Geometrie

Ebene Geometrie
Formeln und Begriffe
Geometrie – Begriffe und Formeln
Geometrie setzt sich aus den beiden griechischen Wörtern „geo“ (Erde) und „metrein“ (messen) zusammen, bedeutet ursprünglich „Erdvermessen“. Alle Gegenstände unseres Universums sind dreidimensionale Körper. Körper werden durch Flächen begrenzt; Flächen stoßen in Kanten aufeinander,
welche durch gerade oder gekrümmte Linien gebildet werden; Kanten laufen in Ecken (= Punkte)
zusammen.
als Abszisse (vom lateinischen Wort abscisus =
abgebrochen) bzw. als 1. Koordinatenachse
Ebene Geometrie
bezeichnet. Die senkrecht liegende Gerade
wird als y-Achse oder auch als Ordinate (vom
Grundbegriffe
lateinischen Wort ordinatus = geordnet) bzw.
Grundbegriffe der ebenen Geometrie sind ein
als 2. Koordinatenachse bezeichnet.
Punkt, eine Gerade und eine Ebene. Diese
Begriffe Punkt, Gerade und Ebene werden
nicht definiert, es werden grundlegende Sätze
(Axiome) angegeben, die diese Begriffe zueinander in Beziehung setzen.
Strahl (oder auch Halbgerade): Ein Strahl ist
ein einseitig begrenztes Geradenstück, er besitzt einen Anfangspunkt P.
Strecke: Eine Strecke ist ein zweiseitig begrenztes Geradenstück, sie hat zwei Endpunkte. AB bezeichnet die Strecke mit den Endpunkten A und B, ̅̅̅̅ bezeichnet ihre Länge.
Parallele Geraden: Zwei Geraden g und h heißen parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben oder zusammenfallen. Man
schreibt g || h.
Flächeninhalt: Der Flächeninhalt A ist ein Maß
für die Größe einer Fläche. Der Flächeninhalt
A wird oft Fläche A genannt. Das Formelzeichen A leitet sich vom Lateinischen "area" ab
und bedeutet Grundfläche. Die Einheiten einer Fläche sind z.B. m², cm², mm² etc.
1 Quadratzentimeter ist der Flächeninhalt
eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 cm.
1 Quadratdezimeter ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 dm.
1 Quadratmeter ist der Flächeninhalt eines
Quadrates mit der Seitenlänge 1 m. Usw…
Rechtwinkeliges (kartesisches) Koordinatensystem: Ein rechtwinkliges Koordinatensystem besteht aus zwei Geraden, die aufeinander normal stehen. Die horizontal liegende
Gerade wird als x-Achse oder auch
MMag. Martina Greiler-Zauchner
Winkel: Zwei Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt S bestimmen einen Winkel. Die
beiden Strahlen heißen Schenkel, S heißt
Scheitel des Winkels.
Bezeichnung: ∠CAB oder durch griechische
Kleinbuchstaben: α, β, γ...
Winkelpaare:
Es gilt:
Nebenwinkel betragen zusammen 180°.
Scheitelwinkel sind gleich groß.
Parallelwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel
paarweise parallel sind, nennt man Parallel1
Ebene Geometrie
winkel.
Normalwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel
paarweise aufeinander normal stehen heißen
Normalwinkel.
Formeln und Begriffe
Drehung
Punktspiegelung (Drehwinkel = 180°)
Parallelverschiebung oder Translation
Es gilt:
Parallelwinkel und Normalwinkel sind gleich
groß oder supplementär.
Komplementärwinkel betragen zusammen
90°.
Supplementärwinkel betragen zusammen
180°.
Kongruenzabbildung: Unter einer Kongruenzabbildung versteht man eine geometrische Abbildung, bei der Form und
Größe von beliebigen geometrischen Figuren
nicht verändert werden, das heißt jede Figur
wird dabei auf eine zu ihr kongruente
(=deckungsgleich) abgebildet.
Es gibt folgende Kongruenzabbildungen:
Achsenspiegelung
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Schubspiegelung: Schubspiegelungen setzen
sich aus einer Verschiebung und einer Achsenspiegelung zusammen. Die Reihenfolge ist
dabei egal.
Symmetrie
Eine ebene Figur heißt symmetrisch, wenn es
eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt,
bei der die Figur auf sich selbst abgebildet
wird
Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn es
eine Achsenspiegelung gibt, bei der die Figur
auf sich selbst abgebildet wird. Die Gerade
heißt Symmetrieachse oder Spiegelungsachse.
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Ebene Geometrie
Eine Figur heißt punktsymmetrisch oder zentralsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung an einem Punkt Z gibt, bei der die Figur
auf sich selbst abgebildet wird.
Formeln und Begriffe
Das Dreieck
Allgemeines Dreieck
Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn es
eine Drehung um einen Punkt Z mit einem
Drehwinkel α ≠ 360° gibt, bei der die Figur auf
sich selbst abgebildet wird.
Bezeichnungen:
A, B, C
Eckpunkte
a, b, c
Seiten
α, β, γ
Innenwinkel
α1, β1, γ1
Außenwinkel
Eine Figur heißt verschiebungssymmetrisch,
wenn es eine Verschiebung gibt, bei der die
Figur auf sich selbst abgebildet wird.
Eine Figur heißt schubspiegelsymmetrisch,
wenn es eine Schubspiegelung gibt, bei der
die Figur auf sich selbst abgebildet wird.
Für jedes Dreieck gilt:
Dreiecksungleichungen:
Die Summe zweier Seiten ist immer größer
als die dritte:
a+b>c
b+c>a
a+c>b
Winkelsummensatz:
Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.
      180
Die Summe der Außenwinkel beträgt 360°.
1  1   1  360
Formeln für den Flächeninhalt:
a  ha b  hb c  hc


