Klausur 1 mit Lösung
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Klausur 1 mit Lösung Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (SS 08) Wolfgang v. Soden ([email protected]) Othmar Marti ([email protected]) 23. 07. 2008 Nachname: Vorname: Codewort: Matrikelnummer: Dieses wird vom Prüfer ausgefüllt: Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ Klausur 1 Pmax 1 1 1 1 1 1 1 1 2 10 20 Preal vom 23. 07. 2008 Nr. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Pmax 13 11 9 9 9 8 5 4 12 Σ 80 Preal Note: Prüfer: Gesamtpunktzahl: 1 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 2 0. Hinweise zur Bearbeitung der Klausur Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!. 1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug, Taschenrechner und 4 Blätter (acht Seiten, Grösse A4) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden! 2. Die Klausur umfasst: a) 1 Deckblatt b) Teil 0 (1 Seite) diese Hinweise. c) Teil 1 (3 Seiten) mit 9 Verständnisfragen. d) Teil 2 (3 Seiten) mit 10 Rechenaufgaben. e) 1 Blatt zum Eintragen der Antworten der 9 Verständnisfragen. f) 11 Blätter zum Lösen der 10 Rechenaufgaben (inklusive Diagramm zu Aufgabe 16). 3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname, Codewort und Matrikelnummer in leserlicher Druckschrift aus. 4. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer sowie bei allenfalls nötigen Zusatzblättern - eine Seitennummer. Schönschrift beim Schreiben erleichtert die Korrektur. Unleserliche Teile der Klausur werden nicht gewertet. 5. Tragen Sie Ihre Antworten zu den Verständnisfragen in das vorgesehene Blatt ein. 6. Lösen Sie alle Rechenaufgaben auf den dazugehörigen Aufgabenblättern mit den entsprechenden Aufgabennummern. Sollte der Platz nicht reichen, fügen Sie bitte zusätzliche Blätter an, die Sie klar und eindeutig beschriften. Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt. Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch. 7. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Aufgabenstellung bzw. der Konstantentabelle am Ende der Aufgaben, soweit angegeben. 8. Jede richtig gelöste Rechenaufgabe ergibt zwischen 4 und 13 Punkte. Viel Erfolg! Klausur 1 vom 23. 07. 2008 2 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 3 Teil I. Verständnisfragen Hier müssen Sie keine Rechnungen durchführen. 1. Widerstände 1 (1 Punkt) Werden immer mehr Glühbirnen zu der skizzierten Kette hinzugefügt, wird die gezogene Leistung a) zunehmen b) abnehmen c) gleich bleiben 2. Widerstände 2 (1 Punkt) Werden immer mehr Glühbirnen zu der skizzierten Kette hinzugefügt, wird die gezogene Leistung a) zunehmen b) abnehmen c) gleich bleiben 3. Widerstände 3 (1 Punkt) Werden immer mehr Glühbirnen zu der skizzierten Kette hinzugefügt, wird die gezogene Leistung a) zunehmen b) abnehmen c) gleich bleiben Klausur 1 vom 23. 07. 2008 3 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 4 4. Transformator (1 Punkt) Elektrische Induktion ist die Grundlage für das Funktionieren des Transformators, der einfach ein Klotz Eisen mit ein paar aufgewickelten Drähten ist. Wechselstrom in der Eingangs- oder Primärspule macht das Eisen zu einem wechselnden Magneten, der in der Ausgangs- oder Sekundärspule Strom «erzeugt». In den perfekten Transformator gibt man eine bestimmte Spannung und einen bestimmten Strom ein, also eine bestimmte Leistung oder Wattzahl. Aus dem Transformator muss dann dieselbe a) Stromstärke b) Spannung c) Leistung d) Stromstärke, Spannung und Leistung e) nichts vom obigem kommen. 