Prozent- und Zinsrechnung

Prozent- und Zinsrechnung
Sj 2013/14, Mathe 7a
Seite 1
Graf-Zeppelin-Gymnasium
Wir haben zwei verschiedene Aufgabentypen der Prozentrechnung kennen gelernt. Beide Arten solltet
ihr im Test und der Klassenarbeit bearbeiten können.
Typ 1: Es sind Aufgaben, bei denen ein Teil W des Ganzen G ein bestimmter Prozentsatz p% ist
Typ 2: Es sind Aufgaben, bei denen sich eine Größe verändert (von a zu n), allerdings so, dass die Änderung ein bestimmter Prozentsatz von der alten Größe ist. Also n=a +p%*a=a(1+p%)
Vorsicht, wenn es um die Zunahme einer sich ändernden Größe geht, dann ist dies eine Aufgabe vom
Typ 1
Aufpassen muss man, wenn eine Größe beim Typ 2 sich zweimal ändert. Der Prozentwert bezieht sich
dann auf verschiedene Grundwerte.Man kann die Prozentzahlen also nicht addieren (oder subtrahieren.)
Typ 1: Absoluter und relativer Anteil
Von einer Grundmenge G ist ein Anteil (Prozentwert) W ausgewählt. Dieser Anteil heißt oft auch absoluter Anteil. Gefragt ist nach dem zughörigen Prozentwert, dem relativen Anteil, den wir mit p% bezeichnen
Der Zusammenhang der drei Größen ist
W = p% ⋅ G
Bei Aufgaben sind immer zwei der drei Werte gegeben, die dritte ist zu berechnen.
Dazu muss man die Gleichung oben zuvor umformen (oder man lernt die beiden Varianten zusätzlich
auswendig)
W
G=
(man erhält sie, wenn man die Gleichung oben durch p% dividiert)
p%
W
p% =
(man erhält sie, wenn man die Gleichung oben durch G dividiert)
G
Typ 2: Prozentuale Änderungen
Bei dieser Art von Aufgaben ändert sich eine Größe. Die Größe vor der Änderung bezeichnen wir mit a
(alter Zustand), die nach der Änderung mit n (neuer Zustand).
Die Änderung, ist dabei p%*a. (Das heißt die Änderung der Größe ist das, was oben mit W bezeichnet
wird. G ist dabei a.)
Wir unterscheiden zwei Arten:
n = a + p% ⋅ a = a (1 + p% ) (Wachstum)
n = a − p% ⋅ a = a (1 − p% )
(Rabatt)
Hierbei gibt es vier Größen: a = der alte Werte, n = der neue Wert, p% die prozentuale Änderung, der
Wachstumsfaktor (1+p%) bzw. der Abnahmefaktor (1-p%).
Von den Größen sind immer zwei gegeben, die weiteren müssen berechnet werden.
VORISCHT: Ist die Änderung zwischen den Größen vorher und nachher, d.h. zwischen a und n, gegeben, so ist dies eine Aufgabe der ersten Art.
Dabei gilt W = n − a = p%G = p%a wenn ein Wachstum vorliegt. Wenn es um Rabatt geht, gilt
W = a − n = p%G = p%a .
(Dies kann man prinzipiell aus den beiden Gleichungen für Wachstum und Rabatt herleiten)
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W.Seyboldt
Stand: 12.10.13
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Die hier angegebnen Aufgaben sind alle aus dem Schulbuch. Teilweise haben wir sie schon gerechnet.
Ausführliche Lösungen findet ihr am Ende des Textes.
Aufgaben zu Typ 1: „Absoluter und relativer Anteil“
Die Lösungen stehen am Ende des Files.
Aufgabe 1) In einem Bergwerk wird Eisenerz abgebaut, das 45% Eisen enthält. An einem Tag soll 3000 t
Eisenerz gewonnen werden. Wie viel Eisenerz muss man abbauen?
Aufgabe 2) Von 86 Fahrrädern haben 31,4% eine defekte Beleuchtung
Aufgabe 3) Aus 50 t Kartoffeln kann man Stärke 9 t gewinnen. Wie groß ist der relative Anteil der Stärke
in den Kartoffeln?
Aufgaben zu Type 2: „Prozentuale Änderungen“
Die Lösungen stehen am Ende des Files.
Aufgabe 5) Alexander kauft ein Fahrrad. Es kostete ursprünglich 470€. Da es aus dem Vorjahr stammt,
wird es um 15% herabgesetzt.
Aufgabe 6). Tims Mutter kauft einen Schrank, der ursprünglich 2400 € gekostet hat, im Sonderangebot
für 2040 €. Wie viel Prozent Rabatt hat sie bekommen?
Aufgabe 7) Die Stromkosten sind im vom Jahr 2013 um 7,7% teuerer geworden. Jetzt zahlt eine Familie
1079€ pro Jahr. Wie hoch waren die Stromkosten im Jahr 2012?
Aufgabe 8) Frau Werner will einen Fernseher einkaufen. Im Laden Cheap erhält sie 71 € Rabatt. Wie
teuer ist der Fernseher, wenn sie 11% Rabatt bekommt.
Aufgabe 9) Ein Fernseher kostet 700€. Dazu kommen 16% MWst. Bei Barzahlung gewährt der Händler
einen Rabatt von 5%.
Micha behauptet, das kann man einfacher rechnen, wenn man 700€ um 11%=16%-5% erhöht.
