Extra Dimensionen

Extra Dimensionen
Gibt es sie, und wie können wir sie finden ?
Seminarvortrag am 03.07.08 – Peter Müller
Gliederung
1.
1.1
1.2
1.3
2.
2.1
2.2
2.3
3.
3.1
3.2
3.3
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
Geschichte der Dimensionen
Euklidische Geometrie
Relativitätstheorie
Kaluza-Klein Theorie
String Theorie
Grundlagen
Varianten
Zusätzliche Dimensionen
Hierarchieproblem und Ausweg
Zu schwache Gravitation
Planck Skala
ADD Modell
Experimentelle Befunde
Direkte Messung der Gravitation
Drell-Yan Prozess
Astronomische Beobachtungen
Schwarze Mini-Löcher
Zusammenfassung
Abschlussüberlegung
Was ist eine „Dimension“ ?
•
Der Begriff der Dimension tritt in einer Vielzahl von Zusammenhängen auf. Kein einzelnes
mathematisches Konzept vermag es, die Dimension für alle Situationen zufriedenstellend zu
definieren, darum existieren für verschiedene Räume auch unterschiedliche Dimensionsbegriffe.
• Für uns wichtig : Hamel-Dimension
- Die Dimension ist die größtmögliche Anzahl
linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum.
- Die Dimension ist gleich der Mächtigkeit eines
minimalen Erzeugendensystems.
- Die Dimension beschreibt die Anzahl der
Freiheitsgrade der Bewegung in einem Raum.
Euklidische Geometrie
-
Euklid, griechischer Mathematiker, ca 365 bis 300 v.Chr.
-
Begründet zum ersten Mal axiomatisch die Geometrie.
-
In einem Euklidischen Vektorraum sind die einzelnen
Dimensionen über das euklidische Skalarprodukt
mit einander verknüpft.
-
Die Anzahl der Dimensionen beträgt aufgrund
offensichtlicher Beobachtungen 3.
-
Der Raum ist dank dem Parallelaxiom nicht gekrümmt.
Zwei Geraden heißen dabei parallel, wenn sie in einer
Ebene liegen und keinen gemeinsamen Punkt haben.
( Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180° )
Die Spezielle Relativitätstheorie
Einsteins Vereinigung der 3 Raumdimensionen mit der
Zeit führte zur 4 dimensionalen Raumzeit.
In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden die
dreidimensionalen Raumkoordinaten (x,y,z) um eine
Zeitkomponente ct zu einem Vierervektor erweitert, also (ct,x,y,z).
Ein Punkt in der Raumzeit besitzt drei Raumkoordinaten sowie
Eine Zeitkoordinate und wird als Ereignis bezeichnet.
Für Ereignisse wird ein raum-zeitlicher Abstand definiert :
ds2 = ημνdxμdxν = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2.
Im Minkowski-Diagramm wird nur 1 (oder 2) Raumdimension auf der X-Achse ( und Z-Achse )
betrachtet, ergänzt durch die Zeitkoordinate auf der Y-Achse.
Die Allgemeine Relativitätstheorie
Geschaffen als Theorie für die Gravitation, beschreibt sie die Wechselwirkung zwischen Energie
einerseits und der Raumzeit andererseits. Die Einstein‘schen Feldgleichungen beschreiben hierbei die
Art und Weise wie die Raumzeit durch die enthaltene Energie gekrümmt wird.
Einstein‘sche Feldgleichungen
Dabei ist Rμν der Ricci-Krümmungstensor, R der
Ricci-Krümmungsskalar, gμν der metrische Tensor,
Λ die kosmologische Konstante, c die Lichtgeschwindigkeit,
G die Gravitationskonstante und Tμν der Energie-Impuls-Tensor.
Die ART ist experimentell sehr genau bestätigt.
Die Kaluza-Klein-Theorie
1921 stellte Kaluza eine 5-dimensionale Theorie vor, die den Elektromagnetismus und die
Gravitation einheitlich erklären sollte.
