Zusammenfassung der Vorlesung `Physik für Ingenieure

Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zusammenfassung der Vorlesung
'Physik für Ingenieure (Maschinenbau)'
WS 2013/2014
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Klausurinformationen – Hauptklausur
Datum:
Zeit:
24.03.2014
14:00 s.t. - 16:00 Uhr
Räume:
A – E → HZO-30
F – I → HZO-40
J – N → HNB
O – Z → HNA
Material:
Taschenrechner
Stifte (nicht rot, kein Bleistift)
Lineal/Geodreieck
Studentenausweis
Bonuspunkte:
in der Übung
ab 50 %
..
.
ab 90 %
ab 95 %
für die Klausur
→
→
→
1%
..
.
9%
10 %
– keine zusätzliche Anmeldung nötig
– keine Formelsammlung erlaubt
– Zum Bestehen der Klausur reichen 50 % (inkl. Bonus)
Nachschreibeklausur: 22.09.2014
P ngstprüfung: 13.06.2014
(Ruhr-Universität Bochum)
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Übersicht
Einheiten
Mechanik
Kinematik
Kreisbewegung
Newton'sche Axiome
Reibung
Gravitation
Arbeit
Leistung/Energie
Impuls/Stöße
Schwingungen
starre Körper
Drehmoment
Rotationsenergie
Drehimpuls
Zentripetalkraft
Hydrostatik/Hydrodynamik
Druck
Schweredruck
Kompressibilität
Auftrieb
Kontinuitätsgleichung
Bernoulli-Gleichung
Viskosität/Hagen-Poiseuille
Wärmelehre
Temperatur
Zustandsgleichung
thermische Ausdehnung
Wärmekapazität
latente Wärme
Elastizität
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Einheiten
Jede zusammengesetzte Einheit lässt sich in die 7 SI-Basisgrößen zerlegen.
Größe
Einheit
Abkürzung
Masse
Länge
Zeit
Stoffmenge
Temperatur
Stromstärke
Lichtstärke
Kilogramm
Meter
Sekunde
Mol
Kelvin
Ampere
Candela
kg
m
s
mol
K
A
cd
Beispiel: Kraft [F] = [m a] = Newton = N =
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kg m
s2
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Mechanik
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Kinematik
– Bewegung einer Punktmasse (= die Masse eines Körper ist in einem Punkt konzentriert
und hat keine Ausdehnung)
gleichförmige Bewegung
– v(t) = konstant [v] = m/ s
Beispiel – Freier Fall:
– mittlere Geschwindigkeit
v̄(t) = (x2 − x1 )/(t2 − t1 ) = ∆x/∆t
– momentane Geschwindigkeit
v(t) = dx/dt
gleichförmig beschleunigte Bewegung
– a(t) = konstant 6= 0 [a] = m/ s2
– v(t) = a · t + v0
– x(t) = 1/2 · a · t2 + v0 · t + x0
Schiefer Wurf → x- und y-Komponenten können unabhängig voneinander behandelt werden
(Ruhr-Universität Bochum)
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Winkel
ebener Winkel:
– Gradmaß → Vollkreis 360°
– Bogenmaß → Vollkreis 2π
Einheit [ϕ] = rad
ϕ=
Kreisbogenlänge
Radius
=
∆s
r
Umrechnung:
Vollkreis =
b 360° =
b
→ Dreisatz:
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2π r
r
ϕ° =
= 2π
360°
2π
ϕrad
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Kreisbewegung
s
∆s
=
=
rϕ
r ∆ϕ
Tangentialgeschwindigkeit
vT
=
ds
dϕ
=r
dt
dt
|{z}
ω
→ vT = r · ω
Tangential- (aT ) und Winkelbeschleunigung (ω̇):
Umlaufzeit T: Zeit für eine Umdrehung
ϕ = 2π
ω · T = 2π
T =
2π
ω
(Ruhr-Universität Bochum)
→ aT = r · ω̇
[ω] = s−1 = rad/ s
[ω̇] = s−2 = rad/ s2
Frequenz f: Anzahl der Umdrehungen pro Zeit
f = 1/T
[f] = s−1 = Hz
→ ω = 2π f
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Ursachen der Bewegung / Newton'sche Axiome
– Durch eine Kraft wird eine Änderung der Geschwindigkeit erreicht
– Die Kraft ist eine vektorielle Größe
1. Newton'sche Axiom:
'Ohne äußere Ein üsse verbleibt jeder beliebige Körper in
Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung'
~a =
d~v
=0
dt
für v = 0 m/ s oder v = const.
