Konvergenz von Folgen, Eulersche Zahl e

Konvergenz von Folgen, Eulersche Zahl e
Aufbauend auf den Abschnitten: "Definition von Folgen und einige wichtige Beispiele", "Der
Körper der reellen Zahlen"
Aufgaben: 3
> restart;
Konvergenz von Folgen
MATH: Eine (reell- oder komplexwertige) Folge
konvergent gegen den Grenzwert g, falls gilt:
Zu jedem
existiert ein
oder
mit
für alle
heißt
mit
.
MAPLE: Wir geben eine Genauigkeit vor und schauen, ab welchem N die Folge innerhalb der
gegebenen Genauigkeit konstant ist:
> a:=i->1/i;
(1.1.1)
Z.B. für die obige Folge und Genauigkeit
> for j from 195 to 205 do
round(10^2*a(j))/10^2
end do;
j:='j':
.
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
0
0
0
0
0
DENKANSTOSS: Man experimentiere mit der obigen Folge und mit der Folge
.
(1.1.2)
MATH: Die obigen Experimente haben keinen Beweischarakter. Aber es gibt Sätze, mit deren
Hilfe man Konvergenz beweisen kann: Z. B.:
Monoton steigende Folgen, die nach oben beschränkt sind, sind konvergent.
(Beachte: Den Grenzwert hat man damit noch lange nicht!)
Eine Folge a heißt beschränkt, falls ein
existiert mit
für alle
.
MATH: Übrigens ist nicht jede Folge, die langsam monoton steigt, konvergent. Hier ist ein
Beispiel, welches gleichzeitig zu einem vorsichtigen Umgang mit MAPLE mahnt. Dieses
bekannte Beispiel ist die harmonische Reihe:
> b:=n->sum(1/i,i=1..n);
(1.1.3)
> b(n);
(1.1.4)
Solche Antworten sollten dich nicht aus dem seelischen Gleichgewicht bringen: In MAPLE ist
mathematisches Wissen berücksichtigt, welches du im Augenblick noch nicht hast, aber
sicherlich im Laufe der Zeit erwerben wirst. Fasse MAPLEs Antwort als ein Signal auf, dass
MAPLE sich wohl fühlt.
> for k from 1100 to 1110 do evalf(b(k)) end do;
7.580735600
7.581643866
7.582551307
7.583457925
7.584363722
7.585268699
7.586172859
7.587076201
7.587978728
7.588880441
7.589781342
(1.1.5)
Die Monotonie unserer Folge ist offensichtlich. Aber leider ist sie nicht nach oben beschränkt,
denn
> n:='n':
> Sum(1/m, m=2^(n-1)+1..2^n);
(1.1.6)
ist sicherlich größer oder gleich
> Sum(1/2^n,m=2^(n-1)+1..2^n) = sum(1/2^n,m=2^(n-1)+1..2^n);
(1.1.7)
> simplify(rhs(%));
1
2
(1.1.8)
ÜBUNG [01]:
1) Warum ist mit der letzten Abschätzung die Divergenz der harmonischen Reihe bewiesen?
2) Warum sollte man bei folgender Lotterie nicht teilnehmen?
3) Wie lange reichen 10 Euro, um den Gewinn bei der Loterie auszuzahlen?
KOMMENTAR: Divergenz ist nicht unbedingt eine schlechte Eigenschaft einer Folge. Z. B.
wirst du später im Studium sehen, dass die Divergenz der harmonischen Reihe eine
Verschärfung der Aussage ist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. (Stichwort: Riemannsche
Zeta-Funktion)
Grenzwertsätze
MATH: Die (reell- oder komplexwertigen) Folgen bilden einen kommutativen Ring mit 1
bezüglich der werteweisen Addition und Multiplikation.
MATH: Wir wollen dies nicht formal beweisen, sondern begnügen uns mit der Feststellung, dass
alle Ringaxiome auf ihre Gültigkeit im Wertebereich = oder C zurückgeführt werden. Die
konstante Folge
und die konstante Folge
bilden jedenfalls das Null- und das
Einselement.
