Elementarteilchenphysik

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Elementarteilchenphysik
Notizen zur Vorlesung ES 2002/2003
12. Juni 2003 582
TEIL I: KAPITEL 1-5
Autoren: V. Blobel, A. Meyer, B. Naroska
Institut für Experimentalphysik
Universität Hamburg
WS 2002/03
ii
Physikalische Konstanten1
a
b
c
d
e
f
g
h
j
Größe
Lichtgeschwindigkeit im Vakuuma
Plancksche Konstante
Plancksche Konstante, reduziert
Symbol, Gleichung
c
h
h̄
Elementarladung
e
Umrechnungsfaktor
Umrechnungsfaktor
Elektronenmasse
h̄c
(h̄c)2
me
Protonmasse
mp
Deuteronmasse
Atomare Masseneinheitb
md
(1g)/(NA Mol)
permittivity of free spacec
permeability of free spacec
ε0
µ0
Feinstrukturkonstanted
Klassischer Elektronenradius
Comptonwellenlänge des Elektrons
Bohrscher Radiuse
Wellenlänge eines 1 eV-Teilchens
Rydberg-Energiee
Thomson-Wirkungsquerschnitt
Bohrsches Magneton
Kernmagneton
Zyklotronfrequenz/Feld (Elektron)
Zyklotronfrequenz/Feld (Proton)
Gravitationskonstantef
α = e2 /4πε0 h̄c
re = e2 /4πε0 me c2
λe /2π = h̄/me c = re α−1
a∞ = re α−2
hc/e
hcR∞ = me c2 α2 /2
σT = 8πre2 /3
µB = eh̄/2me
µN = eh̄/2mp
e
/B = e/me
ωcycl
p
ωcycl
/B = e/me
GN
Standard-Gravitationsbeschleunigungg
Avogadrosche Zahl
Boltzmann-Konstante
g
NA
k
Molarvolumenh
Wiensche Konstante
Stefan-Boltzmann-Konstante
Fermi Kopplungskonstante
Schwacher Mischungswinkel
W ± Bosonenmasse
Z 0 Bosonenmasse
Kopplungskonst. der starken WW
NA k(273.15)/101325Pa)
b = λTmax
σ = π 2 k 4 /60h̄3 c2
GF /(h̄c)3
sin2 ϑ(MZ )
mW
mZ
αs (MZ )
Wert
299 792 458 m s−1
6.6260755(40) × 10−34 J s
1.05457266(63) × 10−34 J s
6.5821220(20) × 10−22 MeV s
1.60217733(49) × 10−19 C
4.8032068(15) × 10−10 esu
197.327053(59) MeV fm
0.38937966(23) GeV2 mbarn
0.51099906(15) MeV/c2
9.1093897(54) × 10−31 kg
938.27231(28) MeV/c2
1.6726231(10) × 10−27 kg
1.007276470(12) u
1836.152701(37) me
1875.61339(57) MeV/c2
931.49432(28) MeV/c2
931.49432(28) MeV c2
1.6605402(10) × 10−27 kg
8.854187817 . . . × 10−12 F m−1
4π × 10−7 N A−2
12.566370614 . . . × 10−7 N A−2
1/137.0359895(61)
2.81794092(38) × 10−15 m
3.86159323(35) × 10−13 m
0.529177249(24) × 10−10 m
1.23984244(37) × 10−6 m
13.6056981(40) eV
0.66524616(18) barn
5.78838263(52) × 10−11 MeV T−1
3.15245166(28) × 10−14 MeV T−1
1.75881962(53) × 1011 rad s−1 T−1
9.5788309(29) × 107 rad s−1 T−1
6.67259(85) × 10−11 m3 kg−1 s−2
6.70711(86) × 10−39 h̄c(Gev/c 2 )−2
9.80665 m s−2
6.0221367(36) × 1023 mol−1
1.380658(12) × 10−23 JK−1
8.617385(73) × 10−5 eV K−1
22.41410(19) × 10−3 m3 mol−1
2.897756(24) × 10−3 m K
5.67051(19) × 10−8 W m−2 K−4
1.16639(1) × 10−5 GeV−2
0.23124(24)
80.41(10) GeV/c2
91.187(7) GeV/c2
0.119(2)
Exakt. Das Meter ist die Strecke, die Licht im Vakuum im 1/299792458 Teil einer Sekunde zurücklegt.
Masse des 12 C-Atoms/12.
Exakt. ε0 µ0 = 1/c2 .
Bei Q2 = 0. Bei Q2 ≈ m2W ist der Wert etwa 1/128.
Kernmasse ∞ angenommen.
Absolute Messungen von GN im Labor gibt es nur bei Entfernungen 10−1±1 m.
Exakt. Auf Meereshöhe.
Ideales Gas bei STP.
Im M S Schema.
1
Grundlage ist ”1986 Adjustment of the Fundamental Physical Constants” by E.R. Cohen and B.N. Taylor,
Rev. Mod. Phys. 59, 1121 (1987). Der gesamte Satz der 1986 Konstanten (und eventueller neuer Werte) ist zu
finden unter http://physics.nist.gov/cuu. Die letzte Gruppe von Konstanten stammt aus der Review of Particle
Physics, The European Physical Journal C, 1998.
Inhaltsverzeichnis
LITERATUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Einführung
1.1 Die Teilchen des Standardmodells . . . . . .
1.1.1 Elektron . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Photon . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Antiteilchen; Positron e+ . . . . . . .
1.1.4 Elektron-Neutrino und Antineutrino
1.1.5 Weitere Leptonenfamilien . . . . . .
1.1.6 Hadronen, Quarks . . . . . . . . . .
1.1.7 Baryonenzahl . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme
1.2.1 Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite
1.2.2 Das Yukawa Potential . . . . . . . .
1.3 Relativistische Wellengleichungen . . . . . .
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2 Relativistische Kinematik
2.1 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Energie und Impuls . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Einheiten und Dimensionen . . . . . . . . . . .
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kinematik von Teilchenreaktionen . . . . . . . .
2.2.2 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
2.3.1 Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt . . . . . .
2.3.3 Teilchenzerfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Teilchenbeschleuniger
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen . . . . . . .
3.3 Beschleunigung und Synchrotronschwingungen . . .
3.4 Synchrotronstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Strahlungsdämpfung und Quantenanregung.
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3
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4
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7
7
7
8
10
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13
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43
43
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51
iv
INHALTSVERZEICHNIS
3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger . .
3.5.1 Kreisförmige und lineare Collider
3.6 Kosmische Beschleuniger . . . . . . . . .
3.7 Einige Beschleunigeranlagen . . . . . . .
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4 Erhaltungssätze und Symmetrien
4.1 Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Räumliche Translation und Impulserhaltung . . . . . . .
4.2 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Spin-Statistik-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Interim: Entdeckung der Seltsamkeit . . . . . . . . . . .
4.3.2 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Isospin und das π-N -System . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Diskrete Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Parität von Drehimpulszuständen . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Parität von Fermionen und Antifermionen . . . . . . . .
4.5.3 Das elektromagnetische Feld und Photonen . . . . . . . .
4.5.4 Die Eigenparität des π − . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5 Quarkmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung . . . . . .
4.7 Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 C-Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Experimentelle Tests der C-Invarianz . . . . . . . . . . .
4.7.3 Verletzung der C-Invarianz in schwacher Wechselwirkung
4.7.4 G-Parität∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen . . . . . . . .
4.8.1 CP -Eigenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Oszillationen der Seltsamkeit . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3 K 0 -Regeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 CP -Verletzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Zeitumkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Das CP T -Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Zusammenfassung und Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . .
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5 Teilchennachweis und Detektoren
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Wechselwirkung schwerer geladener Teilchen: IONISATION
Eigenschaften der Bethe–Bloch Formel . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Vielfachstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Čerenkovstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Energieverlust von Elektronen: Bremsstrahlung . . . . . . .
5.1.5 Wechselwirkung von Photonen mit Materie . . . . . . . . . .
5.1.6 Starke Wechselwirkung von Teilchen mit Materie . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen . . . . . . . . . .
5.2.1 Impulsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Szintillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Blasenkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Proportional- und Driftkammern . . . . . . . .
5.2.5 Halbleiterdetektoren/Mikro-Vertexdetektoren .
5.3 Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Elektromagnetische Kalorimeter (Schauerzähler)
5.3.2 Hadronische Kalorimeter . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Ein Speicherringdetektor . . . . . . . . . . . . .
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114
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115
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6 Feynmandiagramme und Test der QED
6.1 Teilchen-Antiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Elementare Prozesse und Feynman-Graphen in der QED . . . . .
6.3 Einige Reaktionen und Tests der QED . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Feynmanregeln und Berechnung von σ (e+ e− → µ+ µ− ) .
6.3.2 Der Bosonpropagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Test der QED: anomales magnetisches Moment des Myons
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7 Quarks und Hadronen
7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Die Entdeckung der schweren Quarks . . . . . . . . . . . .
7.3 Die leichten Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Die leichten Mesonen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Die leichten Baryonen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Massenaufspaltung der Baryonen Supermultipletts.
7.4 Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Farbladungen und Confinement . . . . . . . . . . .
7.5 Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 e+ e− →Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Hadronisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Entdeckung der Gluonen . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.4 Spin des Gluons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Die “laufende” starke Kopplung αs . . . . . . . . . . . . .
7.7 Nochmal: Zerfall des J/ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Tiefunelastische Streuung: Struktur des Nukleons
8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Elastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Elastische Streuung an Punktladungen . . . . .
8.2.2 Elastische Streuung an einer Ladungsverteilung
8.2.3 Elastische Elektron Proton Streuung . . . . . .
8.3 Unelastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Kinematik von unelastischer Streuung . . . . .
8.3.2 Quark Parton Modell . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Quarkverteilungen im Nukleon . . . . . . . . . .
8.3.4 Quarkladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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vi
INHALTSVERZEICHNIS
8.3.5 Quarkimpulssummen . . . . . . . . . .
8.4 Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Strukturfunktion F2 (x, Q2 ) bei HERA
8.4.2 QCD-Dynamik . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 QCD-Konsistenztests . . . . . . . . . .
8.5 Die Suche nach Quarksubstruktur . . . . . . .
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9 Schwache Wechselwirkungen
9.1 Zerfall des Pions und Struktur der schwachen Wechselwirkung . . . . . . .
9.2 Neutrinostrahlen und Entdeckung der neutralen schwachen Wechselwirkung
9.3 Universalität der schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Leptonuniversalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Fermi-Kopplungskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Schwache Wechselwirkung von Quarks . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Die Z 0 und W ± Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Entdeckung der Z 0 und W ± Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Paritätsverletzung beim W Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Präzisionsvermessung des W Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.4 Z 0 Produktion an e+ e− Speicherringen . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.5 Anzahl der Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Mischung von 3 Familien: CP Verletzung und Top Quark . . . . . . . . . .
9.5.1 Entdeckung des Top Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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215
10 Neutrinophysik
10.1 Neutrino Entdeckung und Nachweis . . . . . .
10.2 Bestimmung der Neutrinomasse . . . . . . . .
10.3 Neutrino mass and oscillations . . . . . . . . .
10.3.1 Dirac and Majorana mass . . . . . . .
10.3.2 Neutrino oscillations (Zeitentwicklung)
10.4 Experimente zu Neutrino Oszillationen . . . .
10.5 Neutrinos von der Sonne . . . . . . . . . . . .
Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Sudbury Neutrino Observatory (SNO)
10.6 Atmosphärische Neutrinos . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
LITERATUR
Als begleitendes Buch zur Vorlesung geeignet:
Martin + Shaw
“Particle Physics”
Verlag: John Wiley & Sons (2nd edition 1997)
Mein Kommentar: Ausgezeichnete Einführung, enthält alle Themen, auch moderne, allerdings
ist die Behandlung etwas oberflächlich.
David Griffiths
“Einführung in die Elementarteilchenphysik”
Deutsche Ausgabe vergriffen
Harper and Row Publishers, 1987 (englisch)
Mein Kommentar: Exzellente etwas theoretisch orientierte Einführung. Moderne Entwicklungen
nicht enthalten.
Die beiden folgenden Bücher gehören zusammen und man braucht beide.
