Skript - AcroTeX

Inhaltsverzeichnis
1
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen . . . . . . . .
3
1.1
Streng lineare Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1 Bestimmung der Federkonstante k einer Schraubenfeder . . . . . .
5
Nicht streng lineare Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1 Brechungsindex n von Flussspat in Abhängigkeit der Wellenlänge λ
7
Exponentielle Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
1.3
1.3.1 Schwächung von Gamma-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4
Abhängigkeiten nach einem Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Planeten im Sonnensystem (3. Keplersches Gesetz) . . . . . . . . 12
3
1 Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
Lineare, nicht lineare und exponentielle Abhängigkeiten, Potenzgesetze
Bei Messungen in Physik und Technik sind drei Abhängigkeiten zwischen Messgrößen häufig
oder eine gute Näherung in Grenzfällen:
Lineare, exponentielle und Abhängigkeiten nach einem Potenzgesetz.
Wählt man zur graphischen Darstellung für lineare Abhängigkeiten linear geteiltes Papier
(Millimeterpapier), für exponentielle Abhängigkeiten einfach logarithmisches Papier und für
Potenzgesetze doppelt logarithmisches Papier, dann ergeben sich jeweils Geraden, deren Eigenschaft ‘Steigung’ einfach bestimmt werden kann. Die in einer Messung zu bestimmende
physikalisch-technische Größe ist direkt oder indirekt in der Steigung dieser Geraden enthalten. Für nicht lineare Beziehungen bietet sich meist eine Darstellung auf linear geteiltem
Papier an. Die Steigung der Tangente in einem Kurvenpunkt ist ein Maß für die Änderung
der dargestellten physikalischen Abhängigkeit.
Sie sollen lernen,
(1) die gemessenen Messdaten graphisch aufzutragen,
(2) eine geeignete Teilung der Papiervorlage auszuwählen,
(3) durch aufgetragene Messwerte eine ‘beste Gerade’ zu legen,
(4) die Steigung von Geraden unter Berücksichtigung ihrer SI-Einheiten zu bestimmen.
Die Funktionen Ihres Taschenrechners erlauben die Bestimmung der besten Geraden (also
insbesondere der Steigung) mit dem Verfahren nach Gauss. Damit können Sie die Ergebnisse
Ihrer graphischen Darstellung überprüfen.
Aber Vorsicht: Einheiten und Zehnerpotenzen liegen in Ihrer Hand. Die Nutzung Ihres
Taschenrechners ist nur dann sinnvoll, wenn Sie begriffen haben,
• welche mathematischen Manipulationen der Taschenrechner durchführt,
• was die Ausdrücke, die der Taschenrechner liefert, bedeuten.
Die Grundlagen der graphischen Darstellung zur Auswertung von Messdaten werden im Folgenden kurz allgemein vorgestellt und mit jeweils einem Beispiel illustriert. Die Beispiele für
lineare und exponentielle Beziehungen sind dem ausführlichen Beispielkatalog entnommen.
Schnellübersicht
• Streng lineare Abhängigkeiten
Mathematische Beschreibung: y ∼ x.
Graphische Darstellung auf linear geteiltem Papier (Millimeterpapier).
Beispiel: Bestimmung der Federkonstante k einer idealen Schraubenfeder.
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
• Nicht streng lineare Abhängigkeiten
Mathematische Beschreibung: y hängt nicht-linear von x ab.
Graphische Darstellung auf linear geteiltem Papier (Millimeterpapier).
Beispiel: Brechungsindex n von Flussspat in Abhängigkeit der Wellenlänge λ.
• Exponentielle Abhängigkeiten
Mathematische Beschreibung: y ∼ ex .
Graphische Darstellung auf einfach logarithmisch geteiltem Papier.
Beispiel: Schwächung von Gamma-Strahlen.
• Abhängigkeiten nach einem Potenzgesetz
Mathematische Beschreibung: y ∼ xn .
Graphische Darstellung auf doppelt logarithmisch geteiltem Papier.
Beispiel: Planeten im Sonnensystem (3. Keplersches Gesetz).
4
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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1.1 Streng lineare Abhängigkeiten
Lineare Abhängigkeiten werden durch die Gleichung einer Geraden
y = mx + a
dargestellt, mit der Steigung m der Geraden und dem Ordinatenabschnitt a.
Man trägt auf linear geteiltem Papier, i. Allg. Millimeterpapier, die gemessenen Wertepaare
(xi /yi ) gegeneinander auf und legt durch die Messpunkte eine beste Gerade.
