TEP Magnetische Induktion mit digitalem

Magnetische Induktion
mit digitalem Funktionsgenerator
TEP
Verwandte Begriffe
Maxwell-Gleichungen, elektrisches Wirbelfeld, Magnetfeld von Spulen, magnetischer Fluss, induzierte
Spannung.
Prinzip
In einer langen Spule wird ein Magnetfeld mit variabler Frequenz und variierender Stärke erzeugt. Die
Spannungen, die in dünnen Spulen induziert werden, welche in eine lange Spule geschoben werden,
werden in Abhängigkeit der Frequenz, der Anzahl der Windungen, des Durchmessers und der Feldstärke bestimmt.
Material
1 Feldspule 750 mm, 485 Windungen/m
1 Induktionsspule, 300 Windungen, = 40 mm
1 Induktionsspule, 300 Windungen, = 32 mm
1 Induktionsspule, 300 Windungen, = 25 mm
1 Induktionsspule, 200 Windungen, = 40 mm
1 Induktionsspule, 100 Windungen, = 40 mm
1 Induktionsspule, 150 Windungen, = 25 mm
1 Induktionsspule, 75 Windungen, = 25 mm
1 Digitaler Funktionsgenerator
2 Vielfachmessinstrument mit Überlastschutz, B
3 Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, rot
2 Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, blau
11001-00
11006-01
11006-02
11006-03
11006-04
11006-05
11006-06
11006-07
13654-99
07026-00
07362-01
07362-04
Abb. 1: Experimenteller Versuchsaufbau mit einer in die Feldspule eingeschobenen Induktionsspule.
www.phywe.com
P2440201
PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved
1
TEP
Magnetische Induktion
mit digitalem Funktionsgenerator
Aufgabe
Messung der induzierten Spannung als Funktion
1. der Stromstärke durch die Feldspule bei konstanter Frequenz,
2. der Frequenz des Magnetfeldes bei konstanter Stromstärke,
3. der Windungszahl der Induktionsspule bei konstanter Frequenz und Stromstärke und
4. des Querschnitts der Induktionsspule bei konstanter Frequenz und Stromstärke.
Aufbau
Der Versuchsaufbau erfolgt gemäß Abb. 1. Ein Vielfachmessinstrument ist in Reihe zu der Feldspule und
dem digitalen Funktionsgenerator geschaltet, um den Strom durch die Feldspule zu messen. Das zweite
Vielfachmessinstrument ist mit der Induktionsspule verbunden, um die induzierte Spannung zu messen.
Durchführung
Beide Vielfachmessinstrumente müssen auf die Messart „~“ („Messung von Stromstärken und Spannungen bei Wechselstrom“) gestellt sein. Für die Messungen müssen die entsprechenden Messbereiche bis
300 mA bzw. bis 3 V gewählt sein. Darauf achten, dass beim Ablesen der Messwerte die richtige Skala
verwendet wird. Für eine ausführliche Beschreibung der Bedienung des digitalen Funktionsgenerators
bitte die Betriebsanleitung beachten.
Aufgabe 1:
Den gewünschten Strom durch die Feldspule durch geeignete Wahl der Amplitude des Sinussignals am
digitalen Funktionsgenerator einstellen. Beginnend bei 0,5 V in Schritten von 0,5 V bis auf 10 V erhöhen.
Aufgabe 2:
Eine Stromstärke durch die Feldspule zwischen 20 mA und 40 mA wählen. Der Einfluss der Frequenz
soll im Bereich zwischen 1 kHz und 12 kHz untersucht werden, da das Verhalten der Spule für Frequenzen unterhalb von 0,5 kHz praktisch einem Kurzschluss entspricht und für Frequenzen oberhalb von
12 kHz ungenau werden kann. Die Frequenz in 0,5-kHz-Schritten erhöhen. Um eine konstante Stromstärke in der Feldspule für die verschiedenen Frequenzen zu gewährleisten, muss die Amplitude des
Sinussignals sehr sorgfältig für jede Frequenz angepasst werden.
Aufgaben 3 und 4:
Die gewählte Frequenz und die Signal-Amplitude sind über die gesamte Messreihe beizubehalten.
Induzierte Spannung, Windungszahl und Durchmesser für jede Induktionsspule notieren.
Theorie
Zum Verständnis der Versuchsgrundlagen sind zwei Fälle zu betrachten. Zunächst wird die zeitliche
Variation des magnetischen Flusses durch eine Fläche behandelt, welche eine Spannung in einem
Leiter induziert. Diese Spannung soll im Versuch bestimmt werden. Anschließend wird die zeitliche
Änderung der Stromstärke in einem Leiter betrachtet, welche ein Magnetfeld induziert, wobei die Stromstärke als zweite Messgröße verwendet wird.
