Mengen werden in der Mathematik durch Großbuchstaben

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FERNUNTERRICHT
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN
UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN
FACHHOCHSCHULREIFE - LEHRGANG
DER
BUNDESWEHRFACHSCHULE
M A T H E M A T I K
LEHREINHEIT 02
INHALT: Grundbegriffe der Mengenlehre
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Stand: 12.09.2006 20:49:00
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INHALTSVERZEICHNIS ZUR LEHREINHEIT 02
Seite
2 Grundbegriffe der Mengenlehre
3 - 10
2.1 Menge, Element
3- 5
2.2 Teilmengen
5- 6
2.3 Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge
6- 7
2.4 Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge
7- 9
Aufgaben zur Lehreinheit 02
9 - 10
Lösungen der Übungen und Aufgaben
10
Einsendeaufgaben zur Lehreinheit 02
11
2 / 13
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2 Grundbegriffe der Mengenlehre
Vielleicht geht es Ihnen beim Lesen der Überschrift wie vielen anderen Personen: Das Wort
„Mengenlehre“ löst Abwehrreaktionen aus. Als die Mengenlehre ihren Einzug in den Mathematikstoff
der Schulen hielt, geschah dies auf übertriebene Art und Weise. In dieser Lehreinheit wird dazu nur
das Notwendigste behandelt, das, was wirklich von Nutzen für Sie ist, denn:
- Für viele Teilbereiche der Mathematik liefert die Mengenlehre günstige und logisch einwandfreie
Schreibweisen.
- Für die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die beispielsweise in Fachhochschulreifelehrgängen
unterrichtet wird, ist die Mengenlehre zu einer wichtigen Grundlage geworden.
2.1 Menge, Element
Die ersten Zahlen, die ein Kind kennen lernt, sind die Zahlen 1;2;3;...;10; später ...100;... usw. Es
handelt sich um die (Menge der) positiven ganzen Zahlen. Später lernt das Kind weitere Zahlenarten
(Zahlenmengen) kennen: Brüche, negative Zahlen. Andere Arten von Dingen sind z.B. die (Menge
der) Buchstaben oder die (Menge der) Farben. Jeden dieser Erfahrungsbereiche kann man mit dem
Begriff „ Menge“ erfassen ; jeder Erfahrungsbereich enthält eine bestimmte Anzahl von Dingen
(Elementen), die sich anhand bestimmter Eigenschaften unterscheiden lassen.
Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Dingen zu einem Ganzen. Die einzelnen
Dinge der Menge heißen Elemente.
Schreibweisen für Mengen
Mengen werden in der Mathematik durch Großbuchstaben gekennzeichnet, z.B.: A,B,C,...,M; auch
A1, A2, A3 usw.
Folgende Schreibweisen sind sinnvoll :
1. die aufzählende Form, sie ist besonders übersichtlich;
2. die Diagrammform, sie ist besonders anschaulich;
3. die beschreibende Form, sie ist notwendig für Fälle, wenn die anderen Möglichkeiten versagen.
1. Die aufzählende Form
Beispiele:
a) Die Menge der Augenzahlen auf einem Würfel: W = { 1;2;3;4;5;6 }. Möglich wäre auch:
W = {2;5;3;6;1;4}; zweckmäßig ist aber eine sinnvolle Reihenfolge beim Aufzählen der Elemente.
Die geschweiften Klammern heißen Mengenklammern.
b) Die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 100:
M = {1;2;3;...;99;100 } ; wenn eindeutig klar ist, wie es weitergeht, kann man Punkte setzen.
c) Die Menge der positiven geraden Zahlen: G = { 2;4;6;8;10;...} .Hierbei handelt es sich um eine
Menge mit unendlich vielen Elementen, es ist eine unendliche Menge im Gegensatz zu den
endlichen Mengen in den vorhergehenden Beispielen.
2. Die Diagrammform
Die Elemente einer Menge werden mit einer geschlossenen Linie umgeben.
Beispiele:
a)
Die Menge der Augenzahlen auf einem Würfel:
b)
Alle durch 10 teilbaren Zahlen (Menge Z) sind
ein Teil aller durch 5 teilbaren Zahlen (Menge F):
3 / 13
1 2 3 4
5 6
F
Z
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3. Die beschreibende Form
In vielen Fällen lassen sich die Elemente einer Menge nicht aufzählen. Versuchen Sie beispielsweise
die Zahlen einschließlich aller Dezimalzahlen aufzuzählen, die größer als 3 sind. Derartige Mengen
lassen sich nur beschreiben, z. B.: M = { alle Zahlen, die größer als 3 sind } oder in mathematischer
Kurzschreibweise: M = {x│x > 3 } (lies: Menge aller x, für die gilt: x>3).