5. Eisen in Spule 1 (1 Punkt) Eine Glühbirne wird wie gezeigt mit dicken Drähten an eine Stromquelle angeschlossen. Nachdem ein Stück Eisen in die Drahtspule gelegt wurde, wird das Licht a) heller b) dunkler c) leuchtet unverändert 6. Eisen in Spule 2 (1 Punkt) Eine Glühbirne wird wie gezeigt mit dicken Drähten an eine Stromquelle angeschlossen. Nachdem ein Stück Eisen in die Drahtspule geschoben ist, ist das Licht a) heller b) dunkler c) gleich hell wie zuvor Klausur 1 vom 23. 07. 2008 4 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 5 7. Motor (1 Punkte) Ein Gleichstrommotor dreht sich im Uhrzeigersinn, wenn Draht A mit der Plus-Klemme und B mit der Minus-Klemme einer Batterie verbunden wird (der Motor enthält keinen Permanentmagneten). Wenn wir jetzt A mit B vertauschen, so dass B zu Plus und A zu Minus wird, dann dreht sich der Motor a) im Gegenuhrzeigersinn b) weiterhin im Uhrzeigersinn 8. Kompass und Strom 1 (1 Punkt) Verläuft ein stromführender Draht direkt über einen Kompass, wird die Kompassnadel a) vom Strom nicht beeinflusst b) sich in senkrechter Richtung zum Draht drehen c) sich in parallele Richtung zum Draht drehen d) direkt zum Draht weisen wollen 9. Kompass und Strom 2 (2 Punkte) Ein Draht verbindet wie skizziert zwei entgegengesetzt geladene Platten (eines Kondensators). Ein Magnetnadel-Kompass befindet sich wie gezeigt außerhalb der Platten. Wird der Schalter geschlossen, wodurch die Platten sich über den Draht entladen können, gibt es momentan einen Strom im Draht. Man würde daher erwarten, dass der Kompass irgendwie beeinflusst wird. Wird er das? a) Ja, er wird beeinflusst. b) Nein, er wird nicht beeinflusst. Begründen Sie Ihre Antwort! Klausur 1 vom 23. 07. 2008 5 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 6 Teil II. Rechenaufgaben 10. Geladener Wassertropfen (10 Punkte) Carl Friedrich Gauß beobachtet einen kugelförmigen Wassertropfen (Durchmesser d = 0,25mm), der elektrisch soweit aufgeladen wird, wie die Durchschlagsfeldstärke der umgebenden Luft (|E max | = 30kV/cm) es erlaubt. a) Wie viel Ladung kann der Wassertropfen maximal aufnehmen? b) Wie groß muss der Betrag eines von außen angelegten homogenen elektrischen Feldes sein, um den Tropfen gegen die Schwerkraft in der Schwebe zu halten? c) Wie groß ist die Kapazität des Wassertropfens (als Kugelkondensator aufgefasst)? 11. Ladungsgleichgewicht (13 Punkte) An den vier Ecken eines gedachten Quadrates (Kantenlänge a = 2cm) befinde sich je eine Ladung q = 5 · 10−9 C. Damit diese Ladungen sich nicht von ihrem Platz entfernen, wird in die Mitte des Quadrates eine negative Ladung angebracht. a) Wie groß muss diese sein, dass die Ladungen an ihren Orten bleiben? b) Was ändert sich, wenn die Kantenlänge des Quadrates doppelt so groß ist? 12. Vektorfeld - Potential (11 Punkte) 8x · ez 9z 2 und E 2 = 4x − 2y 5z Gegeben seien zwei Vektorfelder E 1 = 2 z 4x · e + 5y 3x − 1 a) Eines der beiden ist ein konservatives Feld. Welches? b) Bestimmen Sie das skalare Potential zu dem konservativen Feld! 13. Elektron im Magnetfeld (9 Punkte) Ein Elektron fliegt senkrecht zu den Feldlinien in ein Gebiet mit einem homogenen Magnetfeld. a) Die Bahn des Elektrons wird im Magnetfeld kreisförmig sein. Wieso? b) Welche Orientierung hat der Kreis gegenüber den Magnetfeldlinien? c) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn, falls das Elektron vor dem Eintritt in das Magnetfeld H = 560A/m mit einer Spannung von U = 950V beschleunigt worden ist. 14. RLC-Netzwerk (9 Punkte) a) Wie groß ist die (Gesamt-)Impedanz nebenstehender Bauteile in der gezeigten Anordnung? b) Bei welcher Frequenz ist der Strom - bei gegebener Spannung minimal? c) Wie ist dann hier die Impedanz? Erklären Sie auch Ihr Ergebnis! Klausur 1 vom 23. 