Lichttechnisches Institut Universität Karlsruhe Prof. Dr. rer - KIT

Lichttechnisches Institut
Universität Karlsruhe
Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer
Kaiserstrasse 12
76131 Karlsruhe
Festkörperelektronik
Beispiel- und Übungsklausur
Musterlösungen
1. Elektronen im harmonischen Potential
Betrachten Sie bei T=0 K das Potential
1
V (x) = mω 2 x2
2
(a) Geben Sie die Energie-Eigenwerte En in diesem Potential an (keine Rechnung nötig!)
[1P].
1
En = ~ω n +
2
(b) Skizzieren Sie die ersten vier Eigenfunktionen ψ0 ...ψ3 [1P].
(c) Zeigen Sie, daß die Grundzustands-Wellenfunktion ψ0 (x) =
q
~
b = mω
die zeitunabhängige Schrödingergleichung löst [3P].
c0
√
b
2
x
exp − 2b
mit
2
~2 d 2
1
2 2
−
+ mω x ψ0
2m dx2 2
~2 d 2
c0 − x22
1
2 2
2b
√
−
e
+
mω
x
2m dx2 2
b
~2 d
c0 − x22
x
1
2 2
√ e 2b
−
(− ) + mω x
2m dx b2
2
b
2
2
c0 − x22
~
1
x
1
2 2
√ e 2b
−
(− + 4 ) + mω x
2m b2
b
2
b
2
2
2
2
c0 − x22
~
mω m ω x
1
2 2
2b
√
−
(−
+
) + mω x
e
2m
~
h2
2
b
1
~ω ψ0
2
|{z}
Ĥψ0 =
=
=
=
=
=
=E0
(d) Berechnen Sie den Orts-Erwartungswert <x̂> eines Elektrons im Grundzustand [2P].
Z
+∞
< x̂ >=
ψ ∗ x̂ψdx
−∞
+∞
c0
x2
x2
c0
√ exp − 2 · x · √ exp − 2 dx
=
2b
2b
b
b
−∞
2
Z +∞
c0
x2
=
x · √ exp − 2
dx
2b
b
−∞
2 2
Z +∞
c0
x
=
x · exp − 2 · √
dx = 0
b
b
−∞
|
{z
}
Z
=0
(e) Sei das Potential nun mit einer großen Zahl N Elektronen gefüllt. Bestimmen Sie die
Fermi-Energie. Welches fundamentale Prinzip muß hierbei beachtet werden [2P]?
Für die möglichen Eigen-Energien in einem harmonischen Potential gilt:
1
En = ~ω n +
2
Jedes Energie-Niveau kann entsprechend dem Pauli-Prinzip mit 2 Elektronen („Spin
hoch“ und „Spin runter“) besetzt werden. Dementsprechend ist der höchste besetzte
Zustand n = N/2.
N
1
(N + 1)
EF = ~ω
+
= ~ω
2
2
2
(f) Wie ändert sich qualitativ die Verteilung der Elektronen bei Temperaturen T>0 K
[1P]?
2
Die Elektronen gewinnen thermische Energie. Damit werden Elektronen von EnergieNiveaus kleiner als die Fermi-Energie auf Energie-Niveaus größer als die Fermi-Energie
umverteilt.
Dabei gehorchen die Elektronen der Fermi-Statistik. Die Fermi-Verteilungs-Funktion
lautet:
1
f (E) = (E−E )/(k T )
F
B
e
+1
Die Zahl der Elektronen in einem Energie-Interval (E1 , E2 ) berechnet sich zu
Z
E2
Ne (E ∈ (E1 , E2 )) =
f (E)D(E)dE
E1
wobei D(E) die Zustandsdichte ist.
2. Neutronen
(a) Wie groß sind die Geschwindigkeit und die kinetische Energie eines Neutrons, wenn
seine De-Broglie-Wellenlänge 10−10 m beträgt [2P]?
Es gilt:
2π
p = ~k = ~
λ
p = mv
1
p2
Ekin = mv 2 =
2
2m
Daraus folgt:
p = 6, 63 · 10−24
kg m
s
v = 3956
m
s
Ekin = 1, 3 · 10−20 J
(b) Wie genau läßt sich der Ort dieses Neutrons bestenfalls bestimmen [1P]?