Die Steigung einer Geraden erhält man aus einem Steigungsdreieck
Δy
(als Quotient aus Gegenkathete und Ankathete).
m = tan α =
Δx
• Die Steigung ist nicht der mit dem Winkelmesser gemessene Winkel.
• Die Steigung ändert sich bei einer Maßstabsänderung nicht, denn dabei bleibt das
Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete erhalten.
• Die SI-Einheiten sind Teil einer Messgröße – sie sind für die Bestimmung der Steigung
zu berücksichtigen.
1.1.1 Bestimmung der Federkonstante k einer Schraubenfeder
Zur Bestimmung der Federkonstante k einer Schraubenfeder hängt man einen Körper bekannter Masse M an eine vertikal aufgehängte Feder und misst die sich dadurch einstellende
Verlängerung x der Feder aus ihrer statischen Ruhelage x = 0.
Man erwartet nach dem Hookeschen Gesetz einen linearen Zusammenhang zwischen wirkender Kraft Fext und Auslenkung x der Feder gemäß
Fext = kx.
Die Ergebnisse einer Messung aus dem physikalischen Praktikum sind im Diagramm 1 aufgetragen. Eine beste Gerade ist eingezeichnet. Die Steigung der sich ergebenden Geraden ist
gleich der Federkonstante k der Feder.
Hinweise zu einer zweckmäßigen – arbeitssparenden – Vorgehensweise:
(1) Im Versuch wird ein Körper der Masse M an die Feder gehängt und die Auslenkung
der Feder x bestimmt, also die Auslenkung in Abhängigkeit von der Gewichtskraft auf
die angehängte Masse gemessen. Das Hookesche Gesetz verknüpft aber die äußere
Kraft (Gewichtskraft) als Ordinate mit der Auslenkung x als Abszisse. Darauf passt
man zweckmäßigerweise die graphische Darstellung an, denn dann ist die Steigung der
Geraden mG identisch mit der Federkonstante k.
(2) Die äußere Kraft zur Dehnung der Feder ist die Gewichtskraft FG = M g. Die Masse
des angehängten Körpers ist proportional zur Gewichtskraft, deshalb trägt man auf
der Ordinate zweckmäßigerweise die Massen auf und führt die Fallbeschleunigung zur
Umrechnung auf die Kraftwirkung erst am Ende ein.
Zur Bestimmung der Steigung dieser Geraden wählt man zweckmäßigerweise ein möglichst
großes Steigungsdreieck. Mit der Wahl
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
Punkt ‘2’:
Punkt ‘1’:
M2 = 1,450 kg
M1 = 0 kg
bzw.
bzw.
6
F2 = 1,450 kg · 9,81 m s−2
F1 = 0
x2 = 0,460 m
x1 = 0 m
ergibt sich für die Steigung mit der Zwei-Punkte-Formel zu
F2 − F1
(M2 − M1 )g
1,450 kg · 9,81 m s−2
= 30,9 N m−1 .
=
=
x2 − x1
x2 − x1
0,460 m
Die Steigung der Geraden ist nach der Beziehung Fext = kx gleich der Federkonstanten der
untersuchten Feder, also lautet das Ergebnis
mG =
k = 30,9 N m−1 .
Das Einbeziehen der SI-Einheiten liefert bei der Bestimmung der Gleichung automatisch die
abgeleitete SI-Einheit für die Federkonstante mit.
Eine ausführlichere Darstellung der ‘Bestimmung der Federkonstante k einer Schraubenfeder ’ mit aufgenommenen Messwerten und Details zur Auswertung findet sich unter den
Beispielen zu ‘Lineare Abhängigkeiten’.
Diagramm 1: Angehängte Masse M gegen die Auslenkung x aus der Ruhelage
M
g
×
1400
1200
1000
800
600
400
Federkonstante einer
Schraubenfeder
200
Wertepaare:
M2 = 1450 g;
M1 = 0 g;
0 ×
100
200
300
x2 = 460 mm
x1 = 0 mm
400
500
x
mm
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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1.2 Nicht streng lineare Abhängigkeiten
Messgrößen hängen zumeist nicht streng linear von einer zweiten unabhängigen Größe (z. B.
der Temperatur) ab. Im Allgemeinen ist für eine graphische Darstellung weiterhin Millimeterpapier geeignet. Durch die aufgetragenen Messwerte legt man eine Ausgleichskurve. Diese
Art der Darstellung erlaubt
• Zwischenwerte im Diagramm abzulesen,
• Änderungskoeffizienten als Tangentensteigung an die Messkurve zu bestimmen.
