Wechselspannung an RLC

University of Applied
Sciences Cologne
Wechselspannung
Tutorium
Wechselspannung an R, L, C
WS-01
Campus Gummersbach
Dipl.-Ing. (FH)
Dipl.-Wirt. Ing. (FH)
G. Danielak
Stand: 19.03.2006; R0
Das folgende Kapitel betrachtet die Eigenschaften und das Verhalten der Bauteile im Bereich der
Wechselspannung. Damit ist, wenn auch nicht explizit aufgeführt, gleichzeitig der Wechselstrom
gemeint.
Bei Gleichspannung sind Spannung und Strom zeitlich konstant. Das heißt, die Elektronen bewegen sich
mit konstanter Geschwindigkeit in eine Richtung im Leiter. Wechselgrößen sind dadurch gekennzeichnet,
dass sie periodisch mit immer gleicher Form die Richtung wechseln und dass die Flächenanteile der
positiven und negativen Flächenabschnitte gleich groß sind (Vorlesung Prof. Gerdes,
Kap. 4.2.1. Signalformen, Skript 1997).
Eine Sinuskurve ist durch drei Punkte eindeutig gekennzeichnet: Amplitude, Frequenz und Phasenlage
sind die Kriterien zur eindeutigen Festlegung einer Wechselspannung (Vorlesung Prof. Gerdes,
Kap. 4.2.2. Sinusförmige Wechselspannung, Merkmale, Skript 1997).
Die Darstellung von Wechselgrößen in reellen Organigrammen ist zeichnerisch ein umständliches
Verfahren. Mit Hilfe der komplexen Rechnung lassen sich alle sinusförmigen Wechselgrößen in einfacher
Weise symbolisch in Form von Zeigern darstellen (Vorlesung Prof. Gerdes, Kap. 4.2.5. Darstellung
sinusförmiger Wechselgrößen im Zeigerbild, Einzelne Wechselgrößen, Skript 1997). Auf die komplexe
Rechnung wird an dieser Stelle nicht näher eingegangen, hier wird auf die Mathematik-Vorlesung,
Bücher oder die Ausarbeitung über komplexe Zahlen von Gregor Danielak verwiesen.
j⋅Im
u
û
ω⋅t
u(t)
U
ϕu
ω⋅t
Re
ϕu
T
Zeigerdiagramm
U = û ⋅ e j(ω⋅t +ϕ u ) = û ⋅ e jϕ u ⋅ e jω⋅t
⇔ U = Û ⋅ e jω⋅t
Zeitdiagramm
u(t) = û ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ u )
Die Spannung u im oberen Beispiel ist voreilend, dies wird durch das + ϕ u im Argument deutlich. Die
Sinuskurve beginnt zum Zeitpunkt t = 0 nicht im Nullpunkt, sondern hat bereits den Wert
u(0) = û ⋅ sin(ϕ u ) bzw. U = û ⋅ e jϕ u .
Bei einer nacheilenden Sinusspannung (bzw. Sinusfunktion) wäre die Phasenverschiebung ϕ u negativ.
Im Zeigerdiagramm bewegt sich der Zeiger entgegen des Uhrzeigersinns mit der Geschwindigkeit ω⋅t.
Man sieht auch hier, dass er zum Zeitpunkt t = 0 ungleich Null ist, sonst würde er zu diesem Zeitpunkt
auf der reellen Achse liegen. Das bedeutet: Alles, was voreilt, liegt im Zeigerdiagramm weiter „links“,
alles, was nacheilt, liegt weiter „rechts“; bezogen auf die Richtung von ω⋅t im Zeiger- und Zeitdiagramm.
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Jeder stromdurchflossene Leiter erzeugt in seiner unmittelbaren Umgebung ein Magnetfeld. Dieses hängt
von der Richtung und Stärke des Stromes ab. Man hat vereinbart, dass die Feldlinien des Magnetfelds den
stromdurchflossenen Leiter im Sinne einer Rechtsschraube in Stromrichtung umschließen. Weiterhin
wurde vereinbart, dass die Feldlinien am Nordpol aus- und am Südpol wieder eintreten (Vorlesung Prof.
Gerdes, Kap. 2.1.2. Felddarstellung, Skript 1997).
Φ
Φ
Φ
i
Wickelt man diesen Leiter zu einer Leiterschlaufe, so erhält man eine Induktivität (Spule). Diese ist − genau wie die Kapazität − ein Energiespeicher. Sobald sie vom Strom durchflossen wird, baut sie ein
Magnetfeld auf. Reißt der Stromfluss ab, dann sorgt die gespeicherte Energie im Magnetfeld dafür, dass
der Stromfluss in die gleiche Richtung für eine gewisse Zeit erhalten bleibt. Die Induktivität dient damit
praktisch als Quelle.
