Klausur zur Mathematik für Biologen

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
DÜSSELDORF
WS 2002/2003
12.02.2003 (1)
Prof. Dr. A. Janssen / Dr. H. Weisshaupt
Klausur zur Mathematik für Biologen
Bitte füllen Sie das Deckblatt in Druckschrift aus!
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Fachsemester:
Die Klausur umfasst 6 Aufgaben mit gleicher Punktzahl. Davon werden die 5 Aufgaben gewertet,
in denen Sie die meisten Punkte erreicht haben.
Tipp: Bearbeiten Sie 5 Aufgaben mit großer Sorgfalt!
Prüfen Sie Ihre Klausur auf Vollständigkeit. Die Klausur enthält 6 Aufgaben, einige Blätter für
weitere Rechnungen und 2 Tabellen.
Aufgabe:
1
2
3
4
Ergebnis:
Summe der 5
besten Aufgaben:
Note:
5
6
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung folgender Funktionen f :
x2
a) f (x) = x e− 2
(1 Punkt)
2x
b) f (x) = 1+x2
(1 Punkt)
2
c) Gegeben seien n Datenpaare (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) in R , wobei die y-Werte mit Fehlern behaftet sind. Passen Sie eine Gerade y = x + a mit einer gegebenen Steigung 1 und einem
unbekannten Parameter a ∈ R mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate an die
Daten an. Minimieren Sie dazu die Summe der Fehlerquadrate
a 7−→
n
X
(yi − (xi + a))2
i=1
und geben Sie den ”kleinste Quadrate Schätzer” â für den Parameter a an.
d) Welchen Schätzwert â erhalten Sie für die folgenden vier Datenpaare:
(x1 , y1 ) = (1, 0), (x2 , y2 ) = (3, 3), (x3 , y3 ) = (5, 4), (x4 , y4 ) = (8, 6).
(3 Punkte)
(1 Punkt)
Aufgabe 2: Betrachten Sie für ein Chromosom ein Teilstück der DNA, das aus n1 = 500
Positionen besteht. Es sei bekannt, dass an einer Position eine Mutation mit Wahrscheinlichkeit
1
auftritt und die einzelnen Positionen unabhängig voneinander mutieren. Sei X1 die
p1 = 1000
Anzahl der mutierten Positionen in dem Stück DNA. Ein anderes Stück DNA eines anderen
1
Chromosoms besitze n2 = 750 Positionen und die Mutationswahrscheinlichkeit p2 = 500
pro
Position. Die Zufallsvariable X2 bezeichne die Anzahl der hier auftretenden Mutationen. Sie
kann als unabhängig von X1 angesehen werden. Sei X = X1 + X2 die Anzahl aller Mutationen.
Begründen Sie alle Rechenschritte für die Lösung folgender Aufgaben:
a) Bestimmen Sie E(X).
(1 Punkt)
b) Geben Sie die Varianz V ar(X) als gekürzten Bruch an.
(2 Punkte)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {X = 0} = {X1 = 0} ∩ {X2 = 0} ”keine
Mutation liegt vor”?
(1,5 Punkte)
d) Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit für {X = 0} mithilfe des Poissonschen
Grenzwertsatzes. (Explizite Zahlenwerte sind hier nicht erforderlich.)
(1,5 Punkte)
Aufgabe 3: Gleich nach dem Schlüpfen werden Küken für die Aufzucht als Legehennen bzw.
Masthähnchen sortiert. Mit Wahrscheinlichkeit 0,01 werden weibliche Küken falsch sortiert.
Männliche Küken werden fälschlicherweise mit Wahrscheinlichkeit 0,11 als weiblich für die Aufzucht klassifiziert. Mit Wahrscheinlichkeit 21 ist ein geschlüpftes Küken weiblich. Die Ereignisse
A und B seien wie folgt festgelegt:
A : ”ein Küken wird für die Aufzucht als Legehenne aussortiert”,
B : ”das Küken ist weiblich”.
a) Geben Sie die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten an:
P (Ac |B), P (Ac |B c ), P (A|B), P (A|B c )
(2 Punkte)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zur Aufzucht als Legehenne sortiertes Küken
männlich ist?
