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Hauptseminar SS 05
Der Urknall und seine Teilchen
Hubble Expansion
E. Kandrai
13/05/05
Entwicklungen und Ideen bzgl. Expansion
•
1912 – 1922: Vesto Slipher untersucht insgesamt 41 Spiralgalaxien
auf ihre Radialgeschwindigkeit; fast alle bewegen sich von uns weg
•
1917: Einstein führt Kosmologische Konstante Λ ein, um statisches
Universum zu ermöglichen
•
1922: Alexander Friedmann entdeckt, dass ein homogenes,
isotropes und massenbehaftetes Universum im Allgemeinen
expandiert oder sich zusammenzieht
•
1927: vom belgischen Astronomen Georges Lemaître bestätigt
•
1929: Edwin Hubble benutzt Cepheiden, um den Zusammenhang
zwischen Abstand und Rotverschiebung zu weit entfernten
Galaxien zu untersuchen
Aufzählung einiger Größen und Entfernungen
~ 10–10 m
~ 10–4 m
~ 1,77 . 100 m
~
~
~
~
~
~ 102 m
1,3.107 m
3,8.108 m
1,5.1011 m
9,5.1015 m
3,1.1016 m
Atomradius
Dicke menschliches Haar
Durchschnittsgröße eines Mannes in
Deutschland
Länge eines Fußballfeldes
Durchmesser der Erde
Abstand Erde – Mond
Mittlerer Abstand Erde – Sonne (= 1AE)
Licht: zurückgelegte Strecke pro Jahr
1 Parsec (pc)
Gängige Angaben im Universum:
AE = „Astronomische Einheit“ : innerhalb des Sonnensystems
Lj / pc : Abstände zu Sternen bzw. Galaxien
Die Parallaxensekunde (Parsec)
Die trigonometrische Parallaxe:
π : trigonometrische Parallaxe
(in Bogensekunden)
d [ pc ] =
1
π ''
1 pc = 3,26 Lj = 206625 AE
Rotverschiebung
Resultierende Rotverschiebung:
z=
λ obs − λ S λ obs
=
−1
λS
λS
(Blauverschiebung: z < 0 )
Helligkeit von Sternen
scheinbare Helligkeit : m (logarithmische Skala)
absolute Helligkeit : M (definiert als scheinbare Helligkeit in 10 pc Entfernung)
Definition: Unterschied um 5 Größenklassen ⇒ Helligkeitsunterschied um Faktor 100
µ 0 :=
⎛ d ⎞
= 5 ⋅ log10 ⎜
⎟
10
pc
⎝
⎠
Entfernungsmodul
m
M
−3
12
Übersicht über die nächsten 8 Sterne
Stern
Abstand
[pc]
m
M
–
-26,72
4,85
Proxima Centauri
1,29
11,09
15,53
α Centauri A
1,35
0,01
4,36
β Centauri A
1,35
1,34
5,69
Bernard‘s Stern
1,82
9,53
13,21
Wolf 359
2,39
13,44
16,55
BD +36 2147
2,55
7,47
10,44
Sirius A
2,64
-1,43
1,46
Sonne
Hertzsprung-Russell-Diagramm
Zusammenhang zwischen absoluter Helligkeit und Temperatur (also Spektralklasse)
Messen der
scheinbaren Helligkeit
m und der
Spektralklasse
⇒ erhalte mittels
absoluter Helligkeit M
(aus HRD
abschätzen) und dem
Entfernungsmodul
m-M die Entfernung
aus:
m − M = 5 ⋅ log10 ( d 10 pc )
Einige Sterne im Hertzsprung-Russell-Diagramm
Cepheiden
pulsierende Sterne (keine Pulsare); Pulsieren resultiert aus Größenänderung
Zusammenhang zwischen Helligkeit und Größe (
Radialgeschwindigkeit):
Geschwindigkeit
Es gilt: je größer die Periodendauer
P, desto größer die
durchschnittliche Helligkeit <MV>
Helligkeit
< M V >= −1, 43 − 2,81⋅ log10 P
Zeit
Aufnahme und Helligkeitsverlauf eines Cepheiden
Planetarische Nebel
Roter Riesenstern stirbt
äußere Hülle wird ins All abgestoßen
Kern zieht sich zusammen
Kern erhitzt sich
UV-Strahlung
Hülle leuchtet
Helixnebel NGC 7293, ca. 400 Lj
Sanduhrnebel, ca. 8000 Lj
http://www.godandscience.org/nebulacards.html
Pferdekopfnebel, ca. 1100 Lj
Entfernungsbestimmung zu Planetarischen Nebeln
1. Expansionsgeschwindigkeit der Hülle
d ( pc ) =
211⋅ v
•
θ
v : radiale Expansionsgeschwindigkeit in km/s
(über Dopplerverschiebung)
•
θ:
Änderungsrate der Winkelausdehnung
(in mas/a)
2. Leuchtkraft (bis etwa 20 Mpc möglich)
o
Differenz aus zwei Aufnahmen – eine davon bei 5007 A – lässt
nur die Planetarischen Nebel übrig.
