Leseprobe - Merkur Verlag

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Kapitel 3: Lineare Funk onen
12. Eine Bezugsgenossenschaft berechnet für die ersten 20 kg eines Rasendüngers einen Kilopreis
von 3 €. Bei einer Abnahme ab 20 kg werden nur noch 2,80 €/kg in Rechnung gestellt. Bei einer Abnahme ab 50 kg beträgt der Kilopreis 2,50 €/kg.
a) Erstellen Sie für diese Preisstaffel eine Wertetabelle in 5er-Schritten bis 60 kg.
b) Ermitteln Sie für jedes Mengenintervall die Zuordnungsvorschrift.
c) Geben Sie die Funktionsgleichung der abschnittsweise definierten Funktion an.
d) Stellen Sie die Zuordnung als abschnittsweise definierte Funktion grafisch dar.
e) Lesen Sie die Gesamtpreise für die folgenden Mengen ab: 15 kg, 40 kg, 60 kg. Überprüfen
Sie Ihr Ergebnis durch Rechnung.
f) Der Kunde hat für den Dünger maximal 125 € zur Verfügung. Welche Menge kann er dafür
im günstigeren Fall kaufen?
3.5 Anwendungen der Linearfunktion
In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen aus dem Wirtschaftsleben beispielhaft anhand
der Linearfunktionen vorgestellt. Alle Anwendungen können auch unter Verwendung anderer
Funktionenklassen herangezogen werden.
Tarifvergleiche
Stoffinformation:
Tarifvergleiche werden durchgeführt, wenn sich bei vergleichbaren Angeboten die Kosten für
eine Leistung aus einem von der Menge unabhängigen Grundpreis und eine von der Leistungsmenge abhängigen Preis je verbrauchte Leistungseinheit zusammensetzen.
Anwendungen: Strom- und Gastarife – Taxitarife – Handy-Tarife.
Beispiel:
Das Unternehmen easy-talk bietet zwei Tarife für Handys mit Vertrag an:
Tarif A: Grundgebühr 15 € je Monat und zusätzlich 0,19 € je Gespräch;
Tarif B: Grundgebühr 20 € je Monat und zusätzlich 0,12 € je Gespräch.
a) Stellen Sie aus diesen Angaben die Funktionsgleichungen der beiden Tarife auf, die die Gesamtkosten (in €) in Abhängigkeit der Anzahl der Gespräche wiedergeben.
b) Vergleichen Sie grafisch die Höhe der Handygebühren bei durchschnittlich 2 Gesprächen/Tag.
c) Eine Schülerin überlegt, welcher der beiden Tarife für sie günstiger ist, wenn sie im Monat
maximal 40 € an Ausgaben für Handygebühren einplant.
d) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen. Interpretieren Sie seine Koordinaten. Fertigen Sie ein Schaubild an.
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
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Lösung:
a) Allgemeine Form der Geradengleichung:
Grundgebühr: Tarif A: 15 €; Tarif B: 20 €.
Gesprächsgebühr: Tarif A: 0,19 €/Gespräch;
Tarif B: 0,12 €/Gespräch.
b) 30 Tage ˜ 2 Gespräche/Tag = 60 Gespräche
Der Tarif A ist um 0,80 € günstiger.
c) f(x) = 40 eingesetzt.
Mit dem Tarif B können 35 Gespräche mehr
geführt werden als mit Tarif A. Deshalb ist
Tarif B günstiger.
d) Bedingung: fA(x) = fB(x)
Auflösen nach x
Einsetzen in fA oder fB und y berechnen.
Interpretation des Schnittpunktes:
Im Schnittpunkt S wird die Anzahl der Gespräche angegeben, bei dem beide Tarife
die gleichen Ausgaben verursachen. Da es
nur ganzzahlige Werte für x geben kann,
gilt:
Bis zu 71 Gesprächen/Monat ist Tarif A
günstiger, ab 72 Gesprächen/Monat ist Tarif
B günstiger für den Kunden.
f(x) = y = mx + b
fA(x) = yA = mx + 15
fB(x) = yB = mx + 20
fA(x) = yA = 0,19x + 15
fB(x) = yB = 0,12x + 20
fA(60) = yA = 0,19 ˜ 60 + 15 = 26,40
fB(60) = yB = 0,12 ˜ 60 + 20 = 27,20
fA(x) = 40
0,19 ˜ x + 15 = 40
0,19 ˜ x
= 25
x
| 131
fB(x) = 40
0,12 ˜ x + 20 = 40
0,12 ˜ x
= 20
x
| 166
0,19x + 15 = 0,12x + 20 | – 15 – 0,12x
0,07x
=5
| : 0,07
x
| 71,4
fA(71,4) = 0,19 ˜ 71,4 + 15 | 28,6
Graphische Darstellung:
Eingabe in den TI-Nspire CAS:
Bild links: Calculator – menu – 3: Algebra 6: Gleichungssysteme lösen 1: Gleichungssystem lösen
enter – ok (Bestätigen: 2 Gleichungen) – Eingabe der Gleichungen – enter.
Bild rechts: Graph – Eingabe der Funktionsgleichungen – menu – 1: Fenstereinstellungen –
menu – 6: Graph 4: Schnittpunkt (untere und obere Schranke eingeben) – enter.
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
x Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Ein Unternehmen der Telekommunikation bietet zwei Tarife für Handys mit Vertrag an:
Tarif A: Grundgebühr 10 € je Monat und zusätzlich 0,15 € je Gespräch;
Tarif B: Grundgebühr 15 € je Monat und zusätzlich 0,08 € je Gespräch.
a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen der beiden Tarife A und B auf, die die Gesamtkosten
(in €) in Abhängigkeit der Anzahl der Gespräche wiedergeben.
b) Zeichnen Sie ein Schaubild und bestimmen Sie grafisch, welcher Tarif bei durchschnittlich
50 Gesprächen je Monat günstiger ist. Überprüfen Sie das Ergebnis durch Rechnung.
c) Geben Sie das Intervall an, in dem Tarif A günstiger ist. Ab wie viel Gesprächen lohnt sich
ein Tarifwechsel?
d) Welcher Preisunterschied ergibt sich bei den beiden Tarifen, wenn ein Kunde im Durchschnitt 60 Gespräche je Monat führt?