E. Lohrmann
“Einführung in die Elementarteilchenphysik”
Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 2. Auflage 1990
E. Lohrmann
“Hochenergiephysik”
Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 4. Auflage 1992
Mein Kommentar: Ausgezeichnete Bücher, enthalten alles, was man braucht (und vieles mehr!!!!).
Die Erklärungen sind äußerst knapp gehalten.
Auch geeignet:
D.H. Perkins
“Introduction to High Energy Physics”
Verlag: Addison–Wesley, 4th edition, 2000
Mein Kommentar: Generationen haben damit gearbeitet. 4. Auflage enthält alle modernen
Entwicklungen. Teilweise viele Worte und wenig Rechnung. Deutsche Ausgabe von 3. Auflage
mit einigen Fehlern.
vii
viii
INHALTSVERZEICHNIS
C. Berger
“Teilchenphysik”
Verlag: Springer 2001, 2. Auflage brandneu.
Mein Kommentar: Sehr schönes Buch, ein etwas anderer Zugang als in Hamburg üblich.
Ferner (nicht als alleinige Literatur geeignet):
K. Bethge + U.E. Schröder
“Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen”
Verlag: Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 2. überarbeitete Auflage 1991
B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche
“Teilchen und Kerne”
Verlag Springer, 5. Auflage 1999, eher Denkweise der Kernphysik
I.S. Hughes
“Elementary Particles”
Verlag: Cambridge University Press, 3. Auflage 1991
Mein Kommentar: Viel ausführlicher als Lohrmann, enthalten vieles, was man braucht. Starke
Betonung des hadronischen Sektors.
Weiterführende Literatur (theoretisch)
F. Halzen, A.D. Martin
Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics
John Wiley & Sons
O. Nachtmann
Elementarteilchenphysik; Phänomene und Konzepte
F. Vieweg & Sohn
Spezielle Bücher für apparative Kapitel
R. Fernow
Introduction to experimental particle physics
Cambridge University Press
K. Kleinknecht
Detektoren für Teilchenstrahlung
Teubner Studienbücher
W.R. Leo
Particle Physics Experiments
Springer Verlag 1987
Kapitel 1
Einführung
Die Elementarteilchenphysik beschäftigt sich – wie der Name sagt– mit den “elementaren”
oder auch fundamentalen Bausteinen der Natur. Allgemein versteht man darunter Teilchen, die
nicht weiter zusammengesetzt sind. Im Laufe der Zeit hat sich mit verbesserten Experimenten
der Begriff und seine Anwendung geändert. Im 19. Jahrhundert während der Entwicklung des
periodischen Systems der Elemente, hielt man die Atome sicher für die fundamentalen Teilchen,
später ihre Bausteine.
Die ersten fundamentalen Teilchen, die entdeckt wurden, und die wir heute immer noch als solche akzeptieren, waren das Elektron und das Photon. Die anderen Teilchen, die das Atom bilden,
Protonen und Neutronen im Atomkern, sind nicht elementar. Sie bestehen heutiger Kenntnis
nach aus Quarks. Ob Quarks weiter teilbar sind oder nicht, weiss man nicht. Man weiss, daß
sie Ausdehnungen weniger als 10−18 m haben, wie alle heute bekannten Elementarteilchen. Die
Suche nach Substruktur geht weiter.
Wie geht man in der Teilchenphysik vor, um Erkenntnisse zu gewinnen? Das ist eine schwierige
Sache, weil man viele der Teilchen mit herkömmlichen Methoden gar nicht “sehen” kann. Man
muß Geräte bauen, die einem Information liefern: das sind heute (noch) zumeist Beschleuniger
und Speicherringe, in denen man durch Kollisionen bei den höchsten erreichbaren Energien
versucht, die Struktur der Teilchen zu verstehen. Hand in Hand damit geht ein Verständnis der
Kräfte, die zwischen den Teilchen wirken.
In der Teilchenphysik pflegt man nicht von Kräften zu sprechen, sondern von Wechselwirkungen.
Es ist aber dasselbe gemeint. Der Ausdruck “Wechselwirkung” wird bevorzugt, weil er sich
z.B. leichter auf Zerfälle anwenden läßt: man sagt, ein Teilchen zerfällt über die schwache
Wechselwirkung.
Die Wechselwirkungen, die in der Teilchenphysik wichtig sind, sind:
• Elektromagnetische Wechselwirkung
• Schwache Wechselwirkung
• Starke Wechselwirkung
Es gibt eine weitere Wechselwirkung, die Gravitationswechselwirkung. Diese ist jedoch in der
Praxis der Teilchenphysik so klein, daß man sie vernachlässigen kann. Vermutlich ist sie aber
prinzipiell sehr wichtig: heutzutage ist man der Meinung, daß man die Masse der Teilchen nur
verstehen kann, falls man die Gravitation in die Beschreibung der Wechselwirkungen einbezieht
(Superstringtheorie, Supergravitation).
Eine erstaunliche Tatsache ist eben angeklungen: man hat trotz vieler Jahrzehnte Experimentieren und theoretischer Untersuchungen kein Verständnis der Masse der Elementarteilchen.
2
Einführung
Der vielzitierte Higgsmechanismus würde das nicht wesentlich ändern: er würde sagen, wie die
Teilchen ihre Masse bekommen, aber nicht, wie groß dieselbe ist. Der Wert der Masse ist dann
immer noch ein freier Parameter.
Wechselwirkung wird in der Teilchenphysik durch den Austausch von Teilchen beschrieben: Es
sind die elementaren Bosonen, Teilchen mit Spin 1, die die Wechselwirkung vermitteln. Das
Konzept des Teilchenaustauschs ist zunächst fremd. Man muß sich aber klar machen, daß man
z.B. in einem Streuexperiment nur die Wirkung dieser Wechselwirkung sieht:
Nehmen wir an, Teilchen A treffe auf Teilchen B. Nach der Kollision sind Energie und Impuls
geändert. Falls Teilchen B in Ruhe ist, kann ich versuchen die Änderung durch ein geeignetes
Potential zu beschreiben, wie z.B. bei der Streuung geladener Teilchen im Coulombfeld eines
Atomkerns, wo man dann die wohlbekannte Formel für Rutherfordstreuung erhält.
Dieses Bild ist nicht Lorentz-invariant. I.a. sind beide Teilchen, A und B, mit relativistischen
Geschwindigkeiten bewegt. Weiterhin können Teilchen zerfallen: A → A1 + A2 , z.B. π → µ ν
oder n → p e− ν. Man muß sich noch einmal klarmachen, daß bei einem Zerfall neue Teilchen
entstehen können: das Elektron ist nicht im Neutron enthalten.
Es stellt sich heraus, daß man eine konsistente Beschreibung erhält, wenn man Wechselwirkung
zwischen Elementarteilchen durch Teilchenaustausch beschreibt. Austauschteilchen sind:
Wechselwirkung
Elektromagnetische
Schwache
Starke
Austauschteilchen
γ
W +, W −, Z 0
g
Name
Masse [GeV/c2 ]
Photon
0
Intermediäre Bosonen
80,80,91
(8) Gluonen
0
Beispiele:
Elektromagnetische Wechselwirkung wird vermittelt durch Photonenaustausch, z.B. e lastische
Streuung eines Elektrons an einem Proton wird symbolisch durch folgendes Diagramm (Feynmandiagramm) 1.1 versnschaulicht:
Zeit
6
e−
p
γ
e
e−
e
p
Abbildung 1.1: Feynmandiagramm für die Streuung eines Elektrons an einem Proton. Dargestellt ist elektromagnetische Wechselwirkung mit Austausch eines Photons. Die Kopplungsstärke des Photons an die Teilchen ist durch den Betrag deren elektrischer Ladung gegeben.
Schwache Wechselwirkung, Austausch eines W ± im Zerfall eines Neutrons: n → p e− ν ist in
Abb. 1.2 skizziert.
Starke Wechselwirkung, Gluonenaustausch zwischen Quarks: Quarks im Proton werden durch
Gluonenaustausch zusammengehalten.
1.1 Die Teilchen des Standardmodells
e−
Zeit
6
3
νe
p
W±
n
Abbildung 1.2: Zerfall eines Neutrons über W-Austausch.
Anmerkung: Die Kernkraft, die zwischen Neutronen und Protonen wirkt, wird in der Kernphysik auch als starke Wechselwirkung bezeichnet. Man versteht sie heute als Restkraft der
starken Kraft zwischen Quarks (wie man van-der-Waals Kräfte als Reste elektromagnetischer
Kräfte auffassen kann).
Die Eigenschaften der Reaktionen zwischen Elementarteilchen kann man zum großen Teil auf
die Eigenschaften der Austauschteilchen zurückführen, wie z.B. auf die Masse der Austauschteilchen. Wir werden bald sehen, wie diese mit der Reichweite zusammenhängt.
Das Teilchenaustauschbild wird uns sehr bald sehr geläufig sein!
Elementarteilchenphysik beschäftigt sich also mit den fundamentalen Teilchen und den Wechselwirkungen zwischen ihnen. Das Ziel ist, die Beobachtungen nicht nur zu verstehen, sondern
auch in mathematischen Gesetzen – Theorien – zu fassen. Diese Gesetze sollten möglichst
Vorhersagen machen können für weitere Beobachtungen. Diese sollten nachprüfbar sein. Nach
Prüfung muß möglicherweise die Theorie geändert oder erweitert werden. Dann gibt es neue
Vorhersagen, usw.
Der heutige Stand des Wissens über Elementarteilchen ist in einer Theorie zusammengefaßt,
die bescheiden das Standard Modell der Teilchenphysik genannt wird. Auch die Kosmologie
hat ein Standard Modell, die Sonne wird ebenfalls durch ein Standard Modell beschrieben.
Das Standard Modell ist der Maßstab, an dem man die Beobachtungen sozusagen mißt. Aus
vielerlei Gründen ist man überzeugt, daß dieses Standard Modell der Teilchenphysik nicht die
letzte Wahrheit ist. Es ist aber schon eine gute Näherung. Die Experimente, die eine Abweichung
suchen, laufen auf der ganzen Welt auf Hochdruck. Sie sind möglicherweise Zeugen der ersten
Anzeichen, daß es tatsächlich bröckelt: darauf kommen wir gegen Ende der Vorlesung zurück.
1.1
Die Teilchen des Standardmodells
1.1.1
Elektron
1874 George J. Stoney und Herrmann v. Helmholtz: atomare Struktur der Elektrizität aus der
Interpretation der Elektrolyse
1897 Joseph J. Thompson: Entdeckung des Elektrons
Das Experiment von J.J. Thompson hat bereits viele Aspekte typischer Experimente der Teilchenphysik: geladene Teilchen werden in einem (longitudinalen) elektrischen Feld beschleunigt,
4
Einführung
die Bestimmung der Geschwindigkeit v bzw. von q/m erfolgt durch Ablenkung in elektrischen
und magnetischen Feldern, und eine Ortsbestimmung erfolgt durch einen Fluoreszenzschirm.
1.1.2
Photon
1900 Max Planck: Strahlung des schwarzen Körpers → Emission und Absorption sind quantisiert.
1905 Albert Einstein: Erklärung des photoelektrischen Effekts (maximale kinetische Energie
von Elektronen ist unabhängig von der Intensität der Strahlung) → elektromagnetisches
Feld ist quantisiert.
1922 Arthur H. Compton: Korpuskelcharakter des Photons.
∆λ = 2λC · (1 − cos ϑ) = 2λC · sin2
mit λC =
h
= 2.4262 × 10−12 m
me · c
ϑ
2
(1.1)
(1.2)
λC ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons.
1.1.3
Antiteilchen; Positron e+
1927 Paul A. M. Dirac: Dirac-Gleichung
Dirac versuchte, eine Wellengleichung zur Beschreibung eines relativistischen Elektrons auf2
2
2
2 4
zustellen. Dabei
p gibt es entsprechend der relativistischen Energieformel E = p · c = me c
gemäß E = ± p2 c2 + m2e c4 Lösungen, die Zustände negativer Energie darstellen. Dies stellte ein Problem dar: Elektronen würden unter Abstrahlung von Energie in Zustände negativer
Energie übergehen. Ein Erklärungsversuch war, daß im Vakuum die Zustände negativer Energie
mit Elektronen gefüllt sind (sie bilden den sogenannten Diracsee); ein fehlendes Elektron mit
Energie Ee− < 0 entspricht dann einem Positron e+ mit Energie Ee+ > 0.
