Stochastik 2 Bernoulli-Kette

Mathe K2
Stochastik Sj. 16/17
Bernoulli-Kette
1
GZG 16/17 W.Seyboldt
Galtonbrett 1

Wir lassen eine Kugel auf ein Nagelbrett fallen: Galtonbrett\Galton.exe


Zufallsexperiment: Eine Kugel
fallen lassen und den Weg notieren.
Ein Element aus S: (li,li, re, re, li)=llrrl
Bei zwei Nagelreihen: |S2|=4

Bei drei Nagelreihen:
Bei vier Nagelreihen
| S3 | 23  8
2
| S4 | 24  16
GZG 16/17 W.Seyboldt
Galtonbrett 2

Zufallsvariable X:
Bestimme für jeden Weg den Topf,
in den die Kugel fällt.
–

Bei 1 Nagelreihe: 2 Töpfe mit der Nummer 0, 1
Bei 2 Nagelreihen: 3 Töpfe mit der Nummer 0, 1
Bei 3 Nagelreihen: 4 Töpfe mit den Nummern 0,1,2,3
Bei 8 Nagelreihen: 9 Töpfe mit den Nummern 0,1,2,3,4,5,6,8
Etwa: X(lll)=0,
X(rll)=X(lrl)=X(llr)=1
0
1
 P(X=0)=
8
3
3
P(X=1)=
8
1
1
3
P(X=2)=
8
2
1
2
2
3
1
P(X=3)=
8
GZG 16/17 W.Seyboldt
Bernoulli-Experiment




4
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment
mit genau zwei Ausgängen:
S={r,f}={richtig, falsch}={T,N}={Treffer, Niete}
Ein BE muss kein Laplace-Experiment sein,
es ist sogar meinst keines.
P(r) = p und P(f)=q=1-p
Zufallsvariable XE eines BE:
Einem Treffer wird die Zahl 1 zugeordnet, einer
Niete die Zahl 0.
Verteilung: P(XE=1)=p
P(XE=0)=q=1-p
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Bernoulli-Kette




5
Wenn man ein Bernoulli-Experiment genau n mal
wiederholt, erhält man eine Bernoulli-Kette der
Länge n.
Die Zufallsvariable X der Bernoulli-Kette der
Länge n ist: „Zähle die Anzahl der Treffer“.
Eine Bernoulli-Kette der Länge n kann die (n+1)Ausgänge haben: 0, 1, 2, …, n Treffer.
Gesucht ist die Verteilung, d.h. die Werte von
P(X=r). Also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass es genau r Treffer gibt, wenn man ein
Bernoulli-Experiment n mal wiederholt.
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Galtonbrett ist Bernoulli-Kette.





6
Immer wenn die Kugel auf einen Nagel trifft, wird ein
Bernoulli-Experiment durchgeführt
links: Niete, rechts Treffer
Ein Galtonbrett mit n Reihen von Nägeln ist eine
Bernoulli-Kette der Länge n
Bei einem Galtonbrett ist P(rechts)=0,5
Bei einem beliebigen Bernoulli-Exp. P(Treffer) = p
Die Wahrscheinlichkeit eines jeden Weges der Länge n mit genau r Treffern ist 𝑃(… ) = 𝑝𝑟 (1 − 𝑝)𝑛−𝑟
Beim Galtonbrett: 𝑃 … =
1𝑟
2
1−
1 𝑛−𝑟
2
=
1𝑛
2
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Galton: Wege zur Urne n

Galtonbrett mit n Nagelreihen und n+1 Urnen 0, 1, … n
–
–
Zur Urne 0 gibt es stets nur einen Weg (nie nach rechts),
ebenso zur Urne n (immer rechts)
Zur Urne 1 gibt es n Wege, ebenso zur Urne n-1.

Verteilung: Wie viele Kugeln sammeln sich in jeder Urne?

Idee: Anzahl der Wege rekursiv mit dem Pascalschen Dreieck bestimmen:
k = Urnennummer,

7
n = Nummer der Nagelreihe
Zur Urne k = r geht man genau r mal nach rechts.
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Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge 1