1.2.1 Brechungsindex n von Flussspat in Abhängigkeit der Wellenlänge λ
Tabellenwerte für den Brechungsindex n von Flussspat (CaF2 ) sind im Wellenlängenbereich
190 nm ≤ λ ≤ 700 nm in Diagramm 2 aufgetragen.
Diagramm 2: Brechzahl n in Abhängigkeit von der Wellenlänge des Lichts λ
n
1,51
Brechzahl von Flussspat
1,50
Wertepaare:
n2 = 1,4690;
n1 = 1,4235;
1,49
λ2 = 200 mm
λ1 = 500 mm
1,48
1,47
×
1,46
×
1,45
n(λ = 325 nm) = 1,450
1,44
1,43
×
1,42
100
200
300
400
500
600
700
800
λ
mm
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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Ablesen eines Zwischenwerts n325 für die Wellenlänge λ = 325 nm:
Brechungsindex: n(λ = 325 nm) = 1,450.
dn
für diese Wellenlänge:
dλ
Man legt an die n(λ)-Kurve bei λ = 325 nm eine Tangente, deren Steigung dem Koeffizienten
dn
entspricht. Auf der Tangente legt man zwei Punkte fest und bestimmt daraus mit der
dλ
Zwei-Punkte-Formel ihre Steigung.
Bestimmung des Koeffizienten
Punkt ‘2’:
Punkt ‘1’:
λ2 = 200 nm
λ1 = 500 nm
n2 = 1,4690
n1 = 1,4235
Daraus erhält man die Steigung
n2 − n1
0,0455
Δn
1,4690 − 1,4235
=
=−
= −1,52 · 10−4 (nm)−1 .
mG =
=
Δλ
λ2 − λ1
(200 − 500) nm
300 nm
Eine ausführlichere Darstellung des ‘Brechungsindex n von Flussspat in Abhängigkeit der
Wellenlänge λ’ mit aufgenommenen Messwerten und Details zur Auswertung findet sich
unter den Beispielen zu ‘Lineare Abhängigkeiten’.
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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1.3 Exponentielle Abhängigkeiten
Exponentielle Abhängigkeiten werden durch eine Exponentialfunktion beschrieben, also
y = y0 eax .
Die physikalischen Größen y und y0 haben notwendigerweise die gleichen SI-Einheiten. Die
e-Funktion ist frei von Einheiten. Deshalb hat im Exponent die Größe a die reziproke Einheit
der Messgröße x.
Die graphische Darstellung der Messwerte einer exponentiellen Beziehung auf einfach logarithmisch geteiltem Papier ergibt eine Gerade, deren Steigung einfach bestimmt werden
kann. Begründung:
Die obige Beziehung umgeschrieben ergibt
y
= eax .
y0
Logarithmieren dieser Beziehung liefert
y
ln
= ln eax = ax.
y0
Trägt man also ln yy0i gegen xi auf, so entspricht dies der Gleichung einer Geraden, deren
Steigung mG gleich dem Koeffizienten a der exponentiellen Beziehung ist.
Ein Logarithmus ist für einen reinen Zahlenwert – also eine dimensionslose Größe – definiert. Deshalb steht in der Gleichung der Geraden eine dimensionslose, normierte Größe. Im
vorliegenden Beispiel wird dies erreicht durch Division mit dem Vorfaktor y0 der Exponentialfunktion. Damit ist yy0i frei von physikalischen Einheiten und als dimensionslose Größe
ein reiner Zahlenwert.
Um den Rechenaufwand zu reduzieren, also sämtliche gemessenen yi -Wert durch y0 zu dividieren, formt man die Gleichung der Geraden – mit den Regeln der Logarithmenrechnung
– um und erhält
yi
ln
= ln yi − ln y0 = axi bzw. ln yi = axi + ln y0 .
y0
Auf der rechten Seite der Gleichung erscheint mit ln y0 ein Zusatzterm. Dieser verschiebt die
Gerade parallel in y-Richtung, aber an der Steigung der Geraden mG = a hat sich nichts
geändert. Deshalb trägt man vereinfachend und arbeitssparend die Messergebnisse yi (unter
Unterschlagung der Einheit) logarithmisch gegen xi (mit Einheiten) auf.
Darstellungsmöglichkeit 1
Man berechnet (mit dem Taschenrechner) den natürlichen Logarithmus der Messwerte yi und
trägt diese Werte linear gegen die xi -Werte auf, legt eine beste Gerade durch die Messwerte
und bestimmt die Steigung dieser Geraden.
