Beispiele Der formale Parameter kann mehrfach im Funktionsrumpf

3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
Beispiele
�
Der formale Parameter kann mehrfach im Funktionsrumpf auftreten:
(λx. + x x) 5
�
�
β
�
δ
10
Der formale Parameter muss nicht im Funktionsrumpf auftreten:
(λx. 3) 5
�
+55
�
β
3
In einem Funktionsrumpf kann eine weitere λ-Abstraktion enthalten sein
(Currying cf. Seite 87):
(λx. (λy . × y x)) 4 5
�
β (λy . × y 4) 5
�
β × 5 4
�
δ 20
Notation
Stefan Klinger · DBIS
Schreiben abkürzend λx y . e statt
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λx. λy . e .
100
3 · Der λ-Kalkül
Beispiel Funktionen können
problemlos als Argumente
übergeben werden:
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
�
β
�
β
�
δ
(λf . f 3) (λx. + x 1)
(λx. + x 1) 3
+31
4
Wichtig Bei β-Reduktion werden genau die in der Kopie des
Funktionsrumpfes freien Vorkommen des formalen Parameters ersetzt:
�
�
(λx. λx. + (− x 1) x 3) 9 Das unterstrichene Vorkommen von
�
x ist durch die innere λ-Abstraktion
β (λx.+ (− x 1)) 9 3
gebunden und wird daher bei der
�
β + (− 9 1) 3
ersten β-Reduktion nicht ersetzt.
�∗
δ
11
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Informatik 2 · Sommer 2016
101
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
α-Konversion
Erinnerung Generell hängt der Wert eines Ausdrucks nur von seinen
freien Variablen ab.
—cf. Seite 98
Im Umkehrschluss heißt das:
Die Bedeutung eines λ-Ausdrucks ändert sich nicht, wenn wir gebundene
Variablen konsistent umbenennen, d.h. wenn wir alle durch das gleiche λ
gebundenen Vorkommen durch den gleichen neuen Namen ersetzen:
(λx. × x 2)
�
α
(λy . × y 2)
�
Man sagt auch: Diese Ausdrücke sind gleich bis auf Umbenennen, oder
gleich modulo α-Konversion.
�
Manchmal ist diese α-Konversion unerläßlich, um Namenskollisionen
und damit fehlerhafte Reduktionen (sog. “name capture”) zu vermeiden.
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102
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
Name Capture
Beispiel
Betrachten wir den λ-Ausdruck
�
�
λy . (λx y . + x y ) y 3 5
und zwei verschiedene Reihenfolgen bei der Auswertung:
�
β
�
β
�
β
�
δ
�
�
λy . (λx y . + x y ) y 3 5
�
zuerst äußeren Redex
β
(λx y . + x y ) 5 3
�
(λy . + 5 y ) 3
β
�
+53
β
8
Frage
�
δ
Was ist schief gegangen?
Stefan Klinger · DBIS
�
�
λy . (λx y . + x y ) y 3 5
zuerst inneren Redex
�
�
λy . (λy . + y y ) 3 5
(λy . + y y ) 3
+33
6
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— Falsch!
103
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
�
λy . (λx y . + x y ) y 3 5
� �
�
β
λy . (λy . + y y ) 3 5
�
Lösung
�
�
�
Das zunächst durch das äußere λ
gebundene y ist nun falsch durch
das innere λ gebunden (captured).
Umbenennung durch α-Konversion hilft hier:
�
λy . (λx y . + x y ) y 3 5
Ersetze λy durch λz
�
λy . (λx z. + x z) y 3 5
� �
�
β
λy . (λz. + y z) 3 5
α
�
Stefan Klinger · DBIS
�
Ersetzen die durch das innere λ
gebundenen y konsistent durch
neue Variable z.
�
Das y wird jetzt von λz nicht
mehr eingefangen.
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104
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
Noch ein Beispiel
definiert :
Unter dem Namen twice sei folgende Funktion
twice
=
λf x. f (f x)
Wir verfolgen jetzt die Reduktion des Ausdrucks twice twice mittels
β-Reduktion.
=
�
β
�
β
dann:
twice twice
(λf x. f (f x)) twice
=
λx. twice (twice x)
�
β
λx. twice (twice
� �� x�)
�
��
○
1
○
2
�
1 und ○
2.
Es entstehen die Redexe ○
2 beliebig,
Wir wählen ○
Stefan Klinger · DBIS
○
2
� �� �
λx. twice (twice x)
λx. twice ((λf x. f (f x)) x)
λx. twice (λx. x (x x))
Falsch! Die x sind nun durch die
innere λ-Abstraktion gebunden
(captured). Umbenennung mittels
α-Konversion hilft hier...
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105
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
○
2
Es ist nötig die Variable der inneren
Bindung umzubenennen, bevor die
Ersetzung stattfindet.
�
Obacht
=
�
α
�
β
� �� �
λx. twice (twice x)
λx. twice ((λf x. f (f x)) x)
λx. twice ((λf y . f (f y )) x)
λx. twice (λy . x (x y ))
An dieser Stelle erkennt man auch, dass es sich bei den x in
λx. twice ((λf x. f (f x)) x)
um verschiedene Variablen handelt, die den gleichen Namen tragen.
�
Sie unterscheiden sich durch das λ welches sie bindet.
�
Jede Variable ist entweder frei oder durch genau ein λ gebunden.
�
α-Konversion einer Variablen kann dies sichtbar machen.
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106
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
Die Einsetzung ist so zentral, dass wir ihr eine eigene Notation spendieren:
Definition e[x � m]
sprich: “m für x in e”, oder “e mit x ersetzt durch m”
Seien x, v Variablen; c Konstante; m, e, e1 , e2 beliebige λ-Ausdrücke.
c[x � m] = c
�
v [x � m] =
m
v
wenn v = x
sonst
(e1 e2 )[x � m] = e1 [x � m] e2 [x � m]