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W.Seyboldt
Stand: 12.10.13
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Lösungen zu Typ 1: „Absoluter und relativer Anteil“
Lösungsvorschlag 1) Gesucht ist G (alles) Gegeben sind W=3000 t und p%=45%
Die Gleichung, die den Zusammenhang beschreibt ist W = p% ⋅ G
Wir lösen diese Gleichung nach G auf. (Dazu teilen wir die linke und die rechte Seite der
Gleichung durch dieselbe Größe, nämlich durch p%.)
W
W 3000 3000
Wir erhalten
=
=
= 6667
= G . Damit ist G =
p%
p% 45% 0, 45
Antwort: Man muss gut 6670 t Eisenerz abbauen
Lösungsvorschlag 2) Gesucht ist W (Die Anzahl der Räder ohne Beleuchtung) Gegeben sind G=86 und
p%=31,4%
Die Gleichung, die den Zusammenhang beschreibt ist W = p% ⋅ G
Wir müssen sie nicht umformen.
Wir erhalten damit W = 31, 4% ⋅ 87 = 0,314*86 = 27
Antwort: Von den 86 Rädern fahren 27 ohne Licht.
Lösungsvorschlag 3) Gesucht ist p% (der relative Anteil, d.h. der Prozentsatz) Gegeben sind G=50 t
und W=9 t.
Die Gleichung, die den Zusammenhang beschreibt ist W = p% ⋅ G
Wir müssen sie nach p% auflösen. Dazu dividieren wir beide Seiten durch G und erhalten
W
W 9
= p% . Damit ist p% =
=
= 0,18 = 18%
G
G 50
Antwort: in den Kartoffeln sind 18% Stärke enthalten.
Lösungen zu Typ 2: „Prozentuale Änderungen“
Lösungsvorschlag 5) Bekannt ist der alte Preis a = 470€ und der Prozentsatz um den der Preis niedriger
wird. Damit ist der Abnahmefaktor (1-p%) = 1-15%=0,85. Der neue Preis ist dann
n = a (1 − p% ) = 470 ⋅ 0,85 = 399,50
Alexander muss also 399,50€ für sein Rad bezahlen.
Lösungsvorschlag 6) Für den Zusammenhang der Größen gilt n = a (1 − p% ) . Teilen wir die Gleichung
durch a, so erhalten wir
n
= (1 − p% ) . Also ist der Abnahmefaktor
a
n 2040
=
= 0,85 . Damit bekommt sie 15% Rabatt.
a 2400
Lösungsvorschlag 7) Bekannt ist der neue Preis n=1079 und der Wachstumsfaktor (1+p%)
= 1,077. Gesucht ist der alte Preis a. Der Zusammenhang zwischen den Größen ist
n = a (1 + p% ) . Teilen wir die Gleichung durch den Wachstumsfaktor, so erhalten wir
(1 − p% ) =
n
n
1079
= a . Damit ist der alte Preis a =
=
= 1001,86
(1 + p% )
(1 + p% ) 1,077
Antwort: Die Familie musste im letzten Jahr 1001,86 € an Stromkosten bezahlen.
Lösungsvorschlag 8) Gesucht ist der alte Preis. Bekannt ist die Änderung zwischen dem neuen und dem
alten Preis. Die Gleichung für Rabatt ist n = a (1 − p% ) . Allerdings ist hier nicht der Anfangs- oder Endpreis gegeben, sondern die Änderung. Also ist dies eigentlich eine Aufgabe
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W.Seyboldt
Stand: 12.10.13
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vom Typ 1:
W a −n
71
=
=
= 645, 45
p% p% 0,11
Der Preis ohne Rabatt ist also 645,45€, der mit Rabatt 574,45€
Die Änderung ist W= a − n = p% ⋅ a . Also ist a = G =
Lösungsvorschlag 9) Erster Schritt: Preis mit MWst: Bekannt ist der alte Wert a = 700€. Der Wachstumsfaktor ist (1+p%) = 1,16.. Damit ist n = a(1 + p%) = 700 ⋅ (1 + 16% ) = 700 ⋅1,16 = 812
Der Preis mit MWst ist also 812 €.
2. Schritt: Auf diesen Wert gewährt der Händler nun 5% Rabatt. Der Rabatt wird abgezogen, also ist der Abnahmefaktor (1-p%) = 0.95.
Der alte Preis ist diesmal 812€. Der neue Preis berechnet sich dann diesmal mit
n = a(1 − p%) = 812 ⋅ (1 − 5% ) = 812 ⋅ 0,95 = 771, 4
Der Endpreis des Fernsehers ist also 771,40€
3. Schritt: Wenn Micha Recht hat, muss sich mit seiner Methode derselbe Endpreis berechnen lassen.
Bei seiner Methode ist der alte Preis a= 700€ und der Wachstumsfaktor ist (1+p%) = 1,11.
Der neue Preis nach Michas Methode ist also
n = a(1 + p%) = 700 ⋅ (1 + 11% ) = 700 ⋅1,11 = 777
Damit können wir feststellen, dass sich mit Michas Methode ein höherer Endpreis ergäben
würde. Das liegt daran, dass die 5% Rabatt sich ja den Preis mit MWst, nämlich auf 812€
beziehen und nicht auf 700€.
Merke: Wenn man etwas zuerst um x% erhöht und dann wieder x% Rabatt gibt, ist der
Endpreis geringer als der Anfangspreis.
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W.Seyboldt
Stand: 12.10.13