1.) Häufungspunkte von Folgen

1.) Häufungspunkte von Folgen
Aufbauend auf den Abschnitten: "Konvergenz von Folgen, Eulersche Zahl e", "Der Körper der
komplexen Zahlen"
Aufgaben: 5
> restart;
Häufungspunkte von Folgen
MATH: Ist eine Folge
konvergent, so gilt dies auch für jede Teilfolge. Im Falle der
Nichtkonvergenz kann es konvergente Teilfolgen geben:
> a:=3+1/n+(-1)^n;
(1.1.1)
> map(i->evalf(subs(n=i,a)),[$1..20]);
(1.1.2)
Um zu sehen, dass die reelle Folge nicht konvergent ist, kann man sich mit einer graphischen
Veranschaulichung helfen. Wir betrachten den Graphen der Folge
(also einer
reellwertigen Funktion mit Definitionbereich gleich den natürlichen Zahlen).
Dazu definieren wir zunächst die Folge als eine Abbildung:
> a:=n->3+1/n+(-1)^n;
(1.1.3)
Wir wollen nun die ersten 50 Elemente der Folge finden und in einer Liste von Punkten
schreiben:
> A20:=map(n->[n, a(n)], [$1..50]):
Nun visualisieren wir die Elemente der Folge:
> plot(A20, view=[0..50,0..5], style=point);
Wir haben jetzt schon die Vermutung, dass die Folge nicht konvergent ist und lassen wir uns von
der Visualisierung helfen, unsere Vermutung zu beweisen. Der Graph selbst ist jedoch noch kein
Beweis. Wir betrachten also eine Teilfolge
:
(beachte die Definition von a)
> ta1:=a(2*n);
(1.1.4)
> map(i->evalf(subs(n=i,ta1)), [$1..20]);
(1.1.5)
Jetzt können wir (mit den Mitteln der Analysis) auch beweisen, dass die Folge konvergent ist
gegen den Grenzwert .
Die folgende Teilfolge ist konvergent gegen den Grenzwert .
> ta2:=a(2*n+1);
(1.1.6)
> map(i->evalf(subs(n=i,ta2)),[$1..20]);
(1.1.7)
MATH:
heißt Häufungspunkt (oder Berührpunkt) der komplexwertigen Folge
, falls für jedes
und jedes
ein
existiert mit
. Offenbar ist
diese Bedingung äquivalent zu der Existenz einer Teilfolge mit Grenzwert .
Komplexwertige Folgen
Wir wollen komplexwertigen Folgen von der Form
komplexe Zahl). Sei nun
> z:=1/2+1/2*I;
zu betrachten ( sei eine feste
(1.2.1)
und betrachte die Folge
> f:=n->z^n;
(1.2.2)
Wir wollen nun die ersten
Elemente der Folge bestimmen und visualisieren.
> F:=map(n->[n, f(n)], [$1..20]);
(1.2.3)
Um diese Folge zu visualisieren, identifizieren wir die komplexe Zahl
mit dem Punkt
der (zweidimensionalen) Ebene. Man beachte, dass sich die Interpretation des Graphen im
komplexen Fall von dem reellen dadurch unterscheidet, dass man sich nicht mehr aus der
Position des Punktes in der Grafik auf den Index des jeweiligen Folgengliedes schließen kann.
Wir können die Folge allerdings schrittweise beobachten und daraus Vermutungen
schlussfolgern.
Wir bereiten also die Liste der Folgenglieder für die Visualisierung vor:
> FF:=map(n->[[Re(f(n)), Im(f(n))]], [$1..20]);
(1.2.4)
(1.2.4)
Zunächst visualisieren wir nur das erste Glied der Folge:
> plot(FF[1], a=-1.2..1.2, b=-1.2..1.2, style=point, scaling=
constrained,color=red,symbol=circle,symbolsize=18);
Jetzt die ersten drei:
> plot(FF[1..3], a=-1.2..1.2, y=-1.2..1.2, style=point,scaling=
constrained, color=red,symbol=circle,symbolsize=18);
Nun alle 20 Elemente, die oben berechnet wurden:
> plot(FF, a=-1.2..1.2, y=-1.2..1.2, style=point,scaling=
constrained, color=red,symbol=circle,symbolsize=18);
Diese stellen wir nun als Animation dar (bitte anklicken um sie abzuspielen):
> plots[display]([seq(plot(FF[1..n], a=-1.2..1.2, y=-1.2..1.2,
style=point,scaling=constrained, color=red,symbol=circle,
symbolsize=18), n=1..nops(FF))], insequence=true);
Welche Vermutung drängt sich jetzt auf? Was ist das Verhalten der Folge für diese komplexe
Zahl , wenn gegen unendlich geht?