1931 C. D. Anderson: Nebelkammerbild mit ”positivem” Elektron.
Die heutige Interpretation der Zustände negativer Energie wurde von Feynman und Stückelberg
gefunden: Teilchen negativer Energie (E < 0), die rückwärts in der Zeit laufen, entsprechen
Antiteilchen positiver Energie (E > 0, die vorwärts in der Zeit laufen. Mit dieser Interpretation
lassen sich alle Prozesse mit Teilchen und Antiteilchen beschreiben.
1.1.4
Elektron-Neutrino und Antineutrino
Die Geschichte der ‘Erfindung’ des Neutrinos durch Pauli 1930 ist bekannt: In Stichworten:
β Zerfall– kontinuierliches Leptonspektrum– Energieerhaltung– unsichtbares Teilchen. Später
wurde das im Neutron Zerfall entstehende Teilchen als ν e identifiziert. Erster experimenteller
Nachweis 1958 durch Reines und Cowan.
1.1.5
Weitere Leptonenfamilien
1936 Anderson und Neddermeyer: Entdeckung des Myons in der kosmischen Strahlung. Das
Myon, mit Symbol µ, hat die gleichen elektromagnetischen Eigenschaften wie das Elektron, es hat jedoch eine höhere Masse mµ = 105.7 MeV/c2 . Es entsteht z.B. durch kosmische Strahlung in der oberen Atmospäre und kann die Erde erreichen. Es zerfällt in ein
Elektron und weitere nicht beobachtete Teilchen: µ− → e− + ?. Der Zerfall µ− → e− + γ
wurde nicht beobachtet.
1.1 Die Teilchen des Standardmodells
5
1971 Direkter Nachweis des Myon-Neutrinos: νµ e− → µ− νe ; νµ n → µ− p; ν̄µ p → µ+ n.
Intensive Neutrinostrahlen zur Untersuchung der Eigenschaften von Neutrinos und Hadronen.
1975 Martin Perl (SLAC): e+ e− → τ + τ − mit der Masse mτ = 1 777 MeV/c2 . Das zugeordnete Neutrino ντ ist erst im Jahr 2000 am Experiment DONUT im Fermilab in der Nähe
von Chicago nachgewiesen worden.
Man hat also drei Familien von Leptonen, die man schematisch so darstellt:
ντ
νµ
νe
,
,
τ−
µ−
e−
Entsprechend die Antileptonen:
+
e
,
ν̄e
µ+
,
ν̄µ
τ+
ν̄τ
Leptonen sind Fermionen, d.h. Spin 21 Teilchen. Die geladenen Leptonen nehmen an der elektromagnetisch Wechselwirkung teil, die ungeladenen Neutrinos nicht. Alle Leptonen nehmen an
der schwachen Wechselwirkung teil aber nicht an der starken.
Leptonenzahl
Für Leptonen gilt ein strikter Erhaltungssatz:
Die Zahl der Leptonen minus die Zahl der Anti-Leptonen ist erhalten.
Darüber hinaus ist auch die Leptonfamilienzahl erhalten: Es gibt eine Elektron-Leptonzahl,
eine für Myonen und eine für Tauonen. Hier ist die Regel für die Elektronen-Leptonzahl:
Le = N (e− ) − N (e+ ) + N (νe ) − N (ν e )
(1.3)
N (e− ) ist z.B. die Zahl der Elektronen im Zustand. D.h. für einzelne Teilchen ist Le (e− ) = 1
oder Le (ν e ) = −1. Alle Teilchen der zweiten Leptonenfamilie sowie alle Quarks haben Le = 0.
Da die neutralen Neutrinos nicht an der elektromagnetisch Wechselwirkung teilhaben, gilt für
diese Erhaltung von N (e− ) − N (e+ ), Elektronen und Positronen können nur paarweise erzeugt
werden. In schwachen Wechselwirkungen ist das komplizierter!
Einige Eigenschaften von Leptonen sind in Tabelle 1.1 aufgeführt.
6
Einführung
Teilchen
Elektron
e-Neutrino
Myon
µ-Neutrino
Tau
τ -Neutrino
Antiteilchen
e−
νe
µ−
νµ
τ−
νe
Masse
[MeV/c2 ]
0.511
< 0.000 001
105.66
< 0.17
1 777.0
< 18.2
Positron
Anti-e-Neutrino
Myon
Anti-µ-Neutrino
Tau
Anti-τ -Neutrino
e+
ν̄e
µ+
ν̄µ
τ+
ν̄e
0.511
< 0.000 001
105.66
< 0.17
1 777.0
< 18.2
Lebensdauer
[s]
stabil
2.197 × 10−6
2.90 × 10−13
-
Lτ
Lµ
Le
Ladung
1
1
0
0
0
0
L
Leptonenzahl
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
stabil
2.197 × 10−6
2.90 × 10−13
-
0
0
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
0
1
0
1
0
-1
0
-1
0
-1
0
Tabelle 1.1: Einige Eigenschaften von Leptonen.
1.1.6
Hadronen, Quarks
Bisher haben wir Leptonen erwähnt: e± , ν, ν e , . . . . Diese Teilchen sind dadurch charakterisiert,
daß sie nicht an der starken Wechselwirkung teilnehmen.
Teilchen mit starker Wechselwirkung nennt man Hadronen, es gibt zwei große Klassen:
1. Baryonen: Die leichtesten Baryonen sind Proton und Neutron. Alle Baryonen - bis auf
das Proton - sind instabil und zerfallen, wobei zum Schluß immer ein Proton entsteht. Es
gilt ein Erhaltungssatz für die Baryonenzahl. Baryonen sind auch Fermionen, haben also
halbzahligen Spin. Das Proton hat Spin 21 , es gibt aber auch Baryonen mit Spin 23 , z.B.
das ∆.
2. Mesonen: das leichteste Meson ist das Pion: π + , π − , π 0 . Für Mesonen gilt kein spezieller
Erhaltungssatz, sie können beliebig erzeugt werden und zerfallen, natürlich unter Beachtung der anderen Erhaltungssätze. Mesonen haben ganzzahligen Spin, das leichteste
Meson ist das Pion. Es gibt drei Ladungszust´’ande π + , π − , π 0 , und es hat z.B. Spin 0. Ein
weiteres berühmtes Meson, das J/ψ hat Spin 1.
Hadronen sind aus Quarks aufgebaut: Baryonen aus drei Quarks, Mesonen aus Quark und
Antiquark.
Messungen der Zerfallsbreite des Z 0 am LEP-Speicherring zeigen, daß die Zahl der ”leichten”
Neutrinos gleich drei ist. Experimente zum Nachweis der von der Sonne emittierten Neutrinos
und der in der Atmosphäre erzeugten Neutrinos geben Hinweise auf eine von Null verschiedene
Ruhemasse der Neutrinos (Neutrinooszillationen)
1.1.7
Baryonenzahl
Warum ist das Proton stabil? Experimente zeigen, daß die Lebensdauer des Protons τp > 1031
Jahre ist (das Alter des Universums ist ≈ 1010 Jahre).
Dies führt auf die Einführung einer Baryonenzahl B, die offenbar sehr gut erhalten ist. Man
ordnet p und n die Baryonenzahl B = +1 zu, und den Antiteilchen p̄ und n̄ die Baryonenzahl
1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme
7
B = −1. Die Baryonenzahl ist offenbar in Teilchenreaktionen erhalten.
n → p e− ν̄e
p →
\ π0 γ, eν̄e , eγ
p p → p̄ p p p . . . Anti-Baryon-Erzeugung
1.1.8
Quarks
Das Quarkmodell wurde 1964 unabhängig von zwei Physikern eingeführt, Murray Gell-Mann
und Zweig. Sie konnten durch nur drei Teilchen all Eigenschaften der bekannten Hadronen
erkl´’aren1
Das Quarkmodell war sehr erfolgreich, als in den folgenden Jahren immer mehr Hadronen entdeckt wurden. Es hatte einen Nachteil: die Quarks konnten experimentell nicht nachgewiesen
werden. Viele Physiker haben sie deshalb nur für nützliche mathematische Hilfsgrößen gehalten.
Die Quarks als tatsächliche Teilchen wurden erst durch zwei experimentelle Ergebnisse anerkannt: Streuexperimente am Nukleon ab 1968, die zweifelsfrei belegten, daß Nukleonen Quarks
enthalten. Weiterhin trug die Entdeckung der schweren Quarks 1974 dazu bei. Heute wird die
Wechselwirkung der Quarks durch die Quantenchromodynamik beschrieben. Austauschteilchen
ist das Gluon.
1.2
Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme
1.2.1
Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite
In Abschnitt 1 stellten wir fest, daß die Kräfte in der Elementarteilchenphysik mit dem Teilchenaustausch zusammenhängen. In diesem Abschnitt werden wir uns mit diesem wichtigen
Gedanken weiter auseinandersetzen.
A
B
X
g
A
g
B
Abbildung 1.3: Elastische Streuung über Austausch eines Teilchens X, welches mit der Stärke
g an A und B koppelt.
Das Feynmandiagramm in Abb. 1.3 stellt die elastische Streuung zweier Teilchen A und B mit
den Massen MA und MB dar, der über den Austausch eines dritten Teilchens X der Masse
1
Der Name ‘Quarks’ wurde von Gell-Mann eingeführt, einem der Erfinder des Quarkmodells. Er soll ihn aus
einem Buch von James Joyce haben: Finnegans Wake. Dort kommt eine Satz vor: Three Quarks for Muster
Mark. Damals war noch nicht bekannt, daß es mehr als drei Quarks gibt. Zweig nannte sie ‘Aces’ (Asse).
8
Einführung
MX erfolgt. Die Kopplungsstärke g für Teilchen X an Teilchen A und B soll gleich sein. Im
Ruhesystem des einlaufenden Teilchens A stellt der untere Vertex den virtuellen Prozeß
A(MA c2 , 0) → A(EA , p~) + X(EX , −~
p)
(1.4)
dar, wobei EX = (p2 c2 + MX2 c4 )1/2 und EA = (p2 c2 + MA2 c4 )1/2 ist. Der Energieunterschied
zwischen den End– und Anfangszuständen ist also gegeben durch
∆E = EX + EA − MA c2 → pc
für
2
→ MX c
für
p→∞
p→0
(1.5)
(1.6)
∆E ≥ MX c2 für alle p. Da eine solche Energieverletzung nur für einen Zeitraum τ ≈
aufrecht erhalten werden kann, bekommen wir:
r≈R≡
h̄
MX c
h̄
∆E
(1.7)
als die Maximaldistanz, über die X sich ausbreiten kann, bevor es von Teilchen B absorbiert
wird. Diese Maximaldistanz wird Reichweite der Wechselwirkung genannt. Die elektromagnetische Wechselwirkung hat eine unendliche Reichweite, weil das ausgetauschte Teilchen ein
masseloses Photon ist. Dagegen wird die schwache Wechselwirkung mit dem Austausch sehr
schwerer Teilchen assoziiert – den W und Z Bosonen mit den Massen
MZ = 91.2 GeV/c2
MW = 80.3 Gev/c2
(1 GeV = 109 eV),
(1.8)
(1.9)
was einer Reichweite von
RW ≡
h̄
≈ 2 × 10−3 fm (1 fm = 10−15 m)
MW c
(1.10)
entspricht.
In vielen Anwendungen ist diese Reichweite sehr klein verglichen mit der de Broglie Wellenlänge
aller beteiligten Teilchen. Die schwache Wechselwirkung kann dann in etwa durch eine Reichweite 0 oder durch eine Punktwechselwirkung angenähert werden, was der Grenze MX → ∞
entspricht, wie in Abb. 1.4 gezeigt.
1.2.2
Das Yukawa Potential
Mit der Einschränkung, daß MA groß wird, können wir die Streuung von B an A nähern durch
die Streuung an einem statischen Potential, dessen Quelle A ist. Dieses Potential wird in der Regel spinabhängig sein. Indessen kann man seine Haupteigenschaften auch bei Vernachlässigung
des Spins verstehen. Den Austausch von Spin–0 Bosonen, die durch die Klein–Gordon Gleichung
beschrieben werden, kann man folgendermaßen ausrechnen :
−h̄2
∂ 2 φ(x, t)
~ 2 φ(x, t) + M 2 c4 φ(x, t).