Aus Symmetriegründen war es nötig, eine vierte Raumdimension einzuführen. Da man
diese aber in der Wirklichkeit nicht sieht, schlug Klein vor, die zusätzliche Dimension sei
kompaktifiziert, aufgerollt sozusagen.
Theodor Kaluza
Oskar Klein
Da die Theorie aber nicht erklären konnte, warum die Gravitation so viel schwächer war als der
Elektromagnetismus, und weil sie nicht zu der immer populärer werdenden Quantenmechanik
passte, geriet sie bald in Vergessenheit.
Die Ursprünge der String-Theorie
Auf der Suche nach einer vereinheitlichten Theorie
von Gravitation und Quantenfeldtheorie, kam den
Forschern erstmals in den 60er und 70er Jahren die
Stringtheorie in den Sinn.
Die fundamentalen Bausteine sind hierbei keine
Punktteilchen ( null-dimensionale Objekte), sondern
Fäden ( ein-dimensionale Objekte ), die man als
Strings bezeichnet. Auch mehrdimensionale Objekte
wären möglich, die man als Branes bezeichnet.
Diese Strings können offen sein ( Anfang & Ende ) oder
geschlossen ( Kreis ) und schwingen.
Die verschiedenen Anregungszustände dieser
Schwingungen werden als die uns bekannten
Elementarteilchen interpretiert.
Verschiedene Varianten der Stringtheorie
Es existieren 5 verschiedene Stringtheorien
-
Die Typ-I Stringtheorie ( mit offenen & geschlossenen Strings )
Typ-IIA/B Stringtheorien ( nur mit geschlossenen Strings )
2 heterotische Stringtheorien ( nur geschlossene Strings )
Später fand man heraus, dass möglicherweise all
diese ( und die Theorie der 11-dim Supergrav. ) nur
Grenzfälle einer übergeordneten Theorie sind,
die man als M-Theorie bezeichnet.
Die einzelnen Theorien sind hierbei über Dualitäten
mit einander verknüpft ( S-Dualität und T-Dualität )
Die M-Theorie wird auch manchmal als
„Theory of Everything“ bezeichnet.
Die Theorie selber ist noch völlig unbekannt,
sicher ist nur, sie benötigt sogar 11 Dimensionen.
Stringtheorien und zusätzliche Dimensionen
•
Zusätzliche Raumdimensionen wurden bislang nicht beobachtet => mögliche Kompaktifizierung
•
Abschätzung für Auftreten von Abweichungen durch zusätzliche Dimensionen :
Schwarzschildradius Compton Wellenlänge
⇒
Planck-Masse
= 1,2 · 1019 GeV/c2
⇒
Planck-Länge
= 1,6 · 10-35 m
Problem :
Für so hohe Energien bräuchte
man nach gängiger Technik
einen riesigen Beschleuniger.
~
Das Hierarchie-Problem
Schwache Kraft : relative Stärke 10-5
Gravitation : relative Stärke 10-40
Warum ist die
Gravitation
So schwach ?
„Große“ Extra Dimensionen ( LED‘s )
Mögliche Lösung für das Hierarchie Problem
Modifizierte Planck Skala
=>
:
Große Extra Dimensionen
Mit LHC möglicherweise erreichbar.
Energie ab der Zusatzdimension spürbar sind m
f
Größe der zugehörigen Dimensionen R
Anzahl der zusätzlichen Dimensionen d
Beispiel : neue Physik ab mf = 1000 GeV ( in näherer Zukunft überprüfbar )
d=1
=>
R=
d=2
=>
R=
d=3
=>
R=
d=4
=>
R=
Das ADD Modell
1999
Nima Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos und Gia Dvali ( ADD Modell )
Zusätzliche Dimensionen sind zu Radius R zusammengerollt.
Gravitation kann sich in alle Dimensionen ausbreiten.
Die restlichen Kräfte sind auf unsere 4 bekannten
Dimensionen ( Untermannigfaltigkeit ) beschränkt.
