Realitätsbezogene Aufgaben --- ein Schlüssel zur Nachhaltigkeit im

Realitätsbezogene Aufgaben — ein Schlüssel zur
Nachhaltigkeit im Mathematikunterricht?
Stefan Götz
Fakultät für Mathematik
Universität Wien
Nordbergstraße 15
A-1090 Wien
[email protected]
1. Oktober 2008
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
1 / 66
Inhalt
1
Einleitung
2
Fundamentale Ideen
3
Grundvorstellungen
4
Fundamentale Ideen und Grundvorstellungen
5
Vernetzung
6
Zwei Münzen
7
Bayes und die Ziegen
8
Didaktisches Resümee
9
Big Points in der Stochastik-Lehramtsausbildung
10
Beliefs über Mathematik als Fach bzw. Wissenschaft
11
Modellieren im Mathematikunterricht
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
2 / 66
Einleitung
Real existierender Mathematikunterricht in Österreich:
Betonung des kalkülhaften Operierens
TIMSS und PISA: Defizite z. B. im Begründen und Darstellen
Conclusio: Mathematik wird in der Schule verzerrt dargestellt
Folgerungen:
Schüler(innen) sehen keinen Sinn in der Mathematik
Mathematik wird nicht im Alltagsleben verwendet
Mangel an Studierenden in Technik, Naturwissenschaften (und
Mathematik)
in verschiedenen Bereichen benötigte Kompetenzen sind nicht
(ausreichend) verfügbar
Nachhaltigkeit kann so nicht erreicht werden!
Reaktion: Bildungsstandards“ zur Outputkontrolle
”
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
3 / 66
Fundamentale Ideen 1
Jerome S. Bruner 1960, US-Psychologe:
Grundthese
Schulfach soll ein getreues Abbild der zugehörigen Wissenschaft sein!
Gesucht:
Inhalte und
Herangehensweisen,
die charakteristisch für das Betreiben von Mathematik
Wichtige Aspekte dabei:
Spiralpinzip: bestimmte Themen werden immer wieder auf
ansteigendem Niveau behandelt
Transfereffekt: Wissen wird anwendbar
Eine Konsequenz:
Isolierung verschiedener mathematischer Gebiete wird überwunden,
Beispiele später!
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
4 / 66
Fundamentale Ideen 2
Drei Charakteristika von fundamentalen Ideen (Schreiber 1983, S. 69):
1
Weite: logische Allgemeinheit
2
Fülle: vielfältige Anwendbarkeit und Relevanz in mathematischen
Einzelgebieten
3
Sinn: Verankerung im Alltagsdenken, lebensweltliche Bedeutung
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
5 / 66
Fundamentale Ideen 3
Vorschlag für (provisorischen) Ideenkatalog von Schreiber 1979, S. 167:
1
Algorithmus: Idee des Kalküls; Berechenbarkeit
2
Exhaustion: Approximation; Modellieren
3
Invarianz: Erhaltung von Eigenschaften von Objekten, die
bestimmten Operationen unterworfen sind
4
Optimalität: Eigenschaft von . . . , einer vorgegebenen Bedingung
bestmöglich“ zu genügen
”
5
Funktion: funktionale Abhängigkeit; eindeutige Zuordnung;
Abbildung
6
Charakterisierung: Kennzeichnung von Objekten durch
Eigenschaften; Klassifikation von Objekten und Strukturen
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
6 / 66
Fundamentale Ideen der Stochastik 1
von Heitele 1975:
i) Messen von subjektiven Einschätzungen
ii) Wahrscheinlichkeitsraum
iii) Verknüpfung von Wahrscheinlichkeiten – Additionssatz
iv) Verknüpfung von Wahrscheinlichkeiten – Unabhängigkeit
v) Gleichverteilung und Symmetrie
vi) Kombinatorik
vii) Urnenmodell
viii) Idee der Zufallsvariable
ix) Gesetz der großen Zahlen
x) Idee der Stichprobe
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
7 / 66
Fundamentale Ideen der Stochastik 2
und — alternativ — von Borovcnik 1996:
i) Ausdruck von Informationen über eine unsichere Sache
ii) Revidieren von Informationen unter neuen (unterstellten) Fakten
iii) Offenlegen verwendeter Informationen
iv) Verdichten von Informationen
v) Präzision von Informationen – Variabilität
vi) Repräsentativität partieller Informationen
vii) Verbesserung der Präzision
Synthese
Inhalt versus Handlung: Zusammenführen benötigt passende Beispiele!