Die beschreibende Form hat folgendes Aussehen: { x Eigenschaft von x } .
Bei der Menge M = {x│x ist eine natürliche gerade Zahl zwischen 5 und 11} handelt es sich um die
Zahlen 6, 8, 10.
Wichtige Zahlenmengen
Für bestimmte Zahlenmengen gibt es eine feste Schreibweise, nämlich ein Großbuchstabe mit einem
Doppelstrich, z. B.:
ℕ
{ 0;1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen,
=
ℕ* =
{ 1;2;3;4;5;...} die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null,
ℤ
{ ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen,
=
ℤ* =
{ ...;-3;-2;-1;1;2;3;...} die Menge der ganzen Zahlen ohne Null,
ℤ_ =
{ ...;-3;-2;-1} die Menge der negativen ganzen Zahlen,
ℚ =
{x│x lässt sich als Bruchzahl schreiben} die Menge der rationalen Zahlen
(ℚ von Quotient; Begriff Bruchzahl: siehe unten),
ℚ*+ = {x│x ist eine positive rationale Zahl},
ℚ+ = {x | x = 0 oder x ist ein positive rationale Zahl}
ℝ
=
{x│x ist eine Zahl auf der Zahlengeraden} die Menge der reellen Zahlen.
Eine Bruchzahl erhält man, wenn man für zwei ganze Zahlen statt a : b
a
b
schreibt. Die Zahl über
dem Bruchstrich heißt Zähler, die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner. Zu den rationalen Zahlen
gehören auch alle ganzen Zahlen, da sie sich als Bruchzahl mit dem Nenner 1 schreiben lassen.
Merken Sie sich folgende Systematik in der Schreibweise:
-
ein * bedeutet: Die Null ist ausgeschlossen. (siehe ℤ*)
-
ein * mit einem + bedeutet: Es sind nur positive Zahlen. (siehe ℚ*+ )
-
ein _ bedeutet: Es handelt sich um negative Zahlen. (siehe ℤ_ )
-
ein + ohne * bedeutet: Es sind positive Zahlen mit der Null. (siehe ℚ+)
Es gibt Zahlen, die sich nicht als Bruchzahl schreiben lassen, z. B.:  = 3,14 ...;  ist eine irrationale
Zahl. Die irrationalen Zahlen gehören zu den reellen Zahlen, aber nicht zu den rationalen Zahlen.
Zahlenbereiche
Mit Hilfe der beschreibenden Form und der Ungleichheitszeichen lassen sich Zahlenbereiche
erfassen. Diese können auf der Zahlengeraden dargestellt werden.
Beispiele:
a)
M = {xx < 3}
b)
M = {xx  3}
c)
[
d)
[
1
[
3
Klammer nach außen bedeutet: die Zahl 3 gehört nicht dazu
]
Klammer nach innen bedeutet: die Zahl 3 gehört dazu
3
M = {xx  1} oder M = {x1  x}
]
3
M = {x1  x  3}
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Menge aller Zahlen zwischen 1 und 3
einschließlich der Grenzen
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e)
]
M = {x1  x  3}
]
Die Zeichen , 
Mit diesen Zeichen kann man ausdrücken, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht.
 bedeutet „ist Element von“
 bedeutet „ist nicht Element von“
Beispiele: 4 1;2;3;4;5;6; 4  ℕ;   ℝ; 7 1;2;3;4;5;6;   ℚ; 2  xx<2
Übungen zu 2.1
1. Tragen Sie auf der Zahlengeraden ein: a) x -3  x < 1 ;
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
b) x 2 < x
6
2. Formulieren Sie in der beschreibenden Form:
a)
]
-2
3
b)
-2
]
2.2 Teilmengen
]
Beim Skatspielen erhält jeder Spieler eine „Teilmenge“ der Menge aller 32 Karten. Diese Teilmenge
umfasst 10 Elemente. Im Stock liegt eine zweielementige Teilmenge.
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch ein Element
von B ist. Zeichen:
 „ist Teilmenge von“ ,  „ist nicht Teilmenge von“
Beispiele:
1. Ist K = {alle Skatkarten}, dann ist {Kreuz Bube; Herz König}  K
2. {2; 7; 13; 14; 27; 43}  {1; 2; 3;...; 49} (Lottozahlen)
3.