= −h̄2 c2 ∇
X
∂t2
(1.11)
1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme
B
9
B
MX
A
B
A
A
8
X
B
A
Abbildung 1.4: .
Für statische Lösungen reduziert sich dies zu
MX2 c2
2
~
∇ φ(x) =
φ(x),
h̄2
(1.12)
wobei wir φ(x) als statisches Potential interpretieren. Für MX2 = 0 ist diese Gleichung identisch
mit der, der das elektrostatische Potential Folge leistet, und für eine Ladung −e, die mit einer
Punktladung +e am Ursprung wechselwirkt, ist die Lösung
e2 1
V (r) = −eφ(r) = −
,
4π0 r
(1.13)
wobei r = |~x| bedeutet. Die entsprechende Lösung von 1.12 ist
g 2 e−r/R
V (r) = −
,
4π r
(1.14)
wobei R = h̄/MX c die Reichweite bedeutet, und wir nehmen gleiche Kopplungsstärken g für
Teilchen X an die Teilchen A und B an. g ist ein Kopplungsparameter ähnlich wie bei der
elektromagnetischen Wechselwirkung die Kopplungsstärke durch die Ladung gegeben wird. Man
kann analog zur Feinstrukturkonstante der QED einen dimensionslosen Parameter definieren:
αs =
g2
4πh̄c
analog
α=
e2
4π0h̄c
αs charakterisiert die Stärke der Wechselwirkung bei kurzen Entfernungen r ≤ R.
(1.15)
Diese Form des Potentials wird Yukawa Potential genannt, nach Hideki Yukawa, der 1935 als
erster den Begriff von Kräften infolge massiven Teilchenaustausches einführte. Für MX → 0
reduziert sie sich auf die bekannte Coulombformel in Gleichung 1.13, während sie für sehr große
MX in etwa punktförmig ist. Die effektive Kopplungsstärke der zuletzt genannten Näherung
und ihren Halbwertsbereich kann man am besten unter Berücksichtigung der entsprechenden
Streuamplitude verstehen.
10
Einführung
1.3
Relativistische Wellengleichungen
Wir gehen von der Annahme aus, daß ein Teilchen mit Impuls p~ im freien Raum durch die de
Broglie Wellenfunktion2
p · ~x − Et)/h̄
Ψ(~x, t) = N e i(~
(1.16)
mit der Frequenz ν = E/h und der Wellenlänge λ = h/p beschrieben wird. Hier bedeutet
p = |~
p| und N eine Normierungskonstante, die im folgenden nicht relevant ist. Die entsprechende
Wellengleichung ist abhängig von der Relation zwischen Energie E und Impuls p~.
Nicht–relativistisch ist
p~ 2
,
(1.17)
2m
und die Wellenfunktion Gleichung (1.16) erfüllt die nicht–relativistische Schrödinger Gleichung
E=
h̄2
∂Ψ
(~x, t) = −
∇2 Ψ(~x, t).
ih̄
∂t
2m
Dabei sind Energie- und Impulsoperator:
b = ih̄ ∂
E
∂t
Relativistisch gilt:
und
h̄ ~
b
p~ = ∇
i
E 2 = p 2 c2 + m 2 c4 ,
(1.18)
(1.19)
(1.20)
wobei m die Ruhemasse ist und die entsprechende Wellengleichung ist:
−h̄2
∂ 2 Ψ(~x.t)
= −h̄2 c2 ∇2 Ψ(~x, t) + m2 c4 Ψ(~x, t),
∂t2
(1.21)
was leicht überprüft werden kann, indem man (1.16) in Gleichung (1.21) einsetzt und dabei die
Beziehung (1.20) benutzt. Diese Gleichung wurde 1924 zum ersten Mal von de Broglie vorgeschlagen, wird aber jetzt in der Regel Klein–Gordon–Gleichung3 genannt. Ihr Hauptmerkmal
ist die Existenz negativer Energielösungen. Für jede ebene Wellenlösung der Form:
p · ~x − Ep t)/h̄
Ψ(~x, t) = N e i(~
(1.22)
Impuls p~ und positiver Energie
E = Ep ≡ +
gibt es auch eine Lösung
p
p2 c2 + m2 c4 ≥ mc2
e x, t) ≡ Ψ∗ (~x, t) = N ∗ exp[i(−~
Ψ(~
p · ~x + Ep t)/h̄],
die dem Impuls −~
p und der negativen Energie
p
E = −Ep = − p2 c2 + m2 c4 ≤ −mc2 .
2
(1.23)
Wir benutzen die Notation ~x = (x1 , x2 , x3 ) ≡ (x, y, z).
Diese Autoren haben elektromagnetische Wechselwirkungen in die Gleichung mit einbezogen, somit ist sie
für geladene Spin–0 Bosonen anwendbar.
3
1.3 Relativistische Wellengleichungen
11
entspricht.
Wir müssen feststellen, dass die Energie E sowohl positive wie negative Werte annehmen kann.
Diese Energie enthält aber keinen potentiellen Anteil, sie ist vielmehr die Summe von Ruheund kinetischer Energie, also eine Größe, die in jedem Fall positiv sein muss.
Man könnte versucht sein, die negativen Energiewerte und die zugehörigen Wellenfunktionen
als physikalisch sinnlos einfach zu ignorieren. Das führt zu mathematischen Schwierigkeiten, da
die Wellenfunktionen mit positiver Energie für sich allein kein voll ständiges Funktionensystem
bilden .
Die negativen Werte für E sind offensichtlich mit der Doppeldeutigkeit der Wurzel von 1.20
verknüpft und diese wiederum mit der zweiten Zeitableitung in der Klein-Gordon-Gleichung.
Paul Dirac versuchte daraufhin, eine Gleichung zu konstruieren, die nur die erste Ableitung nach
der Zeit enthält. Die Lorentz-Invarianz erfordert dann, dass auch die räumlichen Ableitungen
nur in erster Ordnung vorkommen. Die Dirac-Gleichung lautet für ein freies Teilchen
∂Ψ
= −ih̄ c
ih̄
∂t
∂
∂
∂
α1
+ α2
+ α3
∂x1
∂x2
∂x3
Ψ + β mc2 Ψ
(1.24)
Dabei muss man Ψ als einen vierkomponentigen Wellenfunktionsvektor und die Parameter α
und β als 4 x 4-Matrizen wählen.
Die Hoffnung, die negativen Energiewerte damit vermeiden zu können, trog jedoch, denn die
Dirac-Wellenfunktionen müssen auch die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, die eine Konsequenz
der relativistischen Energie-Impuls-Relation und der Form der Operatoren Gl. 1.19 der Operatoren ist.
Da sich Dirac außerstande sah, die negativen Energiezustände zu eliminieren, machte er die
kühne Annahme, dass sie tatsächlich existieren, aber normalerweise sämtlich mit Elektronen
besetzt sind. Nach seiner Deutung ist der Grundzustand, oft auch das ”Vakuum”genannt, nicht
leer, sondern enthält unendlich viele Elektronen negativer Energie. Das Pauli-Prinzip verbietet
den Übergang eines “normalen” Elektrons von seinem Zustand positiver Energie in ein negatives
Energieniveau, so dass man normalerweise von den vielen negativen Niveaus nichts merkt.
Durch ein γ-Quant mit einer Energie von mehr als 2 m c2 könnte jedoch ein Elektron von einem
negativen auf ein positives Energieniveau angehoben werden. Das verbleibende Loch im “See”
der Elektronen mit E ¡ 0 sollte sich wie ein Teilchen mit positiver Ladung und positiver Energie
verhalten.
Aufgrund dieser Überlegungen hat Dirac die Existenz von Antiteilchen vorhergesagt und damit
eine der revolutionärsten Ideen der theoretischen Physik hervorgebracht4 .
Experimentell wurde das erste Antiteilchen 1931/2 von Anderson in der kosmischen Höhenstrahlung
entdeckt (s.o.). Das nächste wurde systematisch gesucht, es war das Antiproton, welches 1955
am Beschleuniger BEVATRON (USA) erzeugt wurde.
Im Rahmen der Teilchenphysik hat dieses Bild eines “Sees” von Elektronen jedoch Nachteile,
so ist es auf Bosonen überhaupt nicht anwendbar, da sie nicht dem Ausschließungsprinzip
gehorchen.
Eine andere Interpretation stammt von Stückelberg und Feynman. Danach besitzen die Wellenfunktionen mit negativen Energiewerten selber keine physikalische Signifikanz, erhalten sie
aber dadurch, dass man die Zeitrichtung umkehrt. Sie entsprechen dann den Wellenfunktionen
der Antiteilchen, die mit positiver Energie zeitlich vorwärts laufen.
4
Das Diracsche Bild ist später mit großem Erfolg auf Halbleiter übertragen worden.
12
Einführung
Wir wollen diese Idee an dieser Stelle nicht weiter besprechen, sondern kommen im Kapitel
“elektromagnetische Wechselwirkung” nochmal darauf zurück. Hier halten wir fast, daß es zu
jedem Teilchen ein Antiteilchen gibt, bei welchem alle ladungsartigen Quantenzahlen “umgedreht” sind, also Baryonenzahl, Leptonzahlen, elektrische Ladung, magnetisches Moment, etc.
Kapitel 2
Relativistische Kinematik
Die folgenden Bezeichnungen werden in diesem Kapitel benutzt:
Größe
c
E
T
M, m
M
λ
p~
P, p
η
σ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Beschreibung
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Energie
Kinetische Energie
Masse (Ruhemasse)
Matrixelement
Charakteristische Wechselwirkungslänge
Impuls (3-Impuls)
Viererimpuls
Vierergeschwindigkeit
Wirkungsquerschnitt
Einheit
m s−1
eV
eV
eV/c2
eV/c
eV/c
barn
Umrechnungsfaktoren:
Größe
c
h̄
h̄ c
(h̄ c)2
barn
=
=
=
=
=
Zahlenwert
299 792 458 m s−1
6.5821220(20) × 10−22 MeV s
197.327053(59) MeV fm
0.38937966(23) GeV2 mbarn
10−28 m2
2.1
Spezielle Relativitätstheorie
2.1.1
Lorentztransformation
Inertialsysteme. Ein Inertialsystem ist ein System, in dem jeder Körper, auf den keine äußere
Kraft wirkt, seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung beibehält: ~v = konstant. Inertialsysteme haben eine konstante Relativgeschwindigkeit gegeneinander. In Inertialsystemen
sind die physikalischen Gesetze gleich, zum Beispiel gelten die Maxwellschen Gleichungen in
gleicher Weise in allen Inertialsystemen. Daraus folgt, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von
elektromagnetischen Wellen im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich c ist.
Die Lorentztransformation gibt den Übergang zwischen den Ortskoordinaten und der Zeit
zwischen zwei Systemen O und O 0 an, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit
~v = (v, 0, 0) bewegen. Die Geschwindigkeit wird oft durch die dimensionslose Größe
β = v/c
14
Relativistische Kinematik
ausgedrückt. Die Lorentztransformation ist mit γ = 1/
x0 = γ(x − vt)
y0 = y
z0 = z
xv 0
t =γ t− 2
c
p
1 − β 2 gegeben durch:
x = γ(x0 + vt0 )
y = y0
z = z0
x0 v
t=γ t+ 2
.
c
y
y0
O0
O
~v
x
z
z0
x0
Abbildung 2.1: Die Bezugssysteme O und O 0
Relativität der Gleichzeitigkeit. Wenn sich im System O zwei Ereignisse A und B zur
gleichen Zeit, aber an anderem Ort ereignen, dann ereignen sie sich nicht zur gleichen Zeit im
System O 0 . Aus den Transformationsformeln folgt für tA = tB
t0A = t0B +
γv
(xB − xA ) .
c2
Ereignisse, die in einem System gleichzeitig stattfinden, sind in anderen System nicht gleichzeitig.
Längenkontraktion und Zeitdilatation. Diese in der Gleichung (2.1) ausgedrückten Eigenschaften sind charakteristisch für Lorentz-Transformationen.