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
8 / 66
Grundvorstellungen 1
Rudolf vom Hofe 1995 : Subjekte, die Mathematik betreiben, im
Mittelpunkt
Differenzierung (vom Hofe 1995, S. 103 ff.)
normativ: Input des/der Lehrers/Lehrerin
logische Zusammenhänge
didaktische Überlegungen
deskriptiv: individuelle Vorstellungen der Schüler(innen)
kognitive Inhalte
affektive Einstellungen
Problem: Unterschiede zwischen diesen beiden Kategorien, weil neue
Begriffe oder Sichtweisen bestehendes Wissenssystem stören können
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
9 / 66
Grundvorstellungen 2
Lösung: Analyse der Schüler(innen)fehler, dazu
Subjektive Erfahrungsbereiche: Bauersfeld 1983
Wissen, Fähigkeiten, kognitive and affektive Einstellungen sind primär
aktiv nur für einen speziellen Bereich.
Erweiterung and Kombination dieser ist gefragt!
Stimulation eines bestimmten Bereichs hängt ab von
Häufigkeit der Aktivitäten in der Vergangenheit
Intensität des Ursprungs
Didaktische Herausforderung: Aktivierung der richtigen“
”
(inter-)subjektiven Erfahrungsbereiche um den neuen Begriff in das
bestehende System von Vorstellungen auf passende Weise zu integrieren
Orientierung durch individuelle Interviews mit Schüler(inne)n oder
Erfahrung der Lehrer(innen)
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
10 / 66
Fundamentale Ideen und Grundvorstellungen
stehen für die Kluft zwischen konkreten Inhalten und abstrakten
Vorstellungen.
Zur Überbrückung ist das Wichtigste im Prozess des Mathematik
Lernens:
[. . . ] die antizipierende Funktion des intuitiven Erfassens von
”
Zusammenhängen, das die Konzepte entwirft, die das analytische Denken
ausbreitet [. . . ]“ (Loch im Vorwort zu Bruner 1970, S. 14)
Zwei Bedingungen:
Eigenaktivität der Schüler(innen)
unter An- und/oder Begleitung der Lehrer(innen)
Hierarchie:
Fundamentale Ideen → normative Kategorien der Grundvorstellungen →
individuelle Erklärungen
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
11 / 66
Vernetzung 1
Die fachliche Ausbildung von Lehrkräften für Mathematik sollte
”
daher folgende Ziele im Blick haben: [. . . ]
2. die exemplarisch gewonnene Einsicht in den
Nutzen der Vernetzung von Ideen und Methoden aus
unterschiedlichen mathematischen Gegenstandsbereichen;
[. . . ]“
Aus: Für ein modernes Lehramtsstudium im Fach Mathematik.
Diskussionspapier. GDM-Mitteilungen 82, 2006, S. 71.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
12 / 66
Vernetzung 2
2.6.1 Forderungen an eine Fundamentale Idee der
”
Angewandten Mathematik
[. . . ] Verfahren, Prinzip, Prozeß oder Schema, eine Methode,
Strategie, Handlung, Technik, der/die/das [. . . ]
4. innerhalb der Angewandten Mathematik bzw. ihres
Unterrichts eine gewisse Ordnung von Inhalten und
Phänomenen zu stiften imstande ist, regulierend wirkt,
Querverbindungen bzw. Verzahnungen schafft und so ein
Zersplittern bzw. ein beziehungsloses Nebeneinander“ der
”
Inhalte verhindert.“
Aus: Humenberger/Reichel 1995, S. 27 f., Hervorhebungen außer der
Überschrift vom Referenten.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
13 / 66
Zwei Münzen — Eine Problem und seine Lösung 1
Gegeben: Zwei Münzen, jede zeigt 1“ und 2“ auf ihren zwei Seiten.
”
”
Frage: Können sie so gezinkt werden, dass die drei Werte 2, 3, 4 ihrer
geworfenen Augensumme“ gleichverteilt sind?
”
Antwort: Nein!“, mit Hilfe von elementarer Algebra (Götz 2006b):
”
Xk : Zufallsvariable, die die geworfene Zahl der k-ten Münze beschreibt:
k = 1, 2 und
P(X1 = i) =: pi
und
P(X2 = j) =: qj ,
i, j = 1, 2 .
Die Zufallsvariablen X1 and X2 sind unabhängig voneinander:
P(X1 = i, X2 = j) = pi · qj .