ÜBUNG [01]:
a) Visualisiere die komplexen Folgen
für
für
(wie es oben
vorgemacht wurde).
b) Wann ist die Folge
beschränkt? Beweise deine Behauptung!
c) Was kann man über die Konvergenz der komplexen Folge
in Abhängigkeit von
vermuten? Formuliere und beweise die Vermutung (Hinweis: Wodurch unterscheiden sich die 5
oben visualisierten Fälle?).
d) Für welche besitzt die Folge Häufungspunkte (und wenn ja, welche, endliche viele,
unendlich viele, ...)?
Beschränktheit und Häufungspunkte
MATH: Der grundlegende Existenzsatz für Häufungspunkte ist der folgende Satz von BolzanoWeierstraß:
Jede beschränkte komplexwertige Folge hat mindestens einen Häufungspunkt.
(Eine Folge
heißt beschränkt, wenn ein
existiert mit
für alle
.)
> a:=n->((-1)^n*n^5-n+(-1)^n)/(n^5-2);
(1.3.1)
> evalf(map(a,[$2..20]));
(1.3.2)
Also sieht diese Folge beschränkt aus. Wie beweist man das?
Die Folge kann in zwei Teilfolgen "zerlegt" werden, die beide konvergent sind. Da eine
konvergente Folge sicherlich beschränkt ist, können wir auf die Beschränktheit der gesamten
Folge schließen:
> limit(simplify(a(2*n)),n=infinity);
(1.3.3)
> limit(simplify(a(2*n+1)),n=infinity);
(1.3.4)
Da Maple nichts davon weiß, dass eine natürliche Zahl ist, ist die Verwirrung von Maple
nachvollziehbar. Was können wir tun?
> simplify(a(2*n)) assuming n::posint:
limit(%,n=infinity);
1
(1.3.5)
> simplify(a(2*n+1)) assuming n::posint:
limit(%,n=infinity);
(1.3.6)
ÜBUNG [02]:
Gib eine Folge an, die unbeschränkt ist und genau zwei Häufungspunkte hat.
Konstruktion aus Dichtheit von < in =
MATH: In einem früheren Worksheet hatten wir als Anwendung der Diskussion der
Dreieckszahlen eine Folge konstruiert, welche jede positive rationale Zahl im Bild hat. Hier ist
das Programm dazu:
> FiQ:=proc(n::posint)
local k,i,j;
k:=floor(3/2+1/2*(-7+8*n)^(1/2));
i:=n-binomial(k-1,2);
j:=k-i;
return i/j;
end proc:
> map(FiQ,[$1..100]);
(1.4.1)
(1.4.1)
Wir hatten bereits gesehen, dass die Faser jeder positiven rationalen Zahl unter dieser Abbildung
unendlich war. Folglich ist jede positive rationale Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge FiQ. Als
Folgerung aus der Tatsache, dass < dicht in = liegt erhalten wir:
MATH: Diese Folge hat jede positive reelle Zahl als Häufungspunkt.
Wir können also für jede beliebige positive reelle Zahl eine Teilfolge finden, die gegen
konvergiert. Ferner können wir sogar z. B. für jede endliche Menge positiver reeller Zahlen eine
Teilfolge finden, so dass die Häufungspunkte dieser Teilfolge genau die Elemente der Menge
sind.
BEISPIEL: Wir wollen eine solche Teilfolge konstruieren, die genau
Häufungspunkte hat.
> Teilf:=proc(n::posint,epsilon)
local i,M,N,eta;
if epsilon <= 0 then
error("epsilon muss positiv sein");
fi;
if epsilon > 1/2 then
eta:=1/2
else
eta:=epsilon
end if;
i:=n;
M:=[];
N:=[];
while M=[] or N=[] do
if abs(FiQ(i)^2-2)<eta then
M:=[op(M),i]
end if;
if abs(FiQ(i)^2-10)<eta then
N:=[op(N),i]
end if;
i:=i+1;
end do;
return sort([op(M),op(N)]);
end proc:
und
als
MAPLE: Der Debugger bzw. Tracer von Maple (Aufruf durch den nachfolgenden Befehl debug
oder trace) gibt während der Ausführung eines Programms laufende Informationen über
Variablenzuweisungen sowie aufgerufene Prozeduren. Dieses ist allgemein beim Programmieren
ein wichtiges Hilfsmittel, um nachzuvollziehen, was ein Programm im Detail macht, und
insbesondere, um Fehler zu finden.