=>
Gravitation erscheint uns schwach
Lösung des Hierarchie Problems ?
Die Gravitation wächst mit zunehmender Energie verstärkt an, sobald
die zusätzlichen Dimensionen wirksam werden.
Überprüfung des Gravitationsgesetzes
Bisherige Experimente konnten den Radius
der extra Dimensionen auf R < 160 µm
für 2 und auf R < 130 µm für eine extra
Dimension reduzieren.
V ( r ) = −G N
m1 ⋅ m2
⋅ 1 + α ⋅ e −r / λ
r
(
)
Drell-Yan Prozess
•
•
•
•
•
Auflösungsvermögen proportional zur Wellenlänge
Wellenlänge proportional zu 1/Impuls
Niedriger Impuls => große Wellenlänge => schlechte Auflösung
Hoher Impuls => kurze Wellenlänge => gute Auflösung
Suche Abweichungen im erwarteten Wirkungsquerschnitt von Teilchenkollisionen
Drell-Yan Prozess wegen leicht indentifizierbaren Endprodukten hierfür bestens geeignet.
D0-Messergebnisse zum Drell-Yan Prozess
Weitere Feynman Beiträge
Fehlende Energie die von den Gravitonen unbemerkt fortgetragen wird.
Untersuchungen am Tevatron und am LEP haben als Grenzen ergeben :
m f > 1 TeV
( unabhängig von der Anzahl der Dimensionen )
Astronomische Beobachtungen
Solche Prozesse können aufgrund der hohen Temperaturen auch in Supernovae auftreten.
=> Supernova würde schneller abkühlen als erwartet.
Beobachtungen an Supernovae haben ergeben :
Beispiel :
Supernova SN1987A, Februar 1987
Grenzen für zusätzliche Dimensionen :
m f > 50 TeV (d = 2)
m
f
> 4 TeV (d = 3)
mf
> 1TeV (d = 4)
Erzeugung Schwarzer Mini-Löcher
Bei einer neuen Planckmasse im
Bereich von 1 TeV ist am LHC mit
einer Produktion von 10^8 schwarzen
Löcher pro Jahr zu rechnen.
Zerfall der Schwarzen Mini-Löcher
Hawking-Strahlung :
Neben Photonen könnten auch massive Teilchen wie Elektronen und Positronen abgestrahlt werden.
Die Strahlung trägt vermutlich keine Information mehr über die ursprünglichen Teilchen.
Zusammenfassung der experimentellen Grenzen
Abschließende Überlegungen
• Warum genau 3 ( bzw 4 ) makroskopische Dimensionen ?
• =>
Anthropisches Prinzip
( Viele mögliche Universen ; wir leben in dem, das intelligentes Leben ermöglicht )
Mehr oder weniger Dimensionen ?
Nur 2 makroskopische Raumdimensionen
- Leben nur schwer vorstellbar
Mehr als 3 makroskopische Raumdimensionen
- Planetenbahnen instabil
Quellenangabe
Doktorarbeiten :
Sabine Hossenfelder - Schwarze Löcher in Extradimensionen - Frankfurt am Main ( 2003 )
http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=968917437&dok_var=d1&dok_ext=pdf&filename=968917437.pdf
Ulrich Harbach - Experimentelle Konsequenzen einer Minimalen Länge - Frankfurt am Main ( 2007 )
http://publikationen.ub.uni-frankfurt.de/volltexte/2008/5239/pdf/promotion.pdf
Internetseiten / Dissertationen :
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~otmar.biebel/
http://www.sukidog.com/jpierre/strings/extradim.htm
http://pdg.lbl.gov/2007/reviews/extradim_s071.pdf
http://physicsworld.com/cws/article/print/403
http://www-d0.fnal.gov/
http://www.wikipedia.de/
Literatur / einige Abbildungen
Steven Hawking - Das Universum in der Nußschale ( 2001 )