07. 2008 6 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 Klausur 1 7 15. Hallsonde (9 Punkte) Mit einer Hallsonde (a = 2cm, b = 1cm, c = 0,2cm) sollen Sie ein Magnetfeld ausmessen. Sie erhalten eine maximale Hallspannung UH = 5µV bei optimaler Ausrichtung der Sonde gegenüber dem Magnetfeld. Die Batterie zur Spannungsversorgung liefert UB = 9V. Sie wissen, dass die Ladungsträger in der Sonde Elektronen sind, ihre Konzentration n = 1018 /cm3 beträgt und die Leitfähigkeit des Sondenmaterials σ = 0,1S/m ist. a) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger? b) Wie groß ist das Magnetfeld und in welche Richtung zeigt dieses? Begründen Sie Ihre Antwort. 16. Verluste im Eisenkern (8 Punkte) Magnetisierungskurve 4 3 2 Dieses Diagramm finden Sie vergrößert bei den zur Verfügung gestellten (leeren) Aufgabenblättern. B /T 1 0 -1 -2 -3 -4 -10000 -5000 0 5000 10000 H / (A/m) Ein Elektromagnet mit zylindrischem Kern (Höhe h = 10cm, Durchmesser d = 11,3cm wird mit Wechselstrom der Frequenz ν = 50Hz betrieben. Das Kernmaterial zeigt obige Magnetisierungskurve für periodische Magnetfelder mit Amplitude H = 10000A/m. Nehmen Sie an, dass der magnetische Fluß der Spule völlig im Kern zu finden ist und die Spulenwicklung sich deshalb direkt am Zylindermantel (des Kerns) befindet. a) Welche Leistung benötigt dieser Elektromagnet? b) Wie groß ist die magnetische Permeabilität des Kerns bei einem Feld von H = 10000A/m? c) Wie groß muss die Stromamplitude in der Spule sein, wenn die Induktivität der Spule L = 0,1H ist und das maximale Magnetfeld H = 10000A/m erreicht werden soll? 17. Wellengleichung (5 Punkte) Leiten Sie die Wellengleichung für ein homogenes isotropes nichtleitendes Stück Material, dessen Ladungsträger unbeweglich sind, aus den Maxwell-Gleichungen ab. Klausur 1 vom 23. 07. 2008 7 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 8 18. Reflexion und Transmission (4 Punkte) Diamant hat eine Dielektrizitätszahl = 5,85, Luft hat = 1. a) Wie groß ist bei Lichteinfall aus Luft in den Diamanten das Verhältnis der reflektierten Intensität zur einfallenden bei senkrechter Beleuchtung der Diamantoberfläche? b) Wie groß ist in diesem Fall das Verhältnis der transmittierten Intensität zur einfallenden? 19. Sonneneinstrahlung (12 Punkte) Die mittlere Strahlungsleistung der Sonne in Erdentfernung beträgt pro Fläche S = 1380W/m2 . a) Wie groß ist diese zu Beginn des Sommers der Südhalbkugel? b) Und wie sind dann die Stärken der elektrischen und magnetischen Felder der Sonnenstrahlung? c) Wie groß ist die Leistung der Strahlung pro Fläche auf den Boden des Südpols? Die Erdachse hat gegenüber der Normalenrichtung der Erdbahnebene einen Winkel von φ = 23,5◦ . Die mittlere Entfernung Erde-Sonne sei R = 1,5 · 1011 m. Die Exzentrizität der Erdbahn bewirkt, dass (ungefähr) bei Sommeranfang bzw. Winteranfang dieser Wert um ±1,67% geändert ist. Nehmen Sie an, dass exakt zum Sommerbeginn auf der Nordhalbkugel die Entfernung SonneErde maximal ist. Konstanten: Naturkonstanten: Lichtgeschwindigkeit Magnetische Feldkonstante Elektrische Feldkonstante Elementarladung Elektronenmasse c µ0 0 e me 3 · 108 4π · 10−7 8,854 · 10−12 1,6022 · 10−19 9,11 · 10−31 m/s H/m F/m C kg Sonstiges: Erdbeschleunigung Dichte von Wasser (ca.) g ρw 10 1000 m/s2 kg/m3 Klausur 1 vom 23. 07. 