Blatt 5

UNIVERSIT
ÄT KONSTANZ
UNIVERSIT
ÄT KONSTANZ
Fachbereich
Fachbereich
PhysikPhysik
Prof.
Dr. Guido
Burkard
Prof. Dr.
Guido
Burkard
Julia Hildmann
http://theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/teaching/13S-QI
Vorlesung:
Mo/Do 10-12 Uhr, R512
Übungen: Mo 14-16/16-18 Uhr, P601/P912
Quanteninformationstheorie
http://theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/teaching/08W-QM
Sommersemester 2013 - Übungsblatt 5
Ausgabe: 28.05.2013, Abgabe: 11.06.2013, Übungen: 13./14.06.2013
Höhere Quantentheorie und Elektrodynamik
Aufgabe 1: Bell-Zustand
Wintersemester 2008/09
Kann der Bell-Zustand
Übungsblatt
2
1
1
√ (|01i − |10i) ≡ √ (|0i ⊗ |1i − |1i ⊗ |0i)
(Ausgabe: 23.10.2008,
Abgabe: 30.10.2008,
Besprechung: 03.11.2008)
2
2
als ein Produkt-Zustand dargestellt werden? Was ist die Schmidt-Zahl (oder der Schmidt-Rang)
dieses Zustands?
Aufgabe 5 : Pauli-Matrizen (Präsenzaufgabe)
Aufgabe 2: Dekohärenz auf der Bloch-Kugel (schriftlich)
Für Spin-1/2-Teilchen (Fermionen, z.B. Elektronen) ergeben sich für die Komponenten des SpinDers Zustand
kannQuantisierungsachse
immer auf der Bloch-Kugel
durch den Bloch-Vektor ~r dargestellt
derQubits
üblichen
die Pauli-Matrizen
operators
= !2 σ ineines
werden,
"
!
"
!1
"
!
(1 +−i
~r · ~σ ),
ρ= 0
1 0
0 1
, σz =
.
σx =
, σy = 2
0
−1
1
0
i
0
wobei ~r ist ein dreidimensionaler reeller Vektor ist.
a) Der
Zeigen
a) (2 Punkte) Nehmen
wir Operatoren
an, das Qubit Â
werde
der definiert
Wahrscheinlichkeit
p depolarisiert,
Antikommutator
zweier
undmit
B̂ ist
als {Â, B̂}
:= ÂB̂ + B̂d.Â.h.
durch
einen komplett gemischten Zustand 1/2 ersetzt. Die Dichte-Operator des Qubits verändert
Sie
damit
sich durch diese Operation:
b) Zeigen Sie
p
0 i , σj } = 2δij
3)
ρ → ρ{σ
= (1 − p)ρ + (σ1(i,
ρσ1j+=σ21,
ρσ2,
2 + σ3 ρσ3 ).
3
Wie verändert sich dabei der Bloch-Vektor?
3
# z. B. bei der spontanen Emission eines
b) (3 Punkte) Eine Amplituden-Dämpfung kann man
σ
σ
=
δ
+
i
#jklpσgeht
k Wahrscheinlichkeit
jk
l
angeregten Atoms beobachten. Mitjder
das Atom in den Grundzustand
l=1
|0iQ über und mit der Wahrscheinlichkeit 1 − p bleibt es im angeregten Zustand |1iQ . Die unitäre
Transformation, die diesen Vorgang beschreibt,
ist
T
und damit für zwei mit σ = (σx , σy , σz ) vertauschende Vektoren a, b :
|0iQ |0iE → |0iQ |0iE
√
· p|0i
(a ×|1i
b)..
(σ
· b) p
=1(a
· b) |0i+ iσ
− p|1i
|1i·Qa)(σ
|0iE →
Q
E +
Q
E
c) Zeigen Sie die für die Zeitentwicklung von Spinsystemen wichtige Beziehung
|0/1iE beschreibt den Zustand der Umgebung oder hier die Anzahl der ausgestrahlten Photonen.
Finden Sie die Kraus-Operatoren, die den Dichte-Operator transformieren. Was passiert mit dem
eiασi = cos α + iσi sin α (α ∈ ).
Bloch-Vektor nach der Amplituden-Dämpfung?
Aufgabe 6 : Spin- 21 -Teilchen im Magnetfeld (13 Punkte)
Das folgende Problem ist eng verwandt mit dem Prinzip der Kern- bzw. Elektronenspinresonanz.
c) (3 Punkte) Die Dekohärenz der Phase eines Qubits kann man durch die folgende unitäre Operation beschreiben:
|0iQ |0iE → |0iQ |0iE
p
√
1 − p|1iQ |0iE + p|1iQ |1iE .
|1iQ |0iE →
p gibt die Wahrscheinlichkeit an, ob das Qubit mit der Umgebung wechselwirkt. Finden Sie die
entsprechenden Kraus-Operatoren und finden Sie heraus, wie sich dabei der Bloch-Vektor transformiert.
Aufgabe 3: Phasen-Dämpfung
Phasen-Dämpfung ist ein quantenmechanischer Vorgang, bei welchem ein Verlust der Quanteninformation ohne Energienverlust auftritt. Dabei werden die nichtdiagonalen Terme (oder die
Kohärenzterme) der Dichtematrix gedämpft. Die Kraus-Operatoren, die den Prozess für ein zweidimensionales System beschreiben, sind gegeben durch
0 √0
1 √ 0
und
M1 =
,
M0 =
1−λ
0
0
λ
wo λ is die Wahrscheinlichkeit, dass die Phase durch die Wechselwirkung mit der Umgebung
verloren wird. Zeigen Sie, dass die Quantenschaltung in Abb. (1) denselben Prozess beschreibt,
wenn θ richtig ausgewählt ist.
Abbildung 1: Darstellung einer Quantenschaltung für die Phasen-Dämpfung mit einer bedingten
Rotation um y-Achse auf der Bloch-Kugel. Die obere Linie beschreibt das Control-Qubit (das
System) und die untere Linie beschreibt das Target-Qubit (die Umgebung), das am Anfang den
Zustand |0i hat.