Ein allgemeiner Zusammenhang zwischen Spannung und Strom an der Induktivität wird durch das
dΦ
dΦ
ist die
. Dabei ist N die Anzahl der Windungen,
Induktionsgesetz 1. Form beschrieben: u L = − N ⋅
dt
dt
Änderung des magnetischen Flusses nach der Zeit. Das Minuszeichen in dieser Gleichung kommt daher,
weil die Spannung u L so gerichtet ist, dass der daraus resultierende Fluss dem ursprünglichen Fluss
entgegengesetzt ist (Lenz’sche Regel).
Im elektrischen Kreis gilt nach dem ohmschen Gesetz u = i ⋅ R , im magnetischen Kreis existiert eine
analoge Gleichung: Θ = Φ ⋅ R m (mit Θ = magnetische Spannung, Φ = magnetischer Fluss,
Rm = magnetischer Widerstand). Nach Φ aufgelöst ergibt sich:
Θ = Φ⋅Rm
⇔ iL ⋅ N = Φ ⋅ R m
⇔Φ=
iL ⋅ N
Rm
Setzt man diese Gleichung für Φ in das Induktionsgesetz 1. Form ein, so erhält man das Induktionsgesetz
2. Form:
di
dΦ
d ⎛ i L ⋅ N ⎞ N 2 di L
di
⎟⎟ =
= N ⋅ ⎜⎜
⋅
= L ⋅ L , also u L = L ⋅ L ; Induktionsgesetz 2. Form
uL = N ⋅
dt
dt
dt ⎝ R m ⎠ R m dt
dt
Weil man hier nur die Beträge heranzieht, ist auf das Minuszeichen für diese Berechnung verzichtet
worden. Setzt man in das Induktionsgesetz 2. Form einen sinusförmigen Strom ein, erhält man folgende
Zusammenhänge:
(
)
di L
d
d
= L ⋅ î L ⋅ sin(ω ⋅ t) = î L ⋅ L ⋅ (sin(ω ⋅ t) ) = î L ⋅ ω ⋅ L ⋅ cos(ω ⋅ t)
dt
dt
dt
⇔ u L = û L ⋅ cos(ω ⋅ t) = û L ⋅ sin(ω ⋅ t + 90°)
uL = L⋅
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Es gilt also i L = îL ⋅ sin(ω ⋅ t) und u L = û L ⋅ sin(ω ⋅ t + 90°) . Das bedeutet, dass die Spannung u L dem
Strom i L um 90° voreilt.
u, i
u L (t)
i L (t)
ω⋅t
ϕ = 90°
Die Gleichung im Zeigerdiagramm für den Strom
I L lautet: I L = î L ⋅ e jω⋅t , für die Spannung U L :
U L = û L ⋅ e j(ω⋅t +90°) . Im Zeigerdiagramm sieht man
ganz deutlich, dass die Spannung dem Strom um
90° voreilt.
j⋅Im
UL
UL = L ⋅
IL
Re
(
)
d
d
dI L
= L ⋅ î L ⋅ e jω⋅t = î L ⋅ L ⋅ e jω⋅t
dt
dt
dt
⇔ U L = î L ⋅ jω ⋅ L ⋅ e jω⋅t = î L ⋅ ω ⋅ L ⋅ e j(ω⋅t +90°)
⇔ U L = û L ⋅ e j(ω⋅t +90°)
(Das j bedeutet eine Phasenverschiebung um
+90°: j = 1⋅ e j90° )
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Das gleiche Ergebnis – also ein Voreilen der
Spannung U L zum Strom I L um 90° − erhält
man ebenfalls, wenn der Strom eine beliebige
Phasenverschiebung ϕ i zum Zeitpunkt t = 0
besitzt (hier im linken Zeigerdiagramm ist
ϕ i < 0 ): I L = î L ⋅ e j(ω⋅t +ϕi ) = î L ⋅ e jϕi ⋅ e jω⋅t
j⋅Im
UL
(
ϕi
Re
IL
)
dIL
d
= L ⋅ î L ⋅ e jϕi ⋅ e jω⋅t
dt
dt
d
= î L ⋅ e jϕi ⋅ L ⋅ e jω⋅t = î L ⋅ e jϕi ⋅ jω ⋅ L ⋅ e jω⋅t
dt
UL = L ⋅
⇔ U L = jω ⋅ L ⋅ î L ⋅ e jϕi ⋅ e jω⋅t
14243
⇔ U L = jω ⋅ L ⋅
IL
In dieser Gleichung taucht der Strom I L in der
ursprünglichen Form auf. Das j impliziert die
Phasenverschiebung um +90° (voreilend):
U L = jω ⋅ L ⋅ îL ⋅ e j(ω⋅t +ϕ i ) = ω ⋅ L ⋅ îL ⋅ e j(ω⋅t +ϕ i +90° )
⇔ U L = û L ⋅ e j(ω⋅t +ϕ i +90°)
Der komplexe Scheinwiderstand berechnet sich aus der Gleichung Z =
U
. Für die Induktivität ergibt
I
sich:
U L û L ⋅ e j(ω⋅t +90° ) î L ⋅ ω ⋅ L ⋅ e jω⋅t ⋅ e j90°
ZL =
=
=
= ω ⋅ L ⋅ e j90° = jω ⋅ L = j ⋅ X L ,
jω⋅t
jω⋅t
IL
î L ⋅ e
î L ⋅ e
XL = ω⋅ L = 2⋅ π ⋅ f ⋅ L .
