeichen wie
; ; ∆ halten den Platz frei für Zahlen. Diese Zeichen heißen Platzhalter oder Variable.
In der Mathematik verwendet man meistens Buchstaben wie x, y, a, b als Variable.
2.) Alle Zahlen, die für eine Aufgabe zur Verfügung stehen, bilden die Grundmenge (G) der Aufgabe.
3.) Zahlen, die die Aufgabe richtig machen, bilden die Lösungsmenge (L) der Aufgabe. Eine Lösungsmenge
kann manchmal auch keine Zahl enthalten (Beispiel c.)). Man spricht dann von einer „leeren Menge“
und schreibt: L = { }.
Übung:
Die Grundmenge für die folgenden Aufgaben sei G = {1, 3, 5, 7, 9}. Gib jeweils die Lösungsmenge (L) an:
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
f.)
g.)
h.)
i.)
5 ⋅ x > 20
y ⋅ 7 = 136
6 ⋅ z < 20
3 ⋅ ≠ 15
80 : ∆ = 16
100 : x = 20
3 ⋅ y + 4 = 25
7 ⋅ a − 1 > 35
10 ⋅ x < 9
Buch, S.95, 96,97
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Die Menge der Natürlichen Zahlen als Grundmenge:
Aufgabe:
Die Grundmenge sei die Menge der Natürlichen Zahlen, also G = N. Bestimme jeweils die Lösungsmenge L:
a.) 25 + x > 40
L = {16 , 17, 18 , 19 , 20 ....}
b.) 6 ⋅ y < 100
L = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...... 16}
c.) z : 17 = 6
L = {102}
d.) 12 ⋅ a < 12
L ={
e.) b + 17 ≠ 20
L = {1, 2 , 4 , 5 , 6 , 7 .......}
}
Die Grundmenge sei die Menge der Natürlichen Zahlen mit der Zahl Null, also G = N0. Bestimme jeweils die
Lösungsmenge L:
a.) 58 − x > 30
L = {0 , 1, 2 , 3 , 4 .... 27}
b.) 8 ⋅ y < 100
L = {0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...... 12}
c.) z : 15 = 7
L = {105}
d.) 12 ⋅ a < 12
L = {0}
e.) 25 + b ≠ 30
L = {0 ,1, 2 , 4 , 5 , 6 , 7 .......}
Buch, S.96, 97
3.) Bestimmen der Lösungsmenge mit Hilfe eines Pfeilbildes
Aufgabe:
Dirk hat sich eine Zahl ausgedacht. Er sagt zu seinem Freund: „Wenn ich meine Zahl mit 5 multipliziere und
dann 13 addiere, erhalte ich 73“.
Welche Zahl hat Dirk sich ausgedacht?
Die Gleichung für dies Aufgabe lautet:
x ⋅ 5 + 13 = 73 oder besser :
Erst die Zahl, dann die Variable!
5 ⋅ x + 13 = 73
Dazu würde folgendes Pfeilbild passen:
⋅5
+13
x 
→ 
→ 73
Die Gegenrechnung sieht dann so aus :
⋅5
+13
x 
→ 
→ 73
:5
−13
x ←
 ←
 73
also lautet die Re chnung für x :
Pr obe :
x = (73 − 13) : 5
12 = (73 − 15) : 5
x = 60 : 5
12 = 60 : 5
x = 12
12 = 12
Antwort: Dirk hat sich die Zahl 12 ausgedacht!
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(w)
Weitere Übungsaufgaben dazu:
G=N
Felix denkt sich eine Natürliche Zahl (x):
a.)
b.)
c.)
d.)
Er multipliziert diese Zahl (x) mit 12 und subtrahiert danach 348.
Er erhält als Ergebnis 216.
Er dividiert diese Zahl (x) durch 78 und addiert danach 56.
Er erhält als Ergebnis 125.
Er subtrahiert von dieser Zahl (x) 49 und dividiert die Differenz durch 31. Er erhält als Ergebnis 83.
Er addiert zu dieser Zahl (x) 16 und multipliziert die Summe mit 19. Er erhält 665.
Welche Zahl hat Felix sich jeweils ausgedacht? Stelle eine Gleichung auf, zeichne ein Pfeilbild, notiere eine
Rechnung für x und mache die Probe!
zu a.)
Gleichung :
x ⋅ 12 − 348 = 216
Pfeilbild :
Re chnung für x :
Pr obe :
⋅12
−348
x = (216 + 348) : 12
216 = 47 ⋅ 12 − 348
:12
+348
x = 564 : 12
x = 47
216 = 564 − 348
216 = 216
(w)
x 
→ 
→ 216
x ← ← 216
L = {47}
zu b.)
Gleichung :
x : 78 + 56 = 125
Pfeilbild :
Re chnung für x :
Pr obe :
:78
+56
x = (125 − 56) ⋅ 78
125 = 5382 : 78 + 56
⋅78
−56
x = 69 ⋅ 78
x = 5382
125 = 69 + 56
125 = 125
x 
→ 
→ 125
x ←
 ←
 125
(w)
L = {5382}
zu c.)