> debug(Teilf);
Teilf
> Teilf(1,1/2);
{--> enter Teilf, args = 1, 1/2
(1.4.2)
<-- exit Teilf (now at top level) = [9, 19, 33, 42, 62, 86,
100, 114, 130, 146, 147, 164, 183, 202, 206]}
(1.4.3)
> undebug(Teilf);
Teilf
(1.4.4)
ÜBUNG [03]:
1) Verstehe und kommetiere das Programm T e i l f.
2) Wie kann man das Programm T e i l f benutzen, um ein beliebig langes Anfangsstück einer
Folge zu konstruieren, die genau
und
als Häufungspunkte hat?
3) Führe die Konstruktion ein Stück weit durch, etwa bis
4) Was muss man tun, um anschließend mit
.
zu arbeiten?
5) Erläutere kurz welche Modifikationen nötig wären, um ein beliebig langes Anfangsstück
einer Folge zu konstruieren, die genau die Elemente einer endlichen Menge positiver reeller
Zahlen als Häufungspunkte hat.
Limes superior und Limes inferior
MATH: Besonders wichtige Häufungspunkte von reellwertigen Folgen sind der Limes superior
und der Limes inferior, soweit endlich. Ist
eine reellwertige Folge, so sei die Menge ihrer
Häufungspunkte.
, falls
nach oben beschränkt und nicht leer.
, falls
nicht nach oben beschränkt.
, falls
nach oben beschränkt und A leer.
Die Definition von liminf ist entsprechend.
> a:=(-1)^n*n;
(1.5.1)
> limit(a,n=infinity);
undefined
(1.5.2)
DENKANSTOSS: Man zeige für die gerade definierte Folge:
1.)
,
2.)
,
und die Folge hat keine Häufungspunkte. (Hinweis: Teilfolgen.)
ÜBUNG [04]:
Zeige, dass sich die Grenzwertsätze nicht auf limsup und liminf übertragen lassen.
Hinweis:
> a:=(-1)^n;
limit(a-a,n=infinity);
0
DENKANSTOSS: Falls
(1.5.3)
endlich ist, so ist es ein Häufungspunkt der Folge.
Beispiel
Wir betrachten nun eine abschnittsweise definierte Funktion
> F:=piecewise(x>=0 and x<=1,7,1/2*x);
(1.6.1)
> F:=simplify(F);
(1.6.2)
> plot(F,x=-1..2,discont=true);
> H:=unapply(F,x);
(1.6.3)
Jetzt definieren wir mit Hilfe der obigen Funktion eine Folge
> f:=proc(n::posint,a::rational)
option remember;
mit Parameter .
if n=1 then
return a
end if;
return f(n-1,H(a))
end proc:
> map(i->f(i,10),[$1..20]);
(1.6.4)
> map(i->f(i,100),[$1..20]);
(1.6.5)
Jede dieser Folgen
liefert für positives eine Folge mit den Häufungspunkten
. Insbesondere ist 7 der Limes superior und
der Limes inferior.
> HH:=H@@4;
(1.6.6)
> simplify(HH(x));
(1.6.7)
ÜBUNG [05]:
1) Was geschieht mit
2) Beweise: Für
, falls der Startwert negativ ist?
hat die Folge
genau die Häufungspunkte ,
,
und
.
(Hinweis: Benutze HH).
DENKANSTOSS: Modifiziere die Funktion dadurch, dass auf dem Intervall
nicht 7
sondern
der Wert ist. Zeige, dass man wieder vier Häufungspunkte für die Folgen
mit positivem c hat. Diese Häufungspunkte sind
mit
2.) Arithmetisch-geometrisches Mittel
Aufbauend auf den Abschnitten: "Konvergenz von Folgen, Eulersche Zahl e"
Aufgaben: 4
> restart;
Arithmetisch-geometrisches Mittel
MATH: Konvergenz reeller Folgen kann man manchmal mit dem Intervallschachtlungsprinzip
zeigen. Wir betrachten die beiden Folgen und , die ausgehend von zwei reellen Zahlen
und
rekursiv definiert sind durch
für
.
Mit anderen Worten,
ist das arithmetische und
das geometrische Mittel von
.
