¨Okonometrische Modelle Stichwörter: Dynamische Modelle

Ökonometrische Modelle
Stichwörter:
Dynamische Modelle
Lagstrukturen
Koyck’sche Lagstruktur
Zeitreihenmodelle
Mehrgleichungsmodelle Strukturform
reduzierte Form
o1-13.tex/0
Lüdeke-Modell für die BRD
Ct = α1 + α2Yt + α3Ct−1 + u1t
Konsumfunktion
It = β1 + β2Yt + β3Pt−1 + u2t
Investitionsfunktion
Mt = γ1 + γ2Yt + γ3Mt−1 + u3t
Importfunktion
Yt = Ct + It − Mt + Gt
mit C: privater Konsum, Y : nationales Einkommen, I: Investitionen, P : Gewinne, M : Importe, G: Staatsausgaben
endogen: Ct, Yt, It, Mt
exogen: Gt, Pt−1
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Ökonometrische Modelle
Auf der Basis des multiplen linearen Regressionsmodell
Modell-Erweiterungen:
• dynamische Modelle
• Systeme von Regressionsmodellen
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Modell-Erweiterung:
Dynamische Modelle
Beispiel: Nachfrage-Modell
Q: nachgefragte Menge
P : Preis
Y : Einkommen
(a) Preis und Einkommen bestimmen die Nachfrage
Qt = β1 + β2Pt + β3Yt + ut
(statisches Modell)
(b) Preis und Einkommen der Vorperiode bestimmen die
Nachfrage
Qt = β1 + β2Pt + β3Yt−1 + ut
(dynamisches Modell, Annahmen des klassischen Modells nicht verletzt!)
(c) Preis und Nachfrage der Vorperiode bestimmen die Nachfrage
Qt = β1 + β2Pt + β3Qt−1 + ut
(dynamisches Modell)
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Beispiel: Nachfrage nach Energie
Nachfrage:
Qt = α + βPt + γKt + ut
Energie-relevanter capital stock :
Kt = θ0 + θ1Pt−1 + θ2Pt−2 + . . . + δYt + vt
Pt: Preis für Energie
Yt: Einkommen
Einsetzen gibt
Qt = α0 + α1Yt + β0Pt + β1Pt−1 + β2Pt−2 + . . . + εt
mit εt = ut + γvt,
α0 = α + γθ0,
α1 = γδ,
β0 = β,
βi = γθi für i = 1, 2, . . ..
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Lagstrukturen
Beschreiben die verzögerte Wirkung einer (mehrerer) Variablen X auf Y .
Modellierung mittels verzögerter Variabler, wenn die Response
• verzögert (lagged ) eintritt
• verteilt (distributed ) eintritt
Beispiel: Nachfragegleichung in monatlichen Daten: Einkommen der Periode t wirkt verteilt
DL-Modelle (von distributed lag)
• DL(s)-Modell (nur 1 erklärende Variable)
Yt = δ + β0Xt + β1Xt−1 + . . . + βsXt−s + ut
• DL(s1, . . . , sk )-Modell: k erklärende Variable mit maximalen Lags si (i = 1, . . . , k)
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ADL-Modelle
Modell für Yt mit autoregressivem Term:
Yt = δ + β0Xt + α1Yt−1 + ut
wird mit ADL(1,0) bezeichnet (autoregressive, distributed
lag)
Lag-Operator L:
LXt ≡ Xt−1 ,
Lr Xt = Lr−1Xt−1 = Xt−r
Damit wird das ADL(p,s) Modell
Yt = δ + β0Xt + . . . + βsXt−s + α1Yt−1 + . . . + αpYt−p + ut
geschrieben als
A(L)Yt = δ + B(L)Xt + ut
mit
A(L) = 1 − α1L − . . . − αpLp
B(L) = β0 + β1L + . . . + βsLs
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Schätzung des DL-Modells
keine Restriktionen
Yt = δ + B(L)Xt + ut
mit ut ∼ IID(0, σ 2), X fix
Probleme:
• Verlust von Beobachtungen
• Multikollinearität, wenn
– systematische Muster wie
– Trend, Zyklen, etc.
Folgen:
• große Werte von Var{bi}
• geringe Mächtigkeit der Tests der βi
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Wahl des maximalen Lag s
Yt = δ + B(L)Xt + ut
mit ut ∼ IID(0, σ 2), X fix
Es gelte s ≤ S
1. KQ-Anpassung für s = 0, 1, . . . , S
2. Wähle als ŝ jenen Wert s, für den
• das adjustierte Bestimmtheitsmaß R̄2(s) maximal
ist; oder
• das Informationskriterium AIC(s) nach Akaike
minimal ist
e0ses 2s
AIC(s) = ln
+
n
n
• das Amemiya’s Prognose-Kriterium PC(s) minimal ist


