Übungsblatt 4 (24.06.2011) - Lehrstuhl für Optik, Uni Erlangen

Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 2
Universität Erlangen–Nürnberg
SS 2011
Übungsblatt 4 (24.06.2011)
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1) Geladene Kugeln
Zwei homogen geladene Eisenkugeln mit den Ladungen Q = q1 = q2 = 2 · 10−7 C haben einen Abstand a =
20cm ihrer Schwerpunkte voneinander. Sie besitzen jeweils die Masse m = 100g und haben einen Radius R =
1,45cm.
(a) Skizzieren Sie qualitativ E(r) einer Kugel von r = 0 bis r R. Welchen Betrag hat E auf dem Rand der
Kugel?
Lösung
Q
4π0
Q
r ≥ R: E(r) =
4π0
r ≤ R: E(r) =
⇒ E(R) =
(b) Skizzieren Sie die Feldlinien zwischen den Kugeln.
Lösung
1
r
R3
1
· 2
r
·
Q
R
Q
1
V
· 3 =
· 2 = 8, 55 · 106
4π0 R
4π0 R
m
(c) Welche Kraft wirkt zwischen den Kugeln und wie ist sie gerichtet?
Lösung
Da R < a/2 und die Kugeln homogen geladen sind, gilt die Coulombkraft für Punktladungen.
−
→ −
→
Q2
1 −
−
Fel = FC =
· 2 ·→
er = 9, 0mN · →
er
4π0 a
Die Kraft zeigt von der jeweils anderen Kugel weg, da beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben. Sie stoßen
sich ab. An beiden Ladungen wirkt betragsmäßig die gleiche Kraft.
(d) Die Kugeln werden nun an masselosen Fäden der Länge l = 1m am gleichen Punkt aufgehängt und stoßen
sich aufgrund der positiven Ladungen ab. Welchen Abstand nehmen die Kugelschwerpunkte zueinander an?
Hinweis: Sie können die Kleinwinkelnäherung tan α ≈ sin α nutzen.
Lösung
Die Kugeln können als Punktladungen betrachtet werden, allerdings muss bei folgender Rechnung der Radius R
der Kugeln berücksichtigt werden.
2
−
→
|FC |
d/2
. Für die Kräfte erhalten wir tan α = −
Aus geometrischen Gründen gilt sin α =
→ .
l+R
|Fg |
Durch die Kleinwinkelnäherung kann tan α ≈ sin α gesetzt werden. Somit ergibt sich:
−
→
|FC |
Q2
1
d
=
· 2
≈
−
→
4π0 d mg
2 · (l + R)
|Fg |
2
1/3
Q 2 (l + R)
⇒ d =
= 9, 1cm
4 π 0 m g
2) Elektrische Feldlinien
Welche der unten gezeigten Feldlinienbilder sind für statische elektrische Felder verboten, welche sind erlaubt?
Aus welchem Grund sind sie verboten bzw. erlaubt?
3
Lösung
→
−
→
−
(a) Verboten, da es keine geschlossenen E -Feldlinien gibt und E immer senkrecht auf Metalloberflächen steht.
(b) Erlaubt. Coulombfeld einer Punktladung.
(c) Verboten, da sich Feldlinien nicht kreuzen.
(d) Verboten, da Feldlinien nicht auf positiven Ladungen enden. Zudem wären die Feldlinien geschlossen.
(e) Erlaubt. Dipol-Feld.
(f) Erlaubt. Feld in einem Plattenkondensator.
3) Teilchenbeschleuniger
In einem Teilchenbeschleuniger werden Atome mit Kernladungszahl
Z und Massenzahl A vollständig ionisiert und über eine Hochspannung U beschleunigt.
Sie treten danach in ein homogenes Magnetfeld B ein, das senkrecht zur Flugrichtung der Ionen steht, und
beschreiben dort eine Halbkreisbahn, nach der sie auf einen Detektor treffen.
Hinweis: Die atomare Masseneinheit beträgt u = 1, 661 · 10−27 kg.
(a) Mit welcher Geschwindigkeit vIon in Abhängigkeit von U , Z und A treten
die Ionen in das Magnetfeld ein?