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
14 / 66
Zwei Münzen — Ein Problem und seine Lösung 2
Wir möchten
1
3
1
p1 · q2 + p2 · q1 =
3
1
p2 · q2 =
3
durch Zinken einer Münze oder beider erreichen. Umformen und Einsetzen
liefert
q2 2 + q1 2
= 1 , und das ist nicht möglich:
q1 · q2
p1 · q1 =
(a − b)2 ≥ 0
a2 + b 2 ≥ 2 · a · b
a2 + b 2
≥ 2 ∀a, b > 0 .
a·b
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
15 / 66
Eine Verwandtschaft 1
Beachten wir, dass
(a2 x 2 + a1 x) · (b2 x 2 + b1 x) = a2 b2 x 4 + (a2 b1 + a1 b2 )x 3 + a1 b1 x 2
von der selben Bauart ist wie die Rechnungen für die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe.
Das führt uns zur sog. erzeugenden Funktion von X1 ,
p2 t 2 + p1 t =: GX1 (t) ,
und analog
q2 t 2 + q1 t =: GX2 (t) .
Wir finden aufgrund dieses Ansatzes
GX1 (t) · GX2 (t) = GX1 +X2 (t) .
Diese Beziehung, die wir von der Polynommultiplikation abgeschaut
haben, ist die entscheidende Idee für diesen Beweis:
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
16 / 66
Eine Verwandschaft 2
Wir erhalten
(p2 t 2 + p1 t) · (q2 t 2 + q1 t) =
1
· (t 2 + t 3 + t 4 ) .
3
Division durch t 2 6= 0 liefert
(p2 t + p1 ) · (q2 t + q1 ) =
1
· (1 + t + t 2 ) .
3
Beachte: Auf der linken Seite existieren reelle Nullstellen im Gegensatz
zur rechten Seite, ein Widerspruch!
Unser Wunsch kann aus analytischen Gründen nicht erfüllt werden.
Diese Einsicht verdanken wir algebraischen Methoden.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
17 / 66
Verallgemeinerung und Umkehrung 1
Das Resultat gilt auch für zwei oder mehr Würfel und andere
Platonische Körper. Das kann genauso mit erzeugenden Funktionen
bewiesen werden (Götz 2006b).
Umgekehrt: die Verteilung der Summe der geworfenen Augenzahlen von
zwei fairen Münzen ist natürlich wohlbekannt:
111
.
4 2 4
Kann diese Verteilung auch auf anderem Wege, durch Verfälschen einer
oder beider Münzen, erreicht werden?
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
18 / 66
Umkehrung 2
Die Antwort ist wieder Nein‘“, weil wie zuvor muss die Gleichung
”
1
1
1
(p2 t 2 + p1 t) · (q2 t 2 + q1 t) = · t 2 + · t 3 + · t 4
4
2
4
erfüllt sein, beziehungsweise
(p2 t + p1 ) · (q2 t + q1 ) =
1
1
· (1 + 2 · t + t 2 ) = · (t + 1)2 .
4
4
Rechts: −1 ist Nullstelle mit Vielfachheit zwei, daher bekommen wir zwei
Bedingungen für die linke Seite:
p2 · (−1) + p1 = 0
und q2 · (−1) + q1 = 0 .
Das ist äquivalent mit p1 = p2 und q1 = q2 .
Für zwei Würfel gilt das auch: Halmos 1991, S. 54 und S. 226 f.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
19 / 66
Didaktisches Kurzresümee
Vordergründig: typisches Beispiel einer eingekleideten Aufgabe:
Wie zinke ich eine Münze?
Tatsächlich: mathematische Miniatur, die
typische mathematische Herangehensweisen bzw. Tätigkeiten
auf elementarem Niveau
zeigt:
Vernetzung verschiedener Gebiete: Musterwiedererkennung in
anderem Zusammenhang
Verallgemeinerung
Umkehrung
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
20 / 66
Bayes und die Ziegen: Die klassische Lösung
Monty Hall Dilemma: Stellen Sie sich vor Sie sind bei einer Show, und
”
Sie haben drei Türen zur Wahl: Hinter einer ist ein Auto; hinter den
beiden anderen je eine Ziege. Sie wählen eine Tür aus, sagen wir
Nummer 1, und der Moderator, der weiß, was hinter den Türen steckt,
öffnet eine andere Tür, sagen wir Nummer 3, dahinter wird eine Ziege
sichtbar. Er sagt dann zu Ihnen: ,Wollen Sie auf Tür 2 wechseln?´ Ist es
zu Ihrem Vorteil, zu wechseln?“
Klassische Lösung: Das Öffnen einer Ziegentür durch den Moderator
ändert nicht die Wahrscheinlichkeit 13 , dass das Auto hinter der zuerst
gewählten Tür ist. Da nur mehr eine andere geschlossene Tür vorhanden
ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dahinter das Auto befindet 23 . Es
ist daher von Vorteil für den Kandidaten, auf Tür 2 umzuschwenken.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
21 / 66
Bayes und die Ziegen: Der Bayesianische Standpunkt 1
Bayesianischer Standpunkt (Vancsó/Wickmann 1999):
θj bedeutet Das Auto steht hinter Tür j.“
”
Das Ereignis x = 3 bedeutet Kandidat wählt Tür 1 und Moderator
”
öffnet Tür 3.“
A priori halten wir
P(θj ) =
1
3
(j = 1, 2, 3)
fest. Wir erhalten
P(x = 3|θ3 ) = 0
P(x = 3|θ2 ) = 1
1
P(x = 3|θ1 ) =
,
2
hängt vom Verhalten des Moderators ab!