ℕ*  ℕ ;
ℕ*  ℤ ; ℤ ℚ ; kürzer: ℕ*  ℕ  ℤ ℚ
4.
5.
{-2; -1}  ℕ
Gegeben sind die Mengen A1 = {1; 2}, A2 = {7; 8}, A3 = {5; 6; 7}. Diese Mengen werden verglichen
mit der Menge W={1; 2; 3; 4; 5; 6}
Es gilt: A1  W, A2  W, A3  W (trotz der Elemente 5;6 in A3)
Man sagt: A2 und W sind elementfremd. , A3 und W sind nicht elementfremd.
Diese Beziehungen lassen sich anschaulich in Mengendiagrammen darstellen:
W
W
A1
3
5
6
1
6
A2
4
2
2
A1  W
W
1
5
3
7
4
2
3
1
8
4
A2  W
5
7
6
A3
A3  W
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Besondere Arten von Teilmengen
Bei gewissen Fragestellungen nach Teilmengen erhält man Antworten, die sich zunächst kaum mit
„Teil“ oder „Menge“ vereinbaren lassen, die aber trotzdem mit erfasst werden müssen.
Beispiel:
Jemand hat auf seinem Lottoschein die in der Abbildung markierten Zahlen angekreuzt:
M = {2; 7; 13; 15; 27; 43}
Nach der Ziehung stellt sich die Frage:
„Welcher Teil bzw. welche Teilmenge T dieser sechs Zahlen wurde
gezogen?“
Mögliche Antworten sind:
a) Die Zahlen 2, 13, 17 wurden gezogen,
d. h. T = {2; 13; 27}.
b) Nur die Zahl 15 wurde gezogen, d. h. T = {15}.
c) Keine dieser Zahlen wurde gezogen, d. h. T = { }.
T enthält kein Element, man spricht von einer leeren Menge
(Schreibweise: { } oder  ).
Abb. 2.1
d) Alle angekreuzten Zahlen wurden gezogen, d. h.
T = {2; 7; 13; 15; 27; 43}. Hier enthält T alle Elemente von M, man spricht von einer unechten
Teilmenge.
Fasst man T als Variable für alle möglichen Teilmengen von „richtig angekreuzten Zahlen“ auf, so
T  2, 7, 13, 15, 27, 43
kann man formulieren:
(lies: Teilmenge von oder gleich).
Durch das Gleichheitszeichen unter dem Teilmengenzeichen wird besonders betont, dass auch die
unechte Teilmenge als Möglichkeit in Frage kommt.
Allgemein gilt: Zu den Teilmengen einer Menge M gehören immer die leere Menge, die Mengen mit
jeweils einem Element von M und die Menge M selbst.
Übung zu 2.2
Gegeben ist M = { Kreuz Bube; Pik Bube; Herz Bube; Karo Bube }, kürzer: M = { KB; PB; HB; CB}.
Bestimmen Sie alle möglichen Teilmengen von M. (Schreibweise: T1 = { ... }, T2 = { ... } usw.).
Wenn Sie es richtig machen, erhalten Sie 16 Teilmengen!
2.3 Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge
Diese drei Begriffe aus der Mengenlehre stellen wesentliche Hilfsmittel für andere Bereiche der
Mathematik dar. Das gilt besonders für die Gleichungslehre.
Beispiele:
1. Auf einem Taschenrechner finden Sie die Taste 1/x . Bei der Tastenfolge 2
1/x erscheint
die Zahl 0.5 ( Rechnung: 1 : 2 = 0,5 ).
Statt der Zahl 2 können Sie eine beliebige andere Zahl eingeben und 1/x drücken. Alle diese
möglichen Zahlen bilden die Grundmenge G für das Rechnen mit der Taste 1/x , d. h. G = ℝ.
Sie erhalten immer ein Ergebnis bis auf eine Ausnahme: Nach 0 1/x erscheint E ( Error ). Das
bedeutet: Die Zahl 0 ist eine Zahl der Grundmenge, mit der man bezüglich der Taste 1/x kein
Ergebnis erhält ( durch 0 kann man nicht dividieren! ). Schließt man die Zahl 0 aus, so erhält man
die Definitionsmenge D für das Rechnen mit der Taste 1/x .