DENKANSTOSS: Dieser Ring verhält sich sehr komisch: Er hat Paare von Elementen, die
jeweils nicht Null sind, deren Produkt aber Null ist. Gib ein Beispiel für solche Elemente.
Welche anderen Ringe haben ebenfalls diese Eigenschaft?
MATH: Die konvergenten Folgen bilden einen Teilring vom Ring aller Folgen und die
Limesbildung vertauschbar mit den Ringoperationen ist: Sind
,
(reell- oder
komplexwertige) konvergente Folgen, so gilt:
=
+
=
DENKANSTOSS: Die Definition der Konvergenz forderte die Existenz eines
gewissen Eigenschaften. Wir schreiben
und
mit
, wenn wir uns auf die Folge beziehen. Drücke
durch
und
für geeignete
Funktionen f aus.
MATH: Eine Sonderrolle nimmt die Division ein, die ja in einem Ring nicht uneingeschränkt
ausführbar ist. Hier brauchen wir eine Zusatzvoraussetzung:
für alle
und
. Dann ist
auch konvergent mit
.
Der Fall der Division lässt noch etwas Luft zum Experimentieren:
> a:=1/(n^2+2);
b:=1/(n^2-2);
(1.2.1)
> limit(a,n=infinity);
limit(b,n=infinity);
limit(a/b,n=infinity);
0
0
1
(1.2.2)
0
(1.2.3)
0
(1.2.4)
> b:=1/n;
limit(b,n=infinity);
> limit(a/b,n=infinity);
> limit(b/a,n=infinity);
(1.2.5)
> b:=1/(-n)^n;
limit(b,n=infinity);
0
(1.2.6)
0
(1.2.7)
> limit(b/a,n=infinity);
> limit(a/b,n=infinity);
(1.2.8)
Würdest du diesem Ergebnis trauen? Nach allgemeinem Verständnis sagt man bei einer
reellwertigen Folge
= ,
wenn gilt: Zu jedem
existiert ein
mit
für alle
. Man sagt auch, dass die
Folge bestimmt divergiert (oder auch gegen unendlich konvergiert).
MATH: Unsere anfänglichen Beispiele von Folgen sind größtenteils divergent, in dem Sinne,
dass sie gegen unendlich konvergieren. Es stellt sich oft die Frage nach dem Vergleich zwischen
zwei derartigen Folgen: Welche konvergiert schneller gegen unendlich oder konvergieren sie
etwa gleich schnell? Dies wird dadurch entschieden, dass man sich das Konvergenzverhalten des
Quotienten anschaut:
> a:=n^3;
b:=n^2+n+1;
(1.2.9)
> limit(a/b,n=infinity);
(1.2.10)
Also wächst schneller gegen unendlich als . Hier nochmals eine Bestätigung:
> limit(b/a,n=infinity);
0
(1.2.11)
Andererseits wächst langsamer als :
> limit(b^2/a,n=infinity);
(1.2.12)
(1.2.12)
Schließlich haben und vergleichbares Wachstum:
> limit(a^2/b^3,n=infinity);
1
(1.2.13)
ÜBUNG [02]:
1) Vergleiche das Wachstum von mit diversen Potenzen von . Mache dabei zuerst (an Hand
von Beispielen bei kleinen ) klar was passiert. Deute danach einen Beweis an, indem du bei
beiden Folgen den Quotienten aufeinanderfolgender Folgenglieder abschätzt und so das
Wachstum vergleichst.
2) Vergleiche das Wachstum von
mit dem von
.
Begründe bei beiden Aufgabenteilen dein Vorgehen genau mit den Grenzwertsätzen.
Eulersche Zahl
BEISPIEL für zwei konvergente Folgen:
> a:=n->(1+1/n)^n;
b:=n->(1+1/n)^(n+1);
(1.3.1)
1. Behauptung: ist monoton steigend:
> map(evalf@a,[$1..10]);
(1.3.2)
Dies ist kein Beweis. Dieser wurde jedoch schon im Abschnitt "Definition von Folgen und einige
wichtige Beispiele" mittels Quotientenbildung erbracht.
