2. Übungsblatt - Arbeitsgruppe Numerische Mathematik

Modellierungspraktikum SS 08
Dynamische Systeme
2. Übungsblatt: 28. April 2008
Aufgabe 2:
Die Bewegung der äußeren fünf Planeten um die Sonne wird beschrieben durch die Hamiltonfunktion
X X mi mj
1X 1 T
H(p, q) =
,
pi pi − G
2
mi
||qi − qj ||
6
6
i−1
i=2 j=1
i=1
wobei p = (p1 , . . . , p6 ) ∈ IR18 und q = (q1 , . . . , q6 ) ∈ IR18 die dreidimensionalen Impulse und
Koordinaten von (in dieser Reihenfolge) Sonne, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und Pluto
seien.
Die zugehörigen Bewegungsgleichungen sind von der Form
ṗ = F (q)
und
q̇i =
1
pi .
mi
Leiten Sie für dieses System wie in der Vorlesung den Geschwindigkeits-Störmer-VerletAlgorithmus her und lösen Sie damit die Bewegungsgleichungen. Implementieren Sie außerdem das explizite und beide Varianten des symplektischen Euler-Verfahrens und plotten Sie
jeweils die Bahn der 6 Himmelskörper in ein gemeinsames Schaubild.
Verwenden Sie dabei für das explizite Eulerverfahren die Schrittweite h = 10, für die symplektischen Eulerverfahren h = 100 und für den Störmer-Verlet-Algorithmus h = 200 (Tage).
Simulieren Sie die Bewegung jeweils für 200000 Tage. Eine Datei mit den Anfangswerten und
Konstanten finden Sie unter
http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/ModPraktSS08/Planeten.mat
Diese beschreiben Position und Impulse der sechs Himmelskörper am 5.9.94 um 0:00. Die verwendeten Einheiten sind A.E. für Längen (ca. 150.000.000.000km) und Erdentage für Zeiten.
Massen sind relativ zur echten Sonnenmasse angegeben und die Masse der hier simulierten
Sonne wurde leicht größer als eins gewählt um den Effekt der inneren Planeten zu berücksichtigen. Diese Daten stammen aus dem Buch
Hairer, Lubich, Wanner: Geometric Numerical Integration, Springer Verlag 2002,
das die Anfangspositionen aus ,,Ahnerts Kalender für Sternenfreunde 1994”, Johann Ambrosius Barth Verlag 1993 zitiert.
Ausgabe: Montag, 28. April 2008, in der Vorlesung
Abgabe: Freitag, 9. Mai 2008
Prof. Dr. C. Schneider · Dr. B. Gebauer · M. Simon
Institut für Mathematik, Johannes Gutenberg-Universität
Mainz,
http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/ModPraktSS08
55099
Mainz