θ1 : Moderator kann sich aussuchen, welche der beiden Türen er öffnet!
— Wie macht er das?
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
22 / 66
Bayes und die Ziegen — Der Bayesianische Standpunkt
2
Das Bayes’sche Theorem liefert die a posteriori Einschätzung
P(θ3 |x = 3) = 0
2
P(θ2 |x = 3) =
3
1
P(θ1 |x = 3) =
,
3
also — numerisch! — kein Unterschied zum klassischen Resultat!
Aber:
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
23 / 66
Eine Erweiterung 1
Zwei extreme Annahmen (Götz 2006a):
P(x = 3|θ1 ) = 1: dann erhalten wir
1
1
=
1+1+0
2
1
P(θ2 |x = 3) =
2
P(θ3 |x = 3) = 0 .
P(θ1 |x = 3) =
Interpretation: θ2 — Zwang versus θ1 — freier Wille!
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
24 / 66
Eine Erweiterung 2
P(x = 3|θ1 ) = 0. Diese Bedingung erspart die Qual der Wahl:
0
=0
0+1+0
1
=1
P(θ2 |x = 3) =
1
P(θ3 |x = 3) = 0 .
P(θ1 |x = 3) =
Interpretation: Obwohl der Moderator das Öffnen von Tür 3 hasst,
tut er es:
θ2 ist der Fall.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
25 / 66
Überblick 1
Mit P(x = 3|θ1 ) =: p ∈ [0, 1] sehen wir
p
p
=
( bleiben“)
”
p+1+0
1+p
1+p−p
1
p
=
=
( wechseln“)
P(θ2 |x = 3) = 1 −
”
1+p
1+p
1+p
P(θ3 |x = 3) = 0 .
P(θ1 |x = 3) =
Ein Vergleich der Graphen von
b(p) :=
p
1+p
and w (p) :=
1
1+p
gibt einen Überblick über die Situation x = 3:
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
26 / 66
Überblick 2
Abbildung: Wechseln versus Bleiben
Moral des Monty Hall Dilemmas
Wechseln ist nie schlechter als Bleiben!
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
27 / 66
Didaktische Bemerkungen
Variable p liefert eine allgemeine Aussage
Menschliches Verhalten wird auf einfache Weise beschrieben
Schätzen von p durch
Anschauen vieler Shows
Wissen über das Verhalten des Moderators
Was heißt eigentlich
3
p = −→ b
4
3
3
=
4
7
3
4
und w
= ?
4
7
Interpretation durch eine fiktive, faire Wette:
Wert des Autos a = 14000 heißt
14000 · 74 = 8000 Einsatz für Strategie Wechseln“
”
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
28 / 66
p=
1
2
führt zum selben Resultat
1 2
3 | 3 |0
, aber:
Klassische Sichtweise: Wechseln auf lange Zeit
Standpunkt des Moderators
Verlustrate des Autos ist
2
3
Bayesianische Lösung: aktuelle Situation x = 3
Standpunkt des Kandidaten
Wechseln erhöht die Wahrscheinlichkeit das Auto zu gewinnen von
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1
3
1. Oktober 2008
auf
2
3
29 / 66
Didaktisches Resümee 1
Funktionsbegriff: taucht in verschiedenen mathematischen Gebieten
auf — fundamentale Idee
Zufall kann (auch) mit deterministischen Methoden beschrieben
werden: Grundvorstellung
Woher kommen Wahrscheinlichkeiten?