2. Behauptung: ist monoton fallend:
> map(evalf@b,[$1..10]);
(1.3.3)
Auch dies hatten wir im Abschnitt "Definition von Folgen und einige wichtige Beispiele"
bewiesen. Beide Folgen sind positiv. Wegen
> simplify(b(n)/a(n));
(1.3.4)
ist
für alle
ÜBUNG [03]:
.
1) Zeige: Die Folge
2) Zeige nun allgemein: Sind
konvergiert gegen .
und
Folgen mit
dann ist
eine Nullfolge. Ist weiter
beiden Folgen eine Intervallschachtelung.
, und ist
für alle
beschränkt,
, so definieren die
MATH: Insbesondere konvergieren beide Folgen und gegen denselben Grenzwert.
Allerdings ist die Konvergenz sehr langsam:
> map(i->[evalf(a(i)),evalf(b(i))],[$1..10]);
(1.3.5)
> map(i->[evalf(a(i)),evalf(b(i))],[$100..110]);
(1.3.6)
MATH: Der gemeinsame Grenzwert der beiden Folgen und heißt die Eulersche Zahl .
> exp(1);
evalf(exp(1),30);
e
2.71828182845904523536028747135
(1.3.7)
Die Zahl wird uns noch oft begegnen.
Konvergenz und Kombinatorik
Aufbauend auf den Abschnitten: "Konvergenz von Folgen, Eulersche Zahl e", "Kombinatorik
(Inklusions-Exklusions-Prinzip)"
Aufgaben: 1
> restart;
Konvergenz und Kombinatorik
MATH: Die folgenden beiden Programme zählen die surjektiven Abbildungen
bzw. die injektiven Abbildungen
(Ersteres ist
bereits aus einem früheren Worksheet bekannt):
> sur:=proc(k::posint,n::posint)
>
if k<n then
return 0;
end if;
if k=n then
return n!;
end if;
if n=1 then
return 1;
end if;
return (sur(k-1,n)+sur(k-1,n-1))*n;
end proc:
> inj:=proc(n::posint,k::posint)
return mul(i,i=k-n+1..k);
end proc:
> sur(3,3);
inj(3,3);
6
6
> sur(5,3);
inj(3,5);
150
60
(2.1.1)
(2.1.2)
DENKANSTOSS: Warum liefern die beiden Prozeduren wirklich die gesuchten Anzahlen?
MATH: Zu jeder surjektiven Abbildung von
auf
gibt es ein Rechtsinverses
von
nach
, welches eine injektive Abbildung ist. Umgekehrt gibt es zu jeder
injektiven Abbildung von
nach
ein Linksinverses, welches surjektiv ist. Wir
wollen nun
mit
vergleichen.
> map(k->evalf(sur(k,5)/inj(5,k)),[$5..20]);
(2.1.3)
ÜBUNG [01]:
1) Die obige Rechnung scheint
anzudeuten. Beweise dies und gib einige Erläuterungen. (Hinweis: Wieviele Linksinverse hat
eine injektive Abbildung, wieviele Rechtsinverse hat eine surjektive?)
2) Vergleiche asymptotisch die Anzahl der surjektiven Abbildungen
mit der Anzahl aller Abbildungen
. Konvergiert der Quotient der
beiden Folgen? Falls ja: Gegen welchen Wert. (Hinweis: Erst Experiment, dann Beweis!)
3) Vergleiche asymptotisch die Anzahl der Abbildungen
mit der Anzahl
der dreielementigen Teilmengen von
durch Bildung des Quotienten der beiden
Anzahlen.
4) Erkläre das Ergebnis in folgendem Sinne: Warum ist die Zahl der Abbildungen asymptotisch
ein ganzzahliges Vielfaches der Anzahl der Teilmengen? Und warum genau dieser Wert?