e0ses 
ks 
PC(s) =
1+
n − ks
n
es: Residuen des Modells mit maximalem Lag s
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Polynomiale Lagstruktur
B(L) = β0 + β1L + . . . + βsLs
S. Almon (“The Distributed Lag between Capital Appropriations and Net Expenditures”, Econometrica, 1965):
βi = γ0 + γ1i + . . . + γr ir
für r ≤ s, oder
β = Tγ
polynomiale Lagstruktur
Damit ergibt sich
y = Xβ + u = W γ + u
wobei W = XT mit T aus β = T γ.
OLS-Schätzer c für γ:
c = [W 0W ]−1W 0y
Var{c} = σ 2[W 0W ]−1
und b = T c mit Var{b} = σ 2T [W 0W ]−1T 0.
Test auf Gültigkeit der Restriktionen für die βi:
F =
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SR − S n − k
S
s−r
Beispiel: s = 4, r = 2
Aus
βi = γ0 + γ1i + γ2i2
für i = 1, . . . , 4 erhält man
β0
β1
β2
β3
β4
=
=
=
=
=
γ0
γ0 + γ1 + γ2
γ0 + 2γ1 + 4γ2
γ0 + 3γ1 + 9γ2
γ0 + 4γ1 + 16γ2
bzw.
Yt = γ0(Xt + . . . + Xt−4)
+γ1(Xt−1 + 2Xt−2 + 3Xt−3 + 4Xt−4)
+γ2(Xt−1 + 4Xt−2 + 9Xt−3 + 16Xt−4) + ut
oder
y = Wγ + u
wobei W = XT mit T aus β = T γ.
In praktischen Anwendungen sind s und r oft wesentlich
größer.
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Typen von Lagstrukturen
(A) Endliche Lagstrukturen
– Arithmetisches Lag (I. Fisher, 1937)
– Inverses V Lag
(B) Unendliche Lagstrukturen
– Koyck (geometrisches) Lag (L.M. Koyck: Distributed Lags and Investment Analysis, 1954)
βi = β(1 − λ)λi ,
0<λ<1
– Pascal’sches (verallgemeinert geometrisches) Lag