2. Die Gleichung 4  x + 5 = 13 soll gelöst werden.
Lösung durch Probieren: Für x kann eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, 4 ∙ Zahl + 5
liefert immer ein Ergebnis ( Error ist nicht möglich ). In diesem Fall ist die Definitionsmenge gleich
der Grundmenge ( D = G = ℝ). Für x = 2 erhält man die wahre Aussage 4  2 + 5 = 13, jede
andere Zahl für x liefert eine falsche Aussage. Man sagt: Die Gleichung hat die
Lösungsmenge L ={2}.
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3. a) 3 Tafeln Schokolade sollen an 6 Kinder gleichmäßig verteilt werden. Jedes Kind erhält eine
halbe Tafel L = 0,5.
b) Wenn 3 Bälle gleichmäßig an 6 Kinder verteilt werden sollen, ist es unsinnig, jedem Kind einen
halben Ball zu geben, L =  .
Die Definitionsmengen sind unterschiedlich! Beim Verteilen von Schokolade ist es sinnvoll, mit
Bruchzahlen (D = ℚ+ ) zu rechnen, beim Verteilen von Bällen sollte man sich auf die natürlichen
Zahlen beschränken (D = ℕ) und lieber 6 Bälle an 3 Kinder gleichmäßig verteilen.
Merke:
Die Grundmenge G enthält alle Elemente, die für eine Rechnung zur Verfügung stehen.
Die Definitionsmenge D enthält alle Elemente der Grundmenge, die man bei einer Rechnung sinnvoll
benutzen kann.
Die Lösungsmenge L enthält alle Elemente der Definitionsmenge, die in einer Aussageform beim
Einsetzen für eine Variable eine wahre Aussage liefern.
Daraus ergibt sich: L  D  G.
Noch ein Beispiel:
4. Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung x + 2  5.
a) Für den Fall D = ℕ gilt L = { 0; 1; 2; 3 }.
b) Für den Fall D = ℝ gilt L = { x  ℝ| x ≤ 3 }. Wie vorgegeben kann D bei der
beschreibenden Form in der Lösungsmenge angegeben werden.
Übungen zu 2.3
Für alle Übungen soll G = ℕ sein. Bestimmen Sie jeweils D und L.
1. 10 : ( x - 1 ) = 2 ; 2. x  x < 17 ; 3. 10 + 2  x = 4  x ; 4. 15 : x = 2
2.4 Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge
Die Inhalte dieses Teilkapitels werden besonders für die Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigt.
Schnittmengen ( Durchschnittsmengen )
Ein Beispiel aus der Geometrie:
M
x S1
Gegeben sind zwei Punkte P1 und P2 ( Abb. 2.2 ).
Gesucht sind alle Punkte, die von P1 den Abstand
3 cm und gleichzeitig von P2 den Abstand 2 cm haben.
Lösung:
x P1
Die Menge aller Punkte, die von P1 den Abstand 3 cm
x
haben, liegt auf einem Kreis um P1 mit dem Radius
P2
3 cm ( Menge M ); die Menge aller Punkte, die von P2
N
den Abstand 2 cm haben, liegt auf einem Kreis um P2
mit dem Radius 2 cm ( Menge N ). Die Schnittpunkte
S2 x
S1 und S2 der beiden Kreise sind die gesuchten Punkte.
Abb. 2.2
Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zur Menge A und gleichzeitig
zur Menge B gehören. Schreibweise: A  B ( lies: A geschnitten mit B )
Darstellung im Mengendiagramm:
B
A
Hier als Schnittfläche
zweier Kreisflächen
AB
Weitere Beispiele:
1. Gegeben: A = { 3; 4; 6 }, B = { 1; 2; 3; 4 }, C = { 6; 7 } .
Dann gilt: A  B = { 3; 4 }; A  C = { 6 }; B  C = { }; A  B  C = { } .
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2. ℕ  ℤ = ℕ
3. Welche natürlichen Zahlen sind größer als 5 und kleiner als 8?
L = { 6; 7; 8; 9; ... }  { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }  L = 6;7
Vereinigungsmengen
Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zur Menge A oder zur
Menge B oder zu beiden Mengen gehören.
Schreibweise: A  B ( lies: A vereinigt mit B ).
Darstellung im Mengendiagramm:
A
A
B
AB
Beispiele:
1. Gegeben: A = { 3; 4; 6 }, B = { 1; 2; 3; 4 }, C = { 6; 7 } .
Dann gilt: A  B = { 1; 2; 3; 4; 6 }; A  C = { 3; 4; 6; 7 }; B  C = { 1; 2; 3; 4; 6; 7 };
A  B  C = { 1; 2; 3; 4; 6; 7 } .