Häufungspunkte von Folgen
Aufbauend auf den Abschnitten: "Konvergenz von Folgen, Eulersche Zahl e", "Der Körper der
komplexen Zahlen"
Aufgaben: 5
> restart;
Häufungspunkte von Folgen
MATH: Ist eine Folge
konvergent, so gilt dies auch für jede Teilfolge. Im Falle der
Nichtkonvergenz kann es konvergente Teilfolgen geben:
> a:=3+1/n+(-1)^n;
(3.1.1)
> map(i->evalf(subs(n=i,a)),[$1..20]);
(3.1.2)
Um zu sehen, dass die reelle Folge nicht konvergent ist, kann man sich mit einer graphischen
Veranschaulichung helfen. Wir betrachten den Graphen der Folge
(also einer
reellwertigen Funktion mit Definitionbereich gleich den natürlichen Zahlen).
Dazu definieren wir zunächst die Folge als eine Abbildung:
> a:=n->3+1/n+(-1)^n;
(3.1.3)
Wir wollen nun die ersten 50 Elemente der Folge finden und in einer Liste von Punkten
schreiben:
> A50:=map(n->[n, a(n)], [$1..50]):
Nun visualisieren wir die Elemente der Folge:
> plot(A50, view=[0..50,0..5], style=point);
Wir haben jetzt schon die Vermutung, dass die Folge nicht konvergent ist und lassen wir uns von
der Visualisierung helfen, unsere Vermutung zu beweisen. Der Graph selbst ist jedoch noch kein
Beweis. Wir betrachten also eine Teilfolge
:
(beachte die Definition von a)
> ta1:=a(2*n);
(3.1.4)
> map(i->evalf(subs(n=i,ta1)), [$1..20]);
(3.1.5)
(An dieser Stelle könnte man man die Folge auch wieder visualisieren lassen.)
Jetzt können wir (mit den Mitteln der Analysis) auch beweisen, dass die Folge konvergent ist.
(Bestimme den Grenzwert!)
> ta2:=a(2*n+1);
(3.1.6)
> map(i->evalf(subs(n=i,ta2)),[$1..20]);
(3.1.7)
MATH:
heißt Häufungspunkt (oder Berührpunkt) der komplexwertigen Folge
, falls für jedes
und jedes
ein
existiert mit
.
Offenbar ist diese Bedingung äquivalent zu der Existenz einer Teilfolge mit Grenzwert .
Komplexwertige Folgen
Wir wollen komplexwertigen Folgen von der Form
komplexe Zahl). Sei nun
> z:=1/2+1/2*I;
zu betrachten ( sei eine feste
(3.2.1)
und betrachte die Folge
> f:=n->z^n;
(3.2.2)
Wir wollen nun die ersten
Elemente der Folge bestimmen und visualisieren.
> F:=map(n->[n, f(n)], [$1..20]);
(3.2.3)
Um diese Folge zu visualisieren, identifizieren wir die komplexe Zahl
mit dem Punkt
der (zweidimensionalen) Ebene. Man beachte, dass sich die Interpretation des Graphen im
komplexen Fall von dem reellen dadurch unterscheidet, dass man sich nicht mehr aus der
Position des Punktes in der Grafik auf den Index des jeweiligen Folgengliedes schließen kann.
Wir können die Folge allerdings schrittweise beobachten und daraus Vermutungen
schlussfolgern.
Wir bereiten also die Liste der Folgenglieder für die Visualisierung vor:
> FF:=map(n->[[Re(f(n)), Im(f(n))]], [$1..20]);
(3.2.4)
(3.2.4)
Zunächst visualisieren wir nur das erste Glied der Folge:
> plot(FF[1], a=-1.2..1.2, b=-1.2..1.2, style=point, scaling=
constrained,color=red,symbol=circle,symbolsize=18);
jetzt die ersten drei:
> plot(FF[1..3], a=-1.2..1.2, y=-1.2..1.2, style=point,scaling=
constrained, color=red,symbol=circle,symbolsize=18);
nun alle 20 Elemente, die oben berechnet wurden:
> plot(FF, a=-1.2..1.2, y=-1.2..1.2, style=point,scaling=
constrained, color=red,symbol=circle,symbolsize=18);
Diese stellen wir nun als Animation dar (bitte anklicken um sie abzuspielen):
> plots[display]([seq(plot(FF[1..n], a=-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,
style=point,scaling=constrained, color=red,symbol=circle,
symbolsize=18), n=1..nops(FF))], insequence=true);
Welche Vermutung drängt sich jetzt auf? Was ist das Verhalten der Folge für diese komplexe
Zahl , wenn gegen unendlich geht?