Es gilt die Heisenberg’sche Unschärferelation:
∆x ∆p ≥
~
2
Mit der Annahme ∆p < p folgt
∆x ≥
~
= 7, 95 · 10−11 m
2p
(c) Was passiert mit diesem einzelnen Neutron, wenn es durch einen Doppelspalt fliegt
[1P]?
Das Neutron geht durch beide Spalte gleichzeitig und interferiert mit sich selbst.
3
(d) Wie verändert sich qualitativ die Wellenlänge des Neutrons, wenn es von einem Gebiet
mit dem Potential V0 = 0 in ein Potential-Gebiet 0 < V1 < En fliegt (Begründung)?
En sei die kinetische Energie des Neutrons [1P].
Die Wellenlänge wird größer.
Für den k-Vektor gilt:
1p
2m(En − V1 )
k=
~
Für die Wellenlänge gilt:
λ=
2π
2π~
=p
k
2m(En − V1 )
Die Differenz En − V wird kleiner, damit werden der Bruch und die Wellenlänge
größer.
(e) Was passiert mit einem Neutron, das gegen eine ∞-hohe, 5 nm dicke Potentialbarriere
fliegt [1P]?
Das Neutron wird reflektiert. Es dringt nicht in die Barriere ein.
3. Wasserstoff-Atom
Berechnen Sie die Grundzustands-Energie des Wasserstoff-Atoms in eV [2P].
E=−
e4 me 1
·
8h2 20 n2
Mit n=1 folgt:
E = 2, 18 · 10−18 J = 13, 6 eV
4. Schrödinger-Gleichung
Was beschreibt die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung [2P]?
In der klassischen Mechanik werden Bewegungsvorgänge durch die Newton’schen
Bewegungs-Gleichungen beschrieben. Diese Aufgabe übernimmt die Schrödinger-Gleichung
in der Quantenmechanik. Sie beschreibt, wie sich ein System von einem gegebenen Zustand
aus weiterentwickelt.
5. Begriffsklärung
Erklären Sie die folgenden Begriffe:
(a) Dispersionsrelation [1P]
Als Dispersionsrelation bezeichnet man eine Beziehung zwischen dem Wellenvektor k
und der Kreisfrequenz ω. Für Licht gilt bespielsweise ω = c k beschreiben lassen.
(b) Bloch-Elektronen [1P]
Bloch-Elektronen werden Elektronen genannt, die in einem Kristallgitter propagieren
und sich durch ψ = u · e−ikx mit u einer Gitterperiodischen Funktion.
4
(c) Diffusionsstrom [1P]
Diffusionsstrom ist ein Strom der von einem Ladungsträger-Konzentrationsgradienten
her rührt.
6. Dotierung
(a) Beschreiben Sie ein Verfahren zur Dotierung von Halbleitern [1P].
• Czochralski-Verfahren: Beim Züchten den Einkristalls werden hochdotierte Kristallstücke der Schmelze zugeführt.
• Zonenzieh-Verfahren: Beim Züchten des Kristalls ist ein Dotiergas anwesend.
• Ionen-Implantation: Dotieratome werden nach der Züchtung des Kristalls per
Ionen-Beschuß in das Material einlegiert.
• Eindiffusion: Phosphin (PH) bzw. Phosphoroxychlorid (POCl3 ) wird an die heiße
Silizium-Oberfläche gebracht. Reaktion zu P2 O3 . Dieses dient als Diffusionsquelle
an der Oberfläche. Z.B. Eindiffusion des Emitterkontaktes.
(b) Welchen Einfluß hat die Dotierung auf die grundlegenden Halbleiter-Eigenschaften
[1P]?
Die Dotierung bewirkt einen Überschuß an Elektronen oder Löchern (=Defektelektronen). Diese Elektronen werden nicht für den Aufbau des Kristallgitters benötigt
(bzw. fehlen im Aufbau). Und können demnach leicht vom Atomrumpf getrennt werden. Damit erhöht sich die Leitfähigkeit des Halbleiters.