2. Ein Privatmann möchte seine Ausgaben für Erdgas senken, indem er einen Tarifwechsel zu
einem günstigeren Tarif in Erwägung zieht. Folgende Angebote holt er über das Internet ein:
Tarif 1&1: ohne Grundpreis, dafür ein Arbeitspreis von 0,08 €/kWh.
Tarif blue: Grundpreis 120 € im Jahr und ein Arbeitspreis von 0,04 €/kWh.
a) Stellen Sie für beide Tarife die Funktionsgleichungen auf, die die Gaskosten in Abhängigkeit
des Verbrauchs angeben.
b) Welchen Tarif wird der Privatmann wählen, wenn er bisher einen Verbrauch von 2 400 kWh
hatte?
c) Geben Sie die Verbrauchsintervalle mit dem jeweils günstigeren Tarif an.
3. Ein Stromversorger bietet die Tarife classic und fix an.
Classic: Grundpreis 8 € je Monat, Arbeitspreis: 0,24 € je verbrauchte kWh.
Fix:
Grundpreis 60 € im Jahr, Arbeitspreis: 0,30 € je verbrauchte kWh.
a) Erstellen Sie für beide Tarife eine Tabelle, die die Stromkosten für einen Verbrauch bis zu
5 000 kWh pro Jahr angibt (in 500er-Schritten).
b) Stellen Sie für beide Tarife die Gleichungen auf, die die jährlichen Stromkosten (in €) in Abhängigkeit vom Verbrauch (in kWh) angeben. Zeichnen Sie ein Schaubild.
c) Stellen Sie für beide Tarife die Gleichungen auf, die die monatlichen Stromkosten (in €) in
Abhängigkeit vom Verbrauch (in kWh) angeben. Wie hoch sind die Stromkosten eines Monats, in dem 350 kWh verbraucht wurden?
d) Bei welchem Monatsverbrauch sind die Kosten gleich hoch? Welcher Kostenbetrag ergibt
sich bei diesem Verbrauch?
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
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Kosten – Erlös – Gewinn
Stoffinformation:
Bei der Produktion von Gütern und Dienstleistungen fallen unterschiedliche Arten von Kosten an,
zum Beispiel Materialkosten, Fertigungskosten (Löhne, Gehälter), Verwaltungs- und Vertriebskosten. Sie werden den produzierten Leistungseinheiten, zum Beispiel der produzierten Stückzahl eines Gutes, zugeordnet. Die Kostenarten werden in fixe Kosten und variable Kosten eingeteilt. Die maximal zu produzierende Stückzahl pro Zeitabschnitt stellt die Kapazitätsgrenze dar.
Fixkosten sind die Kosten, die unabhängig von der Produktionsmenge anfallen, zum Beispiel Gehälter, Pacht, Zinsen. Variable Kosten sind Kosten, die direkt auf eine produzierte Einheit bezogen
sind (Stückkosten). Hierzu gehören zum Beispiel der Anteil an Fertigungsmaterial und an Fertigungslöhnen je produzierter Leistungseinheit. Die Kostenfunktion stellt eine Zuordnung dar zwischen der Produktionsmenge x (in Leistungseinheiten LE) und den daraus entstehenden Gesamtkosten K (in Geldeinheiten GE). Es gilt. K = Kf + Kv.
Der Erlös E ist die in Geld bewertete Einnahme
aus dem Verkauf der produzierten Güter
(= Umsatz). Er wird berechnet als Produkt aus
dem Preis je Einheit (p) und der verkauften
Menge x, wobei der Preis als konstant angenommen wird (Marktform des Polypols). Es
gilt: E = p ˜ x.
Der Gewinn ist die Differenz aus dem erzielten
Erlös und den dafür aufgewendeten Kosten. Ist
der Erlös kleiner als die Kosten, entsteht ein
Verlust. Es gilt: G = E – K.
Beispiel 1:
Ein Industriebetrieb stellt ein bestimmtes Werkstück her. Bei einer Produktion von 60 ME fallen
Gesamtkosten in Höhe von 5 000 € an. Die bei der Produktion zu kalkulierenden Fixkosten werden mit 2 000 € je Monat angegeben. Der Verkaufspreis des Werkstücks liegt bei 100 € je ME.
a) Erstellen Sie die Gleichung der Funktion, die die Gesamtkosten K in Abhängigkeit der Produktionsmenge x angibt (Kapazitätsgrenze xmax = 80).
b) Ermitteln Sie auch die Gleichung der Funktion, die den Erlös E aus dem Verkauf der Ware in
Abhängigkeit der Absatzmenge x angibt.
c) Stellen Sie die Geraden zu K und E in einem gemeinsamen Schaubild dar. Interpretieren Sie das
Schaubild unter dem Gesichtspunkt der Gewinnsituation des Betriebes.
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
Lösung:
a) allgemeine Funktion:
Die Fixkosten werden als y-Achsenabschnitt
abgetragen, b = 2 000.
Die Koordinaten des Punktes P(60|5 000)
werden in die Gleichung eingesetzt.
Aufgelöst nach m erhält man den Wert der
variablen Kosten je ME und die gesuchte
Kostenfunktion K.
K(x) = mx + b
K(x) = mx + 2 000
K(60) = 5 000 eingesetzt:
5000 = m ˜ 60 + 2 000
m = 50
K(x) = 50x + 2 000
b) Die Erlöse verhalten sich proportional zur
abgesetzten Menge. Die Steigung m gibt den
Preis des Werkstücks an.
