Theoretische Berechnung von EPR

Theoretische Berechnung
von EPR-Parametern
Hauptseminar SS 2008
von André Konopka
Übersicht
y
Was ist EPR?
y
Elemente relativistischer Quantenmechanik
y
Berechnung des g-Tensors
y
Berechnung der Hyperfein-Wechselwirkung
y
Zusammenfassung
17.07.2008
Übersicht
2
Was ist EPR?
Elektron Paramagnetische Resonanz
y
Aufspaltung der Energieniveaus durch (externe)
Magnetfelder
y
Spinsystem im Grundzustand (tiefe Temperaturen)
y
Resonante Absorption elektromagnetischer Strahlung
(z.B. Mikrowellen)
17.07.2008
Was ist EPR?
3
Einfaches EPR-Spektrum
Spin-HamiltonOperator
G Gˆ N Gˆ Gˆ
H = µ B B g S + ∑ I i Ai S
i =1
Parameter:
17.07.2008
Was ist EPR?
y
g-Tensor
y
Hyperfein-WW
4
komplexeres EPR-Spektrum
Drei (doppel-)
Linien
Eine weitere
Linie
Woher kommt
welche Linie ?
Greulich-Weber, Zur Struktur
von Punktdefekte in SiC
17.07.2008
Was ist EPR?
5
Gesucht ist der Zusammenhang zur
mikroskopischen Struktur
Drei verschieden Einbauplätze für N in SiC
lassen sich identifizieren
yZwei
yEin
quasi-kubische (k1&k2)
hexagonaler (h)
Stickstoff auf k1&k2 liefert die 3 (Doppel-)Linien
mit großer Aufspaltung und Stickstoff auf h die
zusätzliche Linie
Greulich-Weber, Zur Struktur
von Punktdefekte in SiC
17.07.2008
Was ist EPR?
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Elemente relativistischer QM
Notwendigkeit einer relativistischen Beschreibung, da viele
Effekte die EPR beeinflussen relativistischer Natur sind
y
Wechselwirkung der Elektronen mit Kernen auch in
Kernnähe wichtig
y
Spin-Bahn-Kopplung spielt entscheidende Rolle
17.07.2008
Elemente relativistischer QM
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Relativistische Grundgleichung ist DiracGleichung
GG
∂Ψ
i=
= cαπ + β mc 2 + V Ψ
∂t
{
G e G
mit π = p − A
c
G
(Minimale Kopplung)
⎛0
α i = ⎜⎜
⎝σ i
Kopplung groß &
kleine Komponete
17.07.2008
}
σi ⎞
⎛E
⎟⎟, β = ⎜⎜ 2
0⎠
⎝0
⎛ Ψ1 ⎞
⎜ ⎟
0 ⎞
⎜ Ψ ⎟ ⎛φ ⎞
⎟⎟, Ψ = ⎜ 2 ⎟ = ⎜⎜ L ⎟⎟
φ
Ψ
− E2 ⎠
⎜ 3⎟ ⎝ S ⎠
⎜Ψ ⎟
⎝ 4⎠
G G
G σ ⋅π
φS = S (r )
φL
2mc
G −1
G ⎡ E − V (r ) ⎤
mit S (r ) = ⎢1 +
2mc 2 ⎥⎦
⎣
Elemente relativistischer QM
8
Relativistische und nicht-relativistische
Elektronendichte für des 1s-Orbital
17.07.2008
Elemente relativistischer QM
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Berechnung des g-Tensors
Nach Foult-Wouthuysen-Transformation erhält man
⎛ G e G⎞
⎜ p − A⎟
G
G
e
ic G
e G G G
µB G G
c ⎠
⎝
H=
+ ge
σ ⋅ B + 2 2 ∇ ⋅ E + 2 2 σ ∇ × E + 2 2 σ ⋅ E ×π
2m
2
8m c
8m c
4m c
2
(
2
2 ∂ H
g ij =
α ∂S j ∂Bi
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)
(
)
(
)
Gσ G G
⎛
∂j (r , B) ⎞ 3
α
σ
so
⎟ d r
g ij =
σ ∫ ⎜⎜ ∇V ×
∑
∂Bi ⎟⎠ j
2 S eff σ = ±1 ⎝
Was ist EPR?
