Lösung zu Blatt 7

Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I
Übungsblatt 7 WS 2012/13
Ausgabe: Mo 3. Dezember, Besprechung: Fr 7. Dezember
1. Geben Sie die zeitabhängige und die zeitunabhängige Schrödingergleib an.
chung für ein System mit Hamiltonoperator H
∂
b zeitunabhängige SG: Hψ
b = Eψ
zeitabhängige SG: i~ ∂t ψ = Hψ,
2. Geben Sie konkrete Ausdrücke für den Impulsoperator pb, den Operator
b des eindimender kinetischen Energie Tb und den Hamiltonoperator H
sionalen harmonischen Oszillators an.
pb2
~2 d2
d
b = Tb + V (x) = − ~2 d22 + 1 mω 2 x2
, Tb = 2m
= − 2m
, H
pb = −i~ dx
dx2
2m dx
2
b und die Standardabweichung ∆A
3. Wie sind der Erwartungswert hAi
b bezüglich einer normierten Wellenfunktion ψ gegeben?
eines Operators A
R ∗
b = hψ|A|ψi
b
b
Erwartungswert: hAi
=
ψ (x)Aψ(x)dx,
q
b2 i − hAi
b2
Standardabweichung: ∆A = hA
4. Wie ist der Begriff Entartung“ allgemein definiert?
”
b heißt k−fach entartet, wenn es k
Ein Eigenwert α eines Operators A
verschiedene Eigenfunktionen ψα,1 , ψα,2 , . . . , ψα,k zu diesem Eigenwert
gibt.
b hermitesch? Geben Sie eine allgemeine
5. Wann heißt ein Operator A
Definition an!
b heißt hermitesch, wenn hΦ|A|ψi
b
b ∗ für alle
Ein Operator A
= hψ|A|Φi
Φ, ψ.
Welche Aussagen sind wahr?
6.
R∞
Das Betragsquadrat |ψ(x)|2 = −∞ ψ(x)∗ ψ(x)dx der normierten
Wellenfunktion eines Teilchens gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit dieses Teilchens an.
× Das Betragsquadrat |ψ(x)|2 = ψ(x)∗ ψ(x) der normierten Wellenfunktion eines Teilchens gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
dieses Teilchens an.
R∞
Das Betragsquadrat |ψ(x)|2 = −∞ ψ(x)∗ ψ(x)dx der normierten
Wellenfunktion eines Teilchens ist gleich 1.
1
7. Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind immer
× reell,
positiv,
reell und positiv.
8. Ein Teilchen in einem eindimensionalen Kasten der Länge L hat im
Grundzustand
q
h
2
cos( πx
), die Energie E = 8mL
die Wellenfunktion ψ(x) =
2
L
L
h
und den Impulserwartungswert hb
pi = 2L
.
q
), die Energie E =
die Wellenfunktion ψ(x) = L2 sin( πx
L
den Impulseigenwert p =
h
8mL2
und
h
.
2L
q
h
× die Wellenfunktion ψ(x) = L2 sin( πx
), die Energie E = 8mL
2 und
L
den Impulserwartungswert hb
pi = 0.
q
2
h
die Wellenfunktion ψ(x) =
cos( πx
), die Energie E = 2mL
2
L
L
und den Impulserwartungswert hb
pi = 0.
9. Die Energieeigenwerte eines eindimensionalen harmonischen Oszillators
mit Frequenz ω > 0 und seine Grundzustandswellenfunktion sind
41
exp − 12 mω
× En = ~ω(n + 12 ) und ψ0 (x) = mω
x2 .
π~
~
14
1 mω
exp
−
x
.
En = ~ωn und ψ0 (x) = mω
π~
2 ~
1
1 mω
4
En = ~ω(n + 12 ) und ψ0 (x) = mω
exp
−
x
.
π~
2 ~
10. Die Heisenbergsche Unschärferelation für Ort und Impuls lautet
∆x∆p ≤ ~2 ,
× ∆x∆p ≥ ~2 .
11. Gegeben sei die normierte Wellenfunktion Ψ = cα ψα − cβ ψβ , wobei
ψα und ψβ normierte Eigenfunktionen des Impulsoperators pb zu den
Eigenwerten α bzw. β sind.
(a) Eine Impulsmessung liefert folgende Ergebnisse:
cα α + cβ β oder cα α − cβ β
|cα |2 α + |cβ |2 β
(b) Der Erwartungswert hb
pi ist
cα α + cβ β × |cα |2 α + |cβ |2 β
2
cα α − cβ β
× α oder β
b =H
bx + H
b y der Hamiltonoperator eines zweidimensionalen Sys12. Sei H
tems (z.B. des zweidimensionalen harmonischen Oszillators), und seien
b x bzw. H
b y zu den Eigenenψnx (x) bzw. ψny (y) die Eigenfunktionen von H
ergien Enx bzw. Eny . Dann sind die Eigenfunktionen und Eigenenergien
b
von H
ψnx ,ny (x, y) = ψnx (x) + ψny (y) und Enx ,ny = Enx + Eny .
ψnx ,ny (x, y) = ψnx (x) + ψny (y) und Enx ,ny = Enx Eny .
× ψnx ,ny (x, y) = ψnx (x)ψny (y) und Enx ,ny = Enx + Eny .
ψnx ,ny (x, y) = ψnx (x)ψny (y) und Enx ,ny = Enx Eny .
13. Ein Teilchen der Energie E treffe bei x = 0 von links auf eine Potenzialbarriere der Höhe V0 > E. Die Wellenfunktion des Teilchens innerhalb
der Barriere lautet dann
√
2m(V0 −E)
κx
ψ(x) = N e mit κ =
~
√
2m(V0 −E)
× ψ(x) = N e−κx mit κ =
~
√
ψ(x) = N eikx mit k =
ψ(x) = N e−ikx mit k =
2mE
~
√
2mE
~
3