Symmetrie
Gesetz der großen Zahlen
Laplace Wahrscheinlichkeit – Geometrische Wahrscheinlichkeit
Axiome von Kolmogoroff
Grundvorstellungen
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
30 / 66
Didaktisches Resümee 2
Aber auch: subjektive Wahrscheinlichkeiten —
Bayesianische Beschreibung des Monty Hall Dilemmas
hängt vom (individuellen, intersubjektiven) Wissen (über das
Verhalten des Moderators) ab
a priori Einschätzung beeinflusst a posteriori Beurteilung:
14
122
−→
0 ,
5 5 5
5 5
aber es gibt auch eine bemerkenswerte Konstanz:
1
12
(a|a|1 − 2a)
0<a≤
−→
0
2
3 3
Das Öffnen von Türe 3 macht die Türe 2 verdächtig!
Vorausgesetzt wird dabei jeweils p =
Stefan Götz (Universität Wien)
1
2
und x = 3.
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
31 / 66
Didaktisches Resümee 3
Bayes’sches Theorem wird hier auch als Funktion gesehen.
Zwei Gründe warum Funktionen so selten sind im Stochastikuntericht:
1
diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
2
die Normalverteilung ist eine der/die zentrale/n Verteilung/en:
Z
x
Φ(x) =
−∞
√
−(t−µ)2
1
· e 2σ2 dt
2πσ
kann bekanntlich nur mittels
Tabellen oder
CAS
berechnet werden
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
32 / 66
Big Points in der Stochastik-Lehramtsausbildung
unterschiedliche Natur von bestimmten stochastischen Begriffen
Grundlegendes Prinzip für eine wichtige Klasse von statistischen Tests
emprische Größe – Zufallsvariable – Parameter
Zum Beispiel unterscheide:
x̄
X̄
µ
fundamentale Idee: finde eine Testvariable
welche mit dem unbekannten Parameter verknüpft ist
mit einer bekannten (asymptotischen) Verteilung
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
33 / 66
Big Points in der Stochastik-Lehramtsausbildung 2
relative Häufigkeiten – Wahrscheinlichkeit
Gesetz der großen Zahlen
limn→∞ P(|Rn (A) − p| ≤ ε) = 1
versus
limn→∞ rn (A) = p
Grundvorstellung: Unterschiede zwischen
der empirischen Größe rn (A) und
dem Parameter p
werden immer unwahrscheinlicher mit steigender Zahl der
Realisationen der Zufallsvariablen Rn (A)
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
34 / 66
Big Points in der Stochastik-Lehramtsausbildung 3
Konfidenzintervall
klassische Interpretation: auf lange Sicht überdeckt ein bestimmter
Prozentsatz der Realisationen den unbekannten Parameter
vom Bayesianischen Standpunkt: (subjektive) Unsicherheit wird
durch eine Zufallsvariable beschrieben
Grundvorstellung: zwei Lesarten von Unsicherheit
funktionaler Charakter von stochastischen Begriffen
Beschreibung einer Zufallsvariable mittels ihrer Verteilungsfunktion
F (x) =
P
xi ≤x
P(X = xi )
F (x) =
Rx
−∞ f (t) dt
fundamentale Idee: Funktionen schauen nicht immer so aus wie
f (x) = x 2
Stefan Götz (Universität Wien)
or
f (x) = sin x
Realitätsbezogene Aufgaben
or
f (x) = e x !
1. Oktober 2008
35 / 66
Beliefs – deskriptive Grundvorstellungen
prozessorientiert:
viel ausprobieren, Ideen zum Lösen
selbst nach Lösungswegen suchen, verschiedene Lösungswege finden
schemaorientiert:
zum Lösen von Aufgaben das Lösungsverfahren kennen
formalismusorientiert:
zur Lösung von Aufgaben Einsatz von exakten Verfahren
Aus Maaß K. 2004, S. 156, selektiert nach realitätsbezogenem MU.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
36 / 66
Modellierungskreislauf
Abbildung: Vereinfachter Modellierungskreislauf
(Maaß K. 2007, S. 30)
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
37 / 66
Realitätsbezüge im Mathematikunterricht
Einkleidungen mathematischer Probleme in die Sprache des Alltags,
z. B. schulklassische Extremwertaufgaben
Veranschaulichungen mathematischer Begriffe, z. B. negative
Zahlen — Schulden
Anwendung mathematischer Standardverfahren, d. h. Anwendung
wohlbekannter Algorithmen zur Lösung realer Probleme, z. B.
Extremwertkalkül zur Bestimmung der Maße der größten Fensters bei
gegebener Form
Modellbildungen, d. h. komplexe Problemlöseprozesse, basierend auf
z. B. der vorigen Folie
nach Kaiser 1995, S. 67.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
38 / 66
Umsetzung im Schulbuch
Umkehraufgaben (Modellbildungsaufgaben):
Kleinprojekt:
Der Finanzminister will das Steuersystem weiter vereinfachen.
