¨Ubungen zur Quantentheorie der Vielteilchensysteme

Blatt 1
Wintersemester 2014/2015
Übungen zur Quantentheorie der Vielteilchensysteme
Aufgabe 1 — Quantenstatistischer Erwartungswert
Es sei
H = H0 + A
mit einem hermiteschen Operator A, der nicht notwendigerweise mit dem Hamilton-Operator kommutiert.
Zeigen Sie, dass
hAi =
@⌦
=
@
@
kB T ln Sp e
@
(H µN )
!
Aufgabe 2 — Kronecker-Delta
Betrachten Sie ein endliches Gitter, dass in einem Spat eingeschlossen ist, der von den Vektoren
L1 a1 , L2 a2 und L3 a3 aufgespannt wird. Die as (s = 1, 2, 3) sind dabei die Basisvektoren einer
Einheitszelle des Gitters und Ls sind (grosse) natürliche Zahlen. L = L1 L2 L3 ist dann die Anzahl
der Einheitszellen des Gitters. Das Systemvolumen ist V = LVEZ = La1 · a2 ⇥ a3 .
a) Betrachten Sie ebene Wellen k (r) = exp(ikr). Welche erlaubten k-Werte ergeben sich bei
periodischen Randbedingungen der Form:
k (r)
!
=
k (r
+ Ls a s )
s = 1, 2, 3 ?
Schreiben Sie k als Linearkombination von Basisvektoren des reziproken Gitters br , r = 1, 2, 3.
Welche Koeffizienten sind erlaubt?
b) Nutzen Sie dieses Ergebnis, um für ein k aus der durch b1 , b2 und b3 aufgespannten Einheitszelle
des reziproken Gitters den Ausdruck
1 X ikRi
e
L i
P
zu berechnen! Ri =
1 sind hier die Vektoren des
s ns as mit ganzen Zahlen ns = 0, ..., Ls
direkten Gitters.
c) Beweisen Sie für zwei (erlaubte) Wellenvektoren k, k0 aus der Einheitszelle des reziproken Gitters,
dass
1 X i(k k0 )Ri
e
= kk0 !
L i
d) Beweisen Sie für zwei direkte Gittervektoren Ri , Rj , dass
rez.EZ
1 X ik(Ri
e
L k
Rj )
=
ij
!