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Ursachen der Bewegung / Newton'sche Axiome
2. Newton'sche Axiom:
'Durch einwirkende Kräfte erfährt ein Körper eine
Beschleunigung, die der Kraft proportional ist und deren
Richtung besitzt'
~F = m~a
[F] = [m a] = Newton = N =
kg m
s2
3. Newton'sche Axiom:
'Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus (actio),
so übt auch B auf A eine entgegengesetzt gleichgroße
Gegenkraft (reactio) aus.'
~FA→B = −~FA←B
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Reibung
Reibungsarten
– Haftreibung (µH )
– Gleitreibung (µG )
– Rollreibung (µR )
Reibungszahl:
µ=
|~FR | = µ |~FN |
Die Reibung hängt von der Beschaffenheit der Oberäche ab (µ), jedoch nicht von der Größe der
Au age äche.
Reibungskraft
Normalkraft
=
|~
FR |
|~
FN |
µH > µ G
Schiefe Ebene:
|~FH | = |~FG | sin α
|~FN | = |~FG | cos α
|~
FH |
|~
FG |
=
sin α
cos α
= tan α = µH
(Ruhr-Universität Bochum)
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Gravitation
Massen ziehen sich gegenseitig an, gemäß:
m1 ·m2
r2
|~F| = G
Gravitationskonstante
G = 6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−2
Beispiel – Die Erde wiegen:
(rErde = 6370 km)
F
=
mg=G
→
M=
m·M
r2
g r2
G
M ≈ 6 · 1024 kg
(Ruhr-Universität Bochum)
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Arbeit
Die Arbeit erhält man aus dem Produkt von Kraft und Weg
~ = ~F · ~s
W
[W] = N · m = Joule = J
~ = |~F| · |~s| · cos (~s, ~F)
betragsmäßig: |W|
Hubarbeit:
Beschleunigungsarbeit:
W=F·h=mgh
W=
1
2
m v2
In der Mechanik benutzen
meist in Form der potentiellen (Epot = mgh) und
man diese Größen
der kinetischen Energie Ekin =
1
mv2
2
(Ruhr-Universität Bochum)
.
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Leistung, Energie
Leistung = Energie pro Zeit
P=
∆W
∆t
[P] = Watt = W =
J
s
=
kg m2
s3
Energie kann als Vorrat an Arbeitsvermögen gesehen werden. [W]=[E]
– leistet man am System Arbeit, so fügt man Energie hinzu
– leistet das System Arbeit, so wird Energie abgeführt
– die Gesamtenergie im abgeschlossenen System bleibt jedoch konstant.
Energieerhaltung: Ekin + Epot = Eges = konstant
Beispiel – Freier Fall:
(Ekin + Epot )h0
=
(Ekin + Epot )h=0
m g h0
=
→ vmax
=
1/2 m v2
p
2 g h0
(Ruhr-Universität Bochum)
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Impuls / Stöße
Impuls = Masse mal Geschwindigkeit
Der Impuls verknüpft die Masse mit der
Geschwindigkeit
~p = m~v
[p] =
kg m
s
Kraftstoß:
Rt2
p = F dt
t1
~F =
d~
p
dt
=m
d~v
dt
= m ~a
Stoßvorgänge:
a) elastischer Stoß
– es gilt Impulserhaltung
– es gilt Energieerhaltung
– nach dem Stoß gehen beide Stoßpartner ihren eigenen Weg
b) inelastischer Stoß
– es gilt Impulserhaltung
– die Energie in Bezug auf die Translation muss nicht erhalten bleiben
– nach dem Stoß bewegen sich die Stoßpartner gemeinsam weiter
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Beschreibung von Schwingungen
Eine harmonische Schwingung lässt
sich darstellen durch
x(t) = x0 · sin(ωt + ϕ0 )
ungedämpfte Schwingungsgleichung
ẍ(t) + ω 2 x(t) = 0
Lösung für
– Federpendel:
ω=
– Fadenpendel:
ω=
q
D
m
q
g
l
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Ausgedehnte starre Körper
homogene Körper
– die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt
Dichte: ρ =
m
V
[ρ] = kg m−3
inhomogene Körper
– die Masse ist ungleichmäßig über das Volumen verteilt
– Zerteilung des Körpers in Volumenelemente mit homogener Dichte, die mit der
'Punktmechanik' beschrieben werden.