λv . e
wenn v = x




λv . e[x � m]
wenn v �= x, und
(λv . e)[x � m] =
v nicht frei in m ist




(λz. e[v � z])[x � m] sonst, z neuer Variablenname


(das ist α-Konversion)
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107
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
�
Vorsicht Einsetzen ist eine Operation der Meta-Ebene.
�
�
Die Notation e[x � m] beschreibt eine syntaktische Veränderung, die
wir am λ-Ausdruck e vornehmen.
Diese Operation ist nicht Bestandteil eines λ-Ausdrucks!
• Es ist eine Operation auf einem λ-Ausdruck.
• Die Grammatik des λ-Kalküls (cf. Seite 94) kennt den Ersetzungsoperator
·[· � ·] überhaupt nicht.
Notation Der Ersetzungsoperator ·[· � ·] bezieht sich immer auf den
kürzesten voranstehenden gültigen λ-Ausdruck:
a (a b)[a � x] = a (x b)
�= x (x b)
Stefan Klinger · DBIS
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108
3 · Der λ-Kalkül
Operationale Semantik des λ-Kalküls · 3.4
Zusammenfassung
Damit sind alle Regeln zum Umgang mit dem λ-Kalkül vorhanden:
Definition Operationale Semantik des λ-Kalküls
Seien x, y Variablen; m, e beliebige λ-Ausdrücke; ∗ primitive Operation.
α-Konversion
λx. e
β-Reduktion
(λx. e) m
δ-Reduktion
∗e
� λy . e[x � y ]
wenn y nicht frei in e
� �e
wenn e in Normalform20
α
� e[x � m]
β
δ
Dieses kompakte formale System ist ausreichend, um als Zielsprache für alle
funktionalen Programmiersprachen zu dienen.
�
Tatsächlich ist Haskell ein syntaktisch stark angereicherter λ-Kalkül.
�
Manche Sprachelemente von Haskell werden wir auf den λ-Kalkül
zurückführen.
20 d.h.
e enthält keinen Redex; � implementiert ∗ auf der Zielmaschine.
Stefan Klinger · DBIS
Informatik 2 · Sommer 2016
109
3 · Der λ-Kalkül
3.5
Anmerkungen · 3.5
Anmerkungen
Namen als Abkürzungen für Terme
Betrachten wir nochmal die Definition von Seite 105:
twice = λf x. f (f x)
�
Diese Zeile ist nicht im λ-Kalkül geschrieben, denn der kennt keine
Zuweisung, kein =-Zeichen.
�
twice ist eine Metavariable, die uns als Abkürzung für den Term
λf x. f (f x) dient.
�
Obacht: Wenn man twice verwendet, dann tut man so als wären
Klammern drum herum:
twice x
≡ (λf x. f (f x)) x
�≡ λf x. f (f x) x
twice x meint also die Anwendung des ganzen Ausdrucks twice auf den
Ausdruck x, nicht die syntaktische Konkatenation der beiden.
Stefan Klinger · DBIS
Informatik 2 · Sommer 2016
110
3 · Der λ-Kalkül
Anmerkungen · 3.5
Äquivalenz
�
Wann sind λ-Ausdrücke gleich?
Man hätte auch schreiben (und denken) können:
twice = λharry foo. harry (harry foo)
�
Diese Erkenntnis wird rigoros angewandt: λ-Ausdrücke die bis auf
α-Konversion gleich sind, werden semantisch nicht unterschieden!