E(x) = m ˜ x
m = 100
E(x) = 100 ˜ x
c) Interpretation:
Aufgrund der Fixkosten sind die Gesamtkosten zunächst höher als die Erlöse. Das heißt,
der Betrieb arbeitet mit Verlust.
Graph der Funktion
| – 2 000 | : 60
Da aber der Verkaufspreis (100 €) größer ist
als die variablen Kosten je ME (50 €), übersteigen die Erlöse ab einer bestimmten
Menge (Gewinnschwelle) die Kosten, sodass
der Betrieb mit Gewinn produziert. Grafisch
abgelesen liegt diese Menge bei x = 40,
denn hier sind die Kosten gleich den Erlösen,
nämlich 4 000 €. Die Gewinnschwelle liegt
also bei 40 ME.
Die Gewinnschwelle wird auch als Nutzenschwelle oder break-even-Punkt bezeichnet.
Eingabe in den TI-Nspire CAS:
Lösung mit Calculator:
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Lösung mit Graphs:
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
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Beispiel 2: Abschnittsweise definierte Kostenfunktion
Bei der Herstellung eines Massenartikels fallen Fixkosten in Höhe von 5 000 € je Zeiteinheit an.
Die Kostenrechnung hat für verschiedene Produktionsmengen die dafür anfallenden Gesamtkosten ermittelt und tabellarisch zusammengestellt:
Produktion (in Stück)
Gesamtkosten K (in €)
0
5 000
10 000
8 000
25 000
11 000
40 000
26 000
a) Stellen Sie den Kostenverlauf in Form einer abschnittsweise definierten Funktion dar, indem
Sie je zwei Wertepaare durch eine Gerade miteinander verbinden. Ermitteln Sie die Gleichungen der Geradenabschnitte mithilfe des GTR.
b) Wie hoch sind die Kosten bei folgenden Produktionsmengen: 15 000 Stück, 30 000 Stück?
c) Der Artikel kann am Markt zu einem Preis von 0,50 €/Stück abgesetzt werden. Bestimmen Sie
die Gleichung der Erlösfunktion. Bestimmen Sie die Gewinnschwelle. Ab welcher Produktionsmenge arbeitet der Betrieb aufgrund der gegebenen Daten mit Verlust (Gewinngrenze)?
Lösung: Eingabe in den TI-Nspire CAS:
a) Ermittlung der Funktionsterme:
Bild 1:
Lists & Spreadsheets Kopfspalten A und B beschriften
(Stück, Kosten) – Eingabe der
Wertepaare.
Bild 2:
Graphs – 3: Grafiktyp 4: Streudiagramm – Achsen belegen
(x: mStück; y: m Kosten) –
menu – Fenster – 1: Fenstereinstellungen – enter – Grenzen eingeben (x: 0 bis 45 000;
y: 0 bis 30 000) – enter.
Bild 3:
menu – Punkte – 7: Gerade –
(mit dem Zeiger auf einen
Punkt gehen, markieren und
mit einem Nachbarpunkt verbinden – 1: Aktionen 7: Koordinaten/Gleichungen – enter
(Funktionsgleichung wird angezeigt) – Vorgang mit den
anderen Wertepaaren wiederholen.
b) Bestimmung der Kosten bei 15 000 und 30 000 Stück:
Die Kosten bei 15 000 Stück betragen 9 000 €,
die Kosten bei 30 000 Stück betragen 16 000 €.
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
c) Bestimmung von Gewinnschwelle und Gewinngrenze:
3: Grafiktyp – 1: Funktion (0.5x eingeben)
– enter – 7: Punkte 3: Schnittpunkte
Mit dem Zeiger auf den Schnittpunkt gehen, fixieren – 1: Aktion 7: Koordinaten/Gleichungen (Schnittpunktkoordinaten werden angezeigt)
Antwort:
Die Gewinnschwelle liegt bei 20 000 Stück,
die Gewinngrenze liegt bei 28 000 Stück.
x Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Von einem Industrieunternehmen sind die folgenden Informationen bekannt. Bestimmen Sie
jeweils die Gewinnschwelle. Zeichnen Sie ein Schaubild.
a) K(x) = 2 000 + 0,8x
E(x) = 2,2x
b) K(x) = 10x + 60 000
E(x) = 14x
c) K(x) = 12,45x + 23 400
E(x) = 18,95x
2. Ermitteln Sie aus dem nebenstehenden
Schaubild die folgenden Daten:
a) Höhe der Fixkosten,
b) Gewinnschwelle,
c) Höhe des Erlöses an der Gewinnschwelle,
d) Kapazitätsgrenze,
e) Höhe des Gewinns bei Vollauslastung
der Kapazität,
f) Verkaufspreis p,
g) Variable Stückkosten.
3. Bestimmen Sie aus den vorliegenden Informationen die Kostenfunktion. Zeichnen Sie jeweils
Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion in ein gemeinsames Koordinatensystem:
a) G(x) = 2x – 200; E(x) = 8x
b) G(x) = 4x – 1 000; E(x) = 10x
4. Von einem Unternehmen liegen die Kostenfunktion und die Gewinnfunktion vor. Bestimmen
Sie daraus die Gleichung der Erlösfunktion. Fertigen Sie ein Schaubild an.
a) K(x) = 4x + 8 000; G(x) = 2x – 8 000
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b) K(x) = 15x + 2 000; G(x) = 3x – 2 000
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
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Angebots- und Nachfragefunktion (Marktgleichgewicht)
Stoffinformation
Beim hier beschriebenen Marktmodell des Polypols bei vollkommener Konkurrenz stehen vielen
Anbietern eines Produkts viele Nachfrager gegenüber. Zwischen beiden besteht ein Interessenkonflikt, weil die Haushalte (Nachfrager) für das betrachtete Produkt möglichst wenig ausgeben
wollen, die Unternehmen (Anbieter) aber einen möglichst hohen Preis erzielen möchten. Gelingt
es, diese Interessen auszugleichen, spricht man vom Marktgleichgewicht. Entscheidend ist, dass
der Anbieter beim Polypol den Preis nicht beeinflussen kann, da er vom Markt vorgegeben wird.