(c) Silizium hat bei Raumtemperatur eine Bandlücke Eg = 1, 1 eV. Elektronen und Löcher
sollen die Masse eines freien Elektrons haben. Berechnen Sie die intrinsisch erzeugte
Ladungsträgerdichte (Anzahl Ladungsträger pro Volumen) [2P].
Aus dem Massenwirkungsgesetz
n·p=
−
V
L
Nef
f Nef f e
n −E n
EL
V
kB T
folgt im intrinsischen Fall mit n=p
n i = pi =
√
np =
q
V N L e−
Nef
f ef f
n −E n
EL
V
2kB T
=
(m∗e
·
m∗p )3/4
·2·
kB T
2π~2
3/2
Eg
BT
− 2k
·e
= 2, 09 · 1015 m−3
(d) Zeigen Sie, daß bei Raumtemperatur die Eigenleitung bei einem n-dotierten
Silizium-Kristall vernachlässigbar ist. Der Kristall sei mit einer Konzentration von
ND = 1018 cm−3 Phosphor-Atomen dotiert. Das Donator-Niveau der Phosphor-Atome
liege 0,044 eV unter dem Leitungsband [2P].
5
Bei Raumtemperatur kann Störstellen-Erschöpfung angenommen werden.
Demnach gilt:
n = ND = 1018 cm−3 = 1024 m−3
Dieser Wert liegt um 9 Größenordnungen über der intrinsischen Ladungsträgerdichte.
Damit sind sind die Beiträger der intrinsisch erzeugten Ladungsträger zu vernachlässigen.
7. Photodetektoren
Betrachten Sie einen Galliumarsenid (GaAs) Photodetektor. Die Bandlücke von GaAs betrage 1,43 eV bei Raumtemperatur.
(a) In der optischen Telekommunikation wird eine Wellenlänge von 1,55 µm zur Übermittlung von Daten benutzt. Eignet sich GaAs zur Signal-Detektion (Begründung)
[2P]?
E = 1, 43 eV = 2, 29 · 10−19 J
ch
c
=
= 8, 65 · 10−7 m = 0, 865 µm
ν
E
Da GaAs aufgrund der Bandlücke nur Licht mit einer Wellenlänge kleiner als 865 nm
absorbieren kann, ist es für die Datenübermittlung mit λ = 1, 55µm nicht geeignet.
λ=
(b) Wie ändert sich die Bandlücke, wenn der Detektor gekühlt wird [1P]?
Wird der Kristall gekühlt, so wird die Bandlücke größer, da die Aufweichung der
Bandkante durch thermische Effekte reduziert wird.
(c) Galliumarsenid ist ein direkter Halbleiter. Wie unterscheiden sich seine Detektionseigenschaften von einem indirekten Halbleiter wie Silizium [1P]?
Größere Wellenlängen, die bei einem indirekten Halbleiter nicht durch einen direkten
Übergang absorbiert werden können, können ab einer bestimmten Wellenlänge durch
einen indirekten Übergang absorbiert werden. Dieser Übergang ist jedoch ineffektiver
als ein direkter Übergang.
(d) Wie könnte man einen Detektor aus einer Metallplatte (z.B. Zink) bauen? Für welchen Teil des Lichtspektrums wäre dieser Detektor geeignet (Begründung)? Wie heißt
der zugrunde liegende Effekt [3P]?
Dieser Detektor kann sich den Photoeffekt (nach A. Einstein) zunutze machen. Wird
eine Metallplatte mit UV-Licht (Lichtenergie muß größer als Austrittsarbeit der Elektronen sein) bestrahlt, so werden Elektronen aus der Oberfläche der Platte geschlagen.
Entsprechend müssen Ladungen nachströmen. Der resultierende Strom kann an einer
Zuleitung zur Platte gemessen werden.
8. Zustandsdichte
6
(a) Was beschreibt die Zustandsdichte [1P]?
Die Zustandsdichte gibt die Anzahl der möglichen Zustände pro Energie-Intervall an.
(b) Cäsium kristallisiert in einem bcc-Gitter. Jedes Atom gibt ein Leitungselektron ab.