2008 8 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 9 Teil III. Lösungen 1. Widerstände 1 (1 Punkt) a a) zunehmen b) abnehmen b c) gleich bleiben c a b c 2. Widerstände 2 (1 Punkt) a) zunehmen b) abnehmen c) gleich bleiben a b c 3. Widerstände 3 (1 Punkt) a) zunehmen b) abnehmen c) gleich bleiben a b c d e 4. Transformator (1 Punkt) a) Stromstärke b) Spannung c) Leistung d) Stromstärke, Spannung und Leistung e) nichts vom obigem a b c 5. Eisen in Spule 1 (1 Punkt) a) heller b) dunkler c) leuchtet unverändert a b c 6. Eisen in Spule 2 (1 Punkt) a) heller b) dunkler c) gleich hell wie zuvor a b 7. Motor (1 Punkte) a) in Gegenuhrzeigersinn b) weiterhin im Uhrzeigersinn a b c d 8. Kompass und Strom 1 (1 Punkt) a) vom Strom nicht beeinflusst b) sich in senkrechter Richtung zum Draht drehen c) sich in parallele Richtung zum Draht drehen d) direkt zum Draht weisen wollen a b 9. Kompass und Strom 2 (2 Punkte) a) Ja, er wird beeinflusst. b) Nein, er wird nicht beeinflusst. Begründung: Die Änderung des Verschiebungsfeldes zwischen den Platten kompensiert den Effekt durch den Kurzschlussstrom Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 9 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 10 10. Geladener Wassertropfen (10 Punkte) Aufgabe: Carl Friedrich Gauß beobachtet einen kugelförmigen Wassertropfen (Durchmesser d = 0,25mm), der elektrisch soweit aufgeladen wird, wie die Durchschlagsfeldstärke der umgebenden Luft (|E max | = 30kV/cm) es erlaubt. a) Wie viel Ladung kann der Wassertropfen maximal aufnehmen? b) Wie groß muss der Betrag eines von außen angelegten homogenen elektrischen Feldes sein, um den Tropfen gegen die Schwerkraft in der Schwebe zu halten? c) Wie groß ist die Kapazität des Wassertropfens (als Kugelkondensator aufgefasst)? Lösung: Die Ladungsverteilung innerhalb des Tropfens ist unerheblich. Es wird zur Beantwortung der Fragen a) und b) mit punktförmiger Ladung im Tropfenmittelpunkt gerechnet. Das elektrische Feld E ist das einer Punktladung q im Abstand des Radius r(= 0,125mm), also E = 4πq0 r2 und hat den Wert der Durchschlagsfeldstärke Em (= 30kV/m), wodurch die Größe der Ladung festliegt q = Em 4π0 r2 (= 5,2 · 10−12 C). Die Kapazität eines Kugelkondensators ist C = 4π0 · r. Bei gegebenem Radius r = 0,125mm ergibt sich C = 13,9 · 10−15 F . Die Masse des Wassertröpfchens ergibt sich aus dessen Volumen und Dichte ρ(= 1000kg/m3 ). Die Kraft im Schwerefeld ist bekanntlich F = mg und soll gleich der Kraft infolge des Feldes sein, also F = qE. Zusammengefasst: E = 30ρrg · Em = 15kV/m bei gegebenen Werten. Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 10 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 11 11. Ladungsgleichgewicht (13 Punkte) Aufgabe: An den vier Ecken eines gedachten Quadrates (Kantenlänge a = 2cm) befinde sich je eine Ladung q = 5 · 10−9 C. Damit diese Ladungen sich nicht von ihrem Platz entfernen, wird in die Mitte des Quadrates eine negative Ladung angebracht. a) Wie groß muss diese sein, dass die Ladungen an ihren Orten bleiben? b) Was ändert sich, wenn die Kantenlänge des Quadrates doppelt so groß ist? Lösung: Lösungsgang: Man setzt sich auf einen Eckpunkt des Quadrats, berechnet über das CoulombGesetz die Kräfte von der unbekannten Gegenladung im Mittelpunkt des Quadrats, vom gegenüberliegenden Eckpunkt und von den beiden benachbarten Eckpunkten (bei diesen heben sich die Kraftkomponenten auf, die nicht in Richtung der Quadratdiagonalen weisen). Also alle Kräfte sind parallel und müssen im Gleichgewicht 0 ergeben, wodurch die Ladung in der Mitte bestimmt ist. p Die Kraft von der Zentralladung qz im Abstand r = 21 a (2) (a=Kantenlänge des Quadrates) qqz q ist gemäß dem Coulombgesetz Fz = 4π 2 = kqz 2 mit der Abkürzung k = 4π a2 . 