Die Berechnung soll in Zukunft über eine einfache“Funktion f
”
erfolgen, die den Steuersatz y = f (x) angibt, der auf ein
Einkommen x anzuwenden ist. Einkommen unter 10000€ sollen
nicht, Einkommen zwischen 10000€ und 50000€ sollen mit
einem monoton wachsenden Steuersatz zwischen 0% und 50%
besteuert werden, darüber liegende Einkommen mit 50%. Gib
eine passende Funktion an (1=10000€
ˆ
bzw. 100%)!
Götz/Reichel 2006, S. 99.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
39 / 66
Eine erste Lösung: Polynomfunktion
Der Ansatz
y (x) = ax 2 + bx + c
1≤x ≤5
liefert
y (1) = 0 = a · 12 + b · 1 + c
y (5) = 0, 5 = a · 52 + b · 5 + c
y 0 (5) = 0 = 2a · 5 + b
und schließlich
f :y =

 0
1
32

Stefan Götz (Universität Wien)
·
0, 5
(−x 2
0≤x <1
+ 10x − 9) 1 ≤ x < 5
5≤x
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
40 / 66
Graph der ersten Lösung
Abbildung: Ein erster Versuch
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
41 / 66
Eine zweite: rationale Funktion
Bei sonst gleichen Vorgaben soll sich zwecks Entlastung der
Oberschicht“ der Steuersatz der 50% Grenze nur asymptotisch
”
(von unten) nähern. Gib ein einfaches“ Funktionsmodell samt
”
Graphen an (1=10000€
ˆ
bzw. 100%)!
f :y =
0
x−1
2x
0≤x <1
1≤x
Götz/Reichel 2006, S. 106.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
42 / 66
Graph der zweiten Lösung
Abbildung: Ein neuerlicher Versuch zur Rettung“ der Oberschicht
”
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
43 / 66
Eine dritte: Winkelfunktion
Gib bei sonst gleichen Vorgaben ein einfaches“
”
Winkelfunktionsmodell samt Graphen an (1=10000€
ˆ
bzw.
100%)!
Der Ansatz
y (x) = 0, 5 · sin[b · (x + c)]
1≤x ≤5
liefert
y (1) = 0 = 0, 5 · sin[b · (1 + c)]
y (5) = 0, 5 = 0, 5 · sin[b · (5 + c)]
und schließlich

0≤x <1
 0
π
0, 5 · sin[ 8 · (x − 1)] 1 ≤ x < 5
f :y =

0, 5
5≤x
Götz/Reichel 2006, S. 111.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
44 / 66
Graph der dritten Lösung
Abbildung: Weil es so schön war nocheinmal!
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
45 / 66
Eine vierte und letzte: Logarithmusfunktion
Bei sonst gleichen Vorgaben soll sich zwecks Entlastung der
Mittelschicht“ der Steuersatz der 50% Grenze langsam“ und
”
”
degressiv nähern. Gib ein einfaches“ Funktionsmodell samt
”
Graphen an (1=10000€
ˆ
bzw. 100%)!
Der Ansatz
y (x) = a · ln x
1≤x ≤5
liefert
y (5) = 0, 5 = a · ln 5
und schließlich

 0
0, 31 · ln x
f :y =

0, 5
0≤x <1
1≤x <5
5≤x
Götz/Reichel 2006, S. 116.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
46 / 66
Graph der vierten Lösung
Abbildung: Die Mittelschicht wird entlastet
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
47 / 66
Kern des Modellierungsprozesses
Gemeinsamkeit dieser realitätsbezogenen Beispiele
Fokussierung auf den Schritt
mathematisches Modell −→ mathematische Lösung
— Emanzipation von der Ausgangssituation!
Daher wichtig:
1 Voraussetzungen, Vereinfachungen des Modells herausarbeiten!
2 Die Bedeutung des erhaltenen Ergebnisses in der Realität prüfen!
Weitere Beispiele mit diesem Fokus:
Befüllen eines Öltanks (Greefrath 2007): Abhängigkeit der
Füllhöhe vom Volumen — Form des Tanks?
Modellieren einer Vase: Körner 2007
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
48 / 66
Conclusio und noch ein Beispiel zur Verdeutlichung
Conclusio
Einkleiden und Anwendungen von Standardverfahren: Vorstufe zu
komplexeren Modellierungen, die auch scheitern können!