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Berechnung der Hyperfein-WW
G
Kerne können magnetisches Moment haben µ I = g N µ N I
G
Zusätzliche radialsymetrische B-Felder (bzw. Vektorpotentiale)
K G
K G
K
A(r ) = A( r ) = A(r )
G
G
G
µI
⎛1⎞
A(r ) = ∇ × G = − µ I × ∇⎜ ⎟
r
⎝r⎠
17.07.2008
Berechnung der Hyperfein-WW
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Störungsrechnung 1.Ordnung
Dirac-Gleichung und H1 als Störung
G
Da Dirac-Gleichung linear in p,
⎧ ⎛G e
H1 = ⎨ H D ⎜ π −
c
⎩ ⎝
G
⎛ G e G⎞
H1 = H D ⎜ π − A ⎟ − H D (π )
c ⎠
⎝
Ge G
GG
⎧ GG
⎫
2
= ⎨cαπ − cα A + β mc + eφ ⎬ − cαπ + β mc 2 + eφ
c
⎩
⎭
G
G
= −αA
{
∆EHF
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G⎞
G⎫
A ⎟ − H D (π )⎬
⎠
⎭
}
G G
= −e Ψ α ⋅ A Ψ
Berechnung der Hyperfein-WW
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Oder mit großer und kleiner Komponente:
∆EHF
{
G G
G G
= −e φ L σ ⋅ A φ S + φ S σ ⋅ A φ L
}
Kopplung von großer und kleiner Komponente zeigt
Hyperfein-WW als relativistischen Effekt !
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Berechnung der Hyperfein-WW
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Entkopplung
G G
G σ ⋅π
φS = S (r )
φL
2mc
∆E HF
G −1
G ⎡ E − V (r ) ⎤
mit S (r ) = ⎢1 +
2mc 2 ⎥⎦
⎣
G G G G G
G G G G G
e
=−
φL σ ⋅ A S (r )(σ ⋅ π ) + (σ ⋅ π ) σ ⋅ A S (r ) φL
2mc
(
)
(
)
G G G G G G G G G
mit (σ ⋅ a ) σ ⋅ b = a ⋅ b + iσ ⋅ a × b
( )
∆E HF
(
G G G
G G G G
G G G G
e
=−
φL 2 S (r ) A ⋅ π φL + φL iS (r )σ A × π + iσ π × AS (r ) φL
2mc
(
Bahnanteil
17.07.2008
)
{ (
)}
)
Spinanteil
Berechnung der Hyperfein-WW
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Bahnanteil
G G G
e
Orbit
∆EHF = −
φL S (r ) A ⋅ p φL mit
mc
G G
e G
S (r )
Orbit
⇒ ∆EHF = −
µ I φL 3 L φL
mc
r
G G
G G
µI
A⋅ p = " = 3 L
r
Bedeutung nimmt über S mit Stärke der Spin-Bahn zu
Für leichte Kerne weniger relevant als für schwere
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Berechnung der Hyperfein-WW
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Spin
∆E HF
Spinanteil
G G G
G G G G
=e
=−
φL σS (r ) A × ∇ + σ ⋅ p × AS (r ) φL
2mc
G
G G
G G
= − µ B φ L σ S ( r ) ∇ × A + ∇S ( r ) ⋅ A φ L
(
[ (
)
]
)
G
G
µI ⎞
⎛
mit ∇ × A = ∇ × ⎜ ∇ × ⎟
r ⎠
⎝
G G G
8π G G
1 G 2
=
µ I δ (r ) − 5 µ B r − 3r (µ I ⋅ r )
3
r
(
∆E
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Spin
HF
= ∆E
contact
HF
)
+ ∆E
dipol
HF
Berechnung der Hyperfein-WW
16
Spinanteil
∆E
dipol
∆E HF
Spin
HF
= ∆E
contact
HF
+ ∆E
dipol
HF
G
G G G G
S (r ) G G 2
= µ B φL 5 µ I σr − 3(σ ⋅ r )(µ I ⋅ r ) φL
r
{
}
Dieser Term beschreibt die Dipol-Dipol-WW von Kern- &
Elektronenspin (typische r-3-Abhängigkeit)
Ist der anisotrope Anteil der HF-WW und im Experiment bei
Drehung der Probe zu beobachten
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Berechnung der Hyperfein-WW