Gleichung :
(x − 49) : 31 = 83
Pfeilbild :
Re chnung für x :
Pr obe :
−49
:31
x = 83 ⋅ 31 + 49
83 = (2622 − 49) : 31
+49
⋅31
x = 2573 + 49
83 = 2573 : 31
x = 2622
83 = 83 (w)
→ → 83
x 
x ←
 ← 83
L = {2622}
zu d.)
Gleichung :
(x + 16) ⋅ 19 = 665
Pfeilbild :
Re chnung für x :
Pr obe :
+16
⋅19
x = 665 : 19 − 16
665 = (19 + 16) ⋅ 19
−16
:19
x = 35 − 16
665 = 35 ⋅ 19
x = 19
665 = 665
x 
→ 
→ 665
x ←
 ← 665
L = {19}
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(w)
Terme mit Platzhalter
Aufgabe:
Gegeben ist der folgende Term mit Platzhalter:
(x + 8) ⋅ 9 + 12 =
Setze nacheinander die Zahlen 7, 13 und 50 für den Platzhalter ein und berechne das Ergebnis des Terms.
a.)
x=7
(7 + 8) ⋅ 9 + 12 =
15 ⋅ 9 + 12 =
135 + 12 = 147
b.)
x = 13
(13 + 8) ⋅ 9 + 12 =
21⋅ 9 + 12 =
189 + 12 = 201
c.)
x = 50
(50 + 8) ⋅ 9 + 12 =
58 ⋅ 9 + 12 =
522 + 12 = 534
Zur besseren Unterscheidung noch einmal ein Beispiel für einen Term, eine Gleichung und eine Ungleichung:
Term:
3⋅x +5 =
Gleichung:
3 ⋅ x + 5 = 23
x=6
L = {6}
Ungleichung:
3 ⋅ x + 5 > 23
x>6
L = {7, 8, 9, .......}
oder:
3 ⋅ x + 5 < 23
x<6
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
oder:
3 ⋅ x + 5 ≠ 23
x≠6
L = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, .......}
Aufgabe:
Setze nacheinander die Zahlen 8 und 15 in den folgenden Term ein:
a.)
(y + (60 − y)) : 12 =
x = 8:
(8 + (60 − 8)) : 12 =
(8 + 52) : 12 =
60 : 12 = 5
b.)
x = 15:
(15 + (60 − 15)) : 12 =
(15 + 45) : 12 =
60 : 12 = 5
MERKE:
Wenn in einem Term der gleiche Platzhalter mehrmals vorkommt, so muss man jedes Mal die gleiche Zahl
für diesen Platzhalter einsetzen.
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Gleichungen, Ungleichungen, Terme
1.) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen und Ungleichungen.
Beachte dabei immer die vorgegebene Grundmenge!
a.) G = N
y ⋅ 6 < 50
b.) G = N
a : 5 = 17
c.) G = N0
10 ⋅ c = 0
d.) G = {2, 4, 6, 8, 10}
7 ⋅ x + 2 > 30
e.) G = {1, 3, 5, 7, 9}
80 − z ⋅ 3 < 60
f.) G = {1, 2, 3, ........100}
x ist durch 8 teilbar
g.) G = {1, 2, 3, ........100}
2 ⋅ y − 5 > 100
h.) G = {1, 2, 3, ....... 10}
a:3 ≠ 5
i.) G = {1, 2, 3, ........ 10}
15 + z < 16
2.) Klaus und Anja werfen mit drei Würfeln und bilden die Augensumme.
a.) Bestimme die Grundmenge für dieses Spiel.
b.) Gib zu den folgenden Gewinnregeln die Gleichung oder Ungleichung mit Platzhalter an und
bestimme die Lösungsmenge:
1.) Die Augensumme beträgt weniger als 8.
2.) Das Vierfache der Augensumme ist größer als 30.
3.) Das Doppelte der Augensumme vermindert um 2 ist kleiner als 20.
4.) Multipliziert man die Augensumme mit sich selbst, so erhält man mehr als 100.
3.) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Aufgaben mit Hilfe eines Pfeilbildes: (G = N)
a.) x ⋅ 12 = 4608
e.) x ⋅ 15 + 212 = 8357
b.) y : 24 = 269
f.) y : 36 − 689 = 17
c.) a − 631 = 2594
g.) a ⋅ 18 − 25 = 443
d.) b + 823 = 3111
h.) b : 25 + 421 = 1000
4.) Übersetze die folgenden Texte in Gleichungen mit Platzhalter und bestimme die Lösungsmenge: (G = N)
a.) Dividiert man eine Zahl durch 8, so erhält man 984.
b.) Multipliziert man eine Zahl mit 11, so erhält man 8283.
c.) Addiert man zum 9-fachen einer Zahl 48, so erhält man 111.
d.) Subtrahiert man vom 7-fachen einer Zahl 26, so erhält man 744.
5.) Setze für den Platzhalter x nacheinander die Zahlen 32, 192 und 3416 ein und berechne dann den Term:
a.) 15000 − (x ⋅ 4 − x : 8) =
b.) 398 + x ⋅ 5 − 174 =
c.) 5 ⋅ x + x ⋅ 10 =
d.) x ⋅ x − x =
e.) x : x + x =
f.) x : 4 + x ⋅ 2 + x : 2 + x =
12.810
2880
14.876
120
17.304
11.665.640
193
480
992
51.240
14.256
720
33
3417
1763
1184
36.672
384
1763
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