5,974 · 10 kg 6371 km 9,81 m s 7,349 · 10 kg 1738 km m kg s

Fragen zu Kapitel III
III
Seite 1
Grundbegriffe der klassischen Mechanik
Fragen 3.1 bis 3.8
Zur Beantwortung der Fragen benötigen Sie folgende Daten
•
Masse der Erde
5,974 · 1024 kg
•
Erdradius
6371 km
•
Erdbeschleunigung
9,81 m s-2
•
Mondmasse
7,349 · 1022 kg
•
Mondradius
1738 km
•
Gravitationskonstante
6,674•10-11 m3 kg-1 s-2
3.1a Erläutern Sie die Grundzüge des astronomischen Weltbildes von
Ptolemäus! Von wann bis wann wurde es akzeptiert?
3.1b Beruhte der Aufbau der Planetenbahnen aus Zyklen und Epizyklen
nach Ptolemäus auf einem Naturgesetz oder auf einer „ad hoc“
Annahme? Erläutern Sie den Unterschied!
3.1c Welche einfachen Beobachtungen der Himmelserscheinungen
konnten zur Annahme des Aristoteles führen, dass man zwischen
„sublunaren“ und „translunaren“ Erscheinungen grundsätzlich unterscheiden müsse?
3.1d Erläutern Sie den Übergang vom Weltbild des Ptolemäus zum
Weltbild des Kopernikus!
3.1e Beantworten Sie die Frage, ob es sich dabei um den Übergang
zwischen „gleichwertigen Paradigmen“ oder um „echten Erkenntnisfortschritt“ handelt und begründen Sie Ihre Antwort!
3.2
Galileo Galilei (1564 – 1642) steht am Anfang der modernen Naturwissenschaft. Stellen Sie kurz dar, welche neue Methode Galilei
zur Beschreibung der Natur gegenüber der alten Naturphilosophie
einführte!
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3.3
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In der Physik haben alle Messgrößen x eine „Dimension“, dargestellt als [x]. Bei Definitionen und Naturgesetzen muss also auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Dimension stehen. Im SISystem sind die grundlegenden Größen der Mechanik mit ihren
Dimensionen
•
die Länge
das Meter
m,
•
die Masse
das Kilogramm
kg,
•
die Zeit
die Sekunde
s.
3.3a Geben Sie die Dimensionen folgender physikalischer Größen (Skalare oder Vektoren) an:
•
Weg
s
•
Geschwindigkeit
v
•
Beschleunigung
a
•
Masse
m
•
Kraft
F=ma
•
Gravitationskonstante G.
-2
3.3b Die Kraft, die der Masse von 1kg die Beschleunigung von 1m s
erteilt, ist 1N (Newton). Wegen F = m a gilt: 1N = 1kg 1m s
-2
Die Erdanziehung erteilt einer Masse m an der Erdoberfläche im
freien Fall die „Erdbeschleunigung“ g = 9,81 m s . Wie groß ist die
-2
Kraft, die auf eine Masse von 1kg wirkt?
3.3c Ein Körper beliebiger Masse m falle im freien Fall (idealer Weise im
Vakuum) an der Erdoberfläche vom Zeitpunkt t = 0 an. Welche
Geschwindigkeit v hat er zur Zeit t und welchen Weg s hat er zur
Zeit t zurückgelegt?
Welche Werte nehmen zahlenmäßig die Geschwindigkeit v in
[km/h] und der Weg s in [m] nach den Zeiten t = 5s und t = 10s
an?
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3.4a Ein Astronaut mit der Masse von 75 kg befindet sich auf dem
Mond. Wie groß ist die Kraft, mit der er vom Mond angezogen
wird? Wie groß ist diese Mondkraft im Bergleich zur Erdanziehung
(Angabe in %)?
3.4b Ein Satellit kreist in einer Höhe von 10.000 km über der Erde. Welche Geschwindigkeit hat er auf seiner Umlaufbahn? Wie groß ist
seine Umlaufdauer?
