Dreiecke (in der Ebene)

Thema 6: Elementare Trigonometrie
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Dreiecke (in der Ebene)
1)
EinfÄhrung
Trigonometrie bedeutet: die Lehre von den Dreiecken.
Ein Dreieck entsteht aus drei geraden, nicht parallelen Seiten, die sich jeweils unter einem
Winkel treffen. Dies gilt in der Ebene, nicht auf einer Kugel z.B.
Jedes Vieleck kann aus Dreiecken zusammengesetzt werden, z.B. ein F€nfeck nach Bild 1-1:
So k•nnen Fl‚chen, Winkel, Seitenl‚ngen im F€nfeck aus den
Dreiecken bestimmt werden.
Bild 1-1: F€nfeck, in Dreiecke aufgeteilt.
Eine besondere Rolle spielt das rechtwinklige Dreieck bei der Angabe von Punkten in der
Ebene mit Koordinaten, siehe Bild 1-2:
Bild 1-2: Koordinaten-Dreieck
Aus dem rechtwinkligen Dreieck werden die Winkelfunktionen sin(), cos(), tan() usw.
abgeleitet.
Landvermessung, Ortung
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Seiten- und Winkelangaben
Die Seiten und Winkel eines Dreiecks werden allgemein folgendermaƒen bezeichnet:
Bild 2-1: Bezeichnungen im allgemeinen Dreieck
Einteilung der Winkel:
Winkel im Gradmaƒ und im Bogenmaƒ:
Das in der Geometrie verwendete Gradmaƒ (Alt-Grad) zur Messung von Winkeln beruht auf
der Einteilung des ebenen Vollwinkels in 360 gleiche Teile oder 360„ (gespr. „Grad“). Die
feinere Unterteilung der Einheit 1„ erfolgt entweder dezimal (Dezimalbruchangabe in Grad)
oder sexagesimal: 1„ = 60‘ (Minuten), 1‘ = 60‘‘ (Sekunden).
Beispiel: 1,125„ = 1„ 7‘ 30‘‘
Neben dem Gradmaƒ wird auch das
Bogenmaƒ zur Angabe von Winkeln
verwendet. Die Angabe im Bogenmaƒ erh‚lt
man aus folgender Darstellung:
Der Winkel  im Bogenmaƒ ist die L‚nge b
des Bogenst€cks, das von dem Winkel auf
einem Kreis abgeteilt wird, bezogen auf den
Kreisradius r:  = b/r. Die Einheit f€r das
Bogenmaƒ ist damit eine Pseudoeinheit, der
Radiant (Abk€rzung: rad). W‚hlt man f€r den
Radius r =1Einheit, so ist die Bogenl‚nge b
(in Einheiten gemessen) direkt gleich dem Winkel .
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Beispiele f€r spezielle Winkel:
Gradmaƒ
Bogenmaƒ
Vollwinkel
360„
2rad = 6,283rad
1 rad
57„ 17‘ 44,8‘‘
1„
0,017453rad
Rechter Winkel
90„
/2rad = 1,571rad
1‘
0,000291rad
45„
/4rad = 0,785rad
1‘‘
0,000 005rad
Ist  der Winkel im Gradmaƒ und  der Winkel im Bogenmaƒ, dann gilt die Beziehung:

Man erh‚lt damit den Umrechnungsfaktor C=180„/. Somit gilt:
=ˆC oder =C
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2)
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Aussagen zu ebenen Dreiecken
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf Bild 2-1.
1.
2.
3.
4.
Die Summe zweier Seiten ist im ebenen Dreieck stets gr•ƒer als die dritte Seite, z.B.
b+c>a.
Die Summe der Winkel betr‚gt im ebenen Dreieck =180„ oder .
VollstÅndige Bestimmung des Dreiecks, d.h.
ein Dreieck ist vollst‚ndig bestimmt, wenn folgende Bestimmungsst€cke bekannt sind:
■ drei Seiten
■ zwei Seiten und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel
■ eine Seite und die beiden anliegenden Winkel
♦ Wenn zwei Seiten gegeben sind und ein Winkel, der einer der Seiten gegen€ber
liegt, dann k•nnen entweder zwei, ein oder kein Dreieck konstruiert werden.
Seitenhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen Eckpunkt mit
dem Mittelpunkt der gegen€berliegenden Seite verbindet, siehe Bild 3-1. Die drei
Seitenhalbierenden schneiden
sich in dem Schwerpunkt S des
Dreiecks. Der Schwerpunkt
teilt die Seitenhalbierenden,
vom Scheitel des Winkels aus
gerechnet, im Verh‚ltnis 2:1.
Bild 3-1: Seitenhalbierende, Schwerpunkt
5.
6.
Winkelhalbierende wird die Gerade genannt, die
einen der drei Winkel in zwei gleiche Teile teilt.
Inkreis wird der in das Dreieck einbeschriebene
Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Bild 3-2: Inkreis und Winkelhalbierende
7.
Umkreis wird der das Dreieck umschreibende Kreis
genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten des
Dreiecks.
Bild 3-3: Umkreis mit Radius R und Mittelsenkrechten
Thema 6: Elementare Trigonometrie
8.
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HÇhe des Dreiecks wird das Lot genannt, das vom
Scheitelpunkt eines der drei Winkel auf die gegen€ber
liegende Seite gef‚llt wird. Die drei H•hen des Dreiecks
schneiden sich im sog. Orthozentrum. Die H•he bildet
mit je zwei Seiten des Dreiecks zwei rechtwinklige
Teildreiecke.
Bild 3-4: Die H•he h auf der Seite a
9.
Gleichschenkliges Dreieck Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang.
Welche der drei Seiten gleich lang sind, spielt keine Rolle. H•he, Seiten- und
Winkelhalbierende der dritten Seite sind identisch.
10. Gleichseitiges Dreieck Im Sonderfall des gleichseitigen Dreiecks fallen die
Mittelpunkte des In- und Umkreises mit dem Schwerpunkt und dem Orthozentrum
zusammen.
11. Mittellinie wird eine Gerade genannt, die die Mittelpunkte zweier Dreieckseiten
verbindet; sie liegt parallel zur dritten Seite und ist halb so lang wie diese
(Strahlensatz).
12. Rechtwinkliges Dreieck wird ein Dreieck
genannt, das sich durch einen Winkel von
90„ in einer der Dreiecksecken auszeichnet,
siehe Bild 3-5:
Bild 3-5: Das rechtwinklige Dreieck mit den
zus‚tzlichen Kenngr•ƒen H•he h und Teilst€cke
p und q der Grundseite c.
Bild 3-5: Das rechtwinklige Dreieck
13. Kongruente Dreiecke sind durch Verschieben, Drehen, Spiegeln an einer Achse
ineinander zu €berf€hren. Kongruente Dreiecke stimmen in den drei Seiten und den
drei Winkeln €berein. Dabei kann der Umlaufsinn entgegengesetzt sein.
14. Éhnliche Dreiecke stimmen in der Gestalt v•llig €berein, ohne dass die Gr•ƒe gleich
ist. Die ‰hnlichkeit erkennt man an drei gleichen Winkeln oder am gleichen Verh‚ltnis
entsprechender Seiten. Die ‰hnlichkeit ist eine wichtige Eigenschaft bei der
Berechnung von Dreiecken, z.B. f€r Fl‚chen oder Strecken oder Winkel.
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3)
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Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Grundlage sind die Darstellung und die Bezeichnungen in Bild 3-5.
Zus‚tzlich werden die Begriffe




