Informationsübertragung mittels Photonen
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Universität Hamburg Fachbereich Physik Proseminar Quantenmechanik II Quantenteleportation Rolf Würdemann Informationsübertragung mittels Photonen Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Theoretischer Hintergrund 2 3 Experimentelle Umsetzung 3 4 Zusammenfassung 6 5 Literatur 7 1 Einführung Dadurch, daß Quantenzustände weder exakt gemessen, noch dupliziert werden können, ist der direkte, aus der klassischen Physik bekannte Weg der Informationsübertragung durch Vermessung oder Kopie verschlossen. Um trotzdem Informationen innerhalb von Quantensystemen übertragen zu können, bedient man sich eines Mechanismus, bei dem die Übertragung in einen - quantenmechanischen - Teil der Zustandsübertragung und einen - klassischen - Teil der Ermittlung und Übertragung des Basis-Systems der qm-Übertragung aufgeteilt wird. Da das initiale Teilchen hierbei zerstört wird, wird dieser Vorgang Quantenteleportation genannt, auch wenn dieser Begriff durch den Gebrauch in der Science Fiction eher unglücklich ist. Abbildung 1: grundsätzlicher Aufbau der Quantenteleportation Seite 1 Universität Hamburg Fachbereich Physik Proseminar Quantenmechanik II 2 Quantenteleportation Rolf Würdemann Theoretischer Hintergrund 1935 prägte Erwin Schrödinger den Begriff Verschränkung“ für ein quanten” mechanisches System von zwei Teilchen, wo nach1 der Vermessung des ersten Teilchen der Zustand des zweiten Teilchens bestimmt ist. Dies kann wie ein auf ” Pasch“ gezinktes Paar Würfel gesehen werden, wo nach dem Wurf klar ist, daß der zweite Würfel die gleiche Anzahl Augen wie der erste Würfel hat, aber das Ergebnis vor dem Wurf nicht bekannt ist. Dieses grundlegende Verhalten wurde ausreichend getestet2 . Logischerweise beschränkt sich dieses Verhalten nicht nur auf Analoga zu gleichen Augenzahlen. Verschränkte Systeme können über die Bell-Zustände ausgedrückt werden, welche zueinander orthogonal sind, und eine Basis für verschränkte Systeme darstellen3 : ± |ψ23 i = |φ± 23 i = 1 √ (| ↑i2 | ↓i3 ± | ↓i2 | ↑i3 ) 2 1 √ (| ↑i2 | ↑i3 ± | ↓i2 | ↓i3 ) 2 Im Bezug auf eine orthonormale Basis können wir den Zustand unseres initialen Teilchens darstellen als: |Φ1 i = α| ↑i + β| ↓i Nun nehmen wir den Singulett-Zustand, und vermischen unser initiales Teilchen mit diesem: β α |ψ123 i = √ (| ↑i1 | ↑i2 | ↓i3 − | ↑i1 | ↓i2 | ↑i3 ) + √ (| ↓i1 | ↑i2 | ↓i3 − | ↓i1 | ↓i2 | ↑i3 ) 2 2 ± Dies kann auch in Produktformen der Bell-Zustände in der Basis |ψ12 i ± und |φ12 i umgeschrieben werden, was einer Projektion(=Messung) in die BellZustände darstellt: |ψ123 i = 1 − + [|ψ i(−α| ↑i3 − β| ↓i3 ) + |ψ12 i(−α| ↑i3 + β| ↓i3 )] 2 12 + +|φ− 12 i(α| ↓i3 + β| ↑i3 ) + |φ12 i(α| ↓i3 − β| ↑i3 ) Durch diese Projektion wird der Zustand unseres initialen Teilchens auf unser drittes Teilchen übertragen. Um jetzt unser initiales Teilchen zurückzugewinnen müssen wir lediglich unser drittes Teilchen entsprechend des verwendeten und gemessenen Bell-Zustandes zurücktransformieren. Dazu müssen wird den verwendeten Zustand ausmessen, und auf klassischem Weg übertragen. Durch die gemeinsame Projektion auf die Bell’sche Basis werden unsere Teilchen 1 und 2 ununterscheidbar, Teilchen 1 wird also zerstört“. ” 1 Vor der Vermessung ist der Systemzustand unbestimmt. von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen, weshalb Quellen für verschränkte Quanten auch EPR-Quellen genannt werden 3 Hierbei stellt |ψ − i einen Singulett-Zustand dar. 23 2 u.a. Seite 2 Universität Hamburg Fachbereich Physik Proseminar Quantenmechanik II 3 Quantenteleportation Rolf Würdemann Experimentelle Umsetzung Im folgenden möchte ich eine experimentelle Umsetzung der Quantenteleportation erläutern, welche die Gruppe von Anton Zeilinger 1997 an der Universität Innsbruck durchgeführt hat: Abbildung 2: Experiment