> plot3d([(x+y)/2,(x*y)^(1/2)],x=0..2,y=0..2,scaling=
constrained,axes=boxed,color=[red,blue]);
und
Es scheint also so zu sein, dass das geometrische Mittel (blau) zweier positiver Zahlen immer
kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel (rot) ist, wobei Gleichheit nur vorliegt, wenn die
beiden Zahlen gleich sind.
Wir zeigen dies: Für
gilt:
Beweis: Die Behauptung ist äquivalent zu
> expand((a+b)^2) > 4*a*b;
(2.1.1)
(2.1.1)
also
> factor(rhs(%)-lhs(%)) > 0;
(2.1.2)
Letzteres ist wahr, sobald
. Gleichheit gilt offenbar genau dann, wenn
.
MATH: Also, gehen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit von
aus, so gilt
und durch Induktion
für alle
.
ÜBUNG [01]:
Zeige:
ist eine Nullfolge.
Hinweis: Setze in die Rekursionsformeln
ein, dann Induktion.
MATH: Also liegt eine Intervallschachtlung vor und beide Folgen konvergieren zu dem selben
Grenzwert
genannt das geometrisch-arithmetische Mittel von
> GAM:=proc(a,b);
((a*b)^(1/2),(a+b)/2);
end proc:
> map(i->[(GAM@@i)(1,2)],[$1..5]);
.
(2.1.3)
> evalf(%);
(2.1.4)
> (a[1],b[1]):=GAM(a[0],b[0]);(a[2],b[2]):=(GAM(a[1],b[1]));
(2.1.5)
> a[0],b[0];
a[1],b[1];
a[2],b[2];
(2.1.6)
Man kann diese Rekursion über 2 Werte auch einfacher ausdrücken:
ÜBUNG [02]:
1.) Gib eine Rekursion an, die
2.) Gib eine Rekursion an, die
durch
durch
und
und
ausdrückt.
ausdrückt.
Wir wollen uns den Grenzwert
in Abhängigkeit von und ansehen. Zweite Näherung:
> plot3d([a[2],b[2]],a[0]=0..2,b[0]=0..2,scaling=constrained,
axes=boxed,color=[red,blue]);
Die dritte Näherung ist schon besser:
> plot3d([GAM(a[2],b[2])],a[0]=0..2,b[0]=0..2,axes=boxed,color=
[red,blue]);
MATH: Es gilt offenbar
für alle
. Also genügt es,
freiwilliges Projekt.
zu studieren. Wir belassen dies als ein kleines
Harmonisches Mittel
MATH: Das harmonische Mittel zweier positiver Zahlen , ist definiert als
.
> HAM:=proc(a,b);
(2*a*b/(a+b),(a+b)/2);
end proc:
> plot3d([HAM(a,b)],a=0.1..2,b=0.1..2,scaling=constrained,axes=
boxed,color=[red,blue]);
ÜBUNG [03]:
Zeige, dass in Analogie zum arithmetisch-geometrischen Mittel auch ein arithmetischhamonisches Mittel durch Intervallschachtlung definiert werden kann. Also zeige
1.) für
gilt
und
2.) schließe, dass die rekursiv definierten Folgen
,
mit
und
monoton fallend bzw. monoton steigend sind.
3) Zeige, dass die Differenzenfolge
eine nicht negative Nullfolge ist.
4) Rechne den gemeinsamen Grenzwert für
durch Iteration auf 6 Stellen genau aus.
MATH: Im Unterschied zum arithmetisch-geometrischen Mittel kann man die Grenzwerte sehr
leicht bestimmen durch folgende Beobachtung:
> normal(`*`(HAM(a,b)));
(2.2.1)
Mit anderen Worten, das Produkt beibt fest bei der Iteration. (Man kann dies auch so sagen: Das
Produkt ist eine Invariante der von HAM erzeugten Gruppe.) Andererseits ist klar, dass der
Grenzwert wegen
> HAM(g,g);
(2.2.2)
dann auch
erfüllt. Also ist
.
Somit haben wir ein Verfahren gefunden, wie man allein durch Addition, Multiplikation und
Division näherungsweise Quadratwurzeln positiver reeller Zahlen ausrechnen kann.
ÜBUNG [04]:
1) Benutze die letzte Überlegung um die Qudratwurzel aus 30 Näherungsweise zu bestimmen.
Was ist ein guter Anfang für die Iteration?
2) Mache am Beispiel plausibel: Die Anzahl der richtigen Nachkommenstellen verdoppelt sich
mit jedem Approximationsschritt. (Man spricht von quadratischer Konvergenz.)