0r 0 p Die Kraft von der Ladung q gegenüber im Quadrat im Abstand r = a (2) ist F2 = 4πqq0 a2 12 = kq 12 Die Kräfte von der beiden benachbarten Ladungen q in den restlichen Ecken des Quadrats im Abstand r = a addieren sich so, dass die resultierende Kraft in dieselbe Richtung zeigt wie die von der gegenüberliegenden Ecke. Der Betrag der Einzelkraft ist F1 = F √3 = kq. Diese Kräfte kompensieren sich aber teilweise, der wirksame Teil ist F1w = F3w = kq 22 . Die Ladungsanordnung soll im Gleichgewicht sein, die Summe aller Kräfte muss also verschwinden. Fz √+ F1w + F2 √+ F3w = 0 oder obiges eingesetzt und durch k dividiert: √ qz 2 + q 22 + q 12 + q 22 = 2qz + q 12 (1 + 2 2) = 0. √ Somit ist die gesuchte Ladung qz = −q 41 (1 + 2 2) = −4,786 · 10−9 C. Sie hat das entgegengesetzte Vorzeichen der Ladungen an den Quadratecken und ist unabhängig von der Kantenlänge des Quadrates. Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 11 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 12 12. Vektorfeld - Potential (11 Punkte) Aufgabe: 8x · ez 9z 2 und E 2 = 4x − 2y 5z Gegeben seien zwei Vektorfelder E 1 = 2 z 4x · e + 5y 3x − 1 a) Eines der beiden ist ein konservatives Feld. Welches? b) Bestimmen Sie das skalare Potential zu dem konservativen Feld! Lösung: Das erste Feldhat ein Potential da ∂Ez ∂Ey ∂ 2 · ez + 5y) − ∂ (5z) − (4x 8x · ez ∂y ∂z ∂z ∂ ∂y ∂Ez z ) − ∂ (4x2 · ez + 5y) = x = 5z = rot E1 = rot (8x · e − ∂E ∂z ∂x ∂z ∂x ∂ ∂ ∂Ey z) ∂Ex 4x2 · ez + 5y (5z) − (8x · e ∂x ∂y ∂x − ∂y 5−5 8x · ez − 8x · ez = 0 ist. 0−0 Das zweite Feld da hat 2keinPotential ∂ ∂ (3x − 1) − ∂z (4x − 2y) 0−0 9z ∂y ∂ ∂ rot E2 = rot 4x − 2y = ∂z (9z 2 ) − ∂x (3x − 1) = 18z − 3 6= 0 ist. ∂ ∂ 2 4−0 3x − 1 ∂x (4x − 2y) − ∂y (9z ) Beim ersten Feld wird zur Potentialberechnung z.B. angenommen, dieses sei am Koordinatenursprung 0. Dann wird von dort entlang der x-Achse integriert bis zum Punkt (x,0,0) mit der entsprechenden Feldkomponente, also R x hier Rx V (x,0,0) = 0 Ex dx = 0 8x · ez dx = 4x2 − 0 = 4x2 (da z hier 0). Als nächstes wird parallel zur y-Achse integriert von (x,0,0) nach (x,y,0) mit der entsprechenden Feldkomponente, also R y hier Ry V (x,y,0) = 0 Ey dy = 0 5zdy = 0 + 4x2 − 0 = 4x2 (da z auch hier 0, 4x2 ist das Potential von dem x-Koordinate herrührend). Zum Schluß wird parallel zur z-Achse integriert von (x,y,0) nach (x,y,z) mit der entsprechenden Feldkomponente, R z also hier Rz V (x,y,z) = 0 Ez dz = 0 (4x2 · ez + 5y)dz = 4x2 · ez + 5yz − 4x2 + 4x2 = 4x2 · ez + 5yz als Endergebnis (im vorletzten Ausdruck ist −4x2 der Wert an der unteren Grenze des Integrals und +4x2 das Potential zur x-Koordinate). Ein anderer Lösungsweg wäre, die Potentiale für die drei Richtungen einzeln zu berechnen (über Integration) und die dabei nötigen Integrationskonstanten, die jeweils nur von den beiden aktuellen Koordinaten abhängen dürfen, durch Vergleich der drei Ergebnisse für das gleiche Potential zu ermitteln. Zur Kontrolle sollte geprüft werden, ob sich aus dem gefundenen Potential V das gegebene Feld E ergibt: E = grad V . Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 12 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 13 13. Elektron im Magnetfeld (9 Punkte) Aufgabe: Ein Elektron fliegt senkrecht zu den Feldlinien in ein Gebiet mit einem homogenen Magnetfeld. a) Die Bahn des Elektrons wird im Magnetfeld kreisförmig sein. Wieso? b) Welche Orientierung hat der Kreis gegenüber den Magnetfeldlinien? c) Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn, falls das Elektron vor dem Eintritt in das Magnetfeld H = 560A/m mit einer Spannung von U = 950V beschleunigt worden ist. Lösung: Die Kraft F auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte Ladung q in einem Magnetfeld B ist F = qv × B. Diese ist wegen des Vektorprodukts immer senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld und, sofern diese senkrecht zueinander stehen, immer konstant. In diesem Fall führt dies auf eine Kreisbewegung mit konstanter Zentripetalbeschleunigung und konstanter Geschwindigkeit. Die Kreisebene ist senkrecht zu den Magnetfeldlinien, die Kreisflächennormale zeigt also in Richtung der Feldlinien. Die Magnetische Induktion B berechnet sich aus dem Magnetfeld H über B = µ0 H im Va2 kuum, das hier angenommen wird. Die Zentripetalkraft bei Kreisbewegung ist Fz = mv r mit r=Kreisradius. Die Geschwindigkeit des Elektrons ergibt sich aus dessen kinetischen Energie, die gleich der Energie ist, die dieses durch die Beschleunigung im elektrischen Feld mit Potentialunterschied U erfahren hat, also 12 mv 2 = qU mit q = −e der Elementarladung und m = me q 2U me 1 = der Masse des Elektrons. Dies zusammengeführt ergibt r = mv qB e µ0 H = 0,1478m. Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 13 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 14 14. RLC-Netzwerk (9 Punkte) Aufgabe: a) Wie groß ist die (Gesamt-)Impedanz nebenstehender Bauteile in der gezeigten Anordnung? b) Bei welcher Frequenz ist der Strom - bei gegebener Spannung minimal? c) Wie ist dann hier die Impedanz? Erklären Sie auch Ihr Ergebnis! Lösung: Die Impedanz ist (Serien- und Parallel-Schaltung) Z = RV + R . 1 (ωC− ωL ) Minimaler Strom fließt, wenn die Impedanz maximal ist, der Nenner im q Bruch also minimal 1 2 wird (Zähler ist frequenzunabhängig). Der Betrag des Nenners ist N = 1 + R2 ωC − ωL . q 1 1 Dieser wird minimal, wenn die innere Klammer Null wird, also gilt ωC = ωL oder ω = LC Dies ist die Resonanzfrequenz des (Parallel-)Schwingkreises, bei der der gesamte Strom durch den Widerstand festgelegt ist, da die dazu parallelen Spule und Kondensator durch den resonanten Strom blockiert sind. Der Widerstand ist also in diesem Fall rein ohmsch und lautet Z = Rges = RV + R. Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 14 1 R 1 1 + iωL +iωC = RV + 1+iR c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 15 15. Hallsonde (9 Punkte) Aufgabe: Mit einer Hallsonde (a = 2cm, b = 1cm, c = 0,2cm) sollen Sie ein Magnetfeld ausmessen. Sie erhalten eine maximale Hallspannung UH = 5µV bei optimaler Ausrichtung der Sonde gegenüber dem Magnetfeld. Die Batterie zur Spannungsversorgung liefert UB = 9V. Sie wissen, dass die Ladungsträger in der Sonde Elektronen sind, ihre Konzentration n = 1018 /cm3 beträgt und die Leitfähigkeit des Sondenmaterials σ = 0,1S/m ist. a) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger? b) Wie groß ist das Magnetfeld und in welche Richtung zeigt dieses? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: Der Widerstand der Hallsonde berechnet sich aus R = a bcσ = 10kΩ Damit ist der Strom I = URB = 0,9mA Und damit kann die Geschwindigkeit berechnet werden I = 0,28mm/s v = qnbc Damit ergibt sich B = UvbH = 1,78T. Die Richtung von B ergibt sich aus der Lorentzkraft F = qv × B. Da die Ladungsträger Elektronen sind, die Hallspannung an der Sonde von unten nach oben zeigt, sammeln sich die Elektronen am Boden, die Kraft zeigt also nach unten. Die Flußrichtung der Elektronen ist von rechts nach links, da sie aber negativ geladen sind, muss die entgegengesetzte Richtung benutzt werden bei Anwendung der rechten Handregel. Damit zeigt das Magnetfeld aus der Zeichenebene nach vorne. Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 15 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 vom 23. 07. 