2. ℕ  ℤ = ℤ; ℕ = ℕ*  { 0 }
Restmengen ( Differenzmengen )
Beispiel: Gesucht sind alle positiven ganzen Zahlen, die kleiner als 10, aber nicht durch 3 teilbar sind.
Mit A = { 1; 2; 3; ...; 9 }, B = { 3; 6; 9; 12; ... } erhält man als Ergebnis { 1; 2; 4; 5; 7; 8 }, diese Menge
enthält nur die Elemente aus A, die nicht zu B gehören ( A ohne B ).
Die Restmenge A ohne B enthält alle Elemente, die zur Menge A, aber nicht zur Menge B gehören.
Schreibweise: A \ B ( lies: A ohne B ).
B
Darstellung im Mengendiagramm:
A
A\B
A
B
B\A
Zu dem obigen Beispiel: A \ B = { 1; 2; 4; 5; 7; 8 }
Weitere Beispiele:
1. Gegeben: A = { 3; 4; 6 }, B = {1; 2; 3; 4 }, C = { 6; 7 } .
Dann gilt: A \ B = { 6 }; B \ A = { 1; 2 }; A \ C = { 3; 4 }; C \ A = { 7 }; B \ C = { 1; 2; 3; 4 };
C \ B = { 6; 7 }.
2. ℤ \ ℕ = ℤ_ ; ℕ \ ℤ = { }
Achtung: Während immer A  B = B  A und A  B = B  A gilt, ist fast immer A \ B  B \ A.
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Ein zusammenfassendes Beispiel:
Gegeben ist A = { 1; 2; 3 }, B = { 2; 3; 4; 5 }, C = { 3; 5; 7 }.
Diese Mengen lassen sich in einem Mengendiagramm darstellen ( siehe Abb. ).
A
1
2
3
B
A
4
1
5
7
2
3
B
A
4
1
5
7
C
A \ B = {1}
2
3
B
A
4
1
B
2
3
5
A  B = {2; 3}
5
7
7
C
4
C
C
A  B  C = {3}
A  C = {1; 2; 3; 5; 7}
Heiteres am Rande
Der Schweizer Kabarettist Emil erklärt zur Mengenlehre: M ist die
Menge der Menschen, P ist die Menge der Politiker, dann befindet
sich im schraffierten Feld die Menge der menschlichen Politiker …
Übung zu 2.4
Gegeben ist folgendes Mengendiagramm:
Bestimmen Sie:
a) A  B ; b) B \ ( A  C ) ; c) C \ A ; d) B  C ;
e) A  B  C ; f) ( A  B )  ( B  C ) .
9 / 13
P
M
A
B
1
2
4
3
5
6
7
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C
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AUFGABEN ZUR LEHREINHEIT 02
1. Was ist wahr, was ist falsch?
a) 7  ℕ ; b) 3  { 1; 2; 3 } ; c) 0  { } ; d) { 1; 2; 4 } = { 2; 4; 1 } ; e) { x  ℤ x < 5 }  ℕ
2.
Stellen Sie auf der Zahlengeraden dar:
a) { x  ℝ -2 ≤ x < 5 } ; b) { x  ℕ 3 ≤ x < 7 }
3. Bestimmen Sie bezüglich der Grundmenge ℚ+ die Definitionsmenge und die Lösungsmenge
( durch Probieren ) .
a) 10 : x = 2 ; b) 20 : ( x – 2 ) = 4 ; c) x + 3 = 2 ; d) 3 + 6  x = 2 + 8  x ; e) 4  x > 100
4. Gegeben sind die Mengen A = { 2; 4; 6; 8 }, B = { 1; 3; 6; 9 } .
a) Bestimmen Sie A B , A  B , A \ B , B \ A .
b) Fertigen Sie ein Mengendiagramm an und tragen Sie die obigen Elemente ein.
c) Eine weitere Menge C ist gegeben: C = { 2; 6; 7; 9 }. Tragen Sie die Elemente von A, B
und C in ein Mengendiagramm ein.
A
5. Gegeben ist folgendes Mengendiagramm:
B
1
3
Bestimmen Sie:
ABC; A\B; AC; (BC)\A;
(AB)\C; (AB)(BC);
( A  B  C ) \ ( A  B  C ).