Der Staat kann durch gezielte Maßnahmen (Höchst- und Mindestpreisfestsetzung, Steuern oder
Subventionen) auf das Marktgleichgewicht Einfluss nehmen.
Es ist davon auszugehen, dass bei einem niedrigen Preis wenig und bei einem hohen Preis
viel angeboten wird. Dieser Zusammenhang
wird mit der Angebotsfunktion durch einen
steigenden Verlauf ausgedrückt.
Umgekehrt wird die Nachfrage bei einem niedrigen Preis groß und bei einem hohen Preis
gering sein, was auf einen fallenden Verlauf
der Nachfragefunktion schließen lässt.
Unterstellt man einen linearen Zusammenhang zwischen Angebot bzw. Nachfrage einerseits und dem Preis andererseits, so lässt sich
die Marktsituation anhand der linearen Funktionen modellieren.
Ein Marktgleichgewicht G liegt dann vor, wenn
die angebotene Menge gleich der nachgefragten Menge ist. Grafisch ist dies im
Schnittpunkt der Angebots- und Nachfragefunktion abzulesen. Die Abszisse des Schnittpunktes G stellt die Gleichgewichtsmenge xo,
die Ordinate den Gleichgewichtspreis yo dar.
Die Angebotsfunktion
Die Nachfragefunktion
Die Nullstelle der Nachfragefunktion gibt die
Sättigungsmenge an, weil an dieser Stelle
selbst bei einem Preis von 0 keine weitere
Nachfrage mehr auftritt.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse gibt den
Höchstpreis an, zu dem es keine Nachfrage
mehr gibt (x = 0).
Darstellung des Marktgleichgewichts G
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
Beispiel 1:
Auf einem Markt sind Angebot und Nachfrage nach einem bestimmten Gut durch folgende Angebotsfunktion fA und Nachfragefunktion fN gegeben: fA(x) = 0,5x + 5 und fN(x) = – 0,6x + 27.
a) Geben Sie für die Nachfragefunktion einen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich Dök an.
b) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem und bestimmen Sie grafisch das Marktgleichgewicht. Überprüfen Sie das Ergebnis rechnerisch.
c) Ermitteln Sie den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.
d) Durch einen staatlichen Eingriff wird der Marktpreis auf 20 € (Mindestpreis) festgesetzt. Verdeutlichen Sie diese Maßnahme am Schaubild und beurteilen Sie die Konsequenzen am Markt.
e) Durch einen staatlichen Eingriff wird der Marktpreis auf 10 € herabgesetzt (Höchstpreis).
Welche Konsequenz ergibt sich daraus am Markt?
f) Aufgrund verstärkter Werbemaßnahmen verändert sich die Nachfrage nach dem Gut, sodass
fortan der Höchstpreis bei 30 und die Sättigungsmenge bei 60 liegt. Bestimmen Sie die neue
Nachfragefunktion und das neue Marktgleichgewicht (bei gleichbleibender Angebotsfunktion),
vergleichen Sie die neue und die frühere Marktsituation.
g) Berechnen Sie den am Markt erzielten Gesamtumsatz, der sich unter den früheren und den
neuen Bedingungen ergibt.
Lösung:
a) Die Nachfragefunktion kann nur im I. Quadranten verlaufen. Sie wird begrenzt durch
die Achsenschnittpunkte.
b) Berechnung des Marktgleichgewichts:
Bedingung: fA(x) = fN(x)
0,5x + 5 = – 0,6x + 27 | + 0,6x – 5
1,1x = 22
x = 20
Einsetzen in eine der Funktionen, hier fA:
fA(20) = 0,5 ˜ 20 + 5 = 15
Schnittpunkt mit der y-Achse: P(0|27);
Schnittpunkt mit der x-Achse: fN(x) = 0.
– 0,6x + 27 = 0 œ x = 45
Dök ={x  4| 0 d x d 45}
b) Marktgleichgewicht, grafische Lösung:
Das Marktgleichgewicht wird bei einem
Preis von 15 Geldeinheiten und 20 Mengeneinheiten erzielt.
c) Der Höchstpreis kann im y-Achsenabschnitt
abgelesen werden. Die Sättigungsmenge an
der Nullstelle der Nachfragefunktion.
Höchstpreis: pmax = 27
Sättigungsmenge: xmax = 45
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
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d) Bei der Festsetzung auf 20 € geht die Nachfrage zurück und das Angebot steigt. Es entsteht
ein
Angebotsmengenüberschuss
(AMÜ). Berechnung:
0,5x + 5 = 20
fA(x) = 20 Ÿ
x = 30
fN(x) = 20 Ÿ – 0,6x + 27 = 20
x | 11,67
AMÜ = 30 – 11,67 = 18, 33
e) Bei der Höchstpreisfestsetzung nimmt die
Nachfrage zu, während das Angebot zurückgeht. Es entsteht ein Nachfragemengenüberschuss (NMÜ). Berechnung:
0,5x + 5 = 10
fA(x) = 10 Ÿ
x = 10
fN(x) = 10 Ÿ – 0,6x + 27 = 10
x | 28,33
NMÜ = 28,33 – 10 = 18, 33
f) Höchstpreis liegt bei 30, also b = 30
Sättigungsmenge liegt bei 60, also f(60) = 0
Gleichung der neuen Nachfragefunktion:
fN(x) = mx + 30
0 = m ˜ 60 + 30 œ m = – 0,5
fN(x) = – 0,5x + 30
Berechnung des neuen Gleichgewichts:
Bedingung: fN(x) = fA(x)
– 0,5x + 30 = 0,5x + 5 œ x = 25
Eingesetzt in fA: fA(25) = 0,5˜25 + 5 = 17,5
Neues Marktgleichgewicht: G(25|17,5)
Vergleich: Durch die Werbung nimmt die
Nachfrage zu, was zu einer größeren Abnahmemenge bei höherem Preis führt.