(2 Punkte)
c) Wie groß ist approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass sich nach dem Sortieren unter n =
10000 als weiblich deklarierte Küken nicht mehr als 955 Hähne befinden? (Bei hohen Fallzahlen ist eine Stetigkeitskorrektur nicht erforderlich.)
(2 Punkte)
Hinweis: Eine Normalverteilungstabelle ist beigefügt.
Aufgabe 4: Seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit einer geometrischen Verteilung
zum Parameter p ∈ Θ = (0, 1). Für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse {X1 = k} gilt dann:
P ({X1 = k}) = (1 − p)k−1 p, k ∈ N.
Schätzen Sie den Parameter p aufgrund von Realisierungen k1 , . . . , kn von X1 , . . . , Xn unter
Verwendung der ML-Methode.
a) Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion.
b) Geben Sie den ML-Schätzer in Abhängigkeit vom Datensatz k1 , . . . kn an.
c) Was ist für p = 0, 1 größer, P ({X1 = 9}) oder P ({X1 = 11})?
(2 Punkte)
(3 Punkte)
(1 Punkt)
Aufgabe 5: Ein neuentwickeltes Pflanzenschutzmittel wird an n = 150 Pflanzen erprobt. Gehen
Sie davon aus, dass die Pflanzen unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p mit Nebenwirkungen reagieren. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Pflanzen an, bei denen eine
Nebenwirkung festgestellt wird. Die Hypothese H0 : {p ≥ 0.06} soll zum Niveau α = 0.01 gegen
die Alternative H1 : {p < 0.06} mithilfe eines Binomialtests überprüft werden.
a) Geben Sie die genaue Testvorschrift und die effektive Irrtumswahrscheinlichkeit für p0 = 0.06
an.
(3 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese verworfen wird, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Nebenwirkung p = 0.08 ist.
(2 Punkte)
c) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn vier Pflanzen mit Nebenwirkungen reagieren.
(1 Punkt)
Hinweis: Eine Tabelle der B(150, p)–Verteilungen ist beigefügt.
Aufgabe 6. Kreuzen Sie bitte jeweils eine Antwort an. Nebenrechnungen werden hier nicht bewertet. Für jede richtige Antwort erhalten Sie 1 Punkt, jede falsche Antwort wird mit einem
Punktabzug von 32 Punkten bewertet.
(1) Bruder Leichtsinn kreuzt aus Zeitmangel diese 6 Antworten zufällig an und erhält sechsmal
jeweils 1 Punkt für eine richtige bzw. − 23 Punkte für eine falsche Antwort. X bezeichne die
Summe seiner Punkte aus dieser Aufgabe. Dann ist E(X) =
−3 − 32 (2) Eine differenzierbare Funktion f hat in einem Punkt xo die Ableitungen f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0.
Besitzt f dann bereits ein lokales Extremum in x0 ?
ja nein (3) Für Daten x1 , . . . , xn und n ≥ 2 sei die empirische Varianz s2n = 0. Dann sind möglicherweise
zwei der Daten x1 , . . . , xn verschieden.
ja nein (4) In anderen Ländern gibt es ein Zahlenlotto ”5 aus 48”. Ist dort die Gewinnchance für einen
vollständig richtigen Tipp (Hauptgewinn) mehr als doppelt so groß wie beim hiesigen Zahlenlotto ”6 aus 49”?
ja nein (5) Das Hardy-Weinberg Gleichgewicht stellt sich schon nach der ersten Nachkommengeneration
ein und ändert sich dann nicht mehr.
ja nein (6) Beim Studentischen t-Test für das Testen des Erwartungswertes bei normalverteilten Variablen hängt der kritische Wert des Tests von der Varianz σ 2 der Normalverteilungen ab.
ja nein Punkte:
Sollten sich in der Summe negative Punkte ergeben, so wird die Punktzahl dieser Aufgaben auf
0 gesetzt.
Weitere Rechnungen
Aufgabe .............
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Aufgabe .............
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Aufgabe .............