Abstract: Vortrag zur Bose-Einstein

Abstract: Vortrag zur Bose-Einstein-Kondensation
1) Was ist ein Bose-Einstein-Kondensat?
Grundsätzlich lässt sich jedem Teilchen in einem klassisch betrachteten Gas eine
Wellenfunktion zuordnen. Über die Formel der thermischen de-Broglie-Wellenlänge
erfolgt dann die Abhängigkeit der Wellenlänge von der Temperatur des Systems:
Impuls-Wellenlängen-Beziehung:
λ=
thermische deBroglie-Wellenlänge:
h
p
λ=
h
2 π m k BT
Dabei wird die Geschwindigkeit im Impuls durch die mittlere Geschwindigkeit der
Maxwell-Boltzmann-Verteilung ersetzt. Wenn man die Temperatur des Gases senkt,
wird die Wellenlänge folglich immer größer. Wenn sich dann die einzelnen
Wellenpakete der Teilchen überlagern, beginnt die Bose-Einstein-Kondensation.
Ist das System bei weiterer Kühlung dann nahe bei dem absoluten Nullpunkt
angekommen, kann es durch eine einzige Materiewelle beschrieben werden. Alle
Teilchen sind dabei im selben Zustand.
Bei einem idealen Bose-Einstein-Kondensat sind alle Atome im Grundzustand eines
Fallenpotentials in dem die Kondensation stattfindet.
3
⎛ T ⎞2
N0
= 1 − ⎜⎜ ⎟⎟
N
⎝ Tc ⎠
(T < Tc )
Dabei ist N 0 die Gesamtzahl der Teilchen, Tc die kritische Temperatur, bei der die
Bose-Einstein-Kondensation beginnt, T die Temperatur des Systems, N die
Teilchenzahl, die sich im tiefsten Zustand befindet.
3
Um zur BEC zu gelangen, wird hier also eine kritische Phasenraumdichte ρλdB > 2,612
überschritten.Hier ist ρ die Dichte der Teilchen.
Der Phasenraum ist allgemein aus Ortsraum und Impulsraum aufgebaut, also von
Aufenthaltsort und Geschwindigkeit eines betrachteten Teilchens abhängig. Beim
BEC ist eine hohe räumliche Dichte und ein sehr geringer Impuls von Nöten
2) Historie
Im Jahre 1924 führte der indische Physiker Satyendra Nath Bose
Statistikuntersuchungen an der Theorie von Photonen durch und gab seine Ergebnisse
in einem Brief an Einstein weiter, um diese im europäischen Raum zu veröffentlichen.
Einstein interessierte das Thema sehr und er erweiterte das Konzept des harmonischen
Zustandscharakters (Alle Photonen wollen möglichst in den gleichen Zustand, was bei
Fermionen zum Beispiel nicht der Fall ist) auf alle bosonischen Teilchen und sagte das
so genannte Superboson bei tiefen Temperaturen voraus.
3) Wie stellt man ein BEC her?
Einzelne Verfahrensschritte:
a. Laserkühlung / Magnetooptische Falle des Systems bis zum unteren, noch
möglichen Limit
b. Abstellen der Laser und Speicherung in einer Falle:
i. Magnetische Falle
ii. Optische Falle
c. Evaporatives Kühlen bis zur kritischen Phasenraumdichte führt hier endlich zum
Bose-Einstein-Kondensat
Allgemein: Kühlung: Erzeugung einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft
Falle: Erzeugung einer Ortsabhängigen Kraft
A) Laserkühlen
Durch geschickten Beschuss mit Photonen werden Atome mit ausgezeichneter
Bewegungsrichtung systematisch abgebremst.
Im Detail:
Dies funktioniert über Absorption des eintreffenden Photons, das von der Elektronenhülle
eines Atoms absorbiert wird. Ein Elektron geht unter Energieaufnahme in einen
energetisch höheren Zustand über. Durch spontane Emission geht es wieder in seinen
Ausgangszustand zurück und emittiert wiederum ein Photon infolge der Energieerhaltung,
das mit einem bestimmten Impuls in eine beliebige Raumrichtung emittiert wird.