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses führt zum Faradayschen Induktionsgesetz. Den magnetischen Fluss durch eine Fläche erhält man über die Integration der magnetischen Flussdichte
über diese Fläche (1).
(1)
Nach dem Induktionsgesetz wird aufgrund der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses
die
Spannung
induziert (2). Betrachtet man den Fluss durch die von einer Leiterschleife geschlossene
2
PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved
P2440201
Magnetische Induktion
mit digitalem Funktionsgenerator
Fläche , folgt für die induzierte Spannung das Integral des elektrischen Feldes
entlang dem Rand der Fläche :
TEP
in der Leiterschleife
(2)
Diese Beziehung für eine einzelne Leiterschleife entspricht der zweiten Maxwell-Gleichung.
Für parallele Leiterschleifen gilt Gleichung (3), falls für alle Schleifen gleich ist:
(3)
Hiermit ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der induzierten Spannung und der Windungszahl.
Weiter muss die rechte Seite von Gleichung (3) bestimmt werden. Hierzu betrachtet man eine lange
Spule, in welcher die magnetische Flussdichte als konstant angenommen werden kann, sodass
Gleichung (1) wie folgt vereinfacht werden kann:
(4)
Anwendung der ersten Maxwell-Gleichung liefert einen Ausdruck für , welcher nur von Messgrößen
und Naturkonstanten abhängt.
Die erste Maxwell-Gleichung (5) besagt, dass ein stromdurchflossener Leiter ein magnetisches Feld
erzeugt, dessen geschlossene Feldlinien kreisförmig um den Stromfluss verlaufen:
(5)
Hier ist die magnetische Permeabilität (eine Materialkonstante) und ist die Leiterschleife, welche von
der magnetischen Flussdichte der Feldspule durchdrungen wird und die Fläche
umschließt. In der
Feldspule fließt ein Strom , welcher sich aus der Integration der Leiterschleifenfläche
über die
Stromdichte ergibt, d. h.
.
Für eine lange Spule mit
Windungen kann der Betrag von
über die folgende Gleichung genähert werden:
(6)
Dabei ist die Länge der Spule, welche wesentlich größer als ihr Durchmesser sein muss. In Luft kann
mit der magnetischen Feldkonstanten genähert werden:
.
(7)
Fließt durch die Feldspule ein Wechselstrom
mit der Frequenz
, so ergibt
sich aus Gleichung (6) für die magnetische Flussdichte in der Feldspule eine Funktion der Zeit, welche in
Phase zur Stromstärke oszilliert:
(8)
Die induzierte Spannung berechnet sich, indem man Gleichung (6) auf die Gleichungen (3) und (4) anwendet. Ausführen der zeitlichen Ableitung ergibt den folgenden Zusammenhang für die induzierte Spannung:
,
(9)
mit
für die Windungszahl der Induktionsspule und
für ihre Querschnittsfläche. Die induzierte
Spannung alterniert mit derselben Frequenz wie die Stromstärke, ist jedoch phasenverschoben um
.
www.phywe.com
P2440201
PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved
3
TEP
Magnetische Induktion
mit digitalem Funktionsgenerator
Auswertung und Ergebnisse
In der folgenden Auswertung werden die erhaltenen Messwerte anhand von Beispielwerten beschrieben.
Die tatsächlichen Messwerte können von den hier beschriebenen abweichen.
Aufgabe 1: Messung der induzierten Spannung als Funktion der Stromstärke durch die Feldspule bei
einer Frequenz von 10,7 kHz und Berechnung der magnetischen Feldkonstanten .
Um das Magnetfeld zu verändern, muss der Strom durch die Feldspule variiert werden. Sind Strom und
Spannung bekannt, so kann man aus Gleichung (6) die magnetische Permeabilität ermitteln. Da in
diesem Versuch jedoch die magnetische Flussdichte nicht gemessen wird, muss die Permeabilität auf
einem anderen Weg bestimmt werden. Dazu wird Gleichung (9) herangezogen. Wie sich leicht zeigen
lässt (siehe Gleichung (10)), ergibt sich aus der Steigung in der linearen Abhängigkeit der induzierten
Spannung von der Stromstärke die magnetische Feldkonstante.
(10)
Werden Strom und Spannung immer in Intervallen von einer Periode
zeitliche Abhängigkeit vernachlässigt werden. Einsetzen in Gleichung (10) ergibt
,
gemessen, kann die
(11)
da die Cosinus-Funktion einen Wert von 1 liefert. Mit Gleichung (11) ergeben sich alle weiteren Beiträge
zur Steigung
aus den spezifischen Eigenschaften der verwendeten Spule und die magnetische
Feldkonstante
kann so berechnet werden.