Ein letztes Beispiel: Konkurrenzgrenzen (Ableitinger/Götz 2008)
Ausgangssituation: ein Konsumgut — zwei Anbieter A, B an
verschiedenen Orten
Von welchen Orten aus ist der eine günstiger als der andere? —
Konkurrenzgrenzen sind die Orte gleicher Kosten.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
49 / 66
Ein Modell“
”
Notwendige Informationen dazu (unser Modell):
1
Anschaffungskosten A, B
2
Transportkosten a, b pro km: Luftlinie – Euklid’scher Abstand
Also ein sehr einfaches Modell! —
tatsächliche Entfernung i. Allg. anders als Luftlinie
Zeit teurer als Weg
auch andere Kostenfaktoren möglich: z. B. Service
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
50 / 66
Der einfachste Fall
Transport- und Anschaffungskosten jeweils gleich:
A=B
und a = b
Abbildung: Konkurrenzgrenze: y -Achse
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
51 / 66
Ein bisschen dran drehen — zweiter Fall
Transportkosten verschieden, Anschaffungskosten gleich:
A=B
und a 6= b
Abbildung: Zur geometrischen Veranschaulichung
A+b
Stefan Götz (Universität Wien)
q
q
(x + l)2 + y 2 = A + a (x − l)2 + y 2
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
52 / 66
Algebraische Auswertung des zweiten Falls
CAS oder Umformungen per Hand liefern
2

2
2 2
2
2

x − l a + b  + y 2 = l 2 a + b
− l2

2 − b2 
2 − b2
a
a
| {z }
{z
}
|
xM
r2
Konkurrenzgrenze: Kreis mit
Mittelpunkt (xM |0) und
Radius r
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
53 / 66
Zwei Beispiele
Abbildung: B teurer — A teurer
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
54 / 66
Algebraische Analyse des Kreises
Mittelpunkt
2
a + b2
M= l 2
|0
a − b2
Radius
2
r =l
2
a2 + b 2
a2 − b 2
2
− l2
r 2 = xM 2 − l 2
bzw.
xM 2 − r 2 = l 2
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
55 / 66
Zwei Grenzübergänge
xM = l
a2 + b 2
a2 − b 2
Abbildung: Eine gleichseitige Hyperbel
b → a : xM → ∞ und r → xM , d. h.:
Kreis −→ Gerade: einfachster Fall
b → 0 : xM → l und r → 0, d. h.:
Kreis −→ Punkt A
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
56 / 66
Geometrische Analyse des zweiten Falls
A + b · PB = A + a · PA
Abbildung: Zur geometrischen Veranschaulichung
Also:
PB
a
= = const.
b
PA
Stefan Götz (Universität Wien)
Menge aller Punkte, deren Abstandsquotient von zwei festen Punkten konstant
ist.
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
57 / 66
Apolloniuskreis
Apollonius von Perga, 262 – 190 v. Chr.
Alle Punkte, deren Entfernungen von zwei gegebenen Punkten A und B
ein gegebenes Verhältnis a : b haben, liegen auf einem Kreis, dem Kreis
des Apollonius. Die Punkte C und D, welche AB im Verhältnis a : b
harmonisch teilen, begrenzen einen Durchmesser dieses Kreises.
PA
QA
=
PB
QB
Abbildung: Apollonius von Perga und sein“ Kreis
”
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
58 / 66
Conclusio aus der geometrischen Analyse
Das Verhältnis a : b allein bestimmt die Konkurrenzgrenze:
Abbildung: Verschiedene Konkurrenzgrenzen in Abhängigkeit von a : b
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
59 / 66
Zusammenfassung des zweiten Falls
Die Konkurrenzgrenzen sind Kreise (Apollonius).
Die Kreise hängen nur vom Verhältnis der Transportkosten ab.
Bei annähernd gleichen Transportkosten werden die Kreise sehr
groß, bei gleichen Transportkosten erhalten wir wieder den
einfachsten Fall.
Wird ein Standort im Vergleich zum anderen unverhältnismäßig
teuer, ziehen sich die Kreise um den teuren Standort zusammen.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
60 / 66
Genug Realitätsbezug?
Dann:
1
2
Für welche rationalen Zahlen q sind die Zahlen cos(qπ),
sin(qπ), tan(qπ) rational?
Für welche rationalen Zahlen q ist die Zahl cos2 (qπ)
rational?
Satz:
Ist q eine rationale Zahl, sodass tan2 (qπ) (definiert und) verschieden von
0, 13 , 1, 3 ist, dann ist tan2 (qπ) irrational.
Kuba 2008, S. 57.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
61 / 66
Literatur 1
Ableitinger, C. und Götz, S. (2008): Konkurrenzgrenzen: kann man
sie verstehen? In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2008. Vorträge
auf der 42. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 13. bis 18.