Infolge der Impulserhaltung erhält das Atom bei jeder Absorption und Emission einen
Impulsübertrag. Wenn das Atom nun mit sehr vielen Photonen wechselwirkt, gerät es in
eine Zitterbewegung und wird aus der Laserstrahlrichtung systematisch abgebremst. Dies
funktioniert deshalb, da die Impulsüberträge aus der Absorption ausschließlich in eine
Richtung erfolgen, während die aus der Emission entstandenen jedoch in alle
Raumrichtungen erfolgen und sie sich deshalb im zeitlichen Mittel wegheben.
Durch eine Anordnung mehrerer Laser aus verschiedenen Richtungen lassen sich also
Atome in alle Richtungen abbremsen.
Aufgrund der diskreten Schalenabstände im Atom werden nur Photonen mit bestimmten
Energien von Atomen eines Elements absorbiert. Daraus folgt, dass man den Laser auf die
Atome abstimmen muss.
Ein Problem dabei besteht in der ständigen Eigenbewegung der Atome, die das Laserlicht
in ihrer Bewegungsrichtung durch den Dopplereffekt verstimmt sehen.
Wenn sie sich nun auf den Laser zu bewegen, sehen sie das Laserlicht blauverstimmt, also
in einer kürzeren Wellenlänge, als es für ein Atom im Ruhesystem erscheint.
Um diesem Effekt entgegenzuwirken, verstimmt man die Laser zu längeren
Wellenlängen, also zum Roten hin.
Zusätzlich wird der evakuierte Glaskolben mit einem Magnetfeld überlagert, das mit
zunehmendem Abstand vom Zentrum linear ansteigt. Durch den Zeeman-Effekt
verschieben sich die Energiezustände in der Atomhülle und die Atome sehen mit
zunehmendem Abstand vom Fallenzentrum das Laserlicht immer weiter verstimmt.
Daraus resultiert also eine ortsabhängige Kraft die idealerweise jedes Atom in der Falle
zum Zentrum treibt. Hier erhalten wir also neben der geschwindigkeitsabhängigen Kraft
der Laserkühlung eine ortsabhängige Kraft in der Falle, die die Atome speichern soll.
B) Laserkühlen in der Magnetooptischen Falle
Bei diesem Fallentyp werden zwei Laserstrahlen, die zueinander entgegengesetzt zirkular
polarisiert sind, eingestrahlt .Aufgrund des durch zwei Anti-Helmholtzspulen verursachten
inhomogenen Quadrupolfeldes wirkt auf die Energieniveaus der Atomhüllen der ZeemanEffekt. Dadurch spalten zuvor entartete magnetische Quantenzahlen auf und die Atome
geraten in Resonanz mit dem polarisiertem Licht einer Einstrahlrichtung. Das geschieht,
indem die Übergänge des Atoms ortsabhängig im Magnetfeld auf eine der beiden
Polarisationsrichtungen resonant wird. Man erkennt in dem unteren schematischen Bild, wie
jeweils ein Quantenzustand mit dem σ − - bzw. σ + - (also rechts- bzw. linkspolarisiertem)
Licht also in Resonanz gerät und dadurch mit dem Laserstrahl eine Kraft resultiert, die in
Richtung des Fallenzentrums wirkt.
Durch diese Konstruktion haben wir also wieder eine Speichermöglichkeit, die uns die
Atome einerseits kühlt und gleichzeitig ihre räumliche Dichte erhöht.
C) Magnetische Falle
Einfachste Falle: Quadrupolfalle
Das Quadrupolfeld funktioniert als Falle nach folgendem Prinzip:
Die Magnetfeldstärke nimmt mit zunehmendem Abstand zum Zentrum hin zu, in der Mitte ist
es Null.
r
r r r
F = −∇( μ ⋅ B)
Das Atom in der Falle verfügt über ein Dipolmoment, das mit dem äußeren Feld
wechselwirken kann.
In der Formel ist μ das magnetische Moment des Atoms, B ist das inhomogene Magnetfeld
der Quadrupolfalle und der Gradient zeigt in Richtung des größten Feldanstiegs, was
zusammen mit dem negativen Vorzeichen eine rücktreibende Kraft auf den bestimmten Dipol
ins Fallenzentrum bewirkt. Bestimmte Konfigurationen zwischen Dipolmoment und
Magnetfeld sorgen dafür, dass Richtung Fallenzentrum die Wechselwirkungsenergie immer
weiter abnimmt, d.h. die Atome streben ins Zentrum.