Die Fermi-Energie beträgt 1,53 eV. Die Elektronen-Masse entspreche der des freien
Elektrons. Wie groß ist die Zustandsdichte in Cäsium bei E = EF , wenn die Größe
der Elementarzelle VEZ = (0, 614 nm)3 ist [3P]?
Für die Zustandsdichte gilt:
L3 2m 3/2 √
D(EF ) = 2
· E
4π
~2
Nun ist zu berücksichtigen, daß Elektronen 2 Spin-Einstellungen haben können (Faktor 2) und daß Cäsium 2 Elektronen pro Einheitszelle besitzt (2 Atome in einer Einheitszelle mit jeweils einem Valenz-Elektron, Faktor 12 ). Mit E = EF = 1, 53eV =
2, 45 · 10−18 J und L = a = 0.614 nm = 6, 14 · 10−10 m ergibt sich:
2 L3 2m 3/2 √
· E
DCu (EF ) = · 2
2 4π
~2
⇒ DCs (EF ) = 6, 09 · 1018 J−1
9. Halbleiter-Grundgleichungen
Beschreiben Sie mit Worten, welche physikalischen Sachverhalte in den HalbleiterGrundgleichungen zum Ausdruck kommen [3P].
• Drift- und Diffusionsgleichung
jn = enµn E + eDn ∇n
jp = epµp E + eDp ∇p
Der Strom aus Elektronen und Löchern setzt sich aus den jeweiligen durch das Feld
sowie den durch ein Konzentrationsgefälle getriebenen Ladungsträgern zusammen.
• Kontinuitätsgleichung
∂(−en)
+ ∇jn = −e(gn − rn )
∂t
∂(−ep)
+ ∇jp = −e(gp − rp )
∂t
Ändert sich die jeweilige Ladungsträgerdichte oder die Stromdichte, so müssen Ladungsträger erzeugt oder vernichtet worden sein.
• Poisson-Gleichung
−
∆φ = − e0 (p − n + n+
D − nA )
Das elektrostatische Potential hängt von den intrinsisch und den durch ionisierte Störstellen erzeugten Ladungen ab.
10. Temperaturabhängigkeit von Halbleitereigenschaften
Sie kühlen einen Halbleiter mit flüssigem Helium auf 4 K ab. Nun erhöhen Sie langsam die
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Temperatur auf einige 100 K. Die effektive Masse der Löcher m∗h entspreche der effektiven
Masse der Elektronen m∗e .
(a) Wie verhält sich dabei die Fermi-Energie eines p-dotierten Halbleiters (Begründung!)
[2P]?
Die Fermi-Energie nimmt zu.
Die Fermi-Energie liegt bei T=0 K im Fall eines p-dotierten Halbleiters in der Mitte
zwischen dem Energie-Niveau der Akzeptor-Störstellen und der Valenzband-Kante.
Bei der Erwärmung eines Halbleiters nimmt der Anteil der Leitungs-Elektronen, die
intrinsisch erzeugt werden, mit steigender Temperatur zu. Bei hinreichend hohen Temperaturen dominieren die intrinsisch erzeugten sogar die aus Störstellen erzeugten
Leitungs-Elektronen. Im intrinsischen Fall, liegt die Fermi-Energie aber in der Mitte
zwischen Valenz- und Leitungsband (siehe Teil a). Demnach muß die Fermi-Energie
mit steigenden Temperaturen zunehmen.
(b) Wie verhält sich dabei qualitativ die Beweglichkeit der Ladungsträger (Begründung)?
Welche Einflüsse bestimmen die Beweglichkeit [3P]?
Zunächst wächst die Beweglichkeit der Elektronen, da mit wachsender Temperatur
immer mehr Löcher aus den Akzeptor-Niveaus in das Valenzband gelangen. Oberhalb
einer Temperatur T0 sind die Störstellen erschöpft. Durch die steigende Temperatur
wird aber der Einfluß der Phononen (thermische Gitterschwingungen) immer größer.
Stöße mit den Phononen reduziert die Elektronen-Mobilität wieder.
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