Zusammenschaltung von Kondensatoren Hintereinanderschaltung: Reihenschaltung zweier vorerst ungeladener Kondensatoren: Als Erweiterung der Kirchhoffschen Knotenregel lässt sich angeben, dass die Summe aller nach dem Einschalten durch jeden Knoten der Schaltung geflossenen Ladungen Null ist, da im Knoten keine Ladungen erzeugt oder vernichtet werden. Nach dem Einschalten muss daher die Ladung auf beiden Kondensatoren gleich sein. Aus der Maschenregel U = U1 + U 2 bzw. Q Q Q = + C C1 C2 erhält man für die Gesamtkapazität der Reihenschaltung: 1 1 1 = + C C1 C 2 Parallelschaltung: Q = Q1 + Q2 . C ⋅ U = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U . Daher gilt Die gesamte Ladung ist die Summe der Ladungen auf den einzelnen Kondensatoren: An beiden Kondensatoren liegt die selbe Spannung an, d.h. C = C1 + C 2 Klammler TPH 1 Seite 1 von 4 Laden und Entladen von Kondensatoren Beim Laden und Entladen von Kondensatoren über ohmsche Widerstände erfolgt die Änderung des Ladezustandes nicht sprunghaft; die Momentanwerte von Strom und Spannung ergeben sich aus den Kirchhoffschen Regeln. laden R I Uq entladen C Abbildung 1: Laden und Entladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Laden: Maschenregel: Q C Uq = U R + UC = I ⋅ R + Differentialgleichungen: Ersetzen von I durch dQ/dt ergibt die Differentialgleichung für Q(t): Uq = R dQ 1 + Q dt C Oder man differentiert die Gleichung und erhält die Differentialgleichung für I(t): 0=R dI 1 + I dt C Lösungen: Ladestrom des Kondensators: I (t ) = I 0 ⋅ e − t RC = Uq − t τ ⋅e R mit der Zeitkonstanten τ = R ⋅ C Uq Lösung der Differentialgleichung für die Ladung Q(t) am Kondensator: Q(t ) = Q0 ⋅ (1 − e − t RC − U (t ) = U q ⋅ (1 − Klammler uc = U q (1 − e − t /τ ) t τ i= ) = U q ⋅ C ⋅ (1 − e ) Uq R e − t /τ t Mit U=Q/C beträgt damit die Spannung U(t) am Kondensator: t − e τ Uq R Abbildung 2: Ladekurven ) TPH 1 Seite 2 von 4 Entladen: Maschenregel: 0 = U R + UC = I ⋅ R + Q C Differentialgleichungen: Differentialgleichung für Q(t): 0=R dQ 1 + Q dt C Differentialgleichung für I(t): 0=R dI 1 + I dt C Lösungen: Entladestrom des Kondensators: t RC t − U = − 0 ⋅e τ I (t ) = I 0 ⋅ e R mit der Zeitkonstanten τ = R ⋅ C . − U0 u c = U 0 ⋅ e −t /τ − UR0 (U0...anfängliche Kondensatorspannung) Ladung Q(t) am Kondensator: Q (t ) = Q0 ⋅ e − t RC = U0 ⋅ C ⋅ e − t τ i=− Abbildung 3: Entladekurven Spannung U(t) am Kondensator: U (t ) = U 0 ⋅ e Klammler − U 0 −t / τ e R t τ TPH 1 Seite 3 von 4 Energieinhalt des geladenen Kondensators Um die Ladungsportion dQ entgegen der Kondensatorspannung auf den Kondensator zu laden, ist die Arbeit dW = U dQ zu verrichten. Mit C = Kondensators W = ∫ U dQ = ∫ U C du = Q U bzw. dQ = C dW beträgt die Arbeit zum Laden des CU 2 . 2 Die Ladearbeit und damit der Energieinhalt des geladenen Kondensators beträgt daher We = CU 2 2 Diese Energie steckt im elektrischen Feld gespeichert. Wenn man die Energie durch das We . Mit der Formel für die Kapazität V We ε 0 E 2 D ⋅ E = = . Dies ist eine allgemein gültige des Plattenkondensators erhält man damit we = V 2 2 Beziehung für die Energiedichte des elektrischen Feldes & & D⋅E we = 2 Kondensatorvolumen dividiert, erhält man die Energiedichte Klammler TPH 1 we = Seite 4 von 4