Um die Atome nun praktisch zu fangen werden zunächst alle Atomspins mit Hilfe von
Laserpulsen in denselben Spinzustand gebracht, dieser heißt auch Schwachfeldsucher, da er
zum Magnetfeldminimum hin strebt. Dieser Spin tritt über das magnetische Moment in
Wechselwirkung mit dem äußeren Feld. Wenn B nun parallel zum Spin ist, und so hat man
zuvor die Atome präpariert, wirkt diese rücktreibende Kraft in Richtung Zentrum, da dort das
Magnetfeld verschwindet. Auf diese Weise werden nun auch die Atome im Zentrum
gespeichert.
Die einzige Schwierigkeit hierin besteht aus dem ganz verschwindenden Magnetfeld im
Zentrum. An diesem Punkt ist der Spinzustand des Atoms unbestimmt, und er kann aus
gefangenen Zustand in den anti-gefangenen Zustand umklappen und so, dass das Atom ganz
aus der Falle entweicht.
Hier ist einfach eine kompliziertere Fallengeometrie gefordert, die für ein kleines
magnetisches Offsetfeld im Zentrum sorgt. Das macht zum Beispiel die Ioffe–Falle.
D) Optische Falle
Neben magnetischen Fallen kann man reine Speicherung auch durch optische Effekte
realisieren. Das funktioniert zum Beispiel nach folgendem Prinzip:
Ein Atom hat ein Dipolmoment d im elektrischen Feld E:
U dip
r r
= −d ⋅ E
Bringen wir nun Atome in die Nähe eines fokussierten Laserstrahls, so hängt es von der
Frequenz des Lichtes ab, ob die Strahlkonstruktion auf die Atome anziehend oder abstoßend
wirkt.
r
U dip ∝ −α (ω ) I (r )
Diese Formel zeigt die Wirkung des Laserstrahls der Intensität I auf ein Atom, das auf
Laserlicht resonant mit der Frequenz ω wirkt.
Je nachdem, ob das Laserlicht rotverstimmt (Falle) oder eher blauverstimmt ist (Abstoßung)
befinden sich die Atome in einem Potentialminimum oder auf einem Maximum, so dass sie
sich im letzteren Falle davon bewegen um an einen Ort tieferen Potentials zu gelangen, in
eine stabilere Lage.
Dabei bestimmt der frequenzabhängige Faktor α , wie das Dipolpotential für das betreffende
Atom aussieht. Hier kann man die Tiefe der Falle mit der Laserintensität I bestimmen.
E) Evaporatives Kühlen
Bei dieser Methode, die im experimentellen Zyklus nach der abgeschlossenen Laserkühlung
kommt und in der magnetischen oder optischen Falle stattfindet, kann man durch gezieltes
Entfernen höherenergetischer Atome aus der Magnetfalle das System systematisch abkühlen.
Die zurückbleibenden Atome rethermalisieren durch Stöße und bilden nun ein System
geringerer Gesamtenergie. So kann man nun durch Erreichen der kritischen
Phasenraumdichte, bzw. kritische Temperatur endlich die Kondensation erfolgen lassen.
In der Praxis wird dies durch folgende Konstruktion umgesetzt:
Durch Einblenden eines Radiofrequenzfeldes geraten gefangene Teilchen mit bestimmter
Mindestenergie in
Resonanz mit dem RF-Feld und werden in einen anti-gefangenen Zustand gebracht.
Diese Atome können nun aus der Falle entweichen und hinterlassen ein System , das nicht im
thermischen Gleichgewicht aber mit niedrigerer Gesamtenergie ist. Durch Stöße zwischen den
Atomen thermalisiert das System bei einem neuen Gleichgewichtszustand mit niedrigerer
Energie.
. Durch kontinuierliches Herabregeln des Feldes lässt sich eine immer kälter werdende
Atomwolke produzieren, bis schließlich das BEC entsteht.
Im Folgenden geht es nun, nach einer kurzen Wiederholung der Theorie, um die praktischen
Anwendungen des fertig hergestellten Bose-Einstein-Kondensates.