Das gleiche erhält man ebenfalls nach der Division von û L durch î L :
û L
î L
=
î L ⋅ ω ⋅ L
î L
= ω⋅ L = XL
Weil ebenfalls gilt û L = u L eff ⋅ 2 und î L = i L eff ⋅ 2 kann man auch schreiben:
û L
î L
=
u Leff ⋅ 2
i Leff ⋅ 2
=
u Leff
i Leff
=
i Leff ⋅ ω ⋅ L ⋅ 2
i Leff ⋅ 2
= ω⋅ L = XL
also
gilt
für
XL :
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Eine Kapazität (Kondensator) besteht prinzipiell aus zwei elektrisch leitfähigen Flächen (Elektroden), die
durch einen Isolator (Dielektrikum) voneinander getrennt sind. Sie kann Ladung speichern, indem sich
r
die Elektronen auf einer Elektrode sammeln. Dadurch wird das elektrische Feld E aufgebaut. Die
Kapazität als Maß für das Speichervermögen des Kondensators gibt an, wie viel Ladung Q (sprich
Elektronen) pro Spannungseinheit U gespeichert werden kann (Hering, Bressler, Gutekunst: Elektronik
Q
für Ingenieure, Kap. 2.3. Kondensatoren, Springer-Verlag 1998, 3. Auflage). Es gilt demzufolge: C = .
U
Reißt der Stromfluss ab, so fließen die Elektronen – sofern möglich – von der einen Elektrode zur
anderen ab. Das Feld wird dabei abgebaut. Ist der Stromfluss in die entgegen gesetzte Richtung nicht
möglich, so bleiben die Elektronen so lange gespeichert (Energiespeicher), bis die Möglichkeit zum
Potentialausgleich zwischen den beiden Elektroden gegeben wird.
r
E
−
+
U
i
Die Ladung Q ist von der Zeit
abhängig; sie ist die Fläche unter der
Strom-Zeit Funktion.
Allgemein gilt Q = ∫ i dt . Eingesetzt
in die obere Gleichung ergibt das:
1
1
C = ⋅ ∫ i dt bzw. u C = ⋅ ∫ i C dt .
U
C
Setzt man in diese Gleichung wieder
einen sinusförmigen Strom ein, so
erhält man:
Q
t
(
)
î
î
1
1
⋅ ∫ i C dt = ⋅ ∫ î C ⋅ sin(ω ⋅ t) dt = C ⋅ ∫ sin(ω ⋅ t) dt = C ⋅ (− cos(ω ⋅ t) )
ω⋅C
C
C
C
⇔ u C = û C ⋅ (− cos(ω ⋅ t) ) = û C ⋅ sin(ω ⋅ t − 90°)
uC =
Es gilt also i C = î C ⋅ sin(ω ⋅ t) und u C = û C ⋅ sin(ω ⋅ t − 90°) . Dies bedeutet, dass die Spannung u C dem
Strom i C um 90° nacheilt.
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u, i
u C (t)
i C (t)
ω⋅t
ϕ = 90°
Die Gleichung im Zeigerdiagramm für den Strom
I C lautet: I C = î C ⋅ e jω⋅t , für die Spannung U C :
j⋅Im
U C = û C ⋅ e j(ω⋅t −90°) . Im Zeigerdiagramm sieht man
ganz deutlich, dass die Spannung dem Strom um
90° nacheilt.
UC =
IC
Re
UC
⇔ UC =
(
)
î
1
1
⋅ ∫ I C dt = ⋅ ∫ î C ⋅ e jω⋅t dt = C ⋅ ∫ e jω⋅t dt
C
C
C
î
î C
⋅ e jω⋅t = C ⋅ e j(ω⋅t −90° )
ω⋅C
jω ⋅ C
⇔ U C = û C ⋅ e j(ω⋅t −90°)
1
(= − j) bedeutet eine Phasenverschiebung
j
um −90°: − j = 1⋅ e − j90° )
(Das
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Auf den Beweis, dass der Strom − selbst bei einer beliebigen Phasenverschiebung ϕ i − der Spannung um
90° voreilt, wird hier verzichtet (siehe Seite 04).