Lösung
1
1
2
2
= · A u · vIon
Ekin = U · QIon = U · Z e = mIon vIon
2
2
r
2·U ·Z ·e
⇒ vIon =
A·u
(b) Berechnen sie den Bahnradius R im Magnetfeld bzw. den Auftreffort x der Teilchen in Abhängigkeit von B,
Z, A und U . Der Ortsnullpunkt soll der Eindringort der Teilchen in das Magnetfeld sein.
Lösung
Für die Kreisbahn gilt |FL | = |FZ |. Daraus ergibt sich:
qIon vIon B = e Z vIon B =
⇒ R =
Au
· vIon
eZB
2
2
mIon · vIon
A u vIon
=
R
R
r
1
2AU u
= ·
B
eZ
Da die Bahn der Ionen einen Halbkreis darstellt, ist der Auftreffort x = 2 R.
4
(c) Es sollen nun 12 C Atome in den Teilchenbeschleuniger gebracht werden. Das Magnetfeld hat eine Stärke B
= 0,4T und es liegt eine Beschleunigungsspannung U = 1M V an. Welche Geschwindigkeit, welchen Radius und
Auftreffort auf dem Detektor erwarten Sie?
Lösung
s
Z = 6, A = 12,
⇒ v12 C =
R=
m
2 · 106 V · 6 · 1, 6022 · 10−19 C
= 9, 8 · 106
−27
12 · 1, 661 · 10 kg
s
12 · 1, 661 · 10−27 kg · 9, 8 · 106 m/s
= 50, 8cm
6 · 1, 6022 · 10−19 C · 0, 4T
⇒ x = 1, 016m
4) Widerstände
Ein Widerstandsnetzwerk besteht aus 12 wie in Bild 1 angeordneten Widerständen. Der Wert aller Widerstände beträgt
1Ω. An die Punkte A und B wird eine Spannung von 12V angelegt.
(a) Berechnen Sie den Gesamtstrom durch das Netzwerk, den
Strom durch die einzelnen Widerstände sowie die Spannung am
Punkt C.
(b) Welche Leistung wird in den Widerständen umgesetzt?
(c) Die Punkte A und C werden leitend verbunden. Berechnen Sie den Gesamtstrom sowie den Strom durch die
am Punkt B angrenzenden Widerstände. Würden Widerstände, die eine maximale Leistung von 25 W aushalten,
hier noch einsetzbar sein?
Lösung a)
Aufgrund der Symmetrie
der Anordnung fließt im Punkt C kein Strom zwischen
dem unterem und dem oberen Teil der Schaltung. Man
kann die Schaltung somit als zwei parallele Reihenschaltungen
von Widerständen auffassen, von denen der mittlere wiederum
aus zwei parallel geschalteten Reihenschaltungen besteht.
5
RGes =
1
R+ 1 1 1
R+R + R+R
1
+ R+
+R
1
1
1 + 1 +R
R+R R+R
IGes =
=
3R
= 1, 5Ω
2
U
= 8A
RGes
Strom durch die Widerstände:
4A für die an die Punkte A und B direkt angrenzenden
Widerstände, durch die restlichen wiederum je zwei parallel geschalteten Widerstände fließt dann nur noch 2A,
da sich die 4A symmetrisch aufspalten. Spannung im Punkt C: 6V
Lösung b)
P = I2 · R
Bei 2A entspricht dies 4W , bei 4A entspricht dies 16W .
Lösung c)
Die Verhältnisse in der Schaltung
ändern sich. Der Gesamtwiderstand berechnet sich jetzt mit:
RT eil2 = R + R +
1
R
1
+
+
1
R
5
= R = 2, 5Ω
2
1
R
(rot) und
1
RT eil = R +
1
RT eil2
=
12
R = 1, 71Ω
7
(blau) zu
RGes =
1
RT eil
1
+
IGes =
1
RT eil
=
12
R = 0, 86Ω
14
U
= 14A
RGes
Durch die direkt an Punkt B
angrenzenden Widerstände fließt die Hälfte des Gesamtstroms:
IGes /2 = 7A
Die in ihnen umgesetzte Leistung beträgt:
P = I 2 R = 49W
Die Widerstände können nicht eingesetzt werden.
6