ÜBUNG [01]:
a) Visualisiere die komplexen Folgen
für
für
(wie es oben
vorgemacht wurde - die Animation genügt).
b) Wann ist die Folge
beschränkt? Beweise deine Behauptung!
c) Was kann man über die Konvergenz der komplexen Folge
in Abhängigkeit von
vermuten? Formuliere und beweise die Vermutung (Hinweis: Wodurch unterscheiden sich die 5
oben visualisierten Fälle?).
d) Für welche besitzt die Folge Häufungspunkte (und wenn ja, welche, endliche viele,
unendlich viele, ...)?
Beschränktheit und Häufungspunkte
MATH: Der grundlegende Existenzsatz für Häufungspunkte ist der folgende:
Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt.
(Eine Folge
heißt beschränkt, wenn ein
existiert mit
für alle
> a:=n->((-1)^n*n^5-n+(-1)^n)/(n^5-2);
.)
(3.3.1)
> evalf(map(a,[$2..20]));
(3.3.2)
Also sieht diese Folge beschränkt aus. Wie beweist man das?
Die Folge kann in zwei Teilfolgen "zerlegt" werden, die beide konvergent sind. Da eine
konvergente Folge sicherlich beschränkt ist, können wir auf die Beschränktheit der gesamten
Folge schließen:
> limit(simplify(a(2*n)),n=infinity);
(3.3.3)
> limit(simplify(a(2*n+1)),n=infinity);
(3.3.4)
Da Maple nichts davon weiß, dass n eine natürliche Zahl ist, ist die Verwirrung von Maple
nachvollziehbar. Was können wir tun?
> simplify(a(2*n)) assuming n::posint:
limit(%,n=infinity);
1
(3.3.5)
> simplify(a(2*n+1)) assuming n::posint:
limit(%,n=infinity);
(3.3.6)
ÜBUNG [02]:
Gib eine Folge an, die unbeschränkt ist und genau zwei Häufungspunkte hat.
Konstruktion aus Dichtheit von < in =
MATH: In einem früheren Worksheet hatten wir als Anwendung der Diskussion der
Dreieckszahlen eine Folge konstruiert, welche jede positive rationale Zahl im Bild hat. Hier ist
das Programm dazu:
> FiQ:=proc(n::posint)
local k,i,j;
k:=floor(3/2+1/2*(-7+8*n)^(1/2));
i:=n-binomial(k-1,2);
j:=k-i;
>
return i/j;
end proc:
> map(FiQ,[$1..100]);
(3.4.1)
Wir hatten bereits gesehen, dass die Faser jeder positiven rationalen Zahl unter dieser Abbildung
unendlich war. Folglich ist jede positive rationale Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge FiQ. Als
Folgerung aus der Tatsache, dass < dicht in = liegt erhalten wir:
MATH: Diese Folge hat jede positive reelle Zahl als Häufungspunkt.
Wir können also für jede beliebige positive reelle Zahl eine Teilfolge finden, die gegen
konvergiert. Ferner können wir sogar z. B. für jede endliche Menge positiver reeller Zahlen eine
Teilfolge finden, so dass die Häufungspunkte dieser Teilfolge genau die Elemente der Menge
sind.
BEISPIEL: Wir wollen eine solche Teilfolge konstruieren, die genau
Häufungspunkte hat.
> Teilf:=proc(n::posint,epsilon)
local i,M,N,eta;
if epsilon <= 0 then
error("epsilon muss positiv sein");
fi;
if epsilon > 1/2 then
eta:=1/2
else
eta:=epsilon
end if;
i:=n;
M:=[];
N:=[];
while M=[] or N=[] do
if abs(FiQ(i)^2-2)<eta then
M:=[op(M),i]
end if;
if abs(FiQ(i)^2-10)<eta then
N:=[op(N),i]
end if;
i:=i+1;
end do;
return sort([op(M),op(N)]);
end proc:
und
als
MAPLE: Der Debugger bzw. Tracer von Maple (Aufruf durch den nachfolgenden Befehl debug
oder trace) gibt während der Ausführung eines Programms laufende Informationen über
Variablenzuweisungen sowie aufgerufene Prozeduren. Dieses ist allgemein beim Programmieren
ein wichtiges Hilfsmittel, um nachzuvollziehen, was ein Programm im Detail macht, und
insbesondere, um Fehler zu finden.