ρi
=
mGesamt
=
∆mi
∆Vi
X
ρi ∆Vi
i
Die Summierung aller Effekte auf die einzelnen Massenteile, ergibt den Effekt für
den gesamten starren Körper.
(Ruhr-Universität Bochum)
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Kinematik starrer Körper / Drehmoment
Ein starrer Körper kann mehrere Bewegungsformen – auch gleichzeitig – ausführen
– Translation des Schwerpunktes
– Rotation um eine oder mehrere Achsen
Drehmoment = Hebelarm⊥ mal Kraft
~ = |~r × ~F| = |~r| · |~F| · sin (~r, ~F)
|M|
(Ruhr-Universität Bochum)
[M] = N · m = Joule = J
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Gleichgewicht
Ein Gleichgewicht ist erreicht, wenn alle angreifende Drehmomente sich zu Null
summieren
siehe Beispiele aus der Vorlesung:
P ~
i Mi = 0
– Balken mit Gewichten
– Wippschaukel
– ...
zweiarmiger Hebel
– Drehachse zwischen den Angriffspunkten der Kräfte
einarmiger Hebel
– Drehachse außerhalb der Angriffspunkte der Kräfte
(Ruhr-Universität Bochum)
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Rotationsenergie
Die kinetische Energie eines starren Körpers setzt sich zusammen aus seiner
Translationsenergie des Schwerpunktes und aus seiner Rotationsenergie um eine
oder mehrere Achsen.
Ekin = Etrans + Erot = 12 m v2 + 12 Θω 2
R
Das Trägheitsmoment Θ = r2 dm hängt sowohl von der Geometrie des Körpers
ab, als auch von der Lage seiner Drehachse. [Θ] = kg m2
Zylindermantel um eine Hauptachse
– Θ = m r2
Vollzylinder um eine Hauptachse
– Θ=
1
m r2
2
Der Steiner'sche Satz ndet Anwendung wenn die
Drehachse parallel verschoben wurde
ΘA2 = ΘA1 + md2
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
20 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Drehimpuls
Drehimpuls:
~j = ~r × ~p = Θ~
ω
[j] =
kg m2
s
In einem abgeschlossenen System ist der Drehimpuls erhalten
Analogie zur Impulserhaltung der Translation.
(Ruhr-Universität Bochum)
P~
j = const., in
05. Februar 2014
21 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zentripetalkraft
Bei einer gleichförmigen rotierenden Bewegung (|~v| = const.) führt die Richtungsänderung
des Geschwindigkeitsvektors zu einer Beschleunigung des Körpers zum Mittelpunkt hin.
Radialbeschleunigung:
aR =
v2
r
= ω2 r
Dies ist verbunden mit einer Kraft, die ebenfalls zum Zentrum
hin wirkt und den Körper somit auf der Kreisbahn hält.
Zentripetalkraft:
2
FR = m aR = m vr = m ω 2 r
Für den Körper – im rotierenden System – existiert eine der Zentripetalkraft gleich große
entgegengesetzte Kraft, die Zentrifugalkraft FZ .
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zusammenstellung
Translation
Weg: ~r
Geschwindigkeit: ~v
Beschleunigung: ~a
Kraft: ~F = m~a
Impuls: ~p = m~v
Energie: Ekin = 21 mv2
~F =
d~
p
dt
Rotation
Winkel: ϕ
W.-Geschw.: ω = ϕ̇
W.-Beschl.: ω̇ = ϕ̈
~ = Θω
Drehmoment: M
~˙
Drehimpuls: ~j = Θ~
ω
Rot.-Energie: Erot = 12 Θω 2
~ =
M
Verknüpfung
s = rϕ
v = rω
a = rω̇
~ = ~r × ~F
M
~j = ~r × ~p
d~j
dt
Wir sehen, wir können die Rotation eines starren Körpers formal genauso
behandeln, wie die Translation einer Punktmasse. Aber es muss das
Trägheitsmoment Θ bezüglich der Drehachse bekannt sein.
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Quiz
Welche Aussage ist zu dem Zeitpunkt richtig, bei dem die maximale Auslenkung aus der
Ruhelage einer Schwingung erreicht wird?
Die Beschleunigung ist null.
Die Geschwindigkeit hat ein Maximum.
Die potentielle Energie hat ein Maximum.