2
2
2
a bc
A
4r
A
A  s  s  a s  bs  c
(Formel von Heron)
A  s
A
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ab
bc
ac
 sin  
 sin  
 sin 
2
2
2
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Formeln und Begriffe
Einteilung von Dreiecken
Nach der Seitenlänge:
ungleichseitig
a≠b≠c
α≠β≠γ
gleichschenkelig
a,b… Schenkel
c…Basis
a=b≠c
α=β≠γ
rechtwinkelig
γ =90°
a,b…Katheten
c…Hypotenuse
p,q…Hypotenusenabschnitte
γ=90°
α<90°
β<90°
rechtwinkelig-gleichschenkelig
a=b≠c
γ=90°
α=β=45°
stumpfwinkelig
90°<γ<180°
α<90°
β<90°
gleichseitig
a=b=c
α=β=γ=60°
Besondere Linien und Punkte im Dreieck:
Höhen, Höhenschnittpunkt
Nach den vorkommenden Winkeln:
spitzwinkelig
α<90°
β<90°
γ<90°
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ha…Höhe auf die Seite a, ha⏊a
hb…Höhe auf die Seite b, hb⏊b
hc…Höhe auf die Seite c, hc⏊c
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Formeln und Begriffe
Fa, Fb, Fc…Höhenfußpunkte
H…Höhenschnittpunkt = Schnittpunkt der
Höhen
Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck
innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck
außerhalb der Dreiecksfläche. Beim
rechtwinkeligen Dreieck ist er der Scheitel des
rechten Winkels.
Ma, Mb, Mc…Mittelpunkte der Seiten a, b, c
Seitensymmetralen, Umkreismittelpunkt,
Umkreisradius
Winkelsymmetralen, Inkreismittelpunkt,
Inkreisradius
ma…Seitensymmetrale der Seite a
mb… Seitensymmetrale der Seite b
mc… Seitensymmetrale der Seite c
Ma, Mb, Mc…Mittelpunkte der Seiten a, b, c
U…Umkreismittelpunkt = Schnittpunkt der
Seitensymmetralen
Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck
innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck
außerhalb der Dreiecksfläche. Beim
rechtwinkeligen Dreieck ist er der Mittelpunkt
der Hypotenuse.
r= AU = BU = CU =
S…Schwerpunkt = Schnittpunkt der
Schwerlinien
Er liegt stets innerhalb des Dreieckes und teilt
jede Schwerlinie innen im Verhältnis 2:1
(z.B.: AS : SMa = 2:1)
wα…Winkelsymmetrale des Winkels α
wβ… Winkelsymmetrale des Winkels β
wγ… Winkelsymmetrale des Winkels γ
D, E, F…Berührungspunkte des Inkreises mit
den Seiten des Dreiecks:
a=y+z, b=x+z, c=x+y
I…Inkreismittelpunkt = Schnittpunkt der
Winkelsymmetralen
Er liegt stets innerhalb des Dreiecks
ρ= DI = EI = FI = …Inkreisradius (
, A = Dreiecksfläche)
…Umkreisradius
(A=Flächeninhalt des Dreiecks)
Schwerlinien, Schwerpunkt
sa, sb, sc…Schwerlinien
Jede Schwerlinie teilt das Dreieck in zwei
flächengleiche Teile.
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Kongruenz
Vielecke, die nicht nur in der Form, sondern
auch in der Größe übereinstimmen, heißen
kongruent (=deckungsgleich).
Kongruenzsätze
Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen
 in einer Seite und zwei Winkeln oder
 in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder
 in zwei Seiten und dem der größeren
Seite gegenüberliegenden Winkel oder
 in den drei Seiten.
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Ebene Geometrie
Ähnliche Vielecke
Vielecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis
entsprechender Seiten oder in den entsprechenden Winkeln übereinstimmen.
Symbol: (~)
Ähnlichkeitssätze
Zwei Dreiecke ΔABC und ΔDEF (ΔABC ∼ ΔDEF)
sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen
 in zwei Winkeln oder
 im Verhältnis zweier Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel oder
 im Verhältnis zweier Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite oder
 im Verhältnis der drei Seiten.
Ähnliche Dreiecke werden durch entsprechende Höhen oder Winkelhalbierenden oder
Seitenhalbierenden in ähnliche Dreiecke zerlegt. In ähnlichen Dreiecken verhalten sich
entsprechende Höhen, Winkelhalbierenden
und Seitenhalbierenden wie ein Paar entsprechender Seiten. Die Umfänge ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie ein Paar entsprechender Strecken (Seiten, Höhen, Seitenhalbierenden usw.):
u1 : u2  a1 : a2  b1 : b2  c1 : c2  k
(Ähnlichkeitsverhältnis, Linearvergrößerung)
Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate zweier entsprechender Strecken (Seiten, Höhen, Seitenhalbierenden usw.).
A1 : A2  a12 : a 2 2  b12 : b2 2  c12 : c2 2  k 2 (k
siehe oben!)
Ähnlichkeitslage
Ähnliche Vielecke sind in Ähnlichkeitslage,
wenn entsprechende Seiten parallel sind und
entsprechende Punkte auf Strahlen eines
Strahlenbüschels liegen. Der Scheitel S des
Strahlenbüschels heißt Ähnlichkeitspunkt.
Formeln und Begriffe
SA1 : SA2 : SA3  SB1 : SB2 : SB3
 SC1 : SC2 : SC3
SA1 : A1A 2 : A 2 A 3  SB1 : B1 B2 : B2 B3
 SC1 : C1C 2 : C 2 C 3
2. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines
Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten,
so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die entsprechenden Scheitelstrecken
auf irgendeinem Strahl.
A1B1 : A2 B2 : A3 B3  SA1 : SA2 : SA3
B1C1 : B2C2 : B3C3  SC1 : SC2 : SC3
usw.
Sätze über das rechtwinkelige
Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck:
rechtwinkelig
γ =90°
a,b…Katheten
c…Hypotenuse
p,q…Hypotenusenabschnitte
γ=90°
α<90°
β<90°
A
Strahlensätze
1. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines
Strahlenbüschels von Parallelen geschnitten,
so verhalten sich die Abschnitte auf einem
Strahl wie die gleichliegenden Abschnitte auf
jedem anderen Strahl.
c  hc a  b