Darstellungsmöglichkeit 2
Man nutzt einfach logarithmisch geteiltes Papier und trägt den Numerus der Messwerte yi
gegen die xi -Werte auf. Die Teilung des Papiers ‘besorgt’ hierbei die Umrechnung auf die
Logarithmusfunktion.
Hinweis zur logarithmischen Teilung:
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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Nach den Regeln der Logarithmenrechnung ist
a
a
a
ln = ln a − ln b oder lg = lg a − lg b.
log = log a − log b oder
b
b
b
Das heißt aber, dass die Abstände auf der logarithmischen Skala für z. B. die folgenden
Verhältnisse gleich sind:
10
8
6
4
2
log
= log = log = log = log = log 2 − log 1 = log 2 = konst.
5
4
3
2
1
Für die Diagramme wird einfach logarithmisches Papier mit der Basis 10 verwendet. Die
Logarithmusfunktion zur Basis 10 ist proportional zu der zur Basis e. Deshalb beweist eine
Gerade eine exponentielle Abhängigkeit.
Bei der numerischen Berechnung der Steigung der Geraden ist allerdings der natürliche
Logarithmus (Basis e) zu nehmen.
1.3.1 Schwächung von Gamma-Strahlen
Die Intensität einer Gamma-Strahlenquelle (Barium-133) im Abstand L von der Quelle wird
als Zählrate (gemessen in ‘Impulsen pro Minute’ – ‘ipm’) in Abhängigkeit von der Dicke b
einer Bleiabschirmung gemessen. Die Messanordnung ist in folgender Abbildung dargestellt.
b
I0
I ∼R
Objekt
γ-Quelle
Absorber
L = 1m
Die Ergebnisse einer Messung der Zählraten bei Variation der Dicke b der Bleiabschirmung
sind in der Abbildung auf einfach logarithmisch geteiltem Papier aufgetragen.
Nach der oben beschriebenen Vorgehensweise sind die Messergebnisse – hier die Zählrate
(unter Unterschlagung der Einheit) – logarithmisch gegen die Dicke b der Bleiabschirmung
(mit Einheiten) aufgetragen. Eine beste Gerade ist eingezeichnet. Die Steigung mG dieser
Geraden ist gleich dem Schwächungskoeffizienten μ der exponentiellen Beziehung.
Nach der Theorie erwartet man für die Intensität I eine exponentielle Abhängigkeit von der
Dicke b der Bleiabschirmung gemäß
I = I0 e−µb .
Dabei ist μ der Schwächungskoeffizient des Abschirmmaterials Blei.
Aus dem eingezeichneten Steigungsdreieck bestimmt sich die Steigung mit der Zwei-PunkteFormel gemäß
ln R2 − ln R1
mG =
.
b2 − b1
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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Dazu sind zwei Wertepaare auf der Ausgleichsgeraden zu bestimmen, also z. B.:
Punkt ‘2’:
Punkt ‘1’:
R2 = 4 600 (ipm)
R1 = 48 (ipm)
b2 = 0 cm
b1 = 1,7 cm
Damit wird
mG =
8,43 − 3,87
ln 4 600 − ln 48
=−
= −2,68 cm−1 .
(0 − 1,7) cm
1,7 cm
Mit der Identität
mG = −μ = −2,68 cm−1
erhält man für den Schwächungskoeffizienten μ die positive Größe
μ = 2,68 cm−1 .
Diagramm 3: Zählrate R in Abhängigkeit von der Dicke b der Bleiabschirmung
R
10000
Schwächung
Strahlen
×
von
Gamma-
Wertepaare:
R2 = 4600 ipm;
R1 = 48 ipm;
1000
b2 = 0 cm
b1 = 1,7 cm
100
×
10
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
b
cm
Eine ausführlichere Darstellung zur ‘Schwächung von Gamma-Strahlen’ mit aufgenommenen
Messwerten und Details zur Auswertung findet sich unter den Beispielen zu ‘Exponentielle
Abhängigkeiten’.
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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1.4 Abhängigkeiten nach einem Potenzgesetz
Abhängigkeiten nach einem Potenzgesetz werden dargestellt durch eine Funktion der Form
y = Konst · xn .
Graphische Darstellung auf doppelt logarithmisch geteiltem Papier liefert eine Gerade. Begründung:
Logarithmieren der obigen Beziehung liefert
ln y = ln Konst + n · ln x.
Trägt man also ln y gegen ln x auf, so erhält man die Gleichung einer Geraden, deren Steigung
mG gleich dem Exponent n des Potenzgesetzes ist.