Menge: + 5, Preis: + 2,5.
g) Gesamter Umsatz am Markt ist U = po ˜ xo.
Umsatz bisher: U = 20 ˜ 15 = 300
Umsatz neu: U = 25 ˜ 17,5 = 437,50
Der Staat kann nicht nur durch eine Mindest- oder Höchstpreisfestsetzung auf das Marktgeschehen eingreifen. Durch Subventionierung bzw. Besteuerung des Gutes kann er ebenfalls Einfluss
auf das Angebot ausüben. Dabei kann die Besteuerung durch einen festen Betrag auf den Marktpreis oder durch einen prozentualen Aufschlag erfolgen.
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
Beispiel 2:
Die Nachfrage nach Schaumwein lässt sich durch die Funktion f N(x) = – 0,04x + 30 beschreiben.
Das Angebot richtet sich nach dem Preis: Bei einem Preis von 12 € werden 100 Flaschen angeboten, bei einem Preis von 18 € werden 200 Flaschen angeboten. Die Kapazität der anbietenden
Weinkellereien liegt bei 400 Flaschen pro Woche.
a) Berechnen Sie die Gleichung der (linearen) Angebotsfunktion und bestimmen Sie grafisch und
rechnerisch das Markgleichgewicht.
b) Der Staat erhöht die Steuer auf Schaumwein um 2 € je Flasche. Untersuchen Sie die Auswirkungen dieser Maßnahme (Marktgleichgewicht, zusätzliche Steuereinnahme T des Staates).
Veranschaulichen Sie die neue Situation.
c) Der Staat erhebt eine 20 %ige Schaumweinsteuer. Welche Auswirkungen hat dies auf die Angebotsfunktion mit der Gleichung fA(x) = 0,06x + 6? Bestimmen Sie auch die Folgen auf den
Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge.
d) Wie hoch ist das durch die 20 %ige Besteuerung erzielte gesamte Steueraufkommen des Staates?
Lösung:
a) Einsetzen der Koordinaten der Wertepaare (100|12) und (200|18) in
f(x) = mx + b
Lösung des linearen Gleichungssystems:
Gleichsetzungsmethode: (1) = (2):
Einsetzen von m und b in die Gleichung:
f(100) = 12 : m ˜ 100 + b = 12
f(200) = 18 : m ˜ 200 + b = 18
(1) b = 12 – 100m (2) b = 18 – 200m
12 – 100m = 18 – 200m
100m = 6 œ m = 0,06
b=6
Angebotsfunktion: fA(x) = 0,06x + 6
Dök = {x 4|0 d x d 400}
Marktgleichgewicht: fA(x) = fN(x)
Bestimmung des Gleichgewichtspreises:
0,06x + 6 = – 0,04x + 30 œ x = 240
fA(240) = 0,06 ˜ 240 + 6 =20,4
Das Marktgleichgewicht stellt sich ein
bei einer Gleichgewichtsmenge von 240
Flaschen und einem Gleichgewichtspreis von 20,40 €.
Marktgleichgewicht G(240|20,4).
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
b) Der feste Steuerbetrag von 2 führt zu
einer Verschiebung des Angebots.
Bestimmung des neuen Marktgleichgewichts durch Gleichsetzen von fA(x) und
fN(x). Berechnung des Preises durch Einsetzen des x-Wertes in fA(x).
Die Menge geht um 20 Flaschen zurück,
der Preis steigt um 0,8 €.
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Neue Angebotsfunktion: fA(x) = 0,06x + 6 + 2
= 0,06x + 8
0,06x + 8 = – 0,04x + 30 |+ 0,04x – 8
0,1x
= 22
œ x = 220
fA(220) = 0,06 ˜ 220 + 8 = 21,2
Neues Gleichgewicht: G(220|21,2)
Die zusätzliche Steuereinnahme T des
Staates berechnet sich als Produkt aus
der Menge und dem Steuerbetrag je
Flasche:
T = 220 ˜ 2 = 440
Der Staat hat eine zusätzliche Steuereinnahme von 440 €.
c) Die 20 %ige Steuererhöhung führt zu
einer 20 %igen Erhöhung des Preises,
die neue Angebotsfunktion ist mit dem
Prozentfaktor 1,2 zu multiplizieren.
Bestimmung des neuen Marktgleichgewichts durch Gleichsetzen von fA(x) und
fN(x), anschließend Berechnung des zugehörigen Preises. Der berechnete xWert ist aufzurunden (Anzahl Flaschen).
Die Menge geht um 36 Flaschen zurück,
der Preis steigt um 1,44 €.
Neue Angebotsfunktion: fA(x) = (0,06x + 6) ˜ 1,2
= 0,072x + 7,2
0,072x + 7,2 = – 0,04x + 30 œ x | 203,57
fN(204) = – 0,04 ˜ 204 + 30 = 21,84
d) Das zusätzliche Steueraufkommen T des
Staates berechnet sich als Produkt aus
der Menge und dem Steuerbetrag, der
sich an der Stelle x = 204 aus der Preisdifferenz der alten und der neuen Angebotsfunktion ergibt.