2
2
Pythagoräischer Lehrsatz1
Das Quadrat über der Hypotenuse eines
rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe
der beiden Quadrate über den Katheten:
c 2  a 2  b2
1
Auch die Schreibweise „Pythagoreischer
Lehrsatz“ ist richtig.
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Formeln und Begriffe
Der Kathetensatz (Euklid)
Das Quadrat über der Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist flächengleich dem
Rechteck, gebildet aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt:
a2  c  p
b2  c  q
Der Höhensatz (Euklid)
Das Quadrat über der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist flächengleich dem Rechteck,
gebildet aus den beiden Hypotenusenabschnitten:
Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
h2  p  q
Pythagoräische Zahlentripel:
a  2 pq
b  p 2  q 2 wobei p > q
c  p2  q2
p
2
3
4
5
3
4
5
4
5
5
…
q
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
…
a
4
6
8
10
12
16
20
24
30
40
…
b
3
8
15
24
5
12
21
7
16
9
…
c
5
10
17
26
13
20
29
25
34
41
…
Man erhält weitere pythagoräische Zahlentripel, wenn man die in obiger Tabelle zusammengehörenden Werte a, b, c durch a, b,
c ersetzt.
Das gleichseitige Dreieck:
a
 3
2
a2
A
 3
4
h
Satz von Thales
Sei k ein Halbkreis über der Strecke AB. Liegt
der Eckpunkt C eines Dreiecks ABC auf k, so
hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.
γ =90°
c = AB Hypotenuse
a = BC Gegenkathete zu 
b = AC Ankathete zu 
 = 90 – 
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Gegenkathete zu 
Hypotenuse
Ankathete zu 
cos 
Hypotenuse
sin  Gegenkathete zu 
tan 