Der komplexe Scheinwiderstand berechnet sich aus der Gleichung Z =
U
. Für die Kapazität ergibt sich:
I
U C û C ⋅ e j(ω⋅t −90°) î C ⋅ e jω⋅t ⋅ e − j90°
1
1
− j90°
=
=
=
⋅
e
=
= j⋅ XC ,
IC
jω ⋅ C
î C ⋅ e jω⋅t
ω ⋅ C ⋅ î C ⋅ e jω⋅t ω ⋅ C
1
1
XC = −
=−
.
ω⋅C
2⋅π⋅f ⋅C
ZC =
Bei einer Division von û C durch î C erhält man:
û C
î C
=
î C
ω ⋅ C ⋅ î C
=
1
= −X C
ω⋅C
Weil ebenfalls gilt û C = u C eff ⋅ 2 und î C = i C eff ⋅ 2 kann man auch schreiben:
û C
î C
=
u Ceff ⋅ 2
i Ceff ⋅ 2
=
u Ceff
i Ceff
=
i Ceff ⋅ 2
ω ⋅ C ⋅ i Ceff ⋅ 2
=
1
= −X C
ω⋅C
also
gilt
für
XC :
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Bei den beiden Bauteilen Induktivität und Kapazität wird durch die Verschiebung zwischen Spannung
und Strom um 90° die aufgenommene Energie nicht in Wärme umgesetzt, sondern wieder an das Netz
zurückgegeben (Vorlesung Prof. Gerdes, Kap. 4.3.2. Induktiver Verbraucher, Skript 1998).
Leistung ist allgemein das Produkt von Spannung und Strom, hier beispielhaft an der Kapazität im
Zeitdiagramm dargestellt:
u, i, p
u C (t)
i C (t)
p(t)
ω⋅t
Durch die Phasenverschiebung existieren Flächenanteile im negativen Bereich. Deshalb ist der lineare
Mittelwert der Momentanleistung Null, d. h. es gibt keine Wirkleistung. Die Amplitude der
Momentanleistung bezeichnet man mit Blindleistung. Blindleistung pendelt zwischen der Quelle und dem
Verbraucher hin und her. Sie dient zum Auf- und Abbau der elektrischen bzw. magnetischen Felder. Sie
bewirkt keinen Verbrauch, wird also normalerweise auch nicht bezahlt (Vorlesung Prof. Gerdes,
Kap. 4.3.2. Induktiver Verbraucher, Skript 1998).
Allgemein gilt für das Berechnen der Blindleistung Q:
⎛ uC 2 ⎞
⎜ = eff ⎟ = i 2 ⋅ 1 = i 2 ⋅ (− X ) bzw.
Ceff
C
⎜ − X C ⎟ Ceff ω ⋅ C
⎝
⎠
2
2
u Leff ⎛ u Leff ⎞
⎜
⎟ = i 2 ⋅ω⋅L = i 2 ⋅X
=
=
L eff
L eff
L
ω ⋅ L ⎜⎝ X L ⎟⎠
uC
1
Q C = ⋅ û C ⋅ î C = u Ceff ⋅ i Ceff = 1eff
2
ω⋅C
QL =
1
⋅ û L ⋅ î L = u Leff ⋅ i Leff
2
2
(
(
)
)
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Nach dem ohmschen Gesetz gilt U = I ⋅ R , bzw. U = I ⋅ Z . Bei einem ohmschen Widerstand ist Z = R .
Setzt man einen sinusförmigen Strom ein, so erhält man:
u R = i R ⋅ R = î R ⋅ sin(ω ⋅ t) ⋅ R = î R ⋅ R ⋅ sin(ω ⋅ t)
⇔ u R = û R ⋅ sin(ω ⋅ t)
Es existiert also keine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom.
u, i
u R (t)
i R (t)
ω⋅t
Aus diesem Grund gibt es keine negativen Flächen bei der Berechnung der Leistung P. Sie wird berechnet
aus:
2
uR
1
2
P = ⋅ û R ⋅ î R = u R eff ⋅ i R eff = eff = i R eff ⋅ R
R
2
P ist eine Wirkleistung die vollständig im Widerstand in Wärme umgesetzt wird. Der Verlauf von P ist
immer positiv, d. h. der Energiefluss erfolgt immer von der Quelle zum Verbraucher, wo die
Umwandlung der Energie in Wärme abläuft (Vorlesung Prof. Gerdes, Kap. 4.3.1. Ohmscher Verbraucher,
Skript 1998).