Im Diagramm wird doppelt logarithmisches Papier mit der Basis 10 verwendet. Die Logarithmusfunktion zur Basis 10 ist proportional zu derjenigen zur Basis e. Die Steigung muss
deshalb nicht umgerechnet werden.
1.4.1 Planeten im Sonnensystem (3. Keplersches Gesetz)
Dies sind zwar keine Daten aus dem Physik-Praktikum, sie dienen jedoch der Allgemeinbildung.
Das 3. Keplersches Gesetz wurde von Johannes Kepler 1619 in ‘Harmonices mundi’
(‘Harmonie der Welt’) veröffentlicht.
Die Quadrate der Umlaufzeiten TP zweier Planeten (unseres Sonnensystems)
verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen RP .
Also gilt die Proportionalität
3
∼ TP2 .
RP
Die mathematische Behandlung liefert die Proportionalitätskonstante
3
MS
RP
= G 2 = konst.,
TP2
4π
mit
MS
Masse des Zentralgestirns (für unser Planetensystem ist das die Sonne),
G
universelle Gravitationskonstante (experimentell bestimmt).
• Die Konstante des 3. Keplerschen Gesetzes ist unabhängig von der Masse mP eines
umlaufenden Planeten (oder Satelliten). Es geht nur die Masse MS des Zentralgestirns
(für unser Planetensystem das der Sonne) ein. Die Konstante ist für sämtliche Planeten eines Sonnensystems oder sämtliche Monde eines individuellen Planeten mitsamt
möglicher künstlicher Satelliten die gleiche.
• Die Umlaufdauer hängt eindeutig vom Bahnradius ab. Bahnradius und Umlaufdauer
sind einander eindeutig zugeordnet. Die Umlaufgeschwindigkeit ist eine Funktion des
Bahnradius:
vP = vP (RP ).
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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Zwei Satelliten auf der gleichen Umlaufbahn können sich auf dieser Bahn nie einholen (Bahnradius und Umlaufdauer liefern die gleiche Bahngeschwindigkeit!).
Das vom Autoverkehr gewohnte Prinzip ‘Gas geben’ muss versagen. Zu Koppelmanövern
von Raumstationen muss notwendigerweise die Bahn verlassen werden.
Die Masse MS der Sonne bestimmt sich aus den astronomischen Beobachtungen des Bahnradius und der Umlaufzeit eines ihrer Planeten.
Aus den Daten für den Planeten ‘Erde’
Erdbahnradius
RSE = 150 · 106 km,
Umlaufdauer
TE = 1 y = 3,15 · 107 s
erhält man für die Masse der Sonne
MS =
3
3
4π 2 RE
4π 2
(1,50 · 1011 m)
=
G TE2
6,67 · 10−11 m3 kg−1 s−2 · (3,15 · 107 s)2
= 2,0 · 1030 kg
und für das Verhältnis der Sonnenmasse zur Erdmasse
MS
2,0 · 1030 kg
≈ 3 · 105 .
≈
ME
6,0 · 1024 kg
Der Masse der Sonne (MS ) entsprechen etwa 3 · 105 Erdmassen (ME ).
In der Abbildung sind die Daten für die Planeten unseres Sonnensystems auf doppelt logarithmischem Papier aufgetragen.
Einem Bahnradius (genauer große Bahnhalbachse) ist eindeutig eine Umlaufdauer zugeordnet. Die Wahl einer ‘abhängigen’ und einer ‘unabhängigen’ Variablen ist willkürlich.
Wie es das 3. Keplersche Gesetz verlangt, ergibt sich in dieser Darstellung eine Gerade,
aus deren Steigung die Masse des Zentralgestirns – also der Sonne – bestimmt werden kann
(vgl. Diagramm 4).
Graphische Darstellungen und Auswertung von Messergebnissen
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Diagramm 4: Bahnradius a (genauer große Bahnhalbachse in 1010 m) in Abhängigkeit der
Umlaufdauer T (in 106 s)
a
1000
Neptun
Uranus
Saturn
100
Jupiter
2
Mars
Erde
Venus
10
Merkur
3
T
1
10
100
1000
10000
Anmerkung: Pluto ist nach Beschluss der Internationale Astronomische Union (IAU) von
der Liste der Planeten gestrichen.
Pluto ist ein Zwergplanet und das prominenteste Objekt des Kuipergürtels. Er ist etwas
kleiner als der Erdmond und bewegt sich auf einer stark elliptischen Bahn um die Sonne.
Von seiner Entdeckung 1930 bis zur Neufassung des Begriffs Planet am 24. August 2006
durch die IAU galt er als der neunte und äußerste Planet des Sonnensystems.