Hypotenuse: Seite c
Katheten: Seiten a und b
Hypotenusenabschnitte p, q
Fl‚cheninhalt des Dreiecks: S
verwendet.
Winkelsumme: Da die Winkelsumme im Dreieck allgemein gleich 180„ ist, gilt =90„.
Halbkreis: Der Winkel auf dem Halbkreis €ber c ist immer ein rechter Winkel.
Éhnlichkeit: Das Grunddreieck a,b,c und die Teildreiecke a,p,h und b,h,q sind ‚hnlich.
Definitionen der trigonometrischen Funktionen:
sin()=a/c (Gegenkathete a/Hypotenuse); sin()=b/c (Gegenkathete b/Hypotenuse);
cos()=b/c (Ankathete b/Hypotenuse);
cos()=a/c (Ankathete a/Hypotenuse);
tan()=a/b (Gegenkathete a/Ankathete b);
tan()=b/a (Gegenkathete b/Ankathete a);
cot()=b/a (Ankathete b/Gegenkathete a);
cot()=a/b (Ankathete a/Gegenkathete b);
Im allgemeinen Fall eines Winkels  mit
0„360„ werden die trigonometrischen
Funktionen am Einheitskreis mit dem Radius 1
definiert, siehe Bild 4-1. Der Winkel  wird von
einem festen Radius 0A der L‚nge 1 bis zu
einem beweglichen Radius 0C im
entgegengesetzten Uhrzeigersinn
(mathematisch positiver Drehsinn) gemessen.
Bild 4-1: Definitionen der Winkelfunktionen am Einheitskreis
sin()=BC;
cos()=0B;
tan()=AD;
cot()=EF
Die Strecken sind immer vom ersten zum zweiten Punkt gerichtet. Je nachdem, in welchem
Quadranten des Einheitskreises der bewegliche Radius 0C liegt, haben die Funktionen ein
ganz bestimmtes Vorzeichen, siehe folgende Tabelle.
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sin()
cos()
tan()
cot()
1. Quadrant
+
+
+
+
2. Quadrant
+
-
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3. Quadrant
+
+
4. Quadrant
+
-
Bild 4-2: Graphen der Winkelfunktionen
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Seitenberechnung:
a = cˆsin() = cˆcos() = bˆtan() = bˆcot()
Satz des PYTHAGORAS:
a2 + b2 = c2
Verallgemeinert: Legt man an die Seiten a, b, c jeweils Fl‚chen,
die eine ‚hnliche Gestalt haben, dann ist die Summe der
Fl‚chen €ber den Seiten a und b gleich der Fl‚che €ber der
Seite c.
SÅtze des EUKLID:
h2 = p q,
FlÅcheninhalt:
S = aˆb/2 = Š a2 tan() = ‹ c2 sin()
4)
a2 = p c,
b2 = q c
Das allgemeine schiefwinklige Dreieck
Bild 5-1: Schiefwinkliges Dreieck
Sinussatz:
Projektionssatz:
= 2R; R: Radius des Umkreises
c = a cos() + b cos()
(aus Bild 5-1 zu erkennen)
Kosinussatz oder
Satz des Pythagoras f€r schiefwinklige Dreiecke:
c2 = a2 + b2 – 2ab cos()
Tangensformeln:
tan() =
HÇhe der Seite a:
ha = b sin() = c sin()
Seitenhalbierende der Seite a:
ma = Š
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Aus jeder Formel f€r bestimmte Seiten oder Winkel k•nnen zwei weitere
gewonnen werden, wenn man Seiten und Winkel gem‚ƒ Bild 5-2 zyklisch
vertauscht:
Bild 5-2: Zum Vertauschen von Seiten und Winkeln
Grundaufgaben zur Berechnung von Seiten oder Winkeln aus gegebenen St€cken:
s = Š (a+b+c): halber Umfang; S: Fl‚che des Dreiecks; r: Radius des Inkreises