Bewegte Objekte erscheinen in Bewegungsrichtung um den Faktor γ verkürzt. Im System O 0
befinde sich ein Stab der Länge L0 mit einem Ende bei x0 = 0 und mit dem anderen Ende
bei x0 = L0 . Im System O muß die Position der beiden Enden zur gleichen Zeit, z.B. t = 0,
registriert werden; zu diesem Zeitpunkt ist das eine Ende bei x = 0, das andere bei x = L0 /γ,
und damit ist mit L = L0 /γ die Länge verkürzt. Dies wird als Längenkontraktion bezeichnet.
Dimensionen senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung bleiben unverändert.
L = L0 /γ
(2.1)
Für bewegte Objekte läuft die Zeit langsamer ab. Wenn für eine Uhr im System O 0 am Ort
x0 = 0 die Zeit t0 von 0 bis T 0 läuft, dann beginnt sie im System O bei t = 0 und läuft, bis
t0 = T 0 bei x0 = 0 ist; dies ist t = γT 0 , d.h. das Zeitintervall ist in O mit T = γT 0 verlängert.
Diese Zeitdilatation wird beim Teilchenzerfall nachweisbar. Die mittlere Lebensdauer τ von
Teilchen wird stets im Ruhesystem angegeben. Bewegte Teilchen haben eine um den Faktor γ
größere mittlere Lebensdauer. Dieser Effekt wird Zeitdilatation genannt. Myonen werden in der
oberen Atmosphäre der Erde durch kosmische Strahlung erzeugt und können bei hohem Impuls
2.1 Spezielle Relativitätstheorie
15
trotz der kurzen Lebensdauer von τ = 2.2 × 10−6 sec die Erdoberfläche erreichen. Allgemein ist
die mittlere Zerfallslänge L = γβcτ = (p/m) τ bei einer mittleren Lebensdauer von τ .
Addition der Geschwindigkeiten. Ein Teilchen bewege sich im System O 0 mit der Geschwindigkeit u0 in x-Richtung. Im System O 0 legt es eine Strecke ∆x = γ (∆x0 + v∆t0 ) in der Zeit
∆t = γ (∆t0 + (v/c2 ) ∆x0 ) zurück, d.h.
∆x0 + v∆t0
(∆x0 /∆t0 ) + v
∆x
=
=
.
∆t
∆t0 + (v/c2 )
1 + (v/c2 ) (∆x0 /∆t0 )
Daraus folgt die Transformationformel bzw. Additionsregel für Geschwindigkeiten:
u=
u0 + v
.
1 + (u0 v/c2 )
(2.2)
Der Nenner stellt eine relativistische Korrektur dar, die bei kleinen Geschwindigkeiten vernachlässigt werden kann. Für u0 = c ist auch u = c: die Lichtgeschwindigkeit ist für alle
Inertialsysteme gleich.
Die Transformationsformel ist kompliziert, weil bei der durch
~v ≡
d~r
dt
definierten Geschwindigkeit sowohl der Zähler als auch der Nenner sich bei Lorentztransformationen ändern.
2.1.2
Vierervektoren
Die vier Koordinaten eines Zeit-Raum-Punktes werden zu einem Vierervektor
X ≡ (ct, x, y, z) = (ct, ~r)
zusammengefaßt. Ein Vierervektor enthält einen raumartig genannten Vektor ~r und eine zeitartig genannte Komponente ct: X = (ct, ~r). Die Lorentztransformation eines Vierervektors entlang
der x-Richtung läßt sich mit Matrizen schreiben:
 
  
 0 
ct
cosh ω − sinh ω 0 0
ct
γ
−βγ 0 0
ct
0









−
sinh
ω
cosh
ω
0
0
x
−βγ
γ
0
0
x
 x
  = 
 
X0 = 






 y0  =  0
y
0
0
1 0
y
0
1 0
0
z
0
0
0 1
z
0
0
0 1
z
mit cosh ω = γ und tanh ω = sinh ω/ cosh ω = β. Die Größe ω entspricht einem imaginären
Drehwinkel und wird als Rapidität (Schnelligkeit) bezeichnet und häufig zur Beschreibung von
Teilchenerzeugung verwendet.
Bei Verwendung der Rapidität ω wird die Lorentztransformation ähnlich zur Drehung eines räumlichen Vektors
(zum Beispiel um die z-Achse):
0 0
0
x
cos ϑ sin ϑ
x
mit x 2 + y 2 = x2 + y 2 .
=
0
y
− sin ϑ cos ϑ
y
p
p
Die Länge des Vektors ( x2 + y 2 bzw. x0 2 + y 0 2 ) ist invariant gegenüber Drehungen (nur positive relle Längen
sind physikalisch sinnvoll).
16
Relativistische Kinematik
Auch wenn sich die einzelnen Komponenten eines Vierervektors bei einer Transformation ändern,
bleibt der folgende Ausdruck unverändert:
2
0
0
0
0
0
I = (ct0 ) − x 2 − y 2 − z 2 = (ct · cosh ω − x · sinh ω)2 − (−ct · sinh ω + x · cosh ω)2 − y 2 − z 2
= (ct)2 − x2 − y 2 − z 2
unter Benutzung der Beziehung cosh2 ω − sinh2 ω = 1. Eine solche Größe, die in jedem Inertialsystem den gleichen Wert hat, wird Invariante genannt. Das Quadrat eines Vierervektors ist
invariant gegenüber Lorentz-Transformation
X 2 ≡ X · X = (ct)2 − ~r2
invariant unter Lorentztransformationen
und wird nach seinem Vorzeichen klassifiziert:


> 0 zeitartig
2
2
(ct) − ~r = 0 lichtartig


< 0 raumartig .
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vierervektoren wird definiert als
X1 · X2 = c2 t1 t2 − ~r1 · ~r2 .
Es ist ebenfalls invariant unter Lorentztransformationen. Alle 4-Tupel, die sich wie der RaumzeitVierervektor X transformieren, sind Vierervektoren.
2.1.3
Energie und Impuls
Vierergeschwindigkeit. Die Vierergeschwindigkeit ist eine für die Definition des relativistischen Impulses nützliche Größe. Der Vektoranteil ist definiert als zurückgelegte Strecke, dividiert
durch Eigenzeit (mit Eigenzeit τ = t/γ und dτ = dt/γ) :
η~ ≡
d~r
d~r
=γ
= γ ~v
dτ
dt
Für diese Geschwindigkeit gilt ~η = γ~v beim Vergleich mit der normalen Geschwindigkeit ~v .
Definiert man als nullte Komponente η 0 = d(ct)/dτ = γc, so erhält man den Vierervektor
η=
dX
= γ (c, vx , vy , vz ) .
dτ
Bei Lorentz-Transformationen zwischen Systemen O und O 0 ist die Vierergeschwindigkeit einfacher zu handhaben: nur der Zähler d~r wird transformiert, denn der Nenner dτ is eine Invariante.
Dagegen müssen bei der normalen Geschwindigkeit sowohl Zähler als auch Nenner transformiert werden; dies führt zu der komplizierten Additionsregel (2.2) der Geschwindigkeiten. Das
Quadrat der Vierergeschwindigkeit ist, wie erwartet, eine Invariante gegenüber Lorentztransformationen:
η · η = γ 2 c2 − vx2 − vy2 − vz2 = γ 2 c2 1 − v 2 /c2 = c2
Relativistischer Impuls. Die klassische Definition von Impuls ist Masse × Geschwindigkeit.
Bei der relativistischen Verallgemeinerung dieses Begriffs stellt sich die Frage, welche der beiden Geschwindigkeiten benutzt werden sollte (bei Geschwindigkeiten v c ist γ ' 1 und
2.1 Spezielle Relativitätstheorie
17
beide Geschwindigkeiten sind gleich). Bei Benutzung der Geschwindigkeit ~v ist das Gesetz der
Impulserhaltung inkonsistent mit dem Relativitätsprinzip. Die Definition des Impulses durch
p~ = m~η dagegen ist konsistent mit dem Relativitätsprinzip: wenn Impulserhaltung in einem
Inertialsystem gilt, gilt sie in allen. Damit wird allerdings nicht das Gesetz der Impulserhaltung
bewiesen, denn dies ist eine experimentelle Frage. Die Definition sorgt jedoch für die Konsistenz
zwischen den Inertialsystemen. Mit der Definition des Impulses durch
m~v
p~ ≡ m~η = γm~v = p
1 − v 2 /c2
und mit der nullten Komponente P0 = γmc = E/c erhält man einen Vierervektor des Impulses:
E2
E
, px , py , pz
mit P · P = 2 − p~2 = m2 c2
P =
c
c
Für die relativistische Definition der Energie gilt dann die Formel
mc2
mc2
=p
E = γmc2 = p
1 − v 2 /c2
1 − β2
E 2 = (pc)2 + mc2
2
.
Nichtrelativistischer Bereich. Bei kleinen Geschwindigkeiten v c (d.h. β 1) sind relativistische Impulse p~ = m~η und nichtrelativistische Impulse p~ = m~v gleich. Die Energieformel
kann durch eine Reihenentwicklung nach Potenzen von β = v/c dargestellt werden:
mc2
1
3
1 2 3 4
2
E=p
= mc 1 + β + β + . . . = mc2 + mv 2 + mv 2 β 2 + . . .
2
8
2
8
1 − β2
Der erste Term ist konstant und wird als Ruheenergie bezeichnet. Der nächste Term ist die
klassische kinetische Energie. Die relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie ist
die Differenz T = γmc2 − mc2 = mc2 (γ − 1).
Masselose Teilchen. Für elektromagnetische Strahlung gilt nach der Elektrodynamik die
Beziehung E = |~
p|c. Die gleiche Beziehung gilt für masselose Teilchen, denen ein Viererimpuls
E
P =
, p~
c
zugeordnet wird. Masselose Teilchen wie das Photon (und das Neutrino?) bewegen sich mit der
Lichtgeschwindigkeit c.
Erhaltung des Viererimpulses. Die Viererimpuls-Erhaltung wird bei allen kinematischen
Rechnungen vorausgesetzt. Bisher gibt es keine experimentellen Anzeichen dafür, daß der Viererimpuls in Teilchenreaktionen nicht erhalten sein könnte.
Beispiel: Stoß zweier Lehmklumpen
Zwei Lehmklumpen gleicher Masse m stoßen, jeder mit der Geschwindigkeit 3/5 c, frontal aufeinander. Wegen der Impulserhaltung p~1 + p~2 = 0 ist der beim Stoß entstehende Lehmklumpen
in Ruhe. Aus der Energieerhaltung folgt für die Masse M des entstehenden Lehmklumpens
2mc2
5
M c2 = 2Em = p
= mc2 .
2
1 − (3/5)2
Bei der Kollision wird die kinetische Energie in Ruheenergie umgewandelt, daher ist die Masse
größer als die Summe der Massen des Anfangszustandes.
18
Relativistische Kinematik
2.1.4
Einheiten und Dimensionen
Es ist in der Hochenergiephysik üblich, Faktoren von Potenzen von c in kinematischen Formeln
wegzulassen und von hier ab wird diese Konvention im Skript benutzt, außer in Sonderfällen.
Die Schreibweise von Vierervektoren und ihren Quadraten vereinfacht sich daher zu
P · P = E 2 − p~2 = m2 .
P = (E, p~)
Einheiten für Energie, Impuls und Masse sind einheitlich Vielfache von eV. Praktisch bedeutet
dies, daß für Energie, Impuls und Masse die folgenden Einheiten benutzt werden:
Energie
[MeV]
Impuls
[MeV/c]
Masse
MeV/c2
Die Geschwindigkeit wird durch die dimensionlose Größe β = v/c angegeben. Es gelten die
Beziehungen:
|~
p|
1
E
|~
p|
β=
=
γ=p
βγ =
2
E
m
m
1−β
Oft wird auch die Plancksche Konstante h̄ = 1 gesetzt. In den Endformeln muß man sich dann
die Faktoren aus Dimensionsbetrachtungen ergänzt denken. Für diese Umrechnungen sind die
Angaben am Beginn des Kapitels nützlich.