T = 204 ˜ 3,60 = 734,40
Der Staat hat eine zusätzliche Steuereinnahme von 734,40 €.
fA (204) = 21,84 (=neues Marktgleichgewicht)
alt
fA (204) = 0,06 ˜ 204 + 6 = 18,24
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neu
neu
fA
alt
(204) – fA (204) = 21,84 – 18,24 = 3,60
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
x Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Auf einem vollkommen polypolistischen Markt sind die Angebots- und Nachfragefunktion gegeben. Berechnen Sie das jeweilige Marktgleichgewicht. Fertigen Sie ein Schaubild an.
a) fA(x) = 0,3x + 3
fN(x) = – 0,5x + 7
b) fA(x) = 0,5x + 2
fN(x) = – 0,8x + 8,5
c) fA(x) = x + 1
fN(x) = – 0,5x + 6
d) fA(x) = 0,4x + 5
fN(x) = – x + 12
2. Ermitteln Sie aus dem nebenstehenden
Schaubild die folgenden Daten:
a) Marktgleichgewicht,
b) Sättigungsmenge,
c) Angebotsmengenüberschuss,
d) Höchstpreis,
e) Mindestpreis,
f) Gleichung der Nachfragefunktion.
3. Auf einem Polypolmarkt liegt der Höchstpreis für ein bestimmtes Gut bei 12 und die Sättigungsmenge bei 60. Die Angebotsfunktion verläuft linear mit der Steigung 0,3. Bei einem Preis
von 5 Geldeinheiten werden insgesamt 10 Mengeneinheiten nachgefragt.
a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Nachfrage- und Angebotsfunktion.
b) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht.
4. Auf einem Polypolmarkt sind Angebots- und Nachfragefunktion für ein bestimmtes Produkt
wie folgt gegeben: fA(x) = 0,5x + 6 und fN(x) = – 0,5x + 25.
a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht.
b) Zu welchem Preis werden 12 Mengeneinheiten angeboten?
c) Wie viel Mengeneinheiten werden zu einem Preis von 10 nachgefragt?
d) Der Staat greift auf das Marktgeschehen ein und setzt einen Mindestpreis von 20 € fest. Wie
hoch ist dadurch der Angebotsmengenüberschuss?
5. Von einem Markt für ein bestimmtes Gut sind Nachfrage- und Angebotsfunktion wie folgt
gegeben: fA(x) = 0,2x + 10 und fN(x) = – 0,3x + 25. Der Staat besteuert das Gut mit 2 GE je Stück.
Berechnen Sie das alte und das neue Marktgleichgewicht. Wie hoch ist die Gesamtsteuereinnahme des Staates?
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06.07.2015 08:58:28
Kapitel 3: Lineare Funk onen
123
Konsumenten- und Produzentenrente
Stoffinformation
In der Marktform der vollkommenen Konkurrenz (Polypol) sind Angebot und Nachfrage im
Marktgleichgewicht zum Ausgleich gebracht, was durch den Schnittpunkt von Angebots- und
Nachfragefunktion verdeutlicht wird.
Am fallenden Verlauf der Nachfragefunktion lässt sich erkennen, dass es Konsumenten gibt, die
bereit wären, für ein bestimmtes Konsumgut einen höheren Preis als den Gleichgewichtspreis
(Marktpreis) zu zahlen. Da sie aber nur den geringeren Marktpreis zahlen müssen, erzielen sie
einen Preisvorteil, der als Konsumentenrente bezeichnet wird.
Fasst man die Zahlungsbereitschaft aller Konsumenten, einen höheren Preis als den Marktpreis zu zahlen, zusammen, so lässt sich die
Konsumentenrente grafisch als Fläche zwischen der Nachfragefunktion und der Marktpreisgeraden darstellen (siehe rote Fläche).
Auf der Angebotsseite gibt es Anbieter, die
bereit wären, das Konsumgut zu einem geringeren Preis als den Gleichgewichtspreis anzubieten. Dadurch, dass sie mit dem Marktpreis
einen höheren Preis erwirtschaften, erzielen
sie einen Preisvorteil, der als Produzentenrente bezeichnet wird.
Grafisch ist die Produzentenrente die Fläche, die von der Marktpreisgerade und der Angebotsfunktion eingeschlossen wird (siehe graue Fläche). Bei linearem Verlauf von Angebots- und Nachfragefunktion können Konsumenten- und Produzentenrente mit der Dreiecksformel berechnet
werden.
Beispiel:
Auf einem Markt sind Angebot und Nachfrage nach einem bestimmten Gut durch folgende Angebotsfunktion fA und Nachfragefunktion fN gegeben: fA(x) = 0,5x + 2 und fN(x) = – 0,5x + 8.
a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht und zeichnen Sie ein Schaubild. Kennzeichnen Sie die
Konsumenten- und Produzentenrente.
b) Berechnen Sie die Höhe der Konsumenten- und Produzentenrente.
Buch-0602.indb 123
06.07.2015 08:58:29
124
Kapitel 3: Lineare Funk onen
Lösung:
a) Bestimmung des Gleichgewichts durch
Gleichsetzen von fA(x) und fN(x) und Auflösen nach x. Berechnen des Preises durch
Einsetzen in fA oder fN.
Gleichgewichtsmenge: x0 = 6
Gleichgewichtspreis: p0 = 5
fA(x) = fN(x) Ÿ 0,5x + 2 = – 0,5x + 8
x=6
fA(6) = 0,5 ˜ 6 + 2 = 5
Marktgleichgewicht: G(6|5).
1
b) Dreiecksformel: A = g˜h
2
1
Konsumentenrente: KR = ˜ 6 ˜ (8 – 5) = 9
Produzentenrente:
2
1
PR = ˜ 6 ˜ (5 – 2) = 9
2
In diesem Fall sind Konsumentenrente und
Produzentenrente gleich groß, weil die Steigungsfaktoren der beiden Funktionen dem
Betrag nach gleich sind (0,5).
x Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Auf einem Markt der vollkommenen Konkurrenz (Polypol) gelten für ein bestimmtes Produkt
die Angebotsfunktion mit der Gleichung fA(x) = 0,25x + 5 und die Nachfragefunktion mit der
Gleichung fN(x) = – 0,5x + 20.
a) Geben Sie den Höchstpreis an.
b) Wie hoch ist die Sättigungsmenge?
c) Ab welchem Preis sind Produzenten bereit, das Produkt anzubieten?
d) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht.
e) Berechnen Sie die Produzenten- und Konsumentenrente.