Anpassen einer linearen Funktion an die Messdaten (siehe Abb. 2) führt zu Gleichung (12) mit dem
Korrelationskoeffizienten
.
(12)
Abb. 2: Der Graph zeigt die in der Induktionsspule 11006-01 induzierte Spannung für
verschiedene Stromstärken in der Feldspule. Diese Abhängigkeit ist linear und
folgt der Beziehung (12).
4
PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved
P2440201
Magnetische Induktion
mit digitalem Funktionsgenerator
TEP
Weiter ist in Abb. 2 zu sehen, dass die gemessenen Werte für sehr kleine Felder von den erwarteten
Werten abweichen und die induzierte Spannung Richtung Null abfällt. Für alle Stromstärken oberhalb
von 3 mA ist die Abhängigkeit jedoch linear und die experimentellen Ergebnisse sind in guter
Übereinstimmung mit Gleichung (12).
Für die Steigung
ergibt sich aus (11) und (12):
.
Aus den Messdaten lässt sich die magnetische Feldkonstante berechnen zu
derselben Größenordnung ist wie der Literaturwert
, was in
.
Aufgabe 2: Messung der induzierten Spannung als Funktion der Frequenz des Magnetfeldes bei
konstanter Stromstärke.
Wie in Gleichung (11) zu sehen ist, hängt die induzierte Spannung lineare sowohl von der Frequenz des
Magnetfeldes als auch von dem Stromfluss durch die Feldspule ab.
Die Messungen wurden bei einer Stromstärke von 30 mA durchgeführt, was einer Feldstärke von ca.
18,3  in der Feldspule entspricht.
Anpassen einer Geraden an die Messdaten (siehe Abb. 3) ergibt Gleichung (13) mit dem Korrelationskoeffizienten
und einer Steigung
.
(13)
Berechnet man die Geradensteigung aus den bekannten Werten für die Feldspule, die verwendete
Induktionsspule und die Stromstärke, so ergibt sich ein theoretischer Wert für die Steigung mit
,
welcher innerhalb der Fehlertoleranzen liegt.
Abb. 3: Der Graph zeigt die induzierte Spannung für verschiedene Frequenzen bei einer
Feldstärke von 18 µT in der Feldspule (blau). Diese Abhängigkeit folgt der
Beziehung (13). Die rote Linie zeigt die erwarteten theoretischen Werte.
www.phywe.com
P2440201
PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved
5
TEP
Magnetische Induktion
mit digitalem Funktionsgenerator
Aufgabe 3: Messung der induzierten Spannung als Funktion der Windungszahl der Induktionsspule bei
konstanter Frequenz und Stromstärke.
Die Messungen wurden bei 10.7 kHz und 30 mA durchgeführt. Alle Induktionsspulen mit Durchmessern
von 26 mm und 41 mm wurden untersucht.
Anpassen einer Geraden an die Messdaten der Spulen mit Durchmessern von
in Abb. 4
liefert Gleichung (14),
,
(14)
mit dem Korrelationskoeffizienten
.
Abb. 5 zeigt, dass sich für größere Durchmesser auch wesentlich größere Induktionsspannungen ergeben.
Anpassen einer Geraden an die Messdaten der Spulen mit Durchmessern von
ergibt
Gleichung (15)
(15)
mit einem etwas besseren Korrelationskoeffizienten
Abb. 4: Induzierte Spannung in verschiedenen Spulen
mit einem Durchmesser von 26 mm gemäß
Beziehung (14).
6
.
Abb. 5: Induzierte Spannung in verschiedenen Spulen
mit einem Durchmesser von 41 mm gemäß
Beziehung (15).
PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved
P2440201
Magnetische Induktion
mit digitalem Funktionsgenerator
TEP
Aufgabe 4: Messung der induzierten Spannung
als Funktion des Querschnitts der Induktionsspule bei konstanter Frequenz und Stromstärke.
Die Querschnittsfläche ist runde Fläche, die von
der Spule umschlossen wird. Mit Gleichung (16)
berechnet sich die Querschnittsfläche aus dem
jeweiligen Spulendurchmesser:
.
(16)
Die Messungen wurden bei 10,7 kHz und 30 mA
durchgeführt. Alle Induktionsspulen mit 300
Windungen wurden untersucht. Abb. 6 zeigt die
erhaltenen Messwerte, an die die Gerade aus
Gleichung (17) angepasst wurde.
(17)
Der Korrelationskoeffizient ist mit
sehr hoch.
Abb. 6: Induzierte Spannung für verschiedene Spulen
mit 300 Windungen. Die Abhängigkeit vom
Spulen-Querschnitt folgt der Beziehung (17).
www.phywe.com
P2440201
PHYWE Systeme GmbH & Co. KG © All rights reserved
7