Tomographie eines Zweiniveau

Motivation
Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Tomographie eines Zweiniveau-Systems
Martin Ibrügger
15.06.2011
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Motivation
Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Übersicht
Motivation
Grundlagen
Veranschaulichung mittels Bloch-Kugel
Beispiel
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Motivation
Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Motivation
Warum Tomographie eines Zweiniveau-Systems?
• Einfachstes vorstellbares System
• Viele praktische Anwendungen:
•
•
•
•
•
Spin-1/2 Systeme
Zwei-Niveau Atome
Polarisation von Photonen
Qubit für Quantencomputer
Atomuhren
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Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Reiner Zustand ↔ Gemischter Zustand
Reiner Zustand
Allgemeine Form eines Qubit:
|Ψi = α|0i + β|1i
2
2
mit α, β ∈ C und |α| + |β| = 1
Mit impliziter Normierung:
θ
θ
|0i + sin
e iφ |1i
|Ψi = cos
2
2
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Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Reiner Zustand ↔ Gemischter Zustand
Reiner Zustand
Beispiel:
Diagonal polarisiertes Licht als quantenmechanische Überlagerung aus
horzontaler und vertikaler Polarisation
|0i = |Hi
und
|1i = |V i
1
⇒ |Di = √ (|Hi + |V i)
2
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Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Reiner Zustand ↔ Gemischter Zustand
Reiner Zustand
Beispiel:
Diagonal polarisiertes Licht als quantenmechanische Überlagerung aus
horzontaler und vertikaler Polarisation
|0i = |Hi
und
|1i = |V i
1
⇒ |Di = √ (|Hi + |V i)
2
Messung in H/V-Basis ergibt 50-50
Messung in D/A Basis ergibt 100-0
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Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Reiner Zustand ↔ Gemischter Zustand
Reiner Zustand
Beispiel:
Diagonal polarisiertes Licht als quantenmechanische Überlagerung aus
horzontaler und vertikaler Polarisation
|0i = |Hi
und
|1i = |V i
1
⇒ |Di = √ (|Hi + |V i)
2
Messung in H/V-Basis ergibt 50-50
Messung in D/A Basis ergibt 100-0
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Bloch-Kugel
Beispiel
Reiner Zustand ↔ Gemischter Zustand
Gemischter Zustand
• Entsteht durch unbekannte Präparation des Zustandes
• Statistisch gewichtete Summe aus reinen Zuständen, beschrieben
durch Dichtematrix
ρ̂ =
X
i
|0i
pi |ψi ihψi | =
|1i
h0|
A
Be −iϕ
h1|
Be iϕ
1−A
mit
X
pi = 1
i
• Drei freie Parameter ⇒ 3 Messungen
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Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Reiner Zustand ↔ Gemischter Zustand
Gemischter Zustand
Beispiel:
Ensemble aus Photonen, mit gleicher Wahrscheinlichkeit für horizontale
und vertikale Polarisation
hH|
|Hi
ρ̂ = 1/2 (|HihH| + |V ihV |) =
|V i
1
2
0
hV |
0
1
2
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Bloch-Kugel
Beispiel
Reiner Zustand ↔ Gemischter Zustand
Gemischter Zustand
Beispiel:
Ensemble aus Photonen, mit gleicher Wahrscheinlichkeit für horizontale
und vertikale Polarisation
hH|
|Hi
ρ̂ = 1/2 (|HihH| + |V ihV |) =
|V i
1
2
0
hV |
0
1
2
Messung in H/V-Basis ergibt 50-50
Messung in D/A Basis ergibt 50-50
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Bloch-Kugel
Beispiel
Bloch-Kugel
Stokes-Parameter
Die Dichtematrix eines Qubits lässt sich nach den Pauli-Matrizen
