Grundmenge – Definitionsmenge – Lösungsmenge

Grundmenge – Definitionsmenge – Lösungsmenge
Stell Dir vor, jemand sagt: „… und hätte bis zum zweiten Stock unserer Schule gereicht!“. Worüber wird hier
gesprochen? Geht es um eine Feuerwehrleiter? Um einen Obstbaum? Um ein Antennenkabel vom Dach? Um
den WLAN-Empfang? Viele Dinge kommen in Frage: Um was geht es? - du möchtest die GRUNDMENGE
wissen. Du hörst weiter zu: „… diese Tiere waren vor Jahrmillionen die größten ihrer Art!“. Aha - die
Grundmenge sind Tiere! Aber welche? Für welche Tiere ist die Angabe sinnvoll? - Du bestimmst die
DEFINITIONSMENGE. Vögel können es nicht sein, die können ja in jeder Höhe sein. Auch Wasserlebewesen
kommen nicht in Frage, die können nicht vor unserer Schule stehen. Die Definitionsmenge sind also
Landtiere. Nur für diese ist die Information sinnvoll anwendbar. Und nun kannst Du die Aufgabe lösen: Ein
Landtier, das früher einmal lebte und riesengroß war: das kann doch nur der Tyrannosaurus Rex sein!
Problem gelöst.
Für mathematisch formulierte Zusammenhänge (Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme,…) gibt es
die Grundmenge G:
„Worüber sprechen wir überhaupt?“
Diese Menge beschreibt alle Werte, die man einsetzen könnte. Aber noch ohne
Rücksicht darauf, ob es sinnvoll und erlaubt ist, diese Werte einzusetzen.
die Definitionsmenge D:
„Das käme alles in Frage.“, „Das darf sein.“
Diese Menge beschreibt alles, was aus der Grundmenge stammt und in alle
Bestandteile der Angabe sinnvoll eingesetzt werden kann. Nur diese Werte kommen
als Lösung überhaupt in Frage.
die Lösungsmenge L:
„Das ist es!“
Diese Menge beschreibt alles, was in der Definitionsmenge ist und die gestellte
Aufgabe löst. Lösen bedeutet: jedes Element der Lösungsmenge erzeugt
ausschließlich wahre Aussagen in der Angabe.
Genaugenommen muss zu jeder mathematischen Aussage die Grundmenge angegeben werden. Wenn sie
fehlt, kann eine Aussage durchaus für falsch angesehen werden:
„Das Quadrat einer Zahlen ist niemals negativ.“: dieser Satz ist in den ganzen, rationalen und reellen Zahlen
richtig, in den komplexen Zahlen (7. Klasse) aber falsch.
„Die Winkelsumme ist 180 Grad“: Nur für Dreiecke ist dieser Satz richtig, sonst falsch.
„Die Winkelsumme ist 180 Grad“: (8. Klasse Physik) genaugenommen ist dieser Satz auch für Dreiecke nur
dann richtig, wenn eine flache (Euklidische) Geometrie zugrunde liegt. In gekrümmten Räumen ist er falsch.
Meistens arbeiten wir in den reellen Zahlen – deswegen haben wir die Übereinkunft: wenn nichts näheres
angegeben ist und die Anwendung der reellen Zahlen sinnvoll ist, dann setzen wir stillschweigend die reellen
Zahlen als Grundmenge voraus. Wenn es Missverständnisse geben könnte, MUSS man die Grundmenge
angeben (und auch die Grundmenge eindeutig beschreiben – etwa ob Null in den natürlichen Zahlen
enthalten ist, oder nicht).
Beispiel 1: z2 =49
Grundmenge ℕ: Definitionsmenge ist ebenfalls ℕ, weil jede natürliche Zahl sinnvoll eingesetzt werden kann.
Die Lösungsmenge besteht aus der Zahl 7 alleine, weil nur sie die Gleichung der Angabe in eine wahre
Aussage verwandelt.
Grundmenge ℚ: Definitionsmenge ist ebenfalls ℚ, weil jeder Bruch sinnvoll eingesetzt werden kann. Die
Lösungsmenge besteht aus der Zahl 7 und der Zahl -7, weil beide die Gleichung der Angabe in eine wahre
Aussage verwandeln.