• De Bruijn indices sind eine Syntax für λ-Ausdrücke, welche keine α-Konversion benötigt.
• Der SK -Kalkül verwendet gar keine Variablen, ist aber gleich mächtig wie der λ-Kalkül.
�
Etwas weiter gefasst ist die Äquivalenz:
Definition Äquivalenz von λ-Ausdrücken
Zwei λ-Ausdrücke e1 , e2 heißen äquivalent, gdw. sie zur gleichen
Normalform reduziert werden können, d.h.:
e 1 ≡ e2
⇔
∃m. e1 �∗ m ∧ e2 �∗ m
wobei �∗ hier durchaus für unterschiedlich viele Schritte stehen kann.
Stefan Klinger · DBIS
Informatik 2 · Sommer 2016
111
3 · Der λ-Kalkül
3.6
�
Exkurs: Variablenbindung anderswo · 3.6
Exkurs: Variablenbindung anderswo
Das Konzept der Variablenbindung begegnet uns auch in der Mathematik
und in anderen Programmiersprachen.
∀x. 2 · x > t
n
�
i=1
1
2
3
2·i −1
for (int i = 0; i < k; i++) {
print(i);
}
Frage Was sind hier die freien Variablen? Welche sind gebunden? Wo
findet die Bindung statt?
Stefan Klinger · DBIS
Informatik 2 · Sommer 2016
112
3 · Der λ-Kalkül
Exkurs: Variablenbindung anderswo · 3.6
α-Konversion?
�
Auch hier ist der gewählte Name eigentlich nicht relevant (cf. Seite 102).
∀x. 2 · x > t
≡
2·i −1
≡
n
�
i=1
1
2
3
for (int i = 0; i < k; i++) {
print(i);
}
Stefan Klinger · DBIS
∀y . 2 · y > t
n
�
j=1
1
≡
2
3
2·j −1
for (int j = 0; j < k; j++) {
print(j);
}
Informatik 2 · Sommer 2016
113
3 · Der λ-Kalkül
Exkurs: Variablenbindung anderswo · 3.6
Scoping
�
Bei vielen Programmiersprachen können wir die Verwendung
verschiedener Variablen mit dem gleichen Namen beobachten:
1
2
3
4
5
int i = 42;
for (int i = 0; i < 10; i++) {
print(i);
// gibt 0–9 aus
}
print(i);
// gibt 42 aus
Die innere Variable i überdeckt die
äußere. Innerhalb der Schleife kann
auf die 42 nicht zugegriffen werden.
�
Der Bereich in dem eine Variable syntaktisch verwendet werden kann,
heißt Sichtbarkeitsbereich, oder Scope.
�
Ob, und wo eine Variable sichtbar ist, hängt von der jeweiligen
Programmiersprache ab.
• Obiger Code wäre in C erlaubt, hingegen
• verbietet Java diese Überdeckung (aka. Shadowing).
⇒ Scoping-Regeln der Sprache lesen!
Stefan Klinger · DBIS
Informatik 2 · Sommer 2016
114
3 · Der λ-Kalkül
�
Exkurs: Variablenbindung anderswo · 3.6
Was in der Programmierung als zumindest fragwürdiger Stil gesehen
werden kann, ist in der Mathematik unüblich, wenn nicht verpönt:
�
�
10
i
�
�
5·
oder
3·i
∀x. ∃y . Px,y ∧ ∀x. Qx,y
i=1
i=1
(Manche sagen: Das macht keinen Sinn! — Kann aber beim Einsetzen passieren)
�
Üblich ist aber die Wiederverwendung der Zählvariablen in
nebeneinander stehenden Termen:
n
�
i=1
(2 · i − 1) +
n
�
i=0
5·i
Tatsächlich sind das verschiedene Variablen die beide i heißen.
Stefan Klinger · DBIS
Informatik 2 · Sommer 2016
115