entwickeln
3
1X
Si σ̂i
ρ̂ =
2
i=0
Mit den Pauli-Matrizen
1 0
0
σ̂0 ≡
, σ̂1 ≡
0 1
1
1
0
, σ̂2 ≡
0
i
−i
0
, σ̂3 ≡
1
0
0
−1
und den Stokes-Parametern Si = Tr{σ̂i ρ̂}
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Bloch-Kugel
Beispiel
Bloch-Kugel
Stokes-Parameter
Physikalisch entsprechen die einzelnen Stokes-Parameter der Messung in
den folgenden Basen:
S0 = P|0i + P|1i = 1
0
S1 = Tr{
1
1
ρ̂} = P √1 (|0i+|1i) − P √1 (|0i−|1i)
0
2
2
0 −i
S2 = Tr{
ρ̂} = P √1 (|0i+i|1i) − P √1 (|0i−i|1i)
i 0
2
2
S3 = Tr{
1
0
0
ρ̂} = P|0i − P|1i
−1
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Bloch-Kugel
Beispiel
Bloch-Kugel
Stokes-Parameter
Physikalisch entsprechen die einzelnen Stokes-Parameter der Messung in
den folgenden Basen:
S0 = P|0i + P|1i = 1
0
S1 = Tr{
1
1
ρ̂} = P √1 (|0i+|1i) − P √1 (|0i−|1i)
0
2
2
0 −i
S2 = Tr{
ρ̂} = P √1 (|0i+i|1i) − P √1 (|0i−i|1i)
i 0
2
2
S3 = Tr{
1
0
0
ρ̂} = P|0i − P|1i
−1
da P|Ψi − P|Ψ⊥ i = 2P|Ψi − 1 gilt, lassen sich die Stokes-Parameter mit
ingesamt 3 Messungen messen
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Bloch-Kugel
Beispiel
Bloch-Kugel
• Die Interpretation der Stokes
Parameter als Koordinaten im
Raum erlaubt die Darstellung
eines Qubits auf der
Einheitskugel.
• Reine Zustände befinden sich
auf der Kugeloberfläche und
gemischte innerhalb der Kugel
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Grundlagen
Bloch-Kugel
Beispiel
Tomographie
Jede Messung eines Stoke-Paramenters schränkt den möglichen Ort des
Zustands innerhalb der Blochkugel um eine Dimension weiter ein.
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Bloch-Kugel
Beispiel
Tomographie
Jede Messung eines Stoke-Paramenters schränkt den möglichen Ort des
Zustands innerhalb der Blochkugel um eine Dimension weiter ein.
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Bloch-Kugel
Beispiel
Tomographie
Jede Messung eines Stoke-Paramenters schränkt den möglichen Ort des
Zustands innerhalb der Blochkugel um eine Dimension weiter ein.
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Bloch-Kugel
Beispiel
Tomographie
Jede Messung eines Stoke-Paramenters schränkt den möglichen Ort des
Zustands innerhalb der Blochkugel um eine Dimension weiter ein.
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Bloch-Kugel
Beispiel
Zusammenfassung
• Beschreibung der Zustände durch Dichtematrizen
• Veranschaulichung durch Bloch-Kugel
• Rekonstruktion der Dichtematrix durch Messung in 3 Basen möglich
• Jede Messung schränkt den Freiheitsgrad in der Bloch-Kugel weiter
ein
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Bloch-Kugel
Beispiel
Ion als Qubit
• Yb+ in einer Ionenfalle
• 2 Hyperfeinstrukturniveaus
bilden Zweiniveau-System
• Tomographie erfolgt über
drittes Niveau, welches nur
Verbindung zu einem der
beiden Niveaus hat
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Bloch-Kugel
Beispiel
Ion als Qubit
Wie in anderen Basen messen?
Einstrahlung von Mikrowellen
ergibt Rabi-Oszillationen
zwischen |0i und |1i
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Bloch-Kugel
Beispiel
Literatur
• J. B. Altepeter, E. R. Jeffrey, and P. G. Kwiat, Photonic State
Tomography
• M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum
Information
• S. Olmschenk et al., Manipulation and detection of a trapped Yb+
hyperfine qubit
• Schwabl, Quantenmechanik
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