März 2008 in Budapest. WTM-Verlag, Münster, S. 305–308.
Bauersfeld, H. (1983): Subjektive Erfahrungsbereiche als Grundlage
einer Interaktionstheorie des Mathematiklernens und -lehrens. In:
Bauersfeld, H.; Bussmann, H.; Krummheuer, G.; Lorenz, J.H.; Voigt,
J.: Analysen zum Unterrichtshandeln 2. Aulis Verl. Deubner, Köln,
S. 1–56.
Borovcnik, M. (1996): Fundamentale Ideen als Organisationsprinzip
der Mathematikdidaktik. Vortragsmanuskript.
Bruner, J. S. (1960): The Process of Education. Harvard University
Press, Cambridge, Mass.
Deutsche Übersetzung 1970 von Harttung, A.: Der Prozeß der
Erziehung. Berlin-Verlag u. a., Berlin.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
62 / 66
Literatur 2
Götz, S. (2006a): Ziegen, Autos und Bayes — eine never-ending
story. In: Stochastik in der Schule Band 26, Heft 1, S. 10–15.
Götz, S. (2006b): Würfel und Augensummen — ein unmögliches
Paar. In: Teaching Mathematics and Computer Science 4/1 (2006),
S. 71–88.
Götz, S. und Reichel, H.-C. (Hrsg.) (2006): Mathematik-Lehrbuch 7
von R. Müller und G. Hanisch. Unter Mitarbeit von C. Wenzel und
M. Müller. öbv, Wien [Nachdruck 2008 (1,02)].
Greefrath, G. (2007): Mathematisch Modellieren lernen — ein Beispiel
aus der Integralrechnung. In: Greefrath/Maaß 2007, S. 113–122.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
63 / 66
Literatur 3
Greefrath, G. und Maaß, J. (2007): Materialien für einen
realitätsbezogenen Mathematikunterricht, Band 11: Unterrichts- und
Methodenkonzepte. Schriftenreihe der Istron-Gruppe. Verlag
Franzbecker, Hildesheim und Berlin.
Halmos, P. (1991): Problems for Mathematicians, Young and Old.
The Dolciani Mathematical Expositions (Number Twelve). The
Mathematical Association of America, Washington DC.
Heitele, D. (1975): An Epistemological View on Fundamental
Stochastic Ideas. In: Educational Studies in Mathematics 6, 187–205.
Humenberger, J. und Reichel, H.-C. (1995): Fundamentale Ideen der
Angewandten Mathematik und ihre Umsetzung im Unterricht.
Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik,
Band 31. Herausgegeben von N. Knoche und H. Scheid. BI
Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
64 / 66
Literatur 4
Kaiser, G. (1995): Realitätsbezüge im Mathematikunterricht – Ein
Überblick über die aktuelle und historische Diskussion. In: G.
Graumann, T. Jahnke, G. Kaiser und J. Meyer (Hrsg.): Materialien
für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht, Band 2.
Schriftenreihe der Istron-Gruppe. Verlag Franzbecker, Bad
Salzdetfurth und Hildesheim, S. 66–84.
Körner, H. (2007): Die Vase. In: Greefrath/Maaß 2007,
S. 123–138.
Kuba, G. (2008): Über den Tangens rationaler Winkel. In: IMN
Nr. 208, S. 57–63.
Maaß, K. (2004): Mathematisches Modellieren im Unterricht.
Ergebisse einer empirischen Studie. texte zur mathemtischen
forschung und lehre. Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin.
Maaß, K. (2007): Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die
Sekundarstufe I. Cornelsen Verlag Scriptor, Berlin.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
65 / 66
Literatur 5
Schreiber, A. (1979): Universelle Ideen im mathematischen Denken —
ein Forschungsgegenstand der Fachdidaktik. In: mathematica
didactica (2), S. 165–171.
Schreiber, A. (1983): Bemerkungen zur Rolle universeller Ideen im
mathematischen Denken. In: mathematica didactica (6), S. 65–76.
Vancsó, Ö. und Wickmann, D. (1999): Das Drei-Türen-Problem in
bayesscher Sicht. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 1999.
Vorträge auf der 33. Tagung für Didaktik der Mathematik vom 1. bis
5.3.1999 in Bern für die GDM herausgegeben von Michael Neubrand.
Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin 1999, S. 551–554.
vom Hofe, Rudolf (1995): Grundvorstellungen mathematischer
Inhalte. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a.
Stefan Götz (Universität Wien)
Realitätsbezogene Aufgaben
1. Oktober 2008
66 / 66