Die Lorentztransformation des Viererimpulses schreibt sich in diesen Einheiten so:
β = v/c ≡ v
P = (E, px , py , pz )
γ = 1/
p
1 − β2
mit P · P = E 2 − p~2 = m2
p0x = γ(px − βE)
p0y = py
px = γ(p0x + βE 0 )
py = p0y
p0z = pz
E 0 = γ (E − βpx )
pz = p0z
E = γ (E + βp0x ) .
Man nennt die Impulskomponente in Richtung der Boost-Achse oft “Longitudinalimpuls”, hier
pk = px . Die
p Komponente senkrecht zur Boostrichtung heißt dann Transversalimpuls, hier
p⊥ = pT = p2y + p2z .
2.2
Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle
Teilchenreaktionen und Zerfälle sind bestimmt einerseits durch die Dynamik (Kräfte) und
anderseits durch die Kinematik (Impuls- und Energieerhaltung). In der Teilchenphysik muß
die relativistische Kinematik benutzt werden. Die Anwendung der relativistischen Kinematik
unter Beachtung der Erhaltung des Viererimpulses bei der Reaktion ist wichtig und erfordert
oft Geschick.
Elastische Streuung. Bei der elastischen Streuung zwischen Teilchen erfolgt lediglich ein Impulsübertrag zwischen den Teilchen, die bei der Reaktion unverändert bleiben (gleiche Massen
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle
19
vor und nach der elastischen Reaktion). Beispiele für elastische Streuung sind die elastische
Proton-Proton- und π-Proton-Streuung:
p+p → p+p
π + p → p + π+
+
Unelastische Streuung. Klassisch erfolgt bei einer unelastischen Reaktion eine Umwandlung
zwischen kinetischer Energie und innerer Energie (Wärme, potentielle Energie, . . . ). Relativistisch erfolgt eine Umwandlung zwischen kinetischer Energie und Ruheenergie (Massen von
Teilchen sind nicht erhalten, es gibt Erzeugung neuer Teilchen)1 . Beispiele für unelastische
Streuung sind die Reaktionen:
π− + p → K 0 + Λ
π+ + p → p + π+ + π+ + π−
e− + p → e − + n + π + + π + + π −
a
b
1
2
...
n
Abbildung 2.2: 2 → n-Teilchen-Reaktion
2.2.1
Kinematik von Teilchenreaktionen
In einer Teilchenreaktion entsteht durch den Stoß von zwei Teilchen a und b (Anfangszustand)
in einem Wechselwirkungsprozess ein Endzustand mit (allgemein) n Teilchen (Abbildung 2.2).
Wegen Energie- und Impulserhaltung gilt für die Viererimpulse die Beziehung
Pa + P b → P 1 + P 2 + . . . + P n .
Bei kinematischen Rechnungen wird soweit möglich Gebrauch von Invarianten gemacht, die in
einem beliebigen System berechnet werden können.
In Fixed-Target-Experimenten werden Strahlteilchen (beam particles) auf ein ruhendes Target
mit Target-Teilchen geschossen. Bei diesen Experimenten gilt p~b = 0 und das Bezugssystem mit
p~b = 0 wird Laborsystem genannt. Das Strahlteilchen trägt den Gesamtimpuls.
Impulse im Schwerpunktsystem (CMS) werden durch einen Stern gekennzeichnet.
Im SchwerP
punktsystem verschwindet die Summe der Impulse: p~∗a + p~∗b = 0 und i p~∗i = 0. Rechnungen
im Schwerpunktsystem sind oft einfacher als in anderen Systemen. Ergebnisse aus dem CMS
können dann durch Lorentztransformationen in andere Systeme übertragen werden. Bei Speicherringexperimenten mit gleichen Impulsbeträgen der beiden Strahlteilchen ist das Schwerpunktsystem mit dem Laborsystem identisch (bei Kreuzungswinkel Null).
1
Tatsächlich gibt es keinen Unterschied zur klassischen Physik: die Masse einer gespannten Feder ist größer
als die Masse einer ungespannten Feder; nur sind in der Kern- und Teilchenphysik die Anregungsenergien von
gleicher Größenordnung wie Ruheenergien.
20
Relativistische Kinematik
Abbildung 2.3: Blasenkammeraufnahme mit der Reaktion K − + p →
p + π − + K̄ 0 . Das K̄ 0 zerfällt als KS0 in ein π + π − -Paar.
Gesamtenergie. Eine wichtige Invariante von Reaktionen ist das Quadrat der Gesamtenergie
W im Schwerpunktsystem; die Energie W ist die Energie, die für Wechselwirkungen, insbesondere für Teilchenerzeugung, insgesamt zur Verfügung steht. Das Quadrat der Gesamtenergie
wird mit s bezeichnet und kann direkt aus den Viererimpulsen der Teilchen berechnet werden:
s = (Pa + Pb )2 = (P1 + P2 + . . . + Pn )2 ,
wobei die Viererimpulsen in einem beliebigen System gegeben sein können.
Viererimpulse im Laborsystem (Fest-Target-Experimente). Die Viererimpulse der beiden Teilchen des Anfangszustands sind
Pa = (Ea , p~a )
mit Pa2 = m2a
Pb = (mb , 0)
Das Quadrat der Gesamtenergie ergibt sich aus
s = (Pa + Pb )2 = Pa2 + Pb2 + 2Pa · Pb
= m2a + m2b + 2Ea mb
(2.3)
(2.4)
Eine wichtige Anwendung ist die Berechnung der Schwellenenergie für eine Endzustand mit
zwei Teilchen der Massen m1 und m2 . Die Schwellenenergie im Schwerpunktsystem ist gegeben
durch s = (m1 + m2 )2 und im Laborsystem entspricht dies einer Strahlenergie
EaLab
(m1 + m2 )2 − m2a − m2b
=
.
2mb
(2.5)
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle
21
Im Laborsystem sind die Geschwindigkeit und der γ-Faktor des Schwerpunktsystems gegeben
durch
Ea + m b
|p~a |
√
γCM =
βCM =
.
Ea + m b
s
Viererimpulse im Schwerpunktsystem (Speicherring-Experimente). Die Viererimpulse
der beiden Teilchen des Anfangszustands sind
Pa = (Ea∗ , +~
p ∗)
Pb = (Eb∗ , −~
p ∗)
Das Quadrat der Gesamtenergie ergibt sich aus
s = (Pa + Pb )2 = (Ea∗ + Eb∗ , 0)2 = (Ea∗ + Eb∗ )2 .
2 → 2-Teilchen-Reaktion. Bei einer Reaktion mit zwei Teilchen im Anfangszustand und zwei
Teilchen im Endzustand gemäß Abbildung 2.4 sind neben dem Quadrat der Gesamtenergie
s zwei weitere Invarianten t und u üblich. Diese Invarianten folgen aus der Vierer-ImpulsErhaltung
Pa + P b = P 1 + P 2 .
Sie sind definiert durch
a
1
b
2
Abbildung 2.4: 2 → 2-Teilchen-Reaktion
t = (Pa − P1 )2 = (Pb − P2 )2
u = (Pa − P2 )2 = (Pb − P1 )2
mit s + t + u = m2a + m2b + m21 + m22 ;
Bei der Interpretation der Teilchenreaktion durch den Austausch eines (virtuellen) Teilchens
mit Impuls q = Pa − P1 nach Abbildung 2.5 entspricht die Invariante t der ”Masse” des ausgetauschten Teilchens. Die Invariante t hat bei gleichen Massen der Teilchen (ma = m1 ) ein
negatives Vorzeichen. Die Invariante t hängt mit dem Streuwinkel ϑ∗ des gestreuten Teilchens im
Pa
P1
Pa − P 1
Abbildung 2.5: Impulsübertrag
22
Relativistische Kinematik
Schwerpunktsystem zusammen. Dazu wird die Invariante t im Schwerpunktsystem berechnet:
t = (Pa − P1 )2 = m2a + m21 − 2Ea∗ E1∗ + 2|~
p∗a ||~
p∗1 | cos ϑ∗
dabei hängen die Energien und Impulse im Schwerpunktsystem nur von der Gesamtenergie und
den Massen ab. Die Energien im Schwerpunktsystem sind
1
Ea∗ = √ s + m2a − m2b
2 s
1
E1∗ = √ s + m21 − m22
2 s
1
Eb∗ = √ s − m2a + m2b
2 s
1
E2∗ = √ s − m21 + m22
2 s
Die Impulse im Schwerpunktsystem sind gegeben durch
p~∗1
p~∗a
ϑ∗
p~∗b
p~∗2
Abbildung 2.6: Die Impulse im Schwerpunktsystem
p
λ (s, m2a , m2b )
√
|~
p∗a | = |~
p∗b | =
2 s
p
λ (s, m21 , m22 )
√
|~
p∗1 | = |~
p∗2 | =
,
2 s
dabei wurde die Hilfsfunktion λ (a, b, c) = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2bc − 2ca benutzt.
Kinematik des Zweikörperzerfalls. Ein Teilchen der Masse M zerfällt in zwei Teilchen der
Massen m1 und m2 ; für die Vierervektoren gilt
P ∗ = P1∗ + P2∗
Für das Quadrat des Vierervektors P ∗ (Größen im Schwerpunktsystem werden durch einen
Stern gekennzeichnet) gilt nach den Regeln der relativistischen Kinematik
P ∗2 = M 2 = (P1∗ + P2∗ )2 = m21 + m22 + 2E1∗ E2∗ − 2~
p∗1 p~∗2
Im Schwerpunktsystem sind die Beträge der Impulse der beiden Teilchen gleich (|~
p∗1 | = |~
p∗2 | =
|~
p∗ |) und mit cos ϑ∗ = −1 und unter Beachtung von M = E1∗ + E2∗ erhält man
M 2 = m21 + m22 + 2E1∗ E2∗ + 2|~
p∗ |2 = m21 + m22 + 2E1∗ (M − E1∗ ) + 2 E1∗2 − m21 .
Diese Gleichung läßt sich nach E1∗ auflösen mit dem Ergebnis
E1∗ =
M 2 + m21 − m22
2M
(2.6)
Für den Betrag des Schwerpunktimpulses gilt
[(M 2 − (m1 + m2 )2 ) (M 2 − (m1 − m2 )2 )]
|p~1 | = |p~2 | =
2M
∗
∗
1/2
.
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle
23
Drei-Teilchen-Zerfall. Bei dem Zerfall eines Teilchens der Masse M mit Viererimpuls P in
drei Teilchen der Massen m1 , m2 und m3 (Energien E1 , E2 und E2 im Ruhesystem von M )
definiert man die Viererimpulse Pij = Pi + Pj mit Pij2 = m2ij . Es gelten die Beziehungen
M 2 + m21 + m22 + m23 = m212 + m223 + m213
m212 = (P − P3 )2 = M 2 + m23 − 2M E3 .
Im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens liegen alle drei Teilchenimpulse in einer Ebene. Für
den Betrag des Impulses des 3. Teilchens im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens gilt
|~
p3 | =
[(M 2 − (m12 + m3 )2 ) (M 2 − (m12 − m3 )2 )]
2M
1/2
Der maximale Wert wird erreicht, wenn m12 = m1 +m2 , d.h. wenn Teilchen 1 und 2 mit gleicher
Geschwindigkeit in die gleiche Richtung fliegen.
Beispiel: Erzeugung des Υ in der e+ e− -Annihilation Das Υ-Meson hat eine Masse von
M = 9.46 GeV/c2 . In einem e+ e− -Speicherring mit gleichen Strahlenergien E ist eine Strahlenergie E = M/2 = 4.73 GeV erforderlich. Wollte man das Υ-Meson durch Reaktionen von
Positronen der Energie Elab mit ruhenden Elektronen erzeugen, wäre nach der Formel
M 2 = s = 2m2e + 2me Elab
eine Strahlenergie von Elab = 87 560 GeV erforderlich. Man erkennt an dem Ergebnis dieser
Rechnung die Vorteile des Speicherring-Prinzips.
Beispiel: Stoß eines hochenergetischen Teilchens mit einem ruhenden Elektron Die
maximale kinetische Energie, die von einem Teilchen der Masse M und des Impulses p = M γβ
auf ein freies Elektron in einem einzigen Stoß übertragen werden kann, ist gegeben durch
Tmax =
2m2 c2 β 2 γ 2
.
