Elektrisches Messen nichtelektrischer Größen
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Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrisches Messen nichtelektrischer Größen Was ist Smart Metering? Wie wird elektrisch gemessen? Was ist Elektrizität? Was sind Strom und Spannung? Was sind Widerstand, Kapazität und Induktivität? Wie lassen sich andere Größen in elektrische umformen? Inhalt Elektrisches Messen nichtelektrischer Größen .................................... 1 Smart Metering .................................................................................... 3 Messdatenerfassung mit dem Rechner ............................................... 4 Varianten in der Messdatenerfassung ................................................. 5 Varianten des Sensoroutputs ............................................................... 6 Elektrizität ............................................................................................ 7 Coulombkraft ....................................................................................... 8 Influenz .............................................................................................. 10 Elektrisches Potential ......................................................................... 11 Elektrische Spannung ......................................................................... 13 Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 1 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrischer Strom .............................................................................. 15 Elektrische Leistung ........................................................................... 17 Elektrischer Widerstand ..................................................................... 18 Widerstand von Leitern ..................................................................... 19 Einfluss der Temperatur auf den Widerstand .................................... 20 Kapazität ............................................................................................ 21 Induktivität ......................................................................................... 26 Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 2 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Smart Metering Gerätetechnik • fernauslesbare Zähler für die Verbrauchsdatenübertragung an den Energieversorger über Fernverbindungen • Prinzip kann auf Messgeräte ausgedehnt werden, die nicht der Verbrauchserfassung dienen • Gerätetechnisch handelt es sich um Controller (Geräte mit Mikroprozessor + Ein- und Ausgänge + Netzwerkschnittstellen) • Ausgänge können auch schalten Nutzen/Schaden der höheren Transparenz • feinere zeitliche Auflösung, dadurch leichteres Auffinden von Zeiten mit ungewöhnlich hohem Energieverbrauch • feinere räumliche Auflösung, dadurch leichteres Auffinden von Stromkreisen oder einzelnen Verbrauchern mit ungewöhnlich hohem Energieverbrauch • Vergleichswerte möglich: o mittl. Tagesverbrauch in Ihrer Nachbarschaft: 5,2 kWh o Tagesverbrauch Ihres sparsamsten Nachbarns: 3,9 kWh o Ihr Tagesverbrauch: 7,5 kWh • Aber auch erhöhte Einbruchsgefahr, wenn Verbrauchsdaten in falsche Hände geraten ⇒ erhöhter Datenschutz, sichere Fernverbindungen Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 3 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Messdatenerfassung mit dem Rechner Mit Smart Metering werden auch nichtelektrische Größen wie Volumenströme oder Temperaturen erfasst und fernübertragen. Dazu müssen die