3) Beweise: Die Anzahl der richtigen Nachkommenstellen verdoppelt sich bei dieser
Approximation mit jedem Approximationsschritt.
MATH: Es gibt noch weitere Mittelbildungen, mit denen man das obige Spiel durchführen kann.
Hier ist noch ein Beispiel.
> plot3d([sqrt((a^2+b^2)/2),(a+b)/2],a=0.1..2,b=0.1..2,scaling=
constrained,axes=boxed,color=[red,blue]);
> AEM:=proc(a,b);
((a+b)/2,evalf(sqrt((a^2+b^2)/2)));
end proc:
> mm:=map(i->[(AEM@@i)(1,3)],[$1..10]);
(2.2.3)
3.) Der Ring der ganzen Zahlen
Aufbauend auf: "Rekursion und Induktion: Rechnen mit natürlichen Zahlen",
"Äquivalenzrelationen", "Gruppen- und Körperaxiome"
Aufgaben: 3
> restart;
Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen
Wir hatten die natürlichen Zahlen rein axiomatisch konstruiert, indem wir nur Mengen und
Abbildungen verwendet haben. Wir möchten nun das Konzept der Äquivalenzrelationen
hinzunehmen, um zu den ganzen Zahlen überzugehen.
Durch die Abwesenbeit der Null und der negativen Zahlen ist
einen Ring daraus machen kann, werden wir jetzt sehen.
kein Ring. Wie man
Wir können die Gleichung
mit beliebigen natürlichen Zahlen
Wunschliste auf: Wir wollen
nicht innerhalb von
lösen. Also stellen wir eine
1) durch Hinzufügen neuer Zahlen so vergrößern, dass diese Gleichungen immer lösbar sind
2) (Permanenzprinzip) grundlegende Eigenschaften von für den größeren Zahlbereich
beibehalten, also Assoziativ- und Kommutativgesetze für Addition und Multiplikation, sowie die
Anordnung
.
Wir wollen eine Konstruktion skizzieren, wie man den Ring
zusammen mit seiner Anordnung aus konstruieren kann.
MATH: Für natürliche Zahlen
der ganzen Zahlen
kann man die Gleichung
betrachten. Ist
, so hat man eine eindeutige Lösung in . Wenn nicht, so hat man nur noch
das Gefühl, dass z. B.
für jedes
sein sollte. Man kann sich nun wünschen, dass dies stimmt und wir wieder eine
eindeutige Lösung haben, die dann in einem umfassenderen Bereich liegt. Hier die formale
Konstruktion:
Statt der Gleichung
schreiben wir einfach
durch
. Auf
DENKANSTOSS: Warum haben wir nicht
meinten?
führen wir die Äquivalenzrelation
ein, definiert
geschrieben, wo wir das doch
DENKANSTOSS: Wenn wir schon die ganzen Zahlen zur Verfügung hätten, würden wir sagen:
Die Äquivalenzrelation ist die Bildgleichheit auf
unter der surjektiven Abbildung
.
Damit sind die Fasern gleich den Äquivalenzklassen und diese stehen in Bijektion zu . Aber wir
wollen ja erst konstruieren.
Wir verifizieren mit MAPLE, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt:
Reflexivität:
, denn
> evalb(a+b=a+b);
true
Symmetrie:
0
, folgt aus der Symmetrie der
ÜBUNG [01]:
(3.1.1)
`-Relation.
Verifiziere die Transitivität der Relation .
MATH: Jede Äquivalenzklasse hat einen eindeutigen Standardvertreter. Wir schreiben die
Elemente aus
als Listen der Länge 2.
> StaVer:=proc(p::list)
if p[1]<p[2] then
return [1,p[2]-p[1]+1];
else
return [p[1]-p[2]+1,1];
end if;
end proc:
> StaVer([3,2]);
StaVer([7,10]);
(3.1.2)
MATH: Die offizielle Bezeichnung für die Äquivalenzklasse von
MAPLE kennt dies bereits:
> StaVer([7,8]),StaVer([17,18]);
7-8,17-18;
ist
.
(3.1.3)
> StaVer([17,8]),StaVer([27,18]);
17-8,27-18;
(3.1.4)
MATH: Wir definieren eine Addition für unsere Paare:
> [a,b]+[c,d];
(3.1.5)
MATH: Diese Addition ist offenbar verträglich mit der Äquivalenzrelation R, d. h.
.
FOLGERUNG: Wir können eine Addition für die Äquivalenzklassen definieren:
.
