1. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösung

1. Schulaufgabe
Gymnasium Weilheim
Klasse 7d
(v0.15 20.11.07)
Schuljahr 2006/2007
1. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösung
Aufgabe 1
B
(a) Die Punkte auf der Mittelsenkrechten zu zwei Punkten
sind vom Punkt
A
genauso weit entfernt wie vom Punkt
B
A
und
(denn die
Mittelsenkrechte ist die Symmetrieachse zu den beiden Punkten).
(b)
Möglichkeit 1: Sei α der erste Winkel. Ein weiterer Winkel ist dann ebenfalls
so groÿ wie
α
2α.
und der dritte Winkel hat die Gröÿe
zusammen wegen der Winkelsumme im Dreieck
◦
180
Da alle drei Winkel
ergeben müssen, folgt:
180◦ = α + α + 2α = 4α.
Also ist
α = 180◦ : 4 = 45◦ .
Die Winkelgröÿen sind also
Möglichkeit 2:
45◦ , 45◦
und
90◦ .
Die beiden gleich groÿen Winkel sind zusammen genauso
groÿ wie der dritte Winkel. Der dritte Winkel ist also
180◦ : 2 = 90◦
groÿ,
denn man kann einfach die Hälfte der Gesamtsumme aller Winkel (diese
ist
180◦
wegen der Winkelsumme im Dreieck) nehmen. Die beiden anderen
Winkel sind dann jeweils
(c)
Möglichkeit 1:
90◦ : 2 = 45◦
Gehe vom Winkel
α
groÿ.
aus. Da
α
doppelt so groÿ wie sein
Nebenwinkel ist, muss dieser halb so groÿ sein wie
zu
◦
180
α.
Da sich Nebenwinkel
ergänzen, folgt:
3
1
α + α = α = 180◦ .
2
2
Also gilt
α=
2
3
· 180◦ = 120◦ .
Möglichkeit 2:
β von α aus. Weil α = 2β
◦
zu 180 ergänzen, gilt:
Gehe vom Nebenwinkel
(doppelt so groÿ) und sich Nebenwinkel
β + 2β = 3β = 180◦ ,
also
β = 60◦
Aufgabe 2
und somit
α = 180◦ − 60◦ = 120◦ .
ist
1. Schulaufgabe
(v0.15 20.11.07)
(a) Der Winkel
135◦ = 45◦
Gymnasium Weilheim
Klasse 7d
^SAC
Schuljahr 2006/2007
ist Nebenwinkel zum Winkel mit
135◦ ,
also ist er
180◦ −
groÿ.
SDB sind zwei Winkel bekannt, nämlich ^DSB = 31◦ und
^BDS = 104◦ . Der dritte Winkel ∠SDB ist dann wegen der Winkelsumme
Im Dreieck
im Dreieck:
^SBD = 180◦ − 104◦ − 31◦ = 180◦ − 135◦ = 45◦ .
^SAC und ^SBD
Geraden g und h parallel.
Die Winkel
die
und
g
Zeichne einen Kreis um
B
(b) Um den Abstand von
B
sind Stufenwinkel und gleich groÿ, also sind
zu ermitteln, muss man das Lot von
B
auf
g
konstruieren:
•
g
mit genügend groÿem Radius, der die Gerade
in zwei Punkten, genannt
P
und
P 0,
schneidet (die Mittelsenkrechte
zu diesen zwei Punkten ist das gesuchte Lot).
•
•
•
Zeichne einen Kreis um
zeichne einen Kreis um
P mit genügend groÿem Radius,
P 0 mit gleichem Radius.
Verbinde nun die beiden Schnittpunkte, das ergibt das gesuchte Lot.
(Nach Konstruktion geht das Lot durch
Abstand wie
0
P , P , das
0
von P haben.
telsenkrechte zu
B,
Und weil
B
P
und
[F B]
P
0
P
den gleichen
auf dem Kreis um
B
entfernt.)
Der Schnittpunkt von Lot und der Gerade
Die Strecke
denn das Lot ist die Mit-
sind alle Punkte, die von
liegen, sind sie gleichweit von
an.
und
g
ist der Lotfuÿpunkt
gibt dann den Abstand des Punktes
B
F.
von der Geraden
g
1. Schulaufgabe
Gymnasium Weilheim
Klasse 7d
(v0.15 20.11.07)
Schuljahr 2006/2007
Aufgabe 3
Weil das Erholungszentrum genauso weit von
der Mittelsenkrechten von
A
wie von
H
entfernt ist, liegt es auf
[BH].
Da es nicht weiter als 4 km von
Kreis um
B
A
entfernt ist, liegt es innerhalb oder auf dem
mit dem Radius, der im gegebenen Maÿstab 4 km entspricht (das sind
4 cm).
Aufgabe 4
Möglichkeit 1:
Wenn das Viereck punktsymmetrisch ist, müssen Eckpunkte
A und C . Das Zentrum ist der Mittelpunkt der Strecke [AC]. (Man erhält es, indem man die Mittelsenkrechte zu [AC]
mit der Strecke [AC] schneidet). Der vierte Punkt D ist dann der Spiegelpunkt
von B , er liegt auf der Verbindungsstrecke von B und dem Zentrum, und ist so
weit vom Zentrum entfernt wie B . Man erhält ihn, indem man den Kreis um das
Zentrum durch B mit der Verbindungsstrecke von B und dem Zentrum schneidet.
aufeinander abgebildet werden, zum Beispiel
Möglichkeit 2a (nicht gezeichnet):
Man weiÿ, dass das Viereck, sobald es
punktsymmetrisch ist, ein Parallelogramm ergeben muss. Also konstruiert man
einfach ein Parallelogramm, zum Beispiel so:
1. Schulaufgabe
(v0.15 20.11.07)
•
Gymnasium Weilheim
Klasse 7d
Schuljahr 2006/2007
Da im Parallelogramm jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind,
muss
AB
AB = CD
gelten. (Das bedeutet: der Abstand von
D
zu
C
ist durch
gegeben.)
Daher liegt
D
auf dem Kreis um
C
mit Radius
r = AB
(und man zeichnet
diesen Kreis ein.)
•
Auÿerdem muss
Radius
•
r = BC .
BC = AD
sein, das heiÿt
D
liegt auf dem Kreis um
A
mit
(und auch diesen Kreis zeichnet man ein)
Nun muss man noch den geeigneten Schnittpunkt der Kreise auswählen
(welcher das ist, sieht man an der Zeichnung)
[Bemerkung: Strenggenommen wäre die Lösung nicht ganz richtig, weil die Konstruktion nicht eindeutig ist. Hier ging es aber in erster Linie um die Idee, wie man
den vierten Punkt nden kann.]
Möglichkeit 2b (nicht gezeichnet):
dem man die Parallele zu
Man konstruiert das Parallelogramm, in-
[AB] durch C mit der Parallele zu [BC] durch A schneidet
(diese Konstruktion ist dann auch eindeutig). [Eine Parallele zu konstruieren ist natürlich deutlich aufwendiger als zwei Kreise zu zeichnen vergleiche Aufgabe 28 auf
Seite 21 im Buch]