Bose-Einstein-Kondensate
Eigenschaften und Anwendungen
1. Theoretischer Hintergrund:
In der Quantenmechanik sind identische Teilchen durch ihre Ununterscheidbarkeit
charakterisiert. Wendet man auf die Gesamtwellenfunktion aller Teilchen in einem System
den Transpositionsoperator an, so gibt es zwei Möglichkeiten, wie die resultierende
Wellenfunktion aussehen kann. Entweder ändert sich das Vorzeichen der
Gesamtwellenfunktion, man spricht dann von Fermionen (1/2-zahliger Spin), oder es bleibt
erhalten, dann handelt es sich um Bosonen (ganzzahliger Spin). Letztere kommen für die
Bildung von Bose-Einstein-Kondensaten in Frage, da für sie das Pauli-Verbot nicht gilt.
Ein bosonisches Gas lässt sich mit optischen bzw. thermodynamischen Methoden auf
Temperaturen im µK-Bereich abkühlen. Dadurch dehnt sich die Wellenfunktion der einzelnen
Atome wegen der Heisenberg’schen Unschärferelation aus. Ab einer Kritischen Temperatur
Tc überlappen sich die Wellenfunktionen und die einzelnen Atome sind nicht mehr vollständig
durch ihre Position unterscheidbar. Ein Teil der Atome bildet dann einen gemeinsamen
Quantenzustand aus: das Bose-Einstein-Kondensat (BEC). Hierzu ist das Überschreiten
einer kritischen Phasenraumdichte notwendig, was anschaulich bedeutet, dass der mittlere
Abstand der Atome kleiner ist als ihre de-Broglie-Wellenlänge.
Dieses System lässt sich durch die sog. Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPG) beschreiben:
ih
dΨ ( r , t ) ⎧ h 2
2⎫
= ⎨−
Δ + V ( r ) + g Ψ ( r , t ) ⎬Ψ ( r , t )
dt
⎭
⎩ 2m
Hierbei sind: Ψ die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude des Systems, m die
Masse eines einzelnen Teilchens, V das äußere Potential (im Besonderen das Fallenpotential).
2
Der Term g Ψ (r , t ) beschreibt dabei die Wechselwirkung der Atome untereinander und
stellt eine Nicht-Linearität in dieser Gleichung dar. Eine Konsequenz hiervon ist die
Möglichkeit von kollektiven Schwingungen. Des Weiteren lassen sich auch Effekte wie
Solitonen und Vortices (Wirbel) dadurch beschreiben. Dieser so genannte mean-fieldAnsatz, bei dem die Wechselwirkung der Atome durch ein effektives Potential angenähert
wird, setzt voraus, dass die einzelnen Atome nicht zu stark miteinander wechselwirken.
Die GPG ist numerisch lösbar und steht in guter Übereinstimmung mit den Experimenten.
Bisher hat man BEC mit folgenden schwach wechselwirkenden Gasen hergestellt:
H,4He, 7Li, 23Na, 41K, 52Cr, 85Rb, 87Rb, 133Cs und 174Yb
2. Nachweis und Anwendungen:
- Nachweis:
Ein in der Falle gespeichertes Kondensat hat einige µm Durchmesser und liegt damit hart an
der optischen Auflösungsgrenze. Schaltet man die Falle jedoch ab, so fällt das Kondensat im
Gravitationsfeld nach unten und dehnt sich dabei durch die miteinander wechselwirkenden
Atome aus. Hierdurch erreicht es Durchmesser von einigen 100µm und lässt sich nun mit
Hilfe einer CCD-Kamera optisch abbilden.
- Suprafluidität:
Das Phänomen der Suprafluidität beschreibt die Eigenschaft eines Mediums, bis zu einer
gewissen Grenzgeschwindigkeit in seinem Inneren keine Reibung aufzuweisen. Ebenso findet
kein Entropietransport statt, so dass theoretisch ideale Wärmeleitfähigkeit vorliegt.
Eine externe Störung (z.B. in Form von Rühren mit einem Laserstrahl) hat keinen Einfluss auf
das System, solange die Grenzgeschwindigkeit nicht überschritten wird. Rührt man stärker,
dann bilden sich Vortices aus. Hierbei handelt es sich um quantisierte Mikro-Wirbel, die
diskrete Anteile eines äußeren Drehimpulses aufnehmen können.