2. Ermitteln Sie aus dem nebenstehenden
Schaubild die folgenden Daten:
a) Das Marktgleichgewicht,
b) Konsumentenrente,
c) Produzentenrente,
d) Nachfragefunktion,
e) Angebotsfunktion,
f) Höchstpreis.
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06.07.2015 08:58:30
Kapitel 3: Lineare Funk onen
125
Aufgaben zur Wiederholung
Tarifvergleiche
1. Eine Klasse der Fachoberschule hat bei mehreren Busunternehmen die Tarife für eine Schulfahrt eingeholt. Folgende Angebote zweier Reiseunternehmen liegen vor:
Sorglos-Reisen: 140 € je Tag und für jeden gefahrenen km 1,30 €.
Holiday-Tours: 80 € je Tag und für jeden gefahrenen km 1,60 €.
a) Stellen Sie für beide Angebote die Funktionsgleichungen auf, die die Gesamtkosten in Abhängigkeit der gefahrenen Strecke angeben. Fertigen Sie eine Zeichnung an.
b) Um wie viel € unterscheiden sich die Angebote bei einer Entfernung von 150 km (grafische
und rechnerische Lösung verlangt)?
c) Bei wie viel km Fahrstrecke ergeben sich für beide Unternehmen die gleichen Kosten?
2. Ein Energieunternehmen bietet einen Gas-Tarif zu folgenden Bedingungen an: Arbeitspreis
5,66 ct/kWh zuzüglich einem monatlichen Grundpreis von 11,90 €. Ein anderer Anbieter berechnet 4,16 ct/kWh und einen Grundpreis von 16,43 €/Monat.
a) Stellen Sie für beide Tarife den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Jahresverbrauch in kWh und den dafür zu entrichtenden Gesamtkosten in Form einer Funktionsgleichung her.
b) Welche Kosten ergeben sich jeweils für einen Jahresverbrauch von 4 000 kWh?
c) Stellen Sie fest, ab welcher jährlichen Abnahmemenge der zweite Anbieter günstiger ist.
3. Die Personalabteilung eines Unternehmens möchte für die Region Süd einen neuen Vertreter
oder Vertreterin einstellen. Es werden Verhandlungen mit zwei Bewerberinnen geführt: Frau
Albrecht fordert als Vergütung ein festes Monatsgehalt von 2 000 € zuzüglich einer 5 %igen
Umsatzprovision. Bewerberin Bertold wünscht sich ein Monatsgehalt von 1 500 €, aber 10 %
Umsatzprovision. Beurteilen Sie die beiden Gehaltsvorstellungen unter mathematischen Gesichtspunkten.
4. Ein Hausbesitzer ermittelt drei Angebote von Stromanbietern A, B und C:
Arbeitspreis je kWh
Grundpreis je Monat
A:
22,47 ct
5,95 €
B:
19,68 ct
12,18 €
C:
21,47 ct
8,50 €
a) Ermitteln Sie den günstigsten Anbieter bei einer jährlichen Abnahmemenge von 5 000 kWh.
b) Bestimmen Sie die abschnittsweise definierte Funktion, die den jeweils günstigsten Anbieter in Abhängigkeit von der Abnahmemenge (in kWh) angibt.
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06.07.2015 08:58:31
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
5. Gegeben sind die folgenden Handy-Tarife:
Tarif I: „Base mit sms classic“: 0,19 €/Gespräch, Tarif II: „call flat“: 30 € pro Monat.
a) Stellen Sie für beide Tarife eine Funktionsgleichung auf und fertigen Sie ein Schaubild an.
b) Ab wie viel Gesprächen lohnt sich der Abschluss des „call flat“-Tarifs?
c) Stellen Sie eine abschnittsweise definierte Funktion auf, die den jeweils günstigeren der
beiden Tarife angibt.
6. Ein Internet-Provider bietet folgende Tarife an: Tarif „easy surf“ zu 4 ct je Minute einschließlich
Telefongebühren und „altanet“ zu 5 ct je Minute zuzüglich 8 € Grundgebühr je Monat. Allerdings werden 120 Freiminuten gewährt.
a) Erstellen Sie für beide Tarife die Funktionsgleichungen und zeichnen Sie einen Graphen.
b) Nach wie viel Gesprächsminuten führen beide Tarife zu den gleichen Kosten?
Kosten-Erlöse-Gewinn
7. Die Gesamtkosten eines Betriebes betragen 2 400 € bei einer Produktionsmenge von 30 Stück.
Bei einer Produktionsmenge von 50 Stück fallen Gesamtkosten an in Höhe von 2 800 €.
a) Wie lautet die Gleichung der Gesamtkosten?
b) Stellen Sie die Gewinnfunktion auf, wenn das Produkt am Markt zu einem Preis von 30 €
abgesetzt werden kann. Bestimmen Sie die Gewinnschwelle.
c) Wie hoch ist der Gewinn bei einem Absatz von 300 Stück?
d) Wie hoch ist der maximal erzielbare Gewinn bei einer Kapazitätsgrenze von 500 Stück?
8. In einem Fertigungsbetrieb betragen die Fixkosten 6 000 GE je Abrechnungsperiode. Das produzierte Produkt wird zu 14 GE am Markt abgesetzt. Die Gewinnschwelle liegt bei x = 2 000
Mengeneinheiten. Es wird ein linearer Verlauf der Kostenfunktion unterstellt. Wie hoch sind
die variablen Stückkosten des Produkts?