cos
Ankathete zu 
1
cos
Ankathete zu 
cot  


tan sin  Gegenkathete zu 
sin  
Besondere Funktionswerte:
=
0
30
45
1
2
2
2
60
90
3
2
1
2
1
sin 
0
cos 
1
3
2
tan 
0
3
3
1
3

cot 

3
1
3
3
0
2
2
0
Das Viereck
Bei jedem Viereck ist die Summe der Innenwinkel gleich 360.
Das Parallelogramm
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Formeln und Begriffe
Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht,
halbieren einander und halbieren auch die
Rhombuswinkel.
Das Sehnenviereck
A = aha = bhb (Grundlinie mal zugehörige
Höhe)
 +  =  +  =  +  =  +  = 180
Die Diagonalen halbieren einander.
Das Rechteck
    180
    180
A
s  a   s  b   s  c  s  d 
wobei s 
A = ab
u a bcd

.
2
2
Das Tangentenviereck
d = a 2  b2
Die Diagonalen halbieren einander.
Das Quadrat
A = a²
d= a 2
Die Diagonalen halbieren einander und stehen
aufeinander normal.
Das Trapez
a+c = b+d
A = s
Das Deltoid (Drachenviereck)
A
ac
h  mh
2
Der Rhombus (= die Raute)
A
e f
2
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Ebene Geometrie
A
e f
2
Vieleck (Polygon)
Die Winkelsumme beträgt (n-2)· 180°, wenn n
die Eckenanzahl des konvexen Vielecks ist.
Regelmäßige Vielecke
Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle seine
Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich
groß sind. Jedem regelmäßigen Vieleck kann
ein Umkreis und ein Inkreis eingeschrieben
werden.
Formeln und Begriffe
Der Satz vom Sehnentangentenwinkel
Der Sehnentangentenwinkel ist halb so groß
wie der Zentriwinkel über demselben Bogen,
folglich gleich dem Peripheriewinkel über
demselben Bogen.
Kreiszahl π = 3,1415927…
beschreibt das Verhältnis
des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.
Kreisumfang:
u = 2r
Kreisbogen:
r
für  in Altgrad
180
b  r   für  im Bogenmaß
b
Kreisfläche: A  r 2
Kreisausschnitt (Kreissektor):
Der Kreis und Kreisteile
Kreis: Ein Kreis ist definiert durch die Menge
aller Punkte der Ebene, die von einem festen
Punkt M (=Mittelpunkt) den gleichen Abstand
r (=Radius) haben.
Sehne s: Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte
Durchmesser d: Jede Sehne durch den Kreismittelpunkt: d=2r
Kreistangente: Steht normal auf den Kreisradius im Tangentenberührpunkt
Der Satz vom Zentri- und Peripheriewinkel:
Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie jeder
beliebige Peripheriewinkel über demselben
Bogen (über derselben Sehne).
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r 2
für  in Altgrad
360
r 2
A
für  im Bogenmaß
2
1
A  br
2
A
Kreisabschnitt (Kreissegment):
A = AKreissektor – AAMB
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Ebene Geometrie
A
Formeln und Begriffe
b  r s  r  h 

2
2
Kreisring:

A    R2  r2

Bogenmaß:
180° = π (rad)
1 rad = 57,3°
Umrechnungsfaktoren vom Gradmaß ins Bogenmaß und umgekehrt:

180
bzw.
180

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