Ein Mensch der Masse m = 100 kg besteigt einen Hügel der Höhe h = 500 m. Die dabei
verrichtete Hubarbeit W ist (≈)
5000 N
500 N/ m
500 kJ
50000 J
Ein Sprinter benötigt für die 100- m-Strecke 10 s. Dann beträgt seine mittlere
Geschwindigkeit.
1 km/ s
1 m/ min
1/10 m/ s
36 km/ h
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
24 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Elastizität
Eine Zug– bzw. Schubspannung σ an einem Festkörper bewirkt eine
Längenänderung
Spannung
σ=
F
A
rel. Längenänderung
[σ] = Pascal = Pa
=
∆l
l
– elastischer Bereich (I)
Hook'sches Gesetz: σ = E Proportionalität ist der
Elastizitätsmodul E
– plastischer Bereich (II)
– Einschnürung und Bruch (III)
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
25 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Elastizität
Wenn ein Körper in einer Dimension gedehnt oder gestaucht wird, so führt dies auch
zu Änderungen in den anderen Dimensionen.
Querkontraktionszahl:
µ = − ∆d/d
∆l/l
Scherung
Scherspannung: τ = Fs /A
Scherung: γ = ∆x/l = tan α
Schubmodul: G =
τ
γ
=
Fs /A
tan α
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
26 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Hydrostatik und Hydrodynamik
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
27 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
ideale/reale Flüssigkeit
Eine ideale Flüssigkeit ...
– ist inkompressibel
– hat keine innere Reibung (Viskosität)
– ist homogen (sie hat überall die gleiche Dichte)
–
ießt immer laminar
Eine reale Flüssigkeit muss diese Eigenschaften nicht haben; kann turbulent
ießen.
Laminar:
Turbulent:
Strömungslinien können bei turbulenter Strömung abreißen und Wirbel bilden
Abschätzung der Strömungsart durch die Reynoldszahl Re =
ρrv
η
laminar . 1000 . turbulent
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
28 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Druck / Kompressibilität
Der hydrostatische Druck verteilt sich gleichmäßig und ist in der gesamten
Flüssigkeit gleich groß.
Druck:
p=
Kraft
Fläche
=
F
A
[p] = Pascal = Pa
Eine allseitige Druckausübung auf einen Körper für zu einer Kompression
desselben.
Kompressionsmodul:
Anwendung: z.B. hydraulischer Lift →
(Ruhr-Universität Bochum)
∆p
K = − ∆V/V
F1
A1
=
[K] = Pa
F2
A2
05. Februar 2014
29 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
kommunizierende Rohre / Schweredruck
Gleich hoher Flüssigkeitsstand in offenen Rohren, unabhängig von der Form der
Gefäße.
Der Schweredruck in einer Flüssigkeit nimmt
linear mit der Tiefe zu.∗
Gesamtdruck: p = p0 + ρ g h
Hydrostatischer Druck + Schweredruck
* für eine Flüssigkeit mit konstanter Dichte ρ
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
30 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Auftrieb
Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit, und
hängt im wesentlichen von dem Volumen ab, welches der Körper verdrängt.
Auftriebskraft:
FA = ρ
üssig
gV=m
üssig
g
Ob ein Körper schwimmt/steigt, schwebt oder sinkt hängt nun von der
Gewichtskraft des Körpers ab. Dies kann man reduzieren auf den Vergleich der
beiden Dichten zueinander.
FA>FG
FA=FG
FA=FG
FA<FG
rK < rfl.
rK £ rfl.
rK = rfl.
rK > rfl.
Schwimmt der Körper auf, so gilt FG = FA ; somit verdrängt der Körper genau das
gleiche Gewicht an Flüssigkeit wie er selber wiegt!
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
31 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Grundgleichungen der Hydrodynamik
Der Volumenstrom ist die Menge (Volumen) an Flüssigkeit, die pro Zeit durch eine
bestimmte Fläche ießt.
Volumenstrom:
V̇ =
∆V
∆t
=A
∆x
∆t
=A·υ
[V̇] =
m3
s
Aus der Massen- und Energieerhaltung folgen wichtige Beziehungen für die Dynamik einer
idealen Flüssigkeit
Massenerhaltung
Kontinuitätsgleichung → A υ = konstant
Energieerhaltung
2
Bernoulli-Gleichung → p|statisch + 21 ρυ|stau
= pges = konstant
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
32 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Flüssigkeit mit Viskosität
Viskosität η beschreibt
[η] = Pa · s = Poise
– innere Reibung von Flüssigkeiten und Gasen
– Reibung von festen Körpern in Flüssigkeiten
Reibungskraft eines Objekts, welches durch
eine Flüssigkeit gezogen wird:
FR = η · A ·
dv
dx
Strömungspro l in einem Rohr
Volumenstrom durch eine Rohr der Länge L und dem Radius R
Gesetzt von Hagen-Poiseuille
(Ruhr-Universität Bochum)
V̇ =
π(p1 −p2 )
8ηL
· R4
05. Februar 2014
33 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Quiz
Zwei gleich große Bechergläser sind bis zum Rand mit Wasser gefüllt,
wobei in dem einen Glas ein Stück Holz schwimmt. Vergleichen Sie das
Gewicht der gefüllten Gläser.