2 7
8
5
6
4
9
C
*6. Was ist wahr, was ist falsch? ( A, B sind beliebige Mengen )
a) A  B  A  B = A ; b) A  B = { }  A \ B = { } ; c) A \ B = A  B = { } ;
d) A  B = B  B  A = A ; e) A \ B = B \ A  A = B ; f) A \ B = A \ ( A  B ) ;
g) ( A  B ) \ A = B ; h) ( A  B ) \ B = { }
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LÖSUNGEN DER ÜBUNGEN UND AUFGABEN
Übungen zu 2.1: 1.a)
-4
[
-3
-2
-1
b)
[
1
0
[
2
3
4
5
6
2. a) { x  - 2 < x < 3 } ; b) { x  x  - 2 }
Übung zu 2.2:
{ }, { KB }, { PB }, { HB }, { CB }, { KB; PB }, { KB; HB }, { KB; CB }, { PB; HB },
{ PB; CB }, { HB; CB }, { KB; PB; HB }, { KB; PB; CB }, { KB; HB; CB },
{ PB; HB; CB }, { KB; PB; HB; CB }
Übungen zu 2.3: 1. D = { 0; 2; 3; 4 ... }, L = { 6 } ; 2. D = ℕ, L = { 0; 1; 2; 3; 4 }
Übung zu 2.4:
3. D = ℕ, L = { 5 } ; 4. D = ℕ, L = { }
a) { 1; 2; 3; 4; 5 }; b) { 4 }; c) { 5; 6; 7 }; d) { 5 }; e) { }; f) { 3; 5 }
Aufgabe 1: a) wahr; b) falsch, es gilt 3  { 1; 2; 3 }; c) falsch; d) wahr; e) falsch
Aufgabe 2: a)
b)
[
[
-2
5
*
*
*
*
3
4
5
6
Aufgabe 3: a) D = ℚ+*, L = { 5 } ; b) D = ℚ+ \ { 2 }, L = { 7 } ; c) D = ℚ+, L = { } ;
d) D = ℚ+, L = { 0,5 } ; e) D = ℚ+, L = { x  ℚ+  x > 25 }
Aufgabe 4: a) A  B = { 6 } , A  B = { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9 } , A \ B = { 2; 4; 8 } , B \ A = { 1; 3; 9 }
b)
c)
1
A
2
4
8
6
1
9
3
B
4
3
B
6
A
8
9
2
7
C
Aufgabe 5: A  B  C = { 4 } , A \ B = { 1; 2; 7 } , A  C = { 4; 7 } , ( B  C ) \ A = { 5; 6; 8; 9 },
( A  B ) \ C = { 3 } , ( A  B )  ( B  C ) = { 3; 4; 6 },
( A  B  C ) \ ( A  B  C ) = { 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9 }
Aufgabe 6: a) wahr; b) falsch, Gegenbeispiel: A = { 1 }, B = { 2 }; c) falsch, Gegenbeispiel: wie zu
b); d) wahr; e) wahr; f) wahr; g) falsch, Gegenbeispiel: A = { 1; 2 }, B = { 2 }; h) wahr
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FERNUNTERRICHT DER BUNDESWEHRFACHSCHULE
Einsendeaufgaben LE 02
Dienstgrad, Name
Einheit,
Vorname
Standort,
DZE
Privatanschrift
Email
Datum
1. Gegeben ist die Menge M = { 1; 2; 3 }.
Bestimmen Sie alle möglichen Teilmengen von M.
2. Bestimmen Sie bezüglich der Grundmenge ℕ die Definitionsmenge und die
Lösungsmenge:
a) 20 : x = 2 ;
b) 3  x + 4 = 5  x – 3 ;
c) x  ( x + 1 )  12 ;
d) ( 15 + x ) : ( x – 1 ) = 9 .
3. Gegeben sind folgende Mengen: A = { 2; 4; 6; 8; 10; 12 }; B = { 3; 6; 9; 12 }.
Bestimmen Sie:
A  B, A \ B, B \ A, A  B, ( A  B ) \ ( A  B )
4. Gegeben ist folgendes Mengendiagramm:
Bestimmen Sie:
BC; BC ; B\D;
(AD)\B; CA;
D\(AB); A\D; (DC)\B
A
B
5
6
2 3
D
1
7 8
9
C
4
Senden Sie die Lösungen auf dem beigefügten DIN A 4 Blatt an die für Sie
zuständige Bundeswehrfachschule
( Name und Adresse nicht vergessen! ).
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Stand: 12.09.2006 20:49:00
75904505
DStG
Name
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Blatt:
Lösungen zu den Einsendeaufgaben LE 02
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