> debug(Teilf);
Teilf
> Teilf(1,1/2);
{--> enter Teilf, args = 1, 1/2
(3.4.2)
<-- exit Teilf (now at top level) = [9, 19, 33, 42, 62, 86,
100, 114, 130, 146, 147, 164, 183, 202, 206]}
(3.4.3)
> undebug(Teilf);
Teilf
(3.4.4)
ÜBUNG [03]:
1) Verstehe und kommentiere das Programm T e i l f.
2) Wie kann man das Programm T e i l f benutzen, um ein beliebig langes Anfangsstück einer
Folge zu konstruieren, die genau
und
als Häufungspunkte hat?
3) Führe die Konstruktion ein Stück weit durch, etwa bis
4) Was muss man tun, um anschließend mit
.
zu arbeiten?
5) Erläutere kurz welche Modifikationen nötig wären um ein beliebig langs Anfangsstück einer
Folge zu konstruieren, die genau die Elemente einer endlichen Menge positiver reeller Zahlen
als Häufungspunkte hat.
>
Limes superior und Limes inferior
MATH: Besonders wichtige Häufungspunkte von reellwertigen Folgen sind der Limes superior
und der Limes inferior, soweit endlich. Ist
eine reellwertige Folge, so sei die Menge ihrer
Häufungspunkte.
, falls
nach oben beschränkt und nicht leer.
, falls
nicht nach oben beschränkt.
, falls
nach oben beschränkt und A leer.
Die Definition von liminf ist entsprechend.
> a:=(-1)^n*n;
(3.5.1)
> limit(a,n=infinity);
undefined
(3.5.2)
DENKANSTOSS: Man zeige für die gerade definierte Folge:
1.)
,
2.)
,
und die Folge hat keine Häufungspunkte. (Hinweis: Teilfolgen.)
ÜBUNG [04]:
Zeige, dass sich die Grenzwertsätze nicht auf limsup und liminf übertragen lassen.
Hinweis:
> a:=(-1)^n;
limit(a-a,n=infinity);
0
DENKANSTOSS: Falls
(3.5.3)
endlich ist, so ist es ein Häufungspunkt der Folge.
Beispiel
Wir betrachten nun eine abschnittsweise definierte Funktion
> F:=piecewise(x>=0 and x<=1,7,1/2*x);
(3.6.1)
> F:=simplify(F);
(3.6.2)
(3.6.2)
> plot(F,x=-1..2,discont=true);
> H:=unapply(F,x);
(3.6.3)
Jetzt definieren wir mit Hilfe der obigen Funktion eine Folge
> f:=proc(n::posint,a::rational)
option remember;
mit Parameter .
if n=1 then
return a
end if;
return f(n-1,H(a))
end proc:
> map(i->f(i,10),[$1..20]);
(3.6.4)
(3.6.4)
> map(i->f(i,100),[$1..20]);
(3.6.5)
Jede dieser Folgen
liefert für positives eine Folge mit den Häufungspunkten
. Insbesondere ist 7 der Limes superior und
der Limes inferior.
> HH:=H@@4;
(3.6.6)
> simplify(HH(x));
(3.6.7)
ÜBUNG [05]:
1) Was geschieht mit
, falls der Startwert negativ ist?
2) Beweise: Für
hat die Folge
(Hinweis: Benutze
).
genau die Häufungspunkte ,
,
und
DENKANSTOSS: Modifiziere die Funktion dadurch, dass auf dem Intervall
nicht 7
sondern
der Wert ist. Zeige, dass man wieder vier Häufungspunkte für die Folgen
mit positivem c hat. Diese Häufungspunkte sind
mit
.