1 + 2γm2 /M + (m2 /M )2
m2 ist die Masse des Elektrons. Dieser Ausdruck wird meist durch die für M 2γm2 gültige
Näherung Tmax = 2m2 c2 β 2 γ 2 = 2m2 c2 (P/M )2 ersetzt.
Zahlenbeispiel: Ein Proton von 10 GeV/c Impuls kann in einem Stoß auf ein ruhendes Elektron
maximal eine kinetische Energie von 116 MeV übertragen. Der Energieverlust durch Stöße mit
Elektronen ist also gering.
Beispiel: Zerfall des geladenen Pions in Ruhe Das geladene Pion zerfällt gemäß π →
µ + ν in ein geladenes Muon und ein Neutrino, dessen Masse in dieser Rechnung als Null
angenommen wird. Erhaltung von Energie und Impuls erfordert die Beziehung
Pπ = P µ + P ν
(2.7)
24
Relativistische Kinematik
wobei der Vierervektor Pπ des in Ruhe befindlichen geladenen Pions durch Pπ = (mπ , 0) gegeben
ist. Aus der Gleichung (2.7) folgt Pν = Pπ − Pµ und Quadrieren dieser Gleichung ergibt
Pν2 = Pπ2 + Pµ2 − 2Pπ · Pµ
0 = m2π + m2µ − 2mπ Eµ∗
und als Ergebnis folgt unmittelbar:
Eµ∗
m2π + m2µ
=
2mπ
(vgl. Gleichung (2.6)). Zur Berechnung des Impulses geht man wieder von Gleichung (2.7) aus
und quadriert die Beziehung Pµ = Pπ − Pν :
Pµ2 = Pπ2 + Pν2 − 2Pπ · Pν
m2µ = m2π − 2mπ Eν∗
und wegen Eν∗ = |~
p∗ν | = |~
p∗µ | folgt für den Impuls des Myons:
|~
p∗µ | =
m2π − m2µ
2mπ
In diesem Fall führt die Rechnung mit Viererimpulsen zu einfachen Formeln.
Invariante Masse Kurzlebeige Teilchen kann man oft nur durch Untersuchung ihrer Zerfallsprodukte studieren. Das K 0 Meson zerfällt z.B. 10−10 sec nach der Erzeugung in 2 Pionen,
K 0 → π + π − . Erzeugt man in einem Experiment K 0 Mesonen, so werden die Viervektoren der
Pionen (P1 , P2 ) gemessen und man hat für das K Meson:
PK = P 1 + P 2
Die Masse des K Mesons ist durch das Quadrat des Vierimpulses gegeben:
m2K = PK2 = (P1 + P2 )2 ) = P12 + P22 + 2 P1 P2 = 2 m2π + 2 (E1 E2 − p~1 p~2 )
Wenn man also Energie und Impuls der Zerfallsteilchen kennt, kann man die Masse des Mutterteilchens bestimmen.
I.a. werden in einem Experiment viele Teilchen erzeugt. In Abb. 2.2.1 werden z.B. in π + p
Kollisionen 5 Teilchen erzeugt: π + pπ + π − π 0 . Die Invariante Masse von 3 Teilchen, π + π − π 0 , ist
aufgetragen. Man sieht über einem Kontinuum eine grosse “Resonanz” bei ca. 780 MeV/c2 .
Man interpretiert diese als kurzlebiges Teilchen, genannt ω, welches in die 3 Pionen zerfällt.
Bei ca. 500 MeV/c2 sieht man eine weitere kleinere Resonanz, die dem η entspricht. Nicht alle
π + π − π 0 Zustände kommen aus den beiden Teilchen. Es gibt zusätzlich einen “nicht resonanten”
Untergrund. Ein weiteres Beispiel ist in Abb. 2.2.1 zu sehen. Dort ist die invariante Masse von
einem µ+ µ− Paar aufgetragen, dass bei HERA erzeugt wird. Man sieht eine deutliche Resonanz
bei 3.1 GeV/c2 . Sie wird als Meson mit Namen J/ψ interpretiert. Bei ungefähr 3.7 GeV/c2 ist
ein angeregter Zustand zu sehen. Das J/ψ wird uns später noch beschäftigen.
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle
25
Events
Abbildung 2.7: Invariante Masse von π + π − π 0 Kombinationen in π + p
Wechselwirkungen.
6000
H1 Data
200
Fit
4000
100
0
3.4 3.6
2000
0
2.5
3
3.5
3.8 4 4.2
Mee,µµ [GeV]
4
Mee,µµ [GeV]
Abbildung 2.8: Invariante Masse von e+ e− und µ+ µ− Paaren in e p Wechelwirkungen bei HERA.
26
Relativistische Kinematik
2.2.2
Wirkungsquerschnitt
Die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden einer bestimmten Teilchenreaktion ist durch den
Wirkungsquerschnitt gegeben.
Klassisches Bild der Streuung am Potential. Bei klassischer Berchnung eines Wirkungsquerschnitts stellt man einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel ϑ und
dem Stoßparameter b (impact parameter) her; der Stoßparameter ist gleich dem Abstand, mit
dem das Projektil am Streuzentrum vorbei fliegen würde, wenn es keine Streuung gäbe. Der
Zusammenhang ϑ(b) hängt von dem speziellen Potential des Streuzentruns ab.
Bild Einlaufende Teilchen, die durch die Fläche dσ = b db dϕ (Kreisring) auftreffen, werden
um den Winkel ϑ in das Raumwinkelelement dΩ = sin ϑdϑdϕ gestreut:
dσ = D(ϑ, ϕ) · dΩ
Der Proportionalitätsfaktor D(ϑ, ϕ) heißt differentieller Wirkungsquerschnitt, das Integral über
den gesamten Raumwinkel ist der totale Wirkungsquerschnitt:
dσ
= D(ϑ, ϕ)
dΩ Z
σtot = |D(ϑ, ϕ)| dΩ
differentieller Wirkungsquerschnitt
totaler Wirkungsquerschnitt
Streuung an harter Kugel. Das Projektil wird elastisch an einer Kugel mit Radius R getreut.
Dann ist der Zusammenhang zwischen Stoßparameter b und Streuwinkel gegeben durch b =
R cos (ϑ/2). Dann ist der differentielle Wirkungsquerschnitt
dσ
b db
R cos (ϑ/2) R
R2
=
=
sin (ϑ/2) =
dΩ
sin ϑ dϑ
sin ϑ
2
4
Der differentielle Wirkungsquerschnitt hängt nicht vom Streuwinkel ab (isotrope Streuung).
Nach der Integration über den Azimutwinkel ϕ ergibt sich der differentielle Wirkungsquerschnitt
dσ
R2
=π
d cos ϑ
2
Integration über beide Winkel ergibt den totalen Wirkungsquerschnitt
Z 2
R
σtot =
dΩ = πR2
4
also die Fläche, die die harte Kugel abdeckt.
Rutherford-Streuung. Ein Teilchen der elektrischen Ladung q1 streut an einem stationären
Teilchen der Ladung q2 . Die klassische Mechanik ergibt den Zusammenhang zwischen Stoßparameter b und Streuwinkel ϑ auf Grund der Coulombkraft zwischen den elektrischen Ladungen:
q1 q2
cot (ϑ/2)
b=
2E
Die Ergebnisse für den differentiellen und den totalen Wirkungsquerschnitt sind
2
dσ
q1 q2
=
dΩ
4E sin2 (ϑ/2)
q q 2 Z π sin ϑ
1 2
σtot = 2π
dϑ = ∞
2
4E
0 sin (ϑ/2)
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle
27
Der divergierende totale Wirkungsquerschnitt hängt mit der unendlichen Reichweite des CoulombPotentials (1/r-Gesetz) zusammen. Tatsächlich gibt es eine Abschirmung durch andere Atome
und Experimente haben eine endliche Winkelauflösung. Bei Integration über ϑ nicht von 0 bis
π, sondern von einem Wert ϑmin , ist das Integral endlich.
Der Wirkungsquerschnitt einer Reaktion kann in Festtarget- und in Speicherring-Experimenten
experimentell bestimmt werden.
Festtarget-Experiment. Bei einem Festtarget-Experiment wird ein Strahl von N1 Teilchen
pro Zeiteinheit, Ṅ1 , auf ein festes Target der Dicke dx gelenkt. Das Target hat eine Teilchendichte n2 , die gegeben ist durch
NA [Teilchen/mol] · ρ[g/cm3 ]
Teilchen
n2 =
A[g/mol]
cm3
(A = Atomgewicht, NA = Avogadro-Zahl, ρ = Dichte). Die Zahl der Wechselwirkungen der
Strahlteilchen (Index 1) pro Zeiteinheit, Ṅ , mit den Teilchen des Targets (Index 2) ist proportional zum Wirkungsquerschnitt σ der Dimension Fläche:
Ṅ = Ṅ1 · n2 dx · σ .
Geometrisch kann man sich das (dimensionslose) Produkt n2 · dx·σ als Anteil der Querschnittsfläche des Target vorstellen, der durch die Targetteilchen abgedeckt wird. Die übliche Einheit
des Wirkungsquerschnitts σ ist 1 barn = 10−28 m2 . Der Faktor L = Ṅ1 · n2 · dx wird Luminosität
genannt.
Abbildung 2.9: Zur Definition des Wirkungsquerschnitts
Bei den Wechselwirkungen unterscheidet man zwischen elastischen Wechselwirkungen (zum
Beispiel p p → p p) und inelastischen Wechselwirkungen (zum Beispiel p p → p n π + ):
totaler Wirkungsquerschnitt
elastischer Wirkungsquerschnitt
inelastischer Wirkungsquerschnitt
= σtot = σel + σinel
= σel
= σinel
Die Abschwächung der Intensität eines Teilchenstrahls bei Durchgang durch eine Materieschicht
durch Wechselwirkungen mit den Teilchen des Targets folgt aus der differentiellen Beziehung
dN1 (x) = −N1 (x) n2 dx σ; die Anzahl der Teilchen 1 in der Eindringtiefe x folgt dem Exponentialgesetz
N1 (x) = N10 e−n2 ·σ·x = N10 e−x/` = N10 e−µ·x
28
Relativistische Kinematik
mit der mittleren freien Weglänge ` zwischen Wechselwirkungen bzw. mit dem Absorptionskoeffizienten µ = 1/`:
mittlere freie Weglänge
`=
1
1
A
·
=
n2 · σ
N ·σ ρ
| A{z }
λ [g/cm2 ]
Die Größe λ ist eine charakteristische Länge mit der Einheit [g/cm2 ]. Durch Division durch
die Dichte ρ (Einheit [g/cm3 ]) erhält man die Länge in der gewohnten Einheit [cm]. Man
unterscheidet bei λ nach dem verwendeten Wirkungsquerschnitt;
NA
· σtot
A
NA
=
· σinel
A
Stoßlänge (collision length) λT
λ−1
T =
Wechselwirkungslänge (interaction length) λI
λ−1
I
Werte der collision length und interaction length sind für viele Materialien im PDG Booklet
angegeben. Bei einer Mischung mehrerer Elemente mit Gewichtsanteilen wj für das Element j
lautet die Formel
X w j · σj
.
λ−1 = NA
A
j
j
Speicherring-Experiment. Die beiden im Gegensinn umlaufenden Strahlen sind in Form von
Paketen gespeichert, in denen N1 und N2 Teilchen gespeichert sind. Wenn f die Frequenz ist,
mit der die Teilchenpakete kollidieren, dann ist die Rate Ṅ der Reaktionen gegeben durch
N1 · N2
Ṅ = f
·σ = L · σ
Aeff
|
{z
}
L = Luminosität
bei einer effektiven Überlappungsfläche der Strahlen von Aeff . Bei Teilchenstrahlen homogener
Dichte der Breiten ax und ay wäre Aeff = ax ay die Querschnittsfläche der Strahlen. Tatsächlich
folgt die Dichteverteilung in Teilchenstrahlen eher einer Gaußverteilung und dann ist die effektive Fläche gegeben durch Aeff = 4πσx σy , wobei σx und σy die Standardabweichungen der
Teilchendichten senkrecht zur Flugrichtung sind.