N (M ) ~ e
0,307 M
(1 − e ( ) )
3 M * −M
N ( M ) : Anzahl PN mit abs. Helligkeit M
M* :
abs. Helligkeit des hellsten PN
Die Tully-Fisher-Relation
Zusammenhang zwischen Helligkeit und Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien
Messen der Breite W der 21cm – H I – Emissionslinie
2∆λ 2 ⋅ Vmax ⋅ sin ( i )
Rotationsgeschwindigkeit aus W =
≈
λ
c
mit Vmax : maximale Rotationsgeschwindigkeit,
i : Inklinationswinkel der Galaxie
Es gilt:
4
L ~ Vmax
L : Leuchtkraft
Verbindung zwischen M und Vmax über die sog. Pogson–Gleichung:
⎛ W ⎞
M = a ⋅ log10 (Vmax ) + b = a ⋅ log10 ⎜
⎟+b
2
⋅
sin(
i
)
⎝
⎠
Methode bis etwa 90 Mpc anwendbar, aber nur bei Spiralgalaxien.
Gravitationslinsen
Ablenkung von Lichtstrahlen durch sehr massereiche Objekte
bei Mehrfachbildern desselben Objekts ist die Zeitdifferenz ∆t der
einzelnen Lichtwege meßbar
Die Bilder der Quasare können dabei vervielfacht,
oder auch zu einem Kreisring „verschmiert“ werden
Die Sonne lenkt Lichtstrahlen um etwa 1,75‘‘ ab
Bekanntes Beispiel für eine Bild-Vervierfachung:
das sog. „Einstein-Kreuz“ (siehe Bild unten)
Wegunterschied der Lichtstrahlen
∆t ~
d L ⋅ dQ
dQ − d L
zeitl. Unterschied in Helligkeitsschwankungen
dQ : Abstand zur Lichtquelle
d L : Abstand zur Linse
Einstein-Kreuz
Supernovae
Am besten geeignet: Supernovae vom Typ Ia
Eigenschaften:
keine H–Linien im Spektrum
kommen praktisch überall vor
haben alle dieselbe max. Helligkeit M max ≈ −19,5
und denselben gleichmäßigen Helligkeitsverlauf:
SN Ia am Rand von NGC4526 (1994)
Hubble-Diagramm
1929: Diagramm Fluchtgeschwindigkeit gegen Abstand
empirisches Hubble-Gesetz: cz = H 0 d
für homogenes, isotrop expandierendes Universum:
v = H (t ) ⋅ d
Entwicklung der Hubble-Konstante
alle Angaben in km / s Mpc
Hubble
1929
530
Sandage
1956
180
Sandage
1958
Sandage/Tammann
Vaucouleurs
75
1974
55 ± 10
Ende 1970er 100
Streit um 50 („long distance scale“)
oder 100 („short distance scale“)
Hubble Space Telescope Key
Project Team (seit 1994)
letzte Ergebnisse (Mai 2001):
SN Typ Ia
71 ± 2 ± 6
Tully-Fisher
71 ± 3 ± 7
SBF
70 ± 5 ± 6
SN Typ II
72 ± 9 ± 7
fundamental plane 82 ± 6 ± 9
Akzeptierter Mittelwert:
H 0 = 72 ± 8
Übersicht: Abstandsbestimmungen
Hubble-Gesetz
SN Typ Ia / LSR
Cepheiden
H–R--Diagramm
trigon. Parallaxe
Radarmessungen
Expansion des Raumes
∆t
Keine Eigenbewegung der Galaxien, sondern Ausdehung des Raumes
Galaxien werden „mitgezogen“
Feste Koordinaten re , multipliziert mit zeitabhängigem Skalenfaktor R (t )