2008 16 16 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 17 16. Verluste im Eisenkern (8 Punkte) Aufgabe: Magnetisierungskurve 4 3 2 Dieses Diagramm finden Sie vergrößert bei den zur Verfügung gestellten (leeren) Aufgabenblättern. B /T 1 0 -1 -2 -3 -4 -10000 -5000 0 5000 10000 H / (A/m) Ein Elektromagnet mit zylindrischem Kern (Höhe h = 10cm, Durchmesser d = 11,3cm wird mit Wechselstrom der Frequenz ν = 50Hz betrieben. Das Kernmaterial zeigt obige Magnetisierungskurve für periodische Magnetfelder mit Amplitude H = 10000A/m. Nehmen Sie an, dass der magnetische Fluß der Spule völlig im Kern zu finden ist und die Spulenwicklung sich deshalb direkt am Zylindermantel (des Kerns) befindet. a) Welche Leistung benötigt dieser Elektromagnet? b) Wie groß ist die magnetische Permeabilität des Kerns bei einem Feld von H = 10000A/m? c) Wie groß muss die Stromamplitude in der Spule sein, wenn die Induktivität der Spule L = 0,1H ist und das maximale Magnetfeld H = 10000A/m erreicht werden soll? Lösung: Lösungsweg: Zuerst wird der Energieverlust pro Periode berechnet aus der halben eingeschlossenen Fläche der Magnetisierungskurve, die den Energiedichteverlust pro Periode darstellt, und dem Volumen des Magnetspulenkernes. Dann kann mit der Frequenz die benötigte Leistung berechnet werden. Die Permeabilität ist aus dem Diagramm abzulesen bei der entsprechenden Abszisse durch Ablesen von B(H) = µµ0 H. Der Fluß ist einerseits über den Strom und die Induktivität zu bestimmen und andererseits aus der magnetischen Induktion und der Spulenkernfläche, wodurch der Strom festgelegt ist. d2 π 3 Das Volumen des Kernes R ist V = h 4 = 0,001m Energiedichte ist w = B · dH = Fläche in Magnetisierungskurve. Die eingeschlossene Fläche der Magnetisierungskurve ist Breite (=2000A/m) mal Höhe (= 2 · 3,5T) des Parallelograms (die leicht schrägen, fast waagerechten Stücke können durch waagerechte in der Mitte ersetzt werden), also wp = H · B = 2000 · 7J/m3 = 14kJ/m3 Der Verlust pro Periode ist Wp = wp · V = 14J, in einer Sekunde also Ws = Wp · ν = 700J/s. Man braucht also als Leistung P = 700W, um den Elektromagneten betreiben zu können. Die Permeabilität des Kerns ist einfach aus dem Verhältnis von B zu H bei H = 10000Am 3,8T abzulesen über µ = µB = 4π10−7 H/m · 10000A/m = 302,4 0H Der magnetische Fluß Φ ist einerseits aus der (Querschnitts-)Fläche A = πd2 /4 des Eisenkerns und der magnetischen Induktion B zu berechnen (Φ = A · B), andrerseits aus der Induktivität A·B πd2 B L und dem Strom I (Φ = L · I), also I = Φ L = L = 4L = 0,38A. Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 17 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 18 17. Wellengleichung (5 Punkte) Aufgabe: Leiten Sie die Wellengleichung für ein homogenes isotropes nichtleitendes Stück Material, dessen Ladungsträger unbeweglich sind, aus den Maxwell-Gleichungen ab. Lösung: ∂E Die 2. und 4. Maxwell-Gleichung lauten: rot E = − ∂B ∂t und rot H = i + 0 ∂t Falls kein Strom vorhanden ist, vereinfacht sich dies (in Materie) zu: rot E = − ∂B ∂t und ∂E rot B = µµ0 0 ∂t Auf die letzte Gleichung rot angewendet und die vorletzte Gleichung eingesetzt ergibt: rot rot B = 2 −µµ0 0 ∂∂tE 2 Wegen der Identität rot rot B = grad div B − div grad B = grad div B − ∆B und mit div B = 0 2 ergibt sich daraus die Schwingungsgleichung ∆B = µµ0 0 ∂∂tB 2 . 2 Durch dasselbe Vorgehen, aber mit vertauschten Rollen, ergibt sich ∆E = µµ0 0 ∂∂tE 2 . Der Term grad ρ, der dabei wegen div D = ρ auftritt (ρ = Ladungsdichte), ist Null, da das Material homogen sein soll. Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 18 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 19 18. Reflexion und Transmission (4 Punkte) Aufgabe: Diamant hat eine Dielektrizitätszahl = 5,85, Luft hat = 1. a) Wie groß ist bei Lichteinfall aus Luft in den Diamanten das Verhältnis der reflektierten Intensität zur einfallenden bei senkrechter Beleuchtung der Diamantoberfläche? b) Wie groß ist in diesem Fall das Verhältnis der transmittierten Intensität zur einfallenden? Lösung: √ Brechungsindex von Diamant ist n = µ = 2,4175 1 Bei Reflexion und senkrechtem Einfall gilt für das E-feld E r = E e nn22 −n +n1 2 1 Für die Intensitäten muss quadriert werden: Ir = Ie nn22 −n +n1 2 1 Das gesuchte Verhältnis ist also IIre = nn22 −n = 0,172 +n1 Der Rest von I wird transmittiert, also I = I − I = I 4 · n2 · n1 e Das gesuchte Verhältnis ist also Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 It Ie = t e 4n2 · n1 = (n2 +n1 )2 19 r e (n2 +n1 )2 0,828 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden Lösung Klausur 1 Elektrizitätslehre und Magnetismus SS 2008 20 19. Sonneneinstrahlung (12 Punkte) Aufgabe: Die mittlere Strahlungsleistung der Sonne in Erdentfernung beträgt pro Fläche S = 1380W/m2 . a) Wie groß ist diese zu Beginn des Sommers der Südhalbkugel? b) Und wie sind dann die Stärken der elektrischen und magnetischen Felder der Sonnenstrahlung? c) Wie groß ist die Leistung der Strahlung pro Fläche auf den Boden des Südpols? Die Erdachse hat gegenüber der Normalenrichtung der Erdbahnebene einen Winkel von φ = 23,5◦ . Die mittlere Entfernung Erde-Sonne sei R = 1,5 · 1011 m. Die Exzentrizität der Erdbahn bewirkt, dass (ungefähr) bei Sommeranfang bzw. Winteranfang dieser Wert um ±1,67% geändert ist. Nehmen Sie an, dass exakt zum Sommerbeginn auf der Nordhalbkugel die Entfernung SonneErde maximal ist. Lösung: Auf der Erde wird die Intensität der Sonnenstrahlung durch den variablen Abstand der Erde von der Sonne und, falls die Einstrahlung auf den Boden interessiert, durch den Einfallswinkel der Strahlung am betrachteten Ort beeinflusst. Am Sommeranfang am Südpol (21. Dezember) ist die Erdachse maximal zur Sonne hin ausgerichtet, der Einfallswinkel gegen die Horizontale also φ = 23,5◦ , der Neigungswinkel der Erdachse. Die Exzentrizität (δ)) der Erdbahn bewirkt, dass beim Aphel (Anfang Juli) die Erde von der Sonne am entferntesten ist, beim Perihel im Januar am nähesten. Die Strahlungsintensität ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von der Strahlenquelle. Die Sonneneinstrahlung auf der Erde muss also beim Perihel, das genähert am hiesigen Winteranfang stattfindet (und damit dem Sommeranfang auf der Südhalbkugel), mit den 2 Faktor f = 1 + ∆ = (1 + δ)2 ≈ 1 + 2δ = 1,0334 multipliziert werden ( ∆ R R = δ = 0,0167). Zusammengefasst beträgt also die Sonneneinstrahlung am Südpol (unabhängig von der Uhrzeit) am dortigen Sommeranfang in der Luft durch eine Fläche senkrecht zur Einstrahlrichtung Sss = S · (1 + 2δ) = 1426W/m2 und auf den Boden Sss = S · (1 + 2δ) sin φ = 568,7W/m2 denselben Wert vermindert mit dem Sinus der Einstrahlrichtung gegenüber dem Horizont. r q Das elektrische bzw. magnetische Feld berechnet sich aus dem Poynting-Vektor zu E = S · µ00 = r q 733V/m bzw. H = S · µ00 = 1,945A/m (beides in der Luft). Herleitung: Der Poynting-Vektor S = E × H (daraus S = E · H da E senkrecht zu H) gibt die Energieflussdichte bei einer Elektromagnetischen Welle an. Die Energiedichte w hat zwei gleichgroße Anteile aus den zwei Feldern, also w = 12 0 · E 2 + 12 µ0 · H 2 = 0 · E 2 = µ0 · H 2 . q q Hieraus folgt H = µ00 E bzw. E = µ00 H. r q q q µ0 2 0 2 Dies in S = E · H eingesetzt ergibt S = S · µ00 bzw. 0 H = µ0 E und weiters E = r q H = S · µ00 (beides im Vakuum bzw. genähert in Luft). Lösung Klausur 1 vom 23. 07. 2008 20 c 2008 University of Ulm, W. v. Soden