3.4c Die Erde umkreist die Sonne auf einer Ellipsenbahn. Der sonnen6
nächste Punkt (Perihel) wird mit 147,1•10 km im Winter (der
6
Nordhalbkugel) erreicht, der sonnenfernste (Aphel) mit 152,1•10
km im Sommer. Mit dem Durchgang der Erde durch die Ekliptik am
21.3. (Frühjahrspunkt) beginnt das Sommerhalbjahr. Um den 23.9.
schneidet die Erdbahn die Ekliptik erneut (Herbstpunkt). Dann beginnt das Winterhalbjahr. Mit welchem Gesetz können Sie erklären,
dass das Winterhalbjahr kürzer ist als das Sommerhalbjahr? Welcher Erhaltungssatz liegt diesem Gesetz zugrunde?
3.5
Stationäre Satelliten: Berechnen Sie den Abstand von der Erdoberfläche, den ein stationärer Satellit (also ein kleiner Mond) haben muss, um synchron mit der Erdumdrehung also in 24 Stunden
= 24 • 3600 Sekunden die Erde zu umrunden!
3.6
Für kleine Ausschläge s bzw. ϕ lautet die Pendelgleichung (siehe
Vorlesung)
d 2s
dV
m 2 = F ( s ) = −mω 2 s = −
ds
dt
mit
ω=
g
l
mω 2 2
und V ( s ) =
s
2
(3.6.1)
(3.6.2)
(3.6.3)
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3.6a Zeigen Sie, dass nach Einführung des „Impulses“
p (t ) = mv(t ) = m
ds
dt
p2
und der „Hamiltonfunktion“ H ( p, s ) =
+ V ( s)
2m
(3.6.4)
(3.6.5)
die Pendelgleichung umgeschrieben werden kann in die zwei „Hamiltongleichungen“
ds ∂ H ( p, s )
=
dt
∂p
(3.6.6)
∂ H ( p, s )
dp
=−
dt
∂s
(3.6.7)
3.6b Wiederholen Sie die in der Vorlesung gezeigten Schritte zur Ableitung des Energiesatzes aus der Pendelgleichung! Das Ergebnis
war:
[K(t) + V(t)] = E = zeitlich konstante Gesamtenergie.
Hierbei ist
2
•
m ⎛ ds ⎞
K (t ) = ⋅ ⎜ ⎟ die kinetische Energie
2 ⎝ dt ⎠
(3.6.8)
•
V (t ) =
m 2 2
ω s (t ) die potentielle Energie
2
(3.6.9)
d 2s
= −ω 2 s ,
3.6c Zeigen Sie durch Einsetzen in die Pendelgleichung
2
dt
dass s(t) = A cos(ω t) + B sin(ω t)
(3.6.10)
die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Sie enthält
die zwei zunächst nicht festgelegten Konstanten A und B.
3.6d Legen Sie die Konstanten A und B durch die Anfangswerte des
Ortes s0 = s(t=0) und der Geschwindigkeit v0 = v(t=0) fest.
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3.6e Zeigen Sie durch explizites Einsetzen der Lösung (3.6.10) in die
Formel für die Gesamtenergie E = K(v(t)) + V(s(t)), dass diese
tatsächlich zeitlich konstant bleibt. (Energieerhaltungssatz!)
3.7
Definieren Sie, was man unter einem „vollständig determinierten
System“ versteht und erläutern Sie, warum die Hamiltonschen
Gleichungen für „alle Teilchen der Welt“ bei gegebenen Anfangsbedingungen für alle Teilchenorte ri(0) und Teilchengeschwindigkeiten vi(0) ein vollständig determiniertes System beschreiben.
3.8
Deterministisches Chaos
3.8a Welche Eigenschaften müssen die Lösungen eines Differentialgleichungssystems
d qi
= f i (q1 ... qn ); i = 1,...n
dt
(3.8.1)
haben, um als „deterministische chaotische Trajektorie“ bezeichnet
werden zu können?
3.8b Warum darf eine chaotische Trajektorie nie exakt zum selben Systempunkt P(q1, …, qn) zurückkehren?
3.8c Diskutieren Sie qualitativ den Mangel an Voraussagbarkeit der
Weiterentwicklung chaotischer Trajektorien an Hand der anfänglich
zeitlich exponentiellen Auseinanderentwicklung von Lösungen benachbarter Anfangsbedingungen!