9. Bei der Produktion eines Serienartikels fallen bei einer Produktionsmenge von 80 Stück Gesamtkosten in Höhe von 2 100 € an. Nach Ausweitung der Produktion auf 110 Stück ist mit Gesamtkosten in Höhe von 2 700 € zu rechnen. Es können maximal 200 Stück je Zeiteinheit produziert werden.
a) Stellen Sie die Gleichung der Kostenfunktion auf, die die Gesamtkosten (y €) in Abhängigkeit
der Produktionsmenge (x Stück) angibt. Geben Sie auch die ökonomisch sinnvolle Definitionsmenge an. Interpretieren Sie die Werte der Parameter m und b.
b) Wie hoch sind die Produktionskosten bei einer Stückzahl von 150, 250 und 300 Stück?
c) Im letzten Zeitabschnitt wurde bei einer abgesetzten Menge von 200 Stück ein Gewinn von
500 € erzielt. Zu welchem Preis wurde der Artikel angeboten?
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06.07.2015 08:58:31
Kapitel 3: Lineare Funk onen
127
10. Es liegen folgende Funktionen vor: K(x) = 5 000 + 25x und E(x) = 45x.
a) Berechnen Sie die Gewinnfunktion und die Gewinnschwelle.
b) Der Betrieb möchte, dass die Gewinnschwelle schon bei einer Absatzmenge von 200 Stück
erreicht wird. Auf welchen Betrag müssten hierzu die variablen Stückkosten mindestens
gesenkt werden?
11. In einem Unternehmen für Kleinwerkzeuge fallen monatlich 60 000 € an Fixkosten an. Die
variablen Stückkosten betragen 20 €. Aufgrund von Kapazitätsbeschränkungen kann der Betrieb maximal 5 000 Stück im Monat herstellen. Der Verkaufspreis liegt bei 35 € je Stück.
a) Stellen Sie die Gleichungen der Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion auf. Erstellen Sie ein
Schaubild. Geben Sie eine ökonomisch sinnvolle Definitionsmenge der Funktionen an.
b) Bei welcher Stückzahl wird die Gewinnschwelle erreicht?
c) Berechnen Sie den Gewinn, der erzielt werden kann, wenn die Kapazität voll ausgelastet ist
und die produzierte Menge vollständig abgesetzt werden kann?
d) Aufgrund von Schwierigkeiten im Produktionsablauf konnten im vergangenen Monat nur
3 000 Stück produziert und verkauft werden. Welche Auswirkungen hatte dies auf die Gewinnsituation des Unternehmens?
e) Wie ändert sich die Situation, wenn sich die variablen Kosten aufgrund erhöhter Energiekosten um 5 € erhöhen, gleichzeitig der Marktpreis auf 30 € fällt?
Marktgleichgewicht
12. Auf einem Markt der vollkommenen Konkurrenz (Polypol) verläuft die Nachfragefunktion
durch die Punkte N1(200|25) und N2(1000|5). Die zugehörige Angebotsfunktion hat die Gleichung fA(x) = 0,05x + 10.
a) Bestimmen Sie den Höchstpreis und die Sättigungsmenge des Marktes.
b) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht.
c) Wie hoch ist der Angebotsüberschuss, wenn der Staat den Mindestpreis auf 27 € festsetzt?
d) Wie hoch ist der Nachfrageüberschuss, wenn der Staat den Höchstpreis auf 20 € festsetzt?
13. Gegeben sind die Angebots- und Nachfragefunktion eines Marktes mit den folgenden Gleichungen: fN(x) = – 0,2x + 24 und fA(x) = 0,5x + 10.
a) Berechnen Sie Gleichgewichtspreis und Gleichgewichtsmenge.
b) Der Staat subventioniert das Gut mit 2 € je Stück. Berechnen Sie, wie sich diese Maßnahme
auf das Gleichgewicht auswirkt. Welchen Betrag muss der Staat insgesamt für diese Maßnahme aufwenden?
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06.07.2015 08:58:32
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Kapitel 3: Lineare Funk onen
14. Die Geraden einer Nachfrage- und einer Angebotsfunktion verlaufen durch die Punkte
A1(100|12) und A2(400|32) sowie durch N1(200|36) und N2(300|34).
a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Nachfrage- und Angebotsfunktion und das zugehörige
Marktgleichgewicht. Fertigen Sie ein Schaubild an.
b) Wie hoch ist der Angebotsmengenüberschuss, wenn der Staat einen Mindestpreis von
35 € festsetzt?
c) Berechnen Sie die Konsumenten- und die Produzentenrente des Marktes.
15. Die monatliche Nachfrage nach einer bestimmten Sorte Portwein kann durch eine lineare
Funktion beschrieben werden, die durch die Punkte N1(100|46) und N2(400|46) verläuft. Die
Angebotsfunktion wird durch eine Gerade durch die Punkte A 1(50|9) und A2(200|18) angegeben. Aufgrund von Liefervereinbarungen beträgt die Mindestmenge des Angebots 100 Flaschen im Monat. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 500 Flaschen.
a) Stellen Sie die Gleichung der Angebots- und Nachfragefunktion auf. Geben Sie eine ökonomisch sinnvolle Definitionsmenge der beiden Funktionen an.
b) Interpretieren Sie die Schnittpunkte der Nachfragefunktion mit den Achsen.
c) Ermitteln Sie die Gleichgewichtsmenge und den Gleichgewichtspreis. Fertigen Sie ein
Schaubild an.
d) Wie hoch ist die Konsumenten- und die Produzentenrente?
e) Bestimmen Sie den Nachfrageüberschuss, wenn der Staat einen Höchstpreis von 23,20 €
festsetzt.
f) Der Staat erwägt eine Besteuerung des Portweins von 2 € je Flasche. Welchen Einfluss hätte diese Maßnahme auf das Marktgleichgewicht? Wie hoch wäre die Gesamtsteuereinnahme des Staates?
g) Anstatt der Besteuerung je Flasche soll nun geprüft werden, wie sich eine 15 %ige Besteuerung auswirken würde. Analysieren Sie diese Maßnahme im Hinblick auf das Marktgleichgewicht und auf die Gesamtsteuereinnahme des Staates.
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06.07.2015 08:58:32