Anton Zeilinger, Universität Innsbruck 1997 Im weiter folgenden Text sind analog der Zeichnung die Photonen mit A, B und D beschrieben, dabei entsprechen Photon A und B Photon 2 und 3, Photon D entspricht Photon 1. Der Dreh- und Angelpunkt dieses Experiementes ist der 50:50 Strahlteiler: d a c b Abbildung 3: Strahlteiler - Schemazeichnung dieser kann durch folgende Gleichungen beschrieben werden: Seite 3 Universität Hamburg Fachbereich Physik Proseminar Quantenmechanik II Quantenteleportation Rolf Würdemann c = ta + irb d = ira + tb wobei r und t die Reflexions- und Transmissionkoeffizienten (r 2 +t2 = 1) sind. Werden diese Gleichungen nun in die Bell-Zustände (mit 2=a, 3=b) eingesetzt, (| ↑i für horizontale und | ↓i für vertikale Polarisation) so ergibt sich: |ψ + i = |ψ − i = |φ+ i = |φ+ i = −i √ (| ↑ic | ↓ic + | ↑id | ↓id ) 2 1 √ (| ↑ic | ↓id − | ↓ic | ↑id ) 2 −i √ (| ↑i2c + | ↓i2c + | ↑i2d + | ↓i2d ) 2 −i √ (| ↑i2c − | ↓i2c + | ↑i2d − | ↓i2d ) 2 was uns zeigt, daß |ψ − i ein Eigenzustand des Strahlteilers ist. Ebenso ist |ψ i der einzige Zustand, in welchem an beiden Ausgängen des Strahlteilers jeweils genau ein Photon festgestellt wird4 . Somit beide Detektoren an, wenn sich unser System im Zustand |ψ − i befand, und somit durch die Projektion auf diesen Zustand die Quantenteleportation durchgeführt wurde: − |ψABD i = 1 − + [|ψ i(−α| ↑iB − β| ↓iB ) + |ψAD i(−α| ↑iB + β| ↓iB ) 2 AD + +|φ− AD i(α| ↓iB + β| ↑iB ) + |φAD i(α| ↓iB − β| ↑iB ) Da die Bell-Zustände orthogonal sind, ist hier nur der |ψ − i Zustand aus der Theorie relevant5 , woraus sich als Transfermatrix: α −|Bi = β ergibt, eine besondere Rücktransformation entfällt somit. Zusammenfassend bleibt zum Strahlteiler festzuhalten: • Der Strahlteiler dient der Projektion in den |ψ − i Zustand (Eigenwert) und zeigt diesen an (jeweils genau ein Photon am Ausgang). • Durch die Verwendung des |ψ − i Zustandes entfällt eine aufwendige Rücktransformation. Durchläuft ein Laserimpuls einen anisotropen Kristall, so konvertieren gelegentlich einzelne Photonen zu zwei Photonen geringerer Energie, die in horizontale und vertikale Polarisation aufgespalten sind. Hierbei gibt es aber auch Zustände, in denen die Polarisation der einzelnen Photonen unbestimmt ist, die 4 Der Zustand |ψ + i kann von den beiden anderen dadurch unterschieden werden, daß die Photonen in jedem Term orthogonale Polarisationen haben. − 1 5 |ψ ABD i = 2 |ψAD i(−α| ↑iB − β| ↓iB ) Seite 4 Universität Hamburg Fachbereich Physik Proseminar Quantenmechanik II Quantenteleportation Rolf Würdemann Photonen aber verschränkt sind. Diese Photonen befinden sich auf der Zeichnung auf den Schnittlinien der Ausbreitungskegel. Abbildung 4: Erzeugung von verschränkten Quanten an einem anisotropen Kristall Von diesem verschränktem Paar verbleibt Photon A beim Sender, Photon B wird an den Empfänger ausgeliefert“. Anschließend wird der Laserimpuls ” von einem Spiegel reflektiert, so das er nochmal den Kristall durchläuft, und ein weiteres Photonenpaar erzeugt. Hiervon dient Photon C der Erkennung, daß ein Photonenpaar erzeugt wurde und unterwegs ist, Photon D ist unser zu teleportierendes Photon. Um festzustellen, ob die Teleportation erfolgreich war, wird dieses Photon vor der Teleportation mittels eines Polarisators in einen defnierten Zustand X bezüglich seiner Polarisation versetzt. Da unsere Photonen A und D hier noch unterscheidbar wären, wird ein 4nm Interferenzfilter eingesetzt, um über die Energie-Zeitunschärfe die Photonen zu verschmieren“, und somit ununterscheidbar zu machen (es wird eine Unun” terscheidbarkeit von 85% erreicht). Diese beiden - nun ununterscheidbaren Photonen läßt man nun über den Strahlteiler interferieren, und projeziert sie so möglich - auf den Zustand |ψ − i. War die Projektion und somit die Teleportation erfolgreich, so befindet sich das Photon B anschliessend in