r + i − 1 i

λ ,
βi = β(1 − λ)r 
0<λ<1
i
für r = 1: Koyck Lag
– Jorgenson’s rationale Lagstruktur
A(L)
Yt =
Xt + ut
B(L)
– Gamma Lag (0 ≤ λ, α ≤ 1)
βi = βis−1e−i
βi = β(i + 1)s−1e−λi
α
βi = β(i + 1) 1−α λi
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Koyck’sche Lagstruktur
Mit der Lagstruktur
βi = β(1 − λ)λi ,
i = 0, 1, . . .
(0 < λ < 1) ergibt sich das Modell zu
Yt = β(1 − λ)
X
λiXt−i + ut
(distributed lag oder moving average Form)
Durchschnittliche Lag-Zeit:
λ
1−λ
short run Effekt: β(1 − λ)
long run Effekt: β
λ λ/(1 − λ)
0.1
0.1
0.3
0.43
0.5
1.00
0.7
2.33
0.9
9.00
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(1)
Koyck’sche Lagstruktur, Forts.
Mit
P
i i
i λ L Xt
= (1 − λL)−1Xt erhält man
Yt =
β(1 − λ)
Xt + ut
1 − λL
oder
(1 − λL)Yt = β(1 − λ)Xt + (1 − λL)ut
Yt = λYt−1 + β(1 − λ)Xt + vt
(2)
mit vt = ut − λut−1
(2) nennt man die autoregressive (AR) Form
• Probleme mit (1):
1. X0, X−1, X−2, . . . sind unbekannt
Yt = β(1−λ)(Xt +λXt−1 +. . .+λt−1X1)+β ∗λt +ut
mit β ∗ = β(1 − λ)(X0 + λX−1 + . . .)
2. nichtlineares Schätzproblem
• Probleme mit (2):
1. nichtlineares Schätzproblem
2. stochastischer Regressor
3. korrelierte Störgrößen
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Zeitreihen-Modelle
Das autoregressive Modell AR(1)
Yt = δ + ϕYt−1 + ut,
ut ∼ IID(0, σ 2)
ist ein Spezialfall des ADL(1,0)-Modells
Für die Momente gilt
• Erwartungswert
E{Yt} =
δ
1−ϕ
• Kovarianz-Funktion
ϕk 2
γk = Cov{Yt, Yt−k } =
σ
1−ϕ
für k = 0, ±1, . . . (wenn |ϕ| < 1!)
• Autokorrelations-Funktion
ρ k = ϕk
für k = 0, ±1, . . .
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Allgemeinere Zeitreihen-Modelle
Verallgemeinerung zum AR(p)-Modell
Yt = ϕ1Yt−1 + . . . + ϕpYt−p + ut,
ut ∼ IID(0, σ 2)
Noch kompliziertere Abhängigkeitsstrukturen können mit Hilfe von ARMA(p, q) beschrieben werden; dabei wird ut ersetzt durch ein MA(q)-Modell ersetzt:
ut = εt − θ1εt−1 − . . . − θq εt−q ,
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εt ∼ IID(0, σ 2)
Modell-Erweiterung:
Mehrgleichungsmodelle
Beispiel: Marktmodell
Das Marktmodell besteht aus folgenden Gleichungen:
(n)
Qt = α1 + α2Pt + α3Yt + u1t
(a)
Qt = β1 + β2Pt + β3Zt + u2t
Q(n) = Q(a)
Q: nachgefragte bzw. angebotene Menge (endogen)
P : Preis (endogen)
Z: weitere Variable, z.B.: Preis eines Ersatzgutes (exogen)
Erklärende Variable sind zufällig!
Exogene Variable:
• vorherbestimmt (predetermined ): keine serielle Korrelation mit aktueller und künftigen Störgrößen u2,t+i,
i≥0
• strikt exogen: keine serielle Korrelation mit Störgrößen
u2,t+i, i beliebig
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Mehrgleichungsmodell: Störgrößen
ui: n-Vektor der Störgrößen der i-ten Gleichung (i = 1, 2)
E{ui} = 0
Var{ui} = σiiIn
contemporaneous correlation:



Cov{uis, ujt} = 

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σij wenn s = t
0
wenn s 6= t
Struktur- und Reduzierte Form
Marktmodell
Qt = α1 + α2Pt + α3Yt + u1t
Qt = β1 + β2Pt + β3Zt + u2t
Reduzierte Form:
Qt = π11 + π12Yt + π13Zt + v1t
Pt = π21 + π22Yt + π23Zt + v2t
mit
α1β2 − α2β1
β 2 − α2
... = ...
β2u1t − α2u2t
v1t =
β 2 − α2
u1t − u2t
v2t =
β2 − α2
π11 =
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