Diese Definition hängt nicht von der Wahl der Vertreter ab, ist also wohldefiniert.
MATH: Wir lassen uns von
> expand((a-b)*(c-d));
(3.1.6)
inspirieren und definieren eine Multiplikation für die Äquivalenzklassen durch
.
ÜBUNG [02]:
Zeige, dass diese Multiplikation vertreterunabhängig und damit wohldefiniert ist, d. h. die
Formel
definiert eine Multiplikation auf
, die mit
verträglich ist.
>
DENKANSTOSS: Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen sind assoziativ und
kommutativ.
MATH: Die Klasse von
> [b,c]+[a,a];
, also
, heißt . Dies ist das neutrale Element der Addition:
(3.1.7)
> %[1]+c,%[2]+b;
(3.1.8)
MATH: Die negative der von
> [a,b]+[b,a];
repräsentieren Klasse wird von
repräsentiert:
(3.1.9)
Wir haben also eine additive Gruppe.
MATH: Nimmt man die Multiplikation hinzu, bekommt man einen Ring mit Einselement.
Letzteres ist repräsentiert durch
.
Wir führen eine Ordnung auf diesem Ring ein:
DENKANSTOSS: Diese Ordnung ist verträglich mit , also haben wir auf der Menge
Äquivalenzklassen eine Ordnung.
MATH: Schließlich müssen wir
der
wiederfinden:
ist eine injektive Abbildung, die verträglich mit Addition und Multiplikation ist.
DENKANSTOSS: Zeige die Verträglichkeit dieser Abbildung mit den beiden Additionen.
MATH: Die Menge
mit
und
(
der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit . Wir identifizieren
. Dann bestehen die Elemente von aus denen von (
), 0
.
Wir haben eine Addition und eine Multiplikation, welche die von fortsetzen.
kommutativer Ring mit . Auf haben wir eine Ordnung, welche die von fortsetzt.
DENKANSTOSS:
impliziert
ist ein
.
Zum Abschluss möchten wir noch auf eine Eigenschaft hinweisen, die wir weiter unten brauchen
werden. Den Beweis wollen wir an dieser Stelle aber weglassen:
MATH: Z hat keine Nullteiler, d.h.
Sei nun
für
,
.
. Dann gilt
und somit
Weitere Darstellung ganzer Zahlen: Primfaktorzerlegung
.
MATH: Jede ganze Zahl lässt sich bis auf Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen
schreiben, gegebenenfalls mit einem Vorzeichen versehen. Hier ist eine MAPLE-Funktion, die
Primfaktorzerlegung durchführt:
> ifactor(-6003);
(3.2.1)
MATH: Die Existenz einer Primfaktorzerlegung ist sehr einfach, sogar konstruktiv, wenn auch
nicht besonders effektiv: Man kann oBdA annehmen, dass unsere Zahl
positiv ist und dass
wir alle natürlichen Zahlen
bereits faktorisieren können. Dann testen wir angefangen bei 2
alle natürlichen Zahlen
durch, ob sie teilen. Haben wir einen Teiler gefunden, kennen
wir schon eine Primfaktorisierung von und von
und sind dann fertig.
(DENKANSTOSS: Verbesserungen?!)
MATH: Mit der Eindeutigkeit bis auf Reihenfolge und Vorzeichen der Primfaktorzerlegung
verhält es sich so:
Primzahlen sind durch folgende Eigenschaft charakterisiert:
(*)
Denn angenommen
Dann finden wir
mit
also
Wenn also
dann folgt
was ein Widerspruch ist.
Also haben wir gezeigt, Primzahlen erfüllen (*). Die Umkehrung ist sehr einfach und jetzt nicht
so wichtig.
ÜBUNG [03]:
1) Zeige, dass 42 genau vier verschiedene Primfaktorzerlegungen hat (die natürlich alle bis auf
Vorzeichen gleich sind), wenn man die Reihenfolge der Faktoren nicht unterscheidet.
Hinweis: "genau" bedeutet - wie immer - "mindestens" und "höchstens". Arbeite mit (*) in der
Definition von Primzahlen.
2) Unterscheide nun auch verschiedene Reihenfolgen in der Primfaktorzerlegung. Wie viele
verschiedene Primfaktorzerlegungen hat man jetzt?
freiwillig, aber hilfreich zum Verstehen: Wie kann man dieses Argument verallgemeinern, um
die wesentliche Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer beliebigen ganzen Zahl aus
zu zeigen?