Koordinatenabstand: R(t ) ⋅ re
Weltmodelle
Im Fall des sphärischen Universums k = 1 : R (t ) als „Radius“ des
Universums
Krümmungsparameter: K =
•
Hubbleparameter: H =
R
R
k
R2
Metrik und Abstände
Robertson-Walker-Metrik (in Kugelkoordinaten):
⎛ dr 2
2
2
2
2
2 ⎞
ds = c dt − R (t ) ⋅ ⎜
+ r d θ + r sin ( θ ) d φ ⎟
2
1
−
kr
⎝
⎠
ds : Raumzeitintervall
2
2
2
2
Denkmodell: Aufteilen des Abstandes zwischen zwei Objekten und
gleichzeitiges Aufsummieren der einzelnen Abstände:
re
d p (t ) = R (t ) ⋅ ∫
0
ergibt:
⎧ d p (t ) = R(t ) ⋅ arcsin(r )
⎪
d p (t ) = R(t ) ⋅ r
⎨
⎪d (t ) = R(t ) ⋅ arsinh(r )
⎩ p
dr
1 − kr 2
sphärisches Universum
euklidisches Universum
hyperbolisches Universum
Rotverschiebung durch Raumausdehnung
Robertson-Walker-Metrik mit ds 2 = d θ = d φ = 0
R 2 (t )dr 2
0 = c dt −
1 − kr 2
2
2
Integration liefert (mit z =
λ0 − λe
):
λe
z=
R (t0 )
−1
R (te )
t0 : jetziger Zeitpunkt
te : Zeitpunkt, als das Licht ausgesendet wurde
Damit direkte Angabe möglich:
beobachtete Rotverschiebung z
Expansion des Universums um den Faktor (1 + z )
Das Einstein–de Sitter–Universum
Friedmann–Gleichungen für homogenes, isotrop expandierendes Universum:
••
R(t ) = −
•
R(t ) =
4π ⋅ G ⋅ R(t ) ⎛
3p ⎞ 1
⋅ ⎜ ρ(t ) + 2 ⎟ + Λ ⋅ R(t )
c ⎠ 3
3
⎝
mit G : Gravitationskonstante
R : Skalenfaktor
Λ : kosmologische Konstante
ρ : Dichte aller Masse und Energie
p : Druck
8π ⋅ G ⋅ρ(t ) 2
1
⋅ R (t ) + Λ ⋅ R 2 (t ) − k
3
3
k = 0, ±1
Friedmann–Modell mit p = Λ = k = 0 heißt Einstein–de Sitter–Universum
•
•
R
(t )
8
2
=
H
(
t
)
;
mit
erhält man:
R(t ) = π ⋅ G ⋅ρ(t ) ⋅ R (t )
(
)
R
t
3
8π ⋅ G ⋅ρ(t ) = 3H 2 (t )
Mit: Annahme, dass in einer Kugel die Dichte zeitlich konstant ist, sowie
R=0 für t=0 erhält man durch Integration:
⎛3
⎞
R (t ) = R (t0 ) ⋅ ⎜ H 0t ⎟
⎝2
⎠
2
3
Alter des Universums / Hubble–Zeit
Das Universum expandierte schon immer
es gab einen Zeitpunkt, als alle Massen in einem Punkt
vereinigt waren:
d
1
=
=: H T
v H0
Hubble–Zeit = Alter des Universums
„Hubble–Zeit“
⇔ H 0 = const.
Im E–dS–Universum verlangsamt sich die Ausdehnung
Universum jünger als Hubble–Zeit
mit der Beziehung H (t ) = H (t0 ) (heute)
2
t0 = H T
3
Warum beschleunigte Expansion?
Zwei Möglichkeiten für Rückschlüsse auf die Entfernung:
• Über das Hubble-Gesetz (Rotverschiebung)
• Supernova Ia als Standardkerze,
Helligkeit
Abstand
Ergebnis: Beobachtungen stimmen nicht überein,
SN erscheint dunkler
Universum muss sich in der
Zwischenzeit beschleunigt ausgedehnt
haben
Beobachtungen bzgl. Expansion