HIB Wien --- Lösungsmenge
v0.96
urban 2/2015
S. 1
Beispiel 2: a 2=−49
Grundmenge ℝ: Definitionsmenge ist ebenfalls ℝ, weil jede reelle Zahl sinnvoll eingesetzt werden kann. Die
Lösungsmenge ist leer, weil keine reelle Zahl diese Gleichung erfüllen kann.
Grundmenge ℂ: Definitionsmenge ist ebenfalls ℂ, weil jede komplexe Zahl sinnvoll eingesetzt werden kann.
Die Lösungsmenge besteht aus den Zahlen 7i und -7i, weil beide die Gleichung der Angabe in eine wahre
Aussage verwandeln.
Beispiel 3:
√ 2 x −8 = 5
Grundmenge ℕ: Weil in der Wurzel nichts negatives stehen darf, ist etwa das Einsetzen von x=1 verboten.
Erst ab x=4 ergibt sich ein zulässiger Wert in der Wurzel. Wir können die Definitionsmenge aufzählen, D =
{4,5,6,…}. Das Einsetzen von Werten aus D für x führt aber nie zum Erfolg. Die Lösungsmenge ist deshalb leer.
Grundmenge ℝ: Weil in der Wurzel nichts negatives stehen darf, ist das Einsetzen von Zahlen kleiner als 4
verboten. Erst ab x=4 ergeben sich zulässige Werte in der Wurzel. Wir können die Definitionsmenge als
Intervall anschreiben: D = [4,∞[. Das Einsetzen von Werten aus D für x führt bei x=16.5 zum Erfolg. Weil
dieser Wert in der Definitionsmenge enthalten ist, ist die Lösungsmenge L = {16.5}.
Beispiel 4:
x3
2 =−3
x
Grundmenge ℝ: Definitionsmenge ist D = ℝ\{0}, weil jede reelle Zahl außer Null sinnvoll eingesetzt werden
kann. Bei Null wäre der Nenner Null und wir dividieren nie durch Null. Nun können wir kürzen (weil x nicht
0 ist!) und erhalten die Gleichung x=−3 . Die Lösungsmenge ist L = {-3}, weil dieser Wert in D enthalten ist
und die Gleichung löst.
Beispiel 5:
(x −8)3
=0
(x −8)2
Grundmenge ℝ: Definitionsmenge ist D = ℝ\{8}, weil jede reelle Zahl außer 8 sinnvoll eingesetzt werden
kann. Bei 8 wäre der Nenner Null und wir dividieren nie durch Null. Nun können wir kürzen (weil x-8 nicht 0
ist) und erhalten die Gleichung x−8=0 . Umformen (also Anwendung der Lösungs-Maschine) legt die
Lösung x=8 nahe. ABER: Die Lösungsmenge ist leer, L = {}, weil dieser Wert 8 nicht in D enthalten ist. Diese
Gleichung hat somit keine Lösung.
Beispiel 6:
√ 4−x<3
Grundmenge ℝ: Definitionsmenge ist D= ]-∞,4], weil in der Wurzel nichts negatives stehen darf. Quadrieren
der Gleichung (Achtung – Probe machen, Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung) führt zu 4-x<9 bzw.
-x < 5 oder x > -5. Die Maschinerie des Ausrechnens ergibt das Intervall ]-5,∞[. Ist das die Lösung? NEIN. Nur
die Werte, die aus der Definitionsmenge stammen, dürfen wir nehmen, egal was uns die Ausrechenmaschine
empfiehlt. Nur die Werte kommen in Frage, die sowohl in D sind, als auch hier ausgerechnet wurden. Die
Werte müssen zugleich in D und in der 'vorläufigen' Lösungsmenge liegen.
Vielleicht hilft Dir eine kleine Skizze bei der Beantwortung der Frage: welche x sind kleinergleich 4 und
zugleich größer als -5? Gibt es solche Werte überhaupt? Ja, das Lösungsintervall ist L = ]-5,4].
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