dem, dem Photon D aufgeprägtem, Zustand X. Nun muß der Sender den Empfänger nur noch informieren, daß eine Konstellation vorlag, in der sich Photon A und D im Zustand |ψ − i befanden, und somit eine Teleportation stattgefunden hat. In diesem Sinne müssen also auf klassischem Wege zwei Bits“ übertragen werden: a) Photon auf dem Weg, b) Teleportation. ” Durch die Verwendung eines polarizing beam splitters“, also einer opti” schen Einheit, die das Photon entsprechend seiner Polarisation ablenkt kann der Empfänger nun feststellen, in welchem Zustand sich sein Photon befindet. Bei einer gelungenen Teleportation sollte sich das Photon B in der durch den Polarisator definierten Polarisation befinden. Hier wurde eine Übereinstimmung von ca. 80% festgestellt, was zwar noch nicht das Optimum ist, aber über den statistischen 50% liegt. In dem Versuch war es ferner möglichen, horizontal, vertikal, linear und sogar zikular polarisierte Photonen zu übertragen, ebenso konnten - bei Verzicht auf den Polarisator - die Verschränkung von C und D in eine Verschränkung von B und C überführt werden. Die Vorteile dieses Systems: Seite 5 Universität Hamburg Fachbereich Physik Proseminar Quantenmechanik II Quantenteleportation Rolf Würdemann • Übertragung von kontinuierlichen Variablen: α, β werden bei diesem System übertragen. • Vererbung von Verschränkung: Photon B und C sind nach der Teleportation6 miteinander verschränkt. Da dieses System aber nur |ψ − i Zustände zur Übertragung verwenden kann, somit also nur 25% der erzeugten Photonen genutzt werden, wurde von Sandu Popescu 1994 ein System vorgeschlagen, welches - über zwei verschränkte Photonenpaare - in der Lage ist, sämtliche Bell-Zustände zur Übertragung zu nutzen. Leider mit dem Nachteil, nur reine Zustände übertragen zu können. Abbildung 5: Schematischer Aufbau des Vorschlags von S. Popescu 1994 Hierbei wird der zu übertragende Zustand im Präparator auf die beiden Photonen übertragen, anschliessend über ein System von 900 Plättchen und PBS die Bell’sche Basis ermittelt, und an den Empfänger übertragen, welcher seine Photonen über einen PBS vermischt, und das Ergebnis über optische Elemente in die entsprechende Basis dreht. 4 Zusammenfassung • Problem: In quantenmechanischen Systemen ist eine direkte Messung oder Klonen (Kopieren) von Zuständen nicht möglich. • Quantenteleportation: Teilt die Übertragung von Informationen in quantenmechanischen Systemen in einen klassischen und einen quantenmechanischen Teil auf. • quantenmechanischer Teil: über Nutzung der Verschränkung - einer grundlegenden Eigenschaft der Quantenmechanik - wird die zu übertragende In6 ohne vorherige Polarisation Seite 6 Universität Hamburg Fachbereich Physik Proseminar Quantenmechanik II Quantenteleportation Rolf Würdemann formation vom Quellen-Quant auf das Ziel-Quant übertragen. Die Quelle wird dabei zerstört. (Analog zum Non-Cloning Theorem) • klassischer Teil: Um die Information nutzbar zu machen, muß die Messung der Basis des Zustandes vorgenommen und übertragen werden. Dies geht nur auf klassischem Wege. - Die Information wird also maximal mit c (eher kleiner) übertragen. • physikalische Gesetze: durch die Zerstörung des Teilchens, der Ausbreitung der Information über den Bell-Zustand mit v ≤ c bleiben grundsätzliche physikalische Gesetze gewahrt. Da hier auch keine direkte Abtastung von z.B. Ort und Impuls zur gleichen Zeit vorgenommen wird, wird die Unschärferelation natürlich auch nicht verletzt. 5 Literatur • Haken - Wolf, Atom- und Quantenphysik, ISBN 3-540-67453-5 • Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe 6/2000, S. 30ff • Physical review letters, Volume 70, Number 13, Page 1895ff • Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/1, Quantenmechanik - Grundlagen, ISBN 3-540-42114-9 • Dieter Heiss, Fundamentals of quantum information, ISBN 3-540-43367-8 Seite 7