R
R
Die Anzahl von Ereignissen ist N = σ · L dt, wobei L dt die integrierte Luminosität ist. In
Experimenten an Speicherringen wird die integrierte Luminosität im allgemeinen
durch Messung
R
einer Reaktion mit bekanntem Wirkungsquerschnitt σ bestimmt durch L dt = N/σ.
Typische Werte von Wirkungsquerschnitten. Für Hadron-Hadron-Stöße bei hohen Energien (starke Wechselwirkung) ist bei hohen Energien die Energieabhängigkeit nur schwach. Für
p p-Streuung ist der totale Wirkungsquerschnitt bei Strahlimpulsen von 10 bis 100 GeV/c etwa
σ = 40 mb. Das Proton erscheint dabei als absorbierende Scheibe mit dem Radius r = 1.2 fm
und der Fläche σ = π(1.2×10−15 m)2 ≈ 40mb = 4×10−30 m2 . Der Wirkungsquerschnitt für inelastische Reaktionen von Protonen und Neutronen ist etwa gleich groß und verhält sich für Targets
der Massenzahl A wie σinel ∝ A0.71 . Für π p-Streuung ist die Abhängigkeit von der Pion Energie
in Abb. 2.10 zu sehen im Vergleich zu Streuung von Photonen (elektromagnetische Wechselwirkung) und Neutrinos (schwache Wechselwirkung). Bei e+ e− -Speicherring-Experimenten bezieht
2.3
∗
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
29
Abbildung 2.10: Vergleich der Wirkungsquerschnitte für die Streuung von Pionen (starke Wechselwirkung), Photonen (elektromagnetische Wechselwirkung) und Neutrinos (schwache Wechselwirkung) als Funktion des Impulses des einlaufenden Teilchens (Festtarget).
man sich oft auf den Wirkungsquerschnitt für die Erzeugung von µ-Paaren. Der Wirkungsquerschnitt dieser Reaktion ist
4πα2
86.8 nb
=
σ e+ + e − → µ + + µ − =
.
3s
s [in GeV2 ]
Bei einer Gesamtenergie von 10 GeV ist der Wirkungsquerschnitt σ = 0.868 nb = 0.868 × 10 −37
m2 .
In der schwachen Wechselwirkung ist der Zahlenwert des Wirkungsquerschnitts um viele Größenordnungen kleiner. Bei 10 GeV/c Strahlimpuls ist der Wirkungsquerschnitt für ν p-Wechselwirkungen
etwa 70 fb = 0.7 ×10−41 m2 .
2.3
∗
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
In diesem Kapitel werden einige Ergebnisse aus der Quantenmechanik wiederholt, die aber nur
z.T. in der Vorleung gebracht werden.
30
Relativistische Kinematik
2.3.1
Goldene Regel
Für Teilchenzerfälle muß die Zerfallsrate Γ, und für Teilchenreaktionen der Streuquerschnitt
σ berechnet werden. Für beide Probleme sind (1) die Amplitude für den Prozess und (2) der
verfügbare Phasenraum zu berechnen. Die Amplitude enthält die dynamische Information der
beteiligten Wechselwirkung; der Phasenraumfaktor enthält nur die kinematische Information,
und hängt ab von den Massen, Energien und Impulsen der beteiligten Teilchen.
Diese Rechnungen basieren im einfachsten Fall auf der quantenmechanischen Störungstheorie.
Die Übergangsrate für einen gegebenen Prozess ist nach der ”Goldenen Regel” von Fermi
Übergangsrate =
2π
|M|2 × ρ(E)
h̄
(2.8)
durch die Amplitude M und den Phasenraum-Faktor ρ(E) bestimmt. Darin ist M die Amplitude für den Übergang von einem Anfangszustand a in einen Endzustand b. Der Beweis wird
im folgenden skizziert.
Nichtrelativistische Störungsrechnung. Die Herleitung geht aus von der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung
∂ψ
= H0 ψ
(2.9)
ih̄
∂t
Dabei ist H0 der Hamilton-Operator für stationäre Zustände. Man bestimmt die stationären
Zustände, indem man den Ansatz
ψ = un (~r) e−iEn t/h̄
in die Schrödinger Gleichung (2.9) einsetzt. Man erhält die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
H 0 un = E n un ,
(2.10)
die gelöst werden muß. Die Eigenfunktionen un bilden ein vollständiges Orthonormalsystem mit
der Eigenschaft
Z
u∗m un d~r = δnm .
(2.11)
Wenn sich das System in einem Eigenzustand un mit Energieeigenwert En befindet, dann bleibt
es in diesem Zustand; Übergänge zu anderen Zuständen finden nicht statt.
Nun wird ein System betrachtet, in dem Übergänge zwischen Zuständen durch einen Wechselwirkungsterm Hint nach Abbildung 2.11 bewirkt werden. Der Hamiltonoperator des Systems
ist durch H = H0 + Hint gegeben. In nullter Näherung kann der Zustand dieses Systems noch
durch die Energien En und die Eigenfunktionen un beschrieben werden. Ein bestimmter Anfangszustand |ai kann also durch die Eigenfunktionen un beschrieben werden, ist jedoch nicht
mehr stationär. Der Störoperator Hint bewirkt Übergänge in andere Zustände, zum Beispiel
in den Zustand |bi. Die Abbildung 2.11 zeigt die Streuung eines im Zustand |ai einfallenden
Teilchens in den Zustand |bi.
Zur Berechnung der Übergangsrate geht man aus von der Schrödinger-Gleichung
ih̄
∂ψ
= (H0 + Hint ) ψ .
∂t
(2.12)
2.3
∗
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
31
Hint
|ai
|bi
Abbildung 2.11: Der Wechselwirkungsoperator Hint bewirkt den Übergang von dem ungestörten
Eigenzustand |ai in einen ungestörten Eigenzustand |bi.
Die Wellenfunktion ψ wird als Entwicklung nach den ungestörten Eigenfunktionen angesetzt:
X
ψ=
cn (t)un e−iEn t/h̄ .
(2.13)
n
Die Koeffizienten cn (t) sind Funktionen der Zeit und |cn (t)|2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, das
System zur Zeit t im Zustand n mit der Energie En zu finden. Einsetzen in die SchrödingerGleichung (2.12) ergibt:
X
X
X
ih̄
ċn un e−iEn t/h̄ +
En cn un e−iEn t/h̄ =
cn (H0 + Hint ) un e−iEn t/h̄
(2.14)
n
n
n
Da die Funktionen un Lösungen der Eigenwertgleichung (2.10) sind, heben sich der zweite
Ausdruck auf der linken Seite und der erste Ausdruck der rechten Seite heraus; es verbleibt
X
X
ih̄
ċn un e−iEn t/h̄ =
cn Hint un e−iEn t/h̄ .
(2.15)
n
n
Die Gleichung wird von links mit u∗m multipliziert und über den ganzen Raum integriert; unter
Beachtung der Orthonormalität der Funktionen un nach Gleichung (2.11) erhält man
X
ih̄ċm =
hm|Hint |ni cn ei(Em −En )t/h̄
(2.16)
n
mit der Abkürzung für das Matrixelement des Wechselwirkungsoperators Hint :
Z
hm|Hint |ni = u∗m (~r)Hint un (~r) d~r .
(2.17)
Die Beziehungen (2.16) für alle m sind äquivalent zur Schrödinger-Gleichung (2.12). Nun wird
eine Näherungslösung dieser Gleichung (2.16) bestimmt. Man nimmt an, daß sich das System
zunächst in einem speziellen Zustand |ai des ungestörten Systems befindet (Anfangszustand).
Für die Entwicklungskoeffizienten gilt dann
ca (t) = 1
cn (t) = 0 für n 6= a
t < t0
(2.18)
Bei einer schwachen Störung treten während der Beobachtungszeit nur wenige Übergänge auf;
der Anfangszustand wird kaum gestört und die anderen Zustände werden nicht wesentlich
bevölkert. Dann kann man die Annahme
ca (t) ≈ 1
cn (t) 1 für n 6= a
t > t0
(2.19)
32
Relativistische Kinematik
machen. Mit dieser Annahme wird die Gleichung (2.16) vereinfacht zu
1
hm|Hint |ai ei(Em −Ea )t/h̄ .
(2.20)
ih̄
Wenn die Störung Hint zur Zeit t0 eingeschaltet wird und danach konstant bleibt, ergibt die
Integration für m 6= a bis zur Zeit t = T
Z T
hm|Hint |ai 1
hm|Hint |ai
ei(Em −Ea )t/h̄ dt =
1 − ei(Em −Ea )T /h̄ .
(2.21)
cm =
ih̄
Em − E a
0
ċm =
Die Wahrscheinlichkeit, das System nach einer Zeit T in einem bestimmten Zustand m zu
finden, ist durch das Absolutquadrat des Koeffizienten cm (T ) gegeben:
Pma (T ) = c∗m (T )cm (T ) = 4 |hm|Hint |ai|2
sin2 [(Em − Ea ) T / (2h̄)]
.
(Em − Ea )2
(2.22)
Ist die Differenz zwischen den Energien Em und Ea groß, so wird die Übergangswahrscheinlichkeit
wegen des Quadrats der Differenz im Nenner klein sein, und Übergänge in solche Zustände
können für größere Zeiten T vernachlässigt werden. Wenn dagegen für eine Gruppe von Zuständen
m die Energie im Kontinuum nahe bei Ea liegt, kann das Matrixelement hm|Hint |ai praktisch
unabhängig von m sein und man schreibt hb|Hint |ai. Die Übergangswahrscheinlichkeit wird
dann durch den Faktor
sin2 [(Em − Ea ) T / (2h̄)]
(Em − Ea )2
bestimmt, dessen Abhängigkeit von der Energiedifferenz Em − Ea in der Abbildung 2.12 gezeigt wird. Nur in dem Energiebereich von Ea − ∆E bis Ea + ∆E mit ∆E = 2πh̄/T ist
die Übergangswahrscheinlichkeit wesentlich von Null verschieden, und mit wachsender Zeit T
nimmt die Breite ∆E ab. Die Rechnung ergibt also den aus der Heisenbergschen Unschärferelation
bekannten Zusammenhang.
P
2πh̄/T
−2πh̄/T
0
−2πh̄/T
∆E
Abbildung 2.12: Übergangswahrscheinlichkeit P als Funktion der Energiedifferenz ∆E = Em − Ea . Es treten
hauptsächlich Übergänge auf zu Energien,
die nahe bei der ursprünglichen Energie
liegen.
Die Gleichung (2.22) ergibt die Übergangswahrscheinlichkeit vom Anfangszustand a in einen
der möglichen Endzustände m. Die totale Übergangswahrscheinlichkeit in alle Zustände des
durch ∆E gegebenen Energieintervall ist die Summe über die individuellen Übergänge:
P (T ) =
X
m
Pma = 4 |hb|Hint |ai|2
X sin2 [(Em − Ea ) T / (2h̄)]
m
(Em − Ea )2
.
(2.23)
2.3
∗
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
33
Dabei wurde das Matrixelement als unabhängig von m angenommen. Dies ist gegeben, wenn
∆E/Ea 1 gilt. Quantitativ bedeutet diese Bedingung
T 4 × 10−21 sec
2πh̄
≈
.
Ea
Ea [in MeV]
(2.24)
Schließlich können die diskreten Energiezustände Em durch ein Kontinuum ersetzt werden,
man
P
schreibt
für die Energie E(N ) und ersetzt die Summe in Gleichung (2.23) gemäß m . . . →
R
. . . dN durch ein Integral:
Z
sin2 [(E(N ) − Ea ) T / (2h̄)]
2
dN
(2.25)
P (T ) = 4 |hb|Hint |ai|
(E(N ) − Ea )2
Zur Berechnung des Integrals kann man die Grenzen nach ±∞ ausdehnen und eine Variablensubstitution vornehmen:
x=
(E(N ) − Ea ) T
2h̄
dN =
dN
2h̄ dN
dE =
dx .
dE
T dE
Damit wird die Übergangswahrscheinlichkeit
dN T
P (T ) = 4 |hb|Hint |ai|
dE 2h̄
2
Z
+∞