Größen elektrisch gemessen und ihre Messwerte in eine für den Rechner geeignete Form überführt werden. Folgende Elemente werden dazu benötigt: 1. Sensoren mit elektrischem Messprinzipien Nichtelektrische Messgröße z.B. Temperatur Sensor Z.B. Pt100 Elektrisches Signal (analog) z.B. Widerstand Elektrisches Signal, als Spannung, Strom, Widerstand usw. (analog) 2. Wandlung des analogen Signals in ein digitales (serielles) Analoges Signal Schaltung mit ADC Digitales Signal (seriell) 01100100111 ADC: Analog Digital Converter, Wandlung in binäre Darstellung seriell: Bits werden hintereinander übertragen nicht parallel 3. Wandlung des Signals in Daten Digitales Signal (seriell) 01100100111 μP Daten 01100100111 μP: Mikroprozessor Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 4 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Varianten in der Messdatenerfassung Mikrocontroller Mikrocontroller Analoges Signal ADC Analog Input Digitales Signal Interner Bus μP Daten Schnittstelle Mikrocontroller: Chip mit integriertem μP und ADC Controller Controller Analoges Signal ADC Digitales Signal Interner Bus μP Daten Controller: Automatisierungsgerät, entweder mit integriertem Mikrocontroller oder, wie im Bild, mit separatem μP und ADC Externer ADC Externes Gerät Analoges Signal ADC Rechner Digitales Signal Bus, z.B. USB μP Daten Externes Gerät: Gerät mit Messeingängen und Busanschluss Rechner: handelsüblicher PC, übliche Schnittstelle ist derzeit USB Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 5 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Varianten des Sensoroutputs Sensor mit externem Transmitter Sensor Temperatur Transm. Pt100 Widerstand Einheitssignal z.B. 0-10V Controller ADC Transmitter wandelt analoge Signale, hier Widerstand in Spannung Einheitssignal: 0-20mA, 4-20mA (Industrie), 0-10 V (Gebäude) Sensor mit internem Transmitter Sensor Temperatur Pt100 Einheitssignal z.B. 0-10V Widerstand Controller ADC Sensor mit direktem Anschluss an Controller Sensor Temperatur Controller Pt100 Widerstand Internes Signal ADC - Analog Input für speziellen Sensor, hier: Pt100 Sensor mit Busanschluss Sensor Temperatur Pt100 ADC Digitales Signal Feldbus Feldbus: Bussystem, das Sensoren, Aktoren und kleine Controller verbindet und an größere Controller oder Rechner anschließt Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 6 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrizität Schon in der Antike wurde beobachtet: Bernstein zieht nach Reiben an Wolle oder Fellen Haare an Griechischer Name für Bernstein: elektron ⟶ Elektrizität Beim Reiben Fortreißen von Elektronen ⟹ Ladungstrennung Ladungstrennung ist Ursache der Elektrizität Formen der Elektrizität Formen von Elektrizität sind Formen der Ladungstrennung • Reibung (Bernstein) • elektrochemisch (galvanische Elemente ) • elektromagn. (Bewegung von Leitern in Magnetfeld) • durch Wärme (Seebeck-Effekt) • durch Druck (Piezo-Effekt ) • durch Licht (photovoltaischer Effekt) Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 7 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Coulombkraft Experiment - Kunststoffstäbe - Glasstäbe werden mit Wolltuch gerieben werden mit Seidentuch gerieben - Stäbe werden an Fäden aufgehangen und angenähert Beobachtungen - Glas- und Kunststoffstab ziehen sich an: - Kunststoffstäbe stoßen sich gegenseitig ab: - Glasstäbe stoßen sich gegenseitig ab: Erklärung - aus Wolltuch werden beim Reiben an den Kunststoffstäben Elektronen herausgerissen und gehen in die Kunststoffstäbe ̶ über → Kunststoffstäbe werden negativ: - aus Glasstäben werden beim Reiben am Seidentuch Elektronen herausgerissen und gehen in das Seidentuch über + → Glasstäbe werden positiv: - negative und positive Ladungen ziehen sich an: ̶ + - negative und negative Ladungen stoßen sich ab: ̶ ̶ - positive und positive Ladungen stoßen sich ab: + + Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 8 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Erste Formulierung dieses Effekts durch Coulomb: „Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab“ Coulombsches Gesetz für kugelsymmetrische Ladungen: 𝐹= 𝐹: 𝑄𝑖 : 𝑟: const. 𝑟2 𝑄1 𝑄2 Coulombkraft Ladungen Abstand der Ladungen voneinander Coulombkraft erklärt den Zusammenhalt im Atomverband: F Elektronen würden in eine gradlinige Bewegung übergehen und sich entfernen, wenn Coulombkraft sie nicht zurückhalten würde ̶ Q2 Q1 + r Das Coulomb - Das Coulomb (C) wurde zur SI-Einheit der Ladung. - Elektronen und Stellen, an denen Elektronen fehlen (sog. Defektelektronen bzw. Löcher) haben Elementarladungen 𝑞𝑒 . Elementarladung : 𝑞𝑒 = 1,6 10-19 C - 1 C ist Ladung von 1/1,6 10 19 = 6,25 1018 Elektronen bzw. Defektelektronen, andere Schreibweise für C ist As (Amperesekunde). Verbreitete Einheit ist auch Ah (1 Ah = 3.600 As = 3.600 C) Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 9 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Influenz Experiment und Beobachtung - Kunststoffplatte wird mit Wolltuch gerieben, dabei wird sie (negativ) geladen - Platte zieht anschließend Haare an (→ selber Effekt wie beim Bernstein) - - - - +++++++ - - - - - - - - - - + - r+ r- Erklärung Annäherung der Kunststoffplatte führt zu Polarisierung im Haar 𝑟+ < 𝑟− , positive Ladungen richten sich näher zur Platte aus ⇒ 𝐹+ > 𝐹− , Anziehung größer als Abstoßung Fazit: Obwohl das Haar elektrisch neutral ist (negative und positive Ladungen gleichen sich aus), wird es dennoch angezogen. Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 10 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrisches Potential Kunststoffplatte schafft durch ihre Ladung ein elektrisches Feld, ähnlich wie die Erde durch ihre Masse ein Schwerefeld schafft. Das elektrische Feld ist die Ursache der Polarisierung: Genauso wie Körper im Schwerefeld ihren Schwerpunkt ausrichten, richten Teilchen in einem elektrischen Feld ihre Ladungen aus. Die weiteren Zusammenhänge im elektrischen Feld sind mit bekannten Zusammenhängen im Schwerefeld vergleichbar: Lagepotential Aufziehen der Kuckucksuhr von ℎ1 → ℎ2 erhöht Lageenergie des Zapfens von 𝐸1 = 𝑚 𝑔 ℎ1 auf 𝐸2 = 𝑚 𝑔 ℎ2 . Das Aufziehen erfordert die Arbeit 𝑊 = 𝐸2 − 𝐸1 . Im Betrieb sinkt der Zapfen von ℎ2 → ℎ1 . Dabei wird die Energiedifferenz 𝐸2 − 𝐸1 verbraucht. Auf dem Mond ist 𝑔 kleiner und damit auch die Energiedifferenz zwischen den Lagen ℎ1 und ℎ2 . In der Schwerelosigkeit verschwindet die Energiedifferenz völlig. ф2 h E ф E2 h2 m ф1 E1 h1 0 Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 11 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Das Vermögen (Potential), einer Masse Lageenergie zu verleihen, ist nicht allein durch die Lage ℎ, sondern durch das Lagepotential 𝜙 = 𝑔 ℎ gekennzeichnet. Es ist massenbezogene Lageenergie. Elektrisches Potential Tatsächlich wird das Pendel der gezeigten Uhr nicht durch ein Gewicht, sondern elektrisch angetrieben. Dazu ist elektrische Energie erforderlich. Sie entspringt elektrischer Arbeit. Elektrische Arbeit wird verrichtet, wenn eine Ladung 𝑄 im elektrischen Feld von ℎ1 nach ℎ2 