Bisher wurde dieses Phänomen bei He und 6Li entdeckt, wo es beim Unterschreiten einer
kritischen Temperatur (dem sog. λ-Punkt) aufgetreten ist. Bemerkenswert hierbei ist, dass 3He
fermionisch ist. Aber durch Paarbildung besitzen die Atompaare ganzzahligen Gesamt-Spin,
so dass sie wiederum bosonische Eigenschaften haben. Dieses Phänomen stellt eine sehr
interessante Analogie zur Supraleitung dar, bei der sich Elektronen durch Cooperpaarbildung
zusammenschließen.
Wenn man die äußere Anregungsfrequenz weiter erhöht, bilden sich weitere Wirbel. Die
Wirbel wechselwirken untereinander und bilden Wirbelgitter. Diese quantisierten Wirbel
stellen wieder eine Analogie zu den bei der Supraleitung auftretenden Fluss-Schläuchen dar.
Hierbei handelt es sich um diskrete Bereiche innerhalb eines Supraleiters, in die ein äußeres
Magnetfeld eindringen kann, während der Rest des Supraleiters feldfrei bleibt.
Erhöht man die äußere Anregungsfrequenz noch weiter, so geht das Medium in einen
normalflüssigen Zustand über, bei dem kontinuierliche Drehimpulse aufgenommen werden
können. Auch hier ist wieder eine entsprechende Analogie zur Supraleitung gegeben, da sich
der Supraleiter ab einer gewissen Feldstärke auch wie ein normaler Leiter verhält und ein
äußeres Feld komplett in den Leiter eindringen kann.
Insgesamt dient also die Analyse der auch bei Bose-Einstein-Kondensaten auftretenden
Suprafluidität sowohl einem besseren Verständnis der Supraleitung als auch der Dynamik der
Mikro-Wirbel. Des Weiteren gibt es technische Anwendungen von Suprafluiden in der
Spektroskopie zur reibungsfreien Lagerung von Molekülen und Molekülclustern.
- Solitonen:
Anschaulich versteht man unter Solitonen stabile, nicht zerfließende Wellen. Sie sind in
vielen Bereichen der Physik bekannt. Beispiele hierfür sind: Wasserwellen in flachen
Kanälen, Lichtpulse in der nichtlinearen Optik (bei der Datenübertragung in Glasfaserkabeln
über lange Entfernungen), Beschreibung von Eigenzuständen in der Elementarteilchentheorie
und sogar im Straßenverkehr (z.B. bei Staus), da die Dynamik des Straßenverkehrs sich
durchaus mit Methoden der statistischen Physik beschreiben lässt und deshalb ein eigenes
Forschungsgebiet der Physik darstellt.
Durch die Wechselwirkung der Atome untereinander - in der GPG beschrieben durch den
nichtlinearen Wechselwirkungs-Term - wird die Dispersion von Wellen, die durch das
Kondensat laufen, verhindert. Helle und dunkle Solitonen treten dabei als Dichtemaxima bzw.
–minima auf. Da Solitonen äußerst fragile Strukturen sind, können sie durch äußere Einflüsse
leicht zerstört werden. Aus diesem Grunde lassen sich mit ihrer Hilfe Wechselwirkungen des
Kondensates mit äußeren Atomen (in der Gasphase) analysieren. Man beobachtet bei den
Dichteminima einen Phasensprung der Wellenfunktion um π. Diesen kann man auch durch
äußere Anregung erzeugen, indem man das Kondensat zum Teil mit einem Laser bestrahlt.
Hierdurch springt die Phase der Wellenfunktion des bestrahlen Kondensat-Anteils und es lässt
sich somit ein dunkles Soliton erzeugen.
- Atomlaser:
Ein weiteres sehr interessantes Forschungsgebiet befasst sich mit dem so genannten
Atomlaser. Dieser stellt das Materiewellenanalogon zum Lichtlaser dar. Deshalb sind
Atomlaser von großer Bedeutung in der Erforschung der Eigenschaften von Materiewellen.