Das ohne Holz ist schwerer.
Beide sind gleich schwer.
Das mit Holz ist schwerer.
Ein Taucher taucht in 9 m Wassertiefe unter einen Felsvorsprung, so dass nur noch 3 m
Wasser über ihm sind. Wie ändert sich der Schweredruck?
Der Druck wird größer, denn über dem Taucher liegen jetzt
die 3 m Wasser und der Felsen.
Der Druck bleibt gleich.
Der Druck wird kleiner, denn über dem Taucher liegen
jetzt nur noch 3 m Wasser.
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
34 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Wärmelehre
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
35 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Temperatur
Die Temperatur ist eine makroskopische Eigenschaft eines Systems und ein Maß für
die mittlere kinetische Energie der enthaltenen Teilchen.
Ekin =
m 2
v
2
= 32 kB T
kB Boltzmannkonstante
Gemessen wird die Temperatur über reproduzierbare physikalische Effekte
(Gas–/Flüssigkeitsthermometer, Bimetalle, elektrischer Widerstand, ...)
Angabe der Temperatur:
– Celsius Skala ( °C)
– Kelvin Skala ( K)
– ...
0 °C = Gefrierpunkt und 100 °C = Siedepunkt von Wasser
absoluter Nullpunkt bei 0 K; es gilt TK = T °C + 273,15
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
36 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Zustandsgleichung für ideale Gase
Modellvorstellung ideales Gas
– Gasteilchen werden als Massepunkte behandelt
– einatomig (Bsp. Edelgase)
– Wechselwirkungen der Gasteilchen laufen über ideal elastische Stoßvorgänge
ab
Zustandsgleichung
NkB = n NA kB = n R
1 mol =
b 1 · NA = 6,022 · 1023 Teilchen
(Ruhr-Universität Bochum)
pV = NkB T = n R T
N: Teilchenanzahl
NA : Avogadrokonstante
R: allgemeine Gaskonstante
n: Anzahl der Mole
05. Februar 2014
37 / 40
Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
thermische Ausdehnung
Erwärmt man einen Körper so dehnt er sich gleichmäßig in alle Richtungen aus, dabei ist die
Größenzunahme proportional zur ursprünglichen Größe
relative Längenänderung: ∆L
L
oder L0 = L(1 + α ∆T)
= α ∆T
α: linearer Ausdehnungskoef zient
für das Volumen gilt:
relative Volumenänderung: ∆V
V
oder V0 = V(1 + β ∆T)
= β ∆T
β: Volumenausdehnungskoef zient
Einheit: [α] = [β] = K−1
Insbesondere gilt für einen isotropen Festkörper β = 3α
Flüssigkeiten und Gase besitzen aufgrund ihrer Formeigenschaften nur einen
Volumenausdehnungskoef zienten.
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Wärmekapazität / latente Wärme
Das Zu- oder Abführen einer bestimmte Wärmemenge ∆Q resultiert in einer Änderung der
Temperatur des Stoffes. (Die Einheit der Wärmemenge ist die der Energie [∆Q] = Joule)
∆Q = m cp ∆T
Einheit: [cp ] = J · kg−1 · K−1
Bei einem Phasenübergang – z.B. fest zu üssig – geht die zugeführte (abgeführte) Wärme
nicht in die Erhöhung (Erniedrigung) der Temperatur über. Die Energie dient dazu die Kräfte
zwischen den Molekülen zu überwinden.
Phasenübergänge:
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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Physik für Ingenieure (Maschinenbau)
Quiz
Die Temperaturdifferenz zweier Körper beträgt in der Celsiusskala 253 °C. In der Kelvinskala
beträgt diese Temperaturdifferenz
-20 K
20 K
273 K
253 K
526 K
(Ruhr-Universität Bochum)
05. Februar 2014
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