entgegen der Anziehungsrichtung verschoben wird. Durch die Arbeit erhöht sich die elektrische Energie von 𝐸1 auf 𝐸2 . Die ladungsbezogene elektrische Energie ist das elektrische Potential: ф2 h E ф E2 h2 Q+ W ф1 E1 h1 Q+ Elektrisches Potential: Φ = 𝐸/𝑄 Genauso wie sich die 0 ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ Lageänderungsarbeit im Schwerefeld mit Hilfe des Lagepotentials als 𝑊 = 𝑚 (Φ2 − Φ2 ) beschreiben lässt, lässt sich die elektrische Arbeit mit Hilfe des elektrischen Potentials als 𝑊 = 𝑄 (Φ2 − Φ2 ) beschreiben, Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 12 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrische Spannung Differenzen des elektrischen Potentials werden elektrische Spannung genannt (Formelzeichen U). U02 Ihre SI-Einheit ist das Volt (V). U12 U01 Elektrische Potentiale lassen sich auch als Spannung gegen Nullpotential (Masse) und folglich in V auffassen. Je nach Richtung und Bezugspunkt kann eine Spannung auch negativ sein. Spannung ist ladungsbezogene elektrische Energie bzw. Arbeit. 15 V 15 V 0 15 V 30 V -30 V -15 V Z. B. hat eine Autobatterie mit 12 V und 48 Ah eine Energie von 12 ∙ 48 ∙ 3600 J, also rund 2 MJ. Ladungstrennung und Ladungsausgleich Wie gesehen, lassen sich Spannungen aus el. Feld erklären. Praktisch werde Spannung durch Ladungstrennungen erzeugt. Getrennte Ladungen drängen wegen Coulombkraft auf Ausgleich. Spannung ist sowohl Ausdruck der Ladungstrennung als auch des Ausgleichbestrebens (des „Drangs“ nach Ladungsausgleich, Formelzeichen der Spannung U von lat. urgere: drängen) Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 13 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Formen der Spannungserzeugung … sind Formen der Ladungstrennung bzw. Elektrizität. - Reibung → Bandgenerator - elektrochemisch → Batterie - elektromagnetisch → Dynamo - Seebeck-Effekt→ Thermoelementen - Piezo-Effekt → Quarzkristall - photovoltaischer Effekt → Siliziumzellen Rechts hinter den Pfeilen → erscheinen typische Spannungsquellen u u U U τ T -U τ 𝑢: Spannungsverlauf 𝑈: Spanungswert �: Spitzenwert 𝑈 𝜏: Zeit 𝑇: Periode Einige erzeugen Gleich- (links), andere Wechselspannung (rechts) Physiologische Aspekte Menschliches Herz liefert eine Spannung von ca. 0,1 V. Spannungen ab 63 V können für den Menschen tödlich sein. Hinrichtungen auf dem elektrischen Stuhl mit Spannungen im Bereich von 2000 V (zuletzt im März 2010 in den USA) Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 14 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrischer Strom 0: Bestimmte Stoffe ermöglichen Bewegungen von Ladungen. Metalle, z. B., bestehen aus einem Atomgitter mit Atomrümpfen und Valenzelektronen - auf den äußeren Schalen, die sich freier bewegen. 1: Bei Anschließen einer Gleichspannungsquelle bewegen sich Elektronen in den Pluspol (positives Potential der Quelle). An ihrem alten Platz entstehen Löcher + , in die sich andere Valenzlektronen bewegen 2: Diese Elektronen hinterlassen selbst wiederum Löcher, in die sich weitere Elektronen bewegen … 8: Das setzt sich fort, bis die Löcher am Minuspol sind (negatives Potential). Dort werden Elektronen herausgezogen, die die Löcher füllen. ⇒ Elektrischer Strom: Löcher wandern zum Minuspol, hineinspringende Valenzlektronen zum Pluspol. - - - + + + + + + + + - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik - -- - - + 6 - -- ̶ - 7 ++ -- ̶ - -++ -- ++ -- ++ - - - - - -++ ̶ - - -- 5 - - - - - - - -- - - - - - - - ++ + ̶ - - -- 4 - - + - - - - -- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - ++ --- - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - ̶ - - -++ ++ - - 3 - - ++ - - - - - - - - - - - ++ -- - - - - -- ---- - - - ̶ - - - - 2 - - - - - ++ - - - -++ -- - - - - - - - - - - - -- - - ̶ - - - 1 - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - ++ ++ - - - - - - - 0 - - - - -- + -+ -- -- ++ -++ - - - - - + - + - -+ -- - - - - - - - - - - - - - - - 8 ++ - -- ++ - - ̶ 15 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Formelzeichen I, SI-Einheit ist das Ampere (A), 1 A = 1 C/s Elektrischer Strom fließt mit Lichtgeschwindigkeit (ca. 300.000 km/s) Beispiel: 300.000 km lange Leitung liegt an Gleichspannungsquelle an. Jedes Elektron, das in den Pluspol wandert, zieht nach 1 s ein Elektron nach sich, das aus dem Minuspol in das Loch springt, das sich bis dahin dorthin bewegt hat. Damit sind binnen einer Sekunde eine positive Ladung zum Minuspol und eine negative Ladung zum Pluspol transportiert worden. Die beteiligten Elektronen haben sich aber selbst nur um einen Platz weiter zum Pluspol bewegt. ⇒ El. Strom ist nicht Fluss von Elektronen, sondern von Ladungen (kein materieller, sondern ein immaterieller Transport). Gleichwohl lässt sich Stromstärke in einer Leitung als Anzahl der Elektronen bestimmen, die während einer bestimmten Zeitspanne durch den Leitungsquerschnitt hindurchtreten. Diese Anzahl ist in jedem Querschnitt gleich, so auch am Anfang und am Ende einer Leitung. Während einer bestimmten Zeitspanne treten genauso viele Elektronen aus der Leitung aus wie in die Leitung ein (→ Bild Seite 9) Zahlenbeispiel: In 1 s treten 6,25 1018 Elektronen durch einen Leitungsquerschnitt ⇒ die Stromstärke ist 1 A (→ Def. Coulomb, S. 3 ) Bei Wechselspannung wechselt der Strom jedes Mal die Richtung, wenn die Spannung ihr Vorzeichen ändert (Wechselstrom). Physikalische Stromrichtung: Minus nach Plus (Elektronenbewegung) Technische Stromrichtung: Plus nach Minus (Löcherbewegung) Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 16 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrische Leistung Leistung 𝑃 (power) ist zeitliche Ableitung der Arbeit 𝑊 (work): P 𝑃 = 𝑊̇ Umgekehrt gilt: W 𝑊 = ∫ 𝑃 𝑑𝜏 𝜏: Zeit τ Für 𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. gelten die einfachere Gleichungen 𝑃 = 𝑊/𝜏 und 𝑊 = 𝑃 𝜏. Im Beispiel der Kuckucksuhr sei 𝑤 die Geschwindigkeit, mit der der Zapfen sinkt. Er gelangt dann in der Zeit (ℎ2 − ℎ1 )/𝑤 von ℎ2 nach ℎ1 . Folglich ist die Leistung, die die Uhr ständig aufnimmt, 𝑃 = 𝑊/𝜏 = 𝑚 𝑔 (ℎ2 − ℎ1 )/[(ℎ2 − ℎ1 )/𝑤 ] = 𝑚 𝑔 𝑤. Für die elektrische Leistung gilt Elektrische Leistung: 𝑃 = 𝑈 𝐼 SI-Einheit der elektrischen Leistung ist wie bei jeder Leistung das Watt (W). SI-Einheit der el. Arbeit bzw. Energie ist das Joule (J). Mit Ohmschen Gesetz entstehen aus 𝑃 = 𝑈 𝐼 die Formulierungen 𝑈 𝑃 = 𝑈𝐼 = 𝑈𝑅 = 𝑈2 𝑅 und 𝑃 = 𝑈 𝐼 = 𝑅 𝐼 𝐼 = 𝑅 𝐼 2 Rechenbeispiel: Leistungaufnahme eines Widerstands von 100 Ω bei 0,1 A: 𝑃 = 𝑅 𝐼 2 = (100 0,12 )𝑊 = 1 𝑊 Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 17 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Elektrischer Widerstand - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - El. Strom 𝐼 führt in Leitern zu Kollisionen der Valenzelektronen mit Atomrümpfen. Dabei geht eine Energiedifferenz ∆𝐸 von den Valenzelektronen (Verlust) auf die Atomrümpfe über (Gewinn). ⇒ 1. Stärkere Bewegung der Atomrümpfe → Erwärmung. ⇒ 2. Spannungsverlust bzw. Spannungsabfall 𝑈 = ∆𝐸/𝑄 im Leiter. Ohmsches Gesetz … besagt, dass Spannungsabfall 𝑈 proportional zum Strom 𝐼 ist: Ohmsches Gesetz: 𝑈 = 𝑅 𝐼 Proportionalitätskoeffizient 𝑅 ist elektrischer Widerstand (nur in Leitern konstant in Halbleitern ist 𝑅 = 𝑅(𝑈). SI-Einheit des Widerstands ist das Ohm (Ω). Körper, die Stromfluss ermöglichen, haben einen elektrischen Widerstand bzw. sind elektrische Widerstände. (Elektrischer Widerstand ist aber nicht ihre einzige elektrische Eigenschaft.) Leitwert Der elektrische Leitwert ist der Kehrwert des elektr. Widerstands. Seine SI-Einheit ist das Siemens (S). → 1 S = 1/ Ω Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 18 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Widerstand von Leitern .. steigt mit Häufigkeit der Kollisionen. Häufigkeit der Kollisionen ist ihrerseits - proportional zur Länge des Leiters 𝑙 (in m), - umgekehrt proportional zu seinem Querschnitt 𝑞 (in mm2), - abhängig vom Material des Leiters. Letzterer Effekt lässt sich mit einem Leitfähigkeitskoeffizienten 𝜅 des Leitungsmaterials beziffern. Der Widerstand ist dann umgekehrt proportional zu 𝜅. Insgesamt ergibt sich der Zusammenhang Widerstand eines Leiters: 𝑅 = 𝑙/(𝑞 𝜅) 𝜅-Werte einiger Leitermaterialien: Silber: 𝜅 = 62 m/(mm² Ω) Kupfer: 𝜅 = 56 m/(mm² Ω) Gold: 𝜅 = 44 m/(mm² Ω) Alu: 𝜅 = 36 m/(mm² Ω) Wolfram: 𝜅 = 18 m/(mm² Ω) → Schmelzpunkt: 3.422 °C Eisen: 𝜅 = 10 m/(mm² Ω) Platin: 𝜅 = 9,4 m/(mm² Ω) Kohle: 𝜅 = 0,015 m/(mm² Ω) Rechenbeispiel: Widerstand einer Kupferleitung mit 560 m Länge und einem Querschnitt von 0,1 mm²: 𝑅 = 560/(0,1∙56) Ω = 100 Ω Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 19 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Einfluss der Temperatur auf den Widerstand - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Erhöhung der Temperatur von metallischen Leitern ist mit höherer Eigenbewegung der Atomrümpfe verbunden. ⇒ häufigere Kollisionen = höherer Widerstand → Kaltleiter Kaltleiter: Stoffe, die kalt besser leiten (z. B. Metalle) Heißleiter: Stoffe, die heiß besser leiten (die meisten Halbleiter) Temperaturabhängigkeit: 𝑅 (𝑡) = 𝑅20 [1+∝ (𝑡 − 20°𝐶 )] 𝑡:Temperatur, ∝:Temperaturkoeffizient, 𝑅20 :Widerstand bei 20°C Halbleiter: ∝ = ∝ (𝑡), Leiter: ∝ ≈ const. α-Werte einiger Leitermaterialien: Kupfer: ∝ = 3,9 10-3/K Wolfram: ∝ = 4,8 10-3/K Platin: ∝ = 3,85 10-3/K Konstantan: ∝ = 0,04 10-3/K Kohle: ∝ = -0,45 10-3/K Rechenbeispiel: Widerstand eines Platindrahts mit 𝑅20 = 107,7 Ω bei 0°C: 10−3 (0°𝐶 − 20°𝐶 )� = 100 Ω 𝑅(0°𝐶 ) = 107,7 Ω �1 + 3,85 K Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 20 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Kapazität Plattenkondensator Elektronen aus oberer Platte wandern zum Pluspol ⟹ obere Platte wird positiv + + + + − − − Q + + + − − − Elektronen aus dem Minuspol wandern in die untere Platte ⟹ untere Platte wird negativ − Kondensator versammelt eine Ladung 𝑄. Man kann Sie bestimmen, indem man den Kondensator über einen Widerstand entlädt, bis kein Strom mehr fließt, und den Stromverlauf auswertet: I A I + + + − − − Q + + + − − − Q τ Die Ladung ist die Fläche unter dem Stromverlauf: 𝑄 = ∫ 𝐼 𝑑𝜏. • Ein Kondensator ist ein Ladungsspeicher. • Man lädt und entlädt ihn über einen Strom. Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 21 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Analogie zum Massenspeicher hinsichtlich des Fassungsvermögens p U m Q C V Massenpeicher (Gas mit konstanter Temp.) wird mit Druck 𝑝 in den Speicher gepresst. Höherer Druck schafft mehr Masse: 𝑚 ~𝑝 Größerer Speicher fasst mehr Masse: 𝑚 ~ 𝑉 Kondensator: Elementarladungen im Kondensator werden mit Spannung 𝑈 getrennt. Höhere Spannung trennt mehr Ladung: 𝑄 ~ 𝑈 Größerer Kondensator fasst mehr Ladung: 𝑄 ~ 𝐶 Fassungsvermögen bzw. Speicherfähigkeit des Kondensators lässt sich durch eine feste Größe, seine Kapazität 𝐶, ausdrücken: Ladung des Kondensators: 𝑄=𝐶𝑈 Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 22 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Analogie zum Massenspeicher hinsichtlich der zeitlichen Änderung der gespeicherten Größe I . m . Q . m Massenpeicher: Massenzunahme 𝑚̇ im Speicher entspricht Massenstrom 𝑚̇ in den Speicher Kondensator: Ladungszunahme 𝑄̇ im Kondensator entspricht Strom 𝐼 in den Kondensator Strom-Spannungsgleichung des Kondensators: 𝑄̇ = 𝐼 = 𝐶 𝑈̇ Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 23 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Einflussgrößen der Kapazität + A + + + − − − ε + + + − − − d − Mit größerer Plattenfläche A können mehr Ladungen getrennt werden: 𝐶 ~ 𝐴 Mit geringerem Plattenabstand ist die Feldstärke höher und es werden mehr Ladungen getrennt: 𝐶 ~ 1/𝑑 Auch das Medium zwischen den Platten, das sog. Dielektrikum, spielt eine Rolle. Seine Dielektrizität 𝜀 kann die Kapazität erhöhen: 𝐶~𝜀 Insgesamt ergibt sich Kapazität: 𝐶=𝜀 Für die Dielektrizität gilt Dielektrizität: 𝐴 𝑑 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟 𝜀0 : Dielektrizitätskonstante im Vakuum, 𝜀𝑟 : Dielektrizitätszahl. 𝜀𝑟 ist abhängig vom Material zwischen den Platten. Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 24 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Zustandekommen des Einflusses der Dielektrizität C>C0 C0 + U + + + + + U Q0 − − − − − − Zwischen den Platten Vakuum: C = C0 Q>Q0 + + + + + − − + + − − − − − + + + + − − + + − − − − + + − + − − Zwischen den Platten Dielektrikum: C > C0 Auch im Vakuum bildet sich schon ein elektrisches Feld aus. Die getrennte Ladung ist 𝑄0 = C0 𝑈. Im Dielektrikum polarisiert das Feld Teilchen im Dielektrikum (Influenz). Die polarisierten Teilchen können weitere Ladungen auf den Kondensatorplatten anziehen, so dass sich auf den Kondensatorplatten eine Ladung 𝑄 > 𝑄0 versammelt. Dadurch bekommt der Kondensator eine Kapazität 𝐶 > 𝐶0 . Kapazität als Messgröße Wegänderungen können kapazitiv erfasst werden, wenn sie Plattenabstand ändern ⟹ Messgrößen, die in Wegänderungen gewandelt werden können, lassen sich kapazitiv erfassen Messgrößen, die die Dielektrizitätszahl 𝜀𝑟 verändern, lassen sich ebenfalls kapazitiv erfassen. So funktionieren kapazitive Feuchtefühler. Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 25 Beuth Hochschule für Technik Berlin, FB IV Architektur und Gebäudetechnik Labor für Elektro-, Mess- und Regelungstechnik Induktivität Stromdurchflossene Spule baut Magnetfeld auf. Induktivitätsgesetz: 𝑈 = 𝐿 𝐼 ̇ Hohe Spannungen bei Ein- und Ausschalten von Induktivitäten 𝐿. Induktivität schlanker Spule (Länge groß gegen Durchmesser): Induktivität: 𝐿=𝜇 𝜇: Permeabilität 𝜇𝑟 : Permeabilitätszahl 𝐴: Querschnitt 𝑁2 𝐴 𝑙 mit 𝜇 = 𝜇0 𝜇𝑟 𝜇0 : magnetische Feldkonstante 𝑁: Windungszahl 𝑙: Länge 𝑁, 𝐴, 𝑙 sind Eigenschaften der Spule und 𝜇0 eine Naturkonstante. Mit der Lage des Eisenkerns in der Spule ändert sich aber die Permeabilitätszahl 𝜇𝑟 und damit die Induktivität der Spule. Auf diese Weise können Weglängen induktiv erfasst werden. Außerdem ändert sich die Induktivität durch äußerliche Einwirkung, z. B. bei Annäherung einer Nut in einer rotierenden Scheibe. Auf diese Weise werden Drehzahlen induktiv abgegriffen. Prof. Dr. Mathias Fraaß: Messtechnik Grundlagen der Messtechnik 26