Strahlt man eine fest definierte Radiofrequenz auf ein Kondensat in einer Falle, so können
Atome aus dem Kondensat in einen anderen magnetischen Unterzustand übergehen. Dann
sehen sie das Fallenpotential nicht mehr und können aus der Falle entkommen. Unter dem
Einfluss des äußeren Gravitationsfeldes fallen diese dann nach unten und bilden einen
Atomlaserstrahl. Je nachdem, wie lange man die Radiofrequenz einstrahlt, kann man
unterschiedliche Arten von Atomlasern erzeugen:
o Strahlt man für eine kurze Zeit (im Vergleich zur reziproken Eigenschwingfrequenz
der Atome in der Falle) ein, so haben die Photonen nach Heisenberg eine hohe
Energie-Unschärfe und die Auskopplung der Atome ist über die gesamte Ausdehnung
des Kondensates verteilt. Deshalb sehen die austretenden Atome ein unterschiedliches
Potential und es bildet sich ein charakteristisches Sichelprofil aus.
o Bei einer langen Einstrahlzeit ist die Energie schärfer bestimmt und damit die
Auskopplung der Atome aus dem Kondensat ebenfalls scharf lokalisiert. Auf diese
Weise erhält man einen schmalbandigen Atomlaser.
o Die dritte Möglichkeit ist die (quasi-)kontinuierliche Einstrahlung der Radiofrequenz,
was zu einem kontinuierlichen Laserstrahl führt. Allerdings ist der Atomvorrat
innerhalb des Kondensates beschränkt, sodass sich nicht beliebig lange Pulsdauern
erzeugen lassen. Bisher wurden maximal 100ms-Pulse erreicht.
Anwendungsgebiete von Atomlasern sind beispielsweise MateriewelleninterferenzExperimente sowie Präzisionsmessungen von Rotationsbeschleunigungen und der
Gravitationsbeschleunigung.
- BEC on Chip:
Man ist bestrebt, immer kleinere und steilere Fallen zu bauen, damit sich Experimente mit
erhöhter Präzision in kürzeren Zeitabständen durchführen lassen. Ein Effekt der steileren
Falle ist nämlich, dass sich auf Atomchips die Evaporation in drei bis sieben Sekunden
durchführen lässt, während man in einer Standard-Ioffe-Falle ca. 30s benötigt. Eine
Mikrofalle ist die Realisierung einer solch kleinen Falle, die nur wenige 100 µm Durchmesser
hat.
Es ist bereits gelungen, BECs auf Mikro-Chips herzustellen und auch in Mikro-Fallen zu
fangen. Der Vorteil hierin besteht (neben den bereits erwähnten kürzeren Zeitabständen) unter
anderem darin, dass sich auf Mikro-Chips per Lithographie sehr präzise Fallengeometrien
herstellen lassen. Des Weiteren hat man die Möglichkeit, Experimente direkt auf dem MikroChip durchzuführen, da man auch Versuchsaufbauten wie z.B. Interferometer direkt auf
einem Chip implementieren kann. Auch kann man BECs zur Sondierung von Oberflächen
verwenden, da sie empfindlich auf äußere Potentiale reagieren. So kann man in einem
stromdurchflossenen Leiter Unreinheiten, die zu Veränderungen im elektrischen Potential des
Leiters führen mit Hilfe kalter, thermischer Atomwolken nachweisen.
Durch diese IC-Technologie lassen sich BECs auch leichter und kostengünstiger herstellen
und untersuchen.
3. Literaturangaben:
- Harold J. Metcalf, P.van der Straten: Laser Cooling And Trapping.
- http://www.iap.uni-bonn.de/P2K/bec/ (sehr empfehlenswert, mit interaktiven Applets)
- www.wikipedia.de (universelle Enzyklopädie)
- Physikalische Blätter 56 (2000) Nr. 2, s.47ff
- Physikalische Blätter 57 (2001) Nr. 3, s.33ff
- Physik Journal 2 (2003) Nr. 6, s. 39ff
http://www.pro-physik.de/Phy/External/PhyH Æ link: „Physik Journal“
- Ecksteine des physikalischen Weltbildes
http://www.thp.uni-koeln.de/natter/physwelt/vorl14/vorl14.pdf