Frage: Wie viele Wege führen zur k-ten Urne des
Galtonbrettes?
Das erfordert ein paar komplexere Überlegungen
–
–
–
–
–
8
Wenn wir zur k-ten Urne wollen, müssen wir bei n Weggabelungen
genau k-mal nach rechts gehen.
Das Nach-Rechts-Gehen simulieren wir mit Ziehen von Kugeln
Schritt 1: Gegeben ist eine Urne mit n unterscheidbaren
Kugeln (etwa eine Urne mit den Zahlen 1 bis n)
Es gibt n Möglichkeiten genau eine Kugel zu ziehen. Legt
man sie nicht zurück, sind in der Urne noch (n-1). Beim
nächsten Ziehen hat man also (n-1) Möglichkeiten.
Zieht man k Kugeln ohne Zurücklegen, hat man
𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 … 𝑛 − 𝑘 − 1 Möglichkeiten.
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Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge 2
–
–
–
–
–
9
Wichtig: Die gezogenen Kugeln haben eine Reihenfolge.
Schritt 2: Bei den Entscheidungen an den Weggabelungen kommt es nicht darauf an, wann man nach rechts
geht, die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Übertragen auf die Kugeln: Um die Reihenfolge los zu
werden, wirft man alle Kugelfolgen mit denselben Kugeln
in einen Topf (oder man ordnet sie, siehe z.B. Lotto)
Um zu bestimmen, wie viele verschiedene Kugelfolgen
man in einen Topf wirft, geht man den umgekehrten Weg:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die k Kugeln in einem Topf
anzuordnen.
Für die erste Kugel gibt es k, für die letzte 1 also
insgesamt k ∙ 𝑘 − 1 ∙ 𝑘 − 2 … 2 ∙ 1 Möglichkeiten.
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Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge 3
–
–
Alle diese Anordnungen liefern denselben Topf.
Damit können wir aus einer Urne
𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 … 𝑛− 𝑘−1
𝑘!
–

10
k∙ 𝑘−1 ∙ 𝑘−2 …2∙1
𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 …1
𝑛!
=
𝑘!∙ 𝑛−𝑘 !
𝑘!∙ 𝑛−𝑘 !
=
verschiedene Töpfe mit k Kugeln bilden.
𝑛
𝑛!
Abkürzungen
=
und 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ ⋯ 𝑛
𝑘!∙ 𝑛−𝑘 !
𝑘
sprich: n über k

=
𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 … 𝑛− 𝑘−1
oder
k aus n
n-Fakultät
Zurück zur Frage: Wie viele Wege führen zur k-ten Urne des
Galtonbrettes?
𝒏
Es führen
verschiedene Wege zur k-ten Urne.
𝒌
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k aus n - Binomialkoeffizient



𝑛
𝑛!
𝑛 𝑛−1 𝑛−3
𝑛+𝑘+1
=
= ∙
∙
∙ ⋯∙
𝑘!∙
𝑛−𝑘
!
1
2
3
𝑘
𝑘
𝑛
𝑛
=
𝑘
𝑛−𝑘
𝑛
𝑛
𝑛+1
=
+
𝑘+1
𝑘
𝑘+1
 x  y
11
n
 n  n  n  n 1  n  n  2 2
 n  n 1  n  n n  n  n  k k
   x    x y    x y  ...  
 xy    y     x y
k 0  k 
0
1
 2
 n  1
 n
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Verteilung des Galtonbrettes




Wenn man in einem Galton-Brett die Urne r treffen
will, muss man genau r mal nach rechts gehen,
(sonst nach links).
𝑛
Es gibt
Möglichkeiten, bei n Wegen genau r mal
𝑟
nach rechts zu gehen.
Jeder der Wege hat die Wegwahrscheinlichkeit
𝑃(… 𝑒𝑖𝑛 𝑊𝑒𝑔) = 𝑝𝑟 (1 − 𝑝)𝑛−𝑟
Die Summenregel sagt nun, die Wahrscheinlichkeit,
𝑛 𝑟
die Urne r zu treffen ist 𝑃 𝑋 = 𝑟 =
𝑝 1 − 𝑝 𝑛−𝑟
𝑟
(Anzahl der Wege mal Wahrscheinlichkeit für einen Weg)
12
GZG 16/17 W.Seyboldt
GTR-Funktionen

Mit OPTN – F6] - [PROB] – kommt man in das Auswahlmenü für die
Funktionen, die man zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten benötigt.

n! mit [x!], z.B. 9! = 9 [x!]
(𝑛)𝑟 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ⋯ (𝑛 − 𝑟 + 1) mit [nPr], etwa (6)2 = 6[nPr]2
𝑛
7
mit [nCr], etwa
= 7[nCr]2
𝑟
2
C: Combination P: Permutation






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𝑃 𝑋 = 𝑟 : Mit OPTN – [STAT] – [DIST] – [BINM] kommt man in das
Auswahlmenü für die Binomialverteilung.
Genau ein Punkt:
(GTR-Zus) (Klettinfo)
Bpd, d.h 𝑃(𝑋 = 𝑟) = BinomalPD (r,n,p)
Cumulative Distribution: Summe von 0 bis r (einschließlich):
BCD, d.h. 𝑃 𝑋 ≤ 𝑟 = BinomalCD (r,n,p)
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