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Spinanteil
∆E
contact
∆E HF
=−
Spin
HF
= ∆E
contact
HF
+ ∆E
dipol
HF
G G G G
1 ∂S G G 2 G G G G
8π
µ B φL S (r ) µ I ⋅ σδ (r ) φL − µ B φL 4
σ ⋅ µ I r − (σ ⋅ r )(µ I ⋅ r ) φL
r ∂r
3
[
Term I
]
Term II
Der Term II verschwindet im nicht relativistischen Grenzfall,
während Term I gerade im bei relativistischer Rechnung wegfällt
17.07.2008
Berechnung der Hyperfein-WW
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Spinanteil
contact
∆E HF
G
∂S
S
(
r
)
=
1
⇒
=0
nichtrelativistischer Grenzfall
∂r
G G G G
1 ∂S G G 2 G G G G
8π
µ B φL S (r ) µ I ⋅ σδ (r ) φL − µ B φL 4
σ ⋅ µ I r − (σ ⋅ r )(µ I ⋅ r ) φL
=−
r ∂r
3
[
G G
8π
∆E
=−
µ B µ I mn.rel . (0)
3
G
G G
mit mn.rel (0) = φn.rel . σδ (r ) φn.rel .
]
contact , n.rel .
HF
Magnetisierungsdichte
Falls diese nur in eine Richtung
G
mz (0) = φn.rel . σ zδ (r ) φn.rel . = n ↑ (0) − n ↓ (0)
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Berechnung der Hyperfein-WW
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Spinanteil
relativistisch
contact
∆E HF
=−
G G G G
1 ∂S G G 2 G G G G
8π
µ B φL S (r ) µ I ⋅ σδ (r ) φL − µ B φL 4
σ ⋅ µ I r − (σ ⋅ r )(µ I ⋅ r ) φL
r ∂r
3
[
]
Für kleine r divergieren die rel. s-artigen Wellenfunktionen
φ (r ) ∝ r λ −1 mit λ = 1 − α 2 Z 2
G Ze 2
In Kernnähe gilt dann mit V ( r ) ≈
r
G
S (r ) =
2mc 2
G
2mc 2
r
⇒ S (r ) ⎯r⎯
⎯→
2
→0
2
Ze
Ze
2mc 2 + E −
r
G
2
S (r ) φL ∝ r 2(λ −1)r ∝ r 2 λ −1 ⎯r⎯
⎯→ 0
→0
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Berechnung der Hyperfein-WW
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Spinanteil
relativistisch
contact
∆E HF
=−
G G G G
1 ∂S G G 2 G G G G
8π
µ B φL S (r ) µ I ⋅ σδ (r ) φL − µ B φL 4
σ ⋅ µ I r − (σ ⋅ r )(µ I ⋅ r ) φL
r ∂r
3
[
]
rth
G
∂S
Ze 2
1 ∂S
2
=
mit
r
=
(Thomas
Radius)
⇒
δ
(
r
)
=
th
th
∂r [(1 + E mc 2 )r + rth 2 ]2
mc 2
4πr 2 ∂r
G G
8π
∆E
=−
µ B µ I mav
3
G
G G G 3
mit mav = ∫ δ th (r ' )m(r ' )d r '
contact , rel .
HF
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Berechnung der Hyperfein-WW
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Spinanteil
Vergleich der beiden Fälle liefert
k rel .
∆E contact ,rel .
=
∆E contact ,n.rel .
Atom
Z
krel
Si
14
1,022
Ge
22
1,144
Sn
50
1,421
Pb
82
3,000
Eine (skalar-)relativistische Rechnung wird also schon bei „relativ
leichten“ Elementen nötig!
17.07.2008
Berechnung der Hyperfein-WW
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Zusammenfassung
EPR ist geeignet Defekte in Festkörpern zu
identifizieren
y Berechnung von g-Tensor & HF-WW von
modellierten Defekten erleichter dieses
y Hyperfein-WW „relativ leicht“ durch
Störungsrechnung zu bestimmen
y Relativistische Effekte sind von
entscheidender Bedeutung
y
17.07.2008
Zusammenfassung
23
Danke für die Aufmerksamkeit
17.07.2008
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