Blatt 08 - Höhere Mathematik an der TUM
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Technische Universität München
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Johann Edenhofer
Dipl.-Ing. Waldemar Schultz
SS 2011 2in1 II
Übung 8
Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften II [MA9714]
Aufgabe T 20 (079) (Satz von Stokes: Verifikation)
Sei P := {(x, y, z) ∈ IR3 : x2+y 2 = 2 z, z ≤ 2} der beschränkte Teil des Paraboloids 2 z = x2+y 2 zum
Rand Γ := {(x, y, 2) ∈ IR3 : x2 + y 2 = 4}. Gegeben sei ferner das Geschwindigkeitsfeld ~v : IR3→ IR3,
~v (x, y, z) = (3 y, −z x, z 2 y)t .
a) Parametrisieren Sie die Fläche P und die Kurve Γ =: ∂P (Orientierung?).
b) Man berechne die Zirkulation von ~v längs der Kurve Γ.
c) Verifizieren Sie den Satz von Stokes an diesem Beispiel.
Aufgabe T 21 (080) (Maxwell-Gleichungen)
Die Grundgleichungen der Elektrotechnik und Optik sind die Maxwell-Gleichungen:
~ = ρ
~ =0
div E
div B
ε0
~
~ = −∂t B
~
~ = µ0 ~ + 1 ∂t E
rot E
rot B
c2
~ die el. Feldstärke, B
~ die magn. Induktion, ρ die el. Ladungsdichte, ~ die el. Stromdichte,
Dabei ist E
√
µ0 die magn. Feldkonstante, ε0 die el. Feldkonstante und c = 1/ µo ε0 die Lichtgeschwindigkeit.
a) Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen die Kontinuitätsgleichung div~ + ∂t ρ = 0 her und
interpretieren Sie diese Identität (mit dem Satz von Gauß).
~ gilt div rot B
~ = 0.
Hinweis: Für jedes zweimal stetig-differenzierbare VektorfeldRRR
B
Die elektrische Ladung innerhalb eines Körpers K ist Q = K ρ dV und der elektrische
RR
~.
Strom nach außen durch die Oberfläche von K ist I = ∂K ~ dS
b) Zeigen Sie: Für k, ω > 0 mit c = ω/k stellt das Paar
~ x, t) := 1 cos(kz − ωt) ~ey
B(~
c
eine Lösung der Maxwell-Gleichungen zu ρ = 0, ~ = ~0 dar.
~ und B
~ beschreiben das elektromagnetische Feld einer linear polarisierten
Bemerkung: E
ebenen Lichtwelle, welche sich in z-Richtung mit der Geschwindigkeit c = ω/k ausbreitet.
~ x, t) := cos(kz − ωt) ~ex
E(~
Aufgabe T 22 (078C) (Straßenverkehrs-Gleichung)
Wir betrachten eine einspurige Straße, in welcher der Verkehr in x-Richtung verlaufe.
Sei ρ(t, x) ≥ 0 die Fahrzeug-Dichte und v(t, x) ≥ 0 die Geschwindigkeit der Fahrzeuge an der
Stelle x ∈ IR zum Zeitpunkt t ≥ 0. Die Größe j := ρ·v ist die Fahrzeug-Stromdichte.
~n(·, x2 )
a) Nehmen Sie die Funktionen ρ, v als stetig differenzierbar an und
6
x2 6
zeigen Sie die Kontinuitätsgleichung
~n(t , ·)
2
ρt + (ρ·v)x = ρt + jx = 0 ,
(1)
welche besagt, dass die Anzahl der Fahrzeuge erhalten bleibt.
Stellen Sie dazu eine Bilanz im Rechteck R := [t1 , t2 ]×[x1 , x2 ] auf.
x1
t1
?
~n(·, x1 )
-
t2
b) Überlegen Sie sich einen plausiblen Zusammenhang zwischen der Fahrzeug-Dichte ρ und der
Fahrzeug-Geschwindigkeit v. Stellen Sie damit eine Differentialgleichung für ρ auf.
Aufgabe H 20 (078D) (Wärmeleitungs-Gleichung)
Gegeben sei der Körper K ⊂ IR3 . Das Medium darin habe die Wärmekapazität c > 0 und den
Wärmeleitkoeffizienten λ > 0. Sei Θ(t, ~x) die Temperatur und ~ (t, ~x) die Wärmestromdichte an
der Stelle ~x ∈ K zum Zeitpunkt t ≥ 0.
a) Zeigen Sie unter Verwendung der Energie-Erhaltung die Kontinuitätsgleichung
∂t (c Θ) + div ~ = 0 .
Hinweis:
ZZZ
Die Wärme (-Energie) in einem Volumen
V ⊂ K ist E =
c Θ dV und der Wärmestrom
ZZ
V
~ (jeweils zu einem Zeitpunkt t).
durch eine Fläche F ⊂ K ist I =
~ · dS
F
b) Das Fourier-Gesetz verbindet die Temperatur Θ mit der Wärmestromdichte ~ über
~ .
~ = −λ · ∇Θ
Welcher Differentialgleichung genügt die Funktion Θ, wenn sich die Koeffizienten c, λ räumlich (innerhalb von K) und zeitlich nicht ändern?
Aufgabe H 21 (074B) (Vektorpotential)
Sei G ⊂ IR3 ein Gebiet und f~ : G → IR3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
Zeigen Sie:
a) Hat f~ ein Vektorpotential F~ , d.h. wenn es eine differenzierbare Funktion F~ : G → IR3 gibt
mit f~ = rot F~ , dann gilt div f~ = 0.
(Bemerkung: Ist das Gebiet G einfach zusammenhängend, so gilt auch die Umkehrung)
~ welche von der Stromdichte ~ erzeugt wird, ist
b) Die magnetische Induktion B,
ZZZ
~x − ~y
t
t
~ x) = k
B(~
~ (~y ) ×
dy
dy
dy
~
x
=
(x
,
x
,
x
)
,
~
y
=
(y
,
y
,
y
)
,
1
2
3
1
2
3
1
2
3
|~x − ~y |3
~ das Vektorpotential
wo k eine Proportionalitätskonstante ist. Man zeige, dass B
ZZZ
1
~ (~y ) dy1 dy2 dy3
F~ (~x) = k
|~x − ~y |
~ = 0.
besitzt. Es gilt folglich div B
Aufgabe H 22 (080A) (Magnetfeld eines geraden Leiters)
In einem unendlich langen, geraden Draht bei x = 0, y = 0 fließe der zeitlich konstante Strom I in Richtung der z-Achse. Es soll die resultierende
~ berechnet werden.
magnetische Induktion B
a) Sei A ⊂ IR3 eine orientierte Fläche mit glattem Rand ∂A und I der
Strom durch diese Fläche. Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen
das Ampèresche Gesetz
I
1
~ x) · d~x
I=
B(~
µ0 ∂A
z
6
6
I
~
B
*
s
HH r
ϕ H
j
H
x
~ sei dabei zeitlich konstant.
her. Das elektrische Feld E
b) Die magnetische Induktion hängt nicht von der z-Koordinate ab und hat die Form
−sin ϕ
~ x) = B(r) · cos ϕ
B(~
0
r cos ϕ
~x = r sin ϕ .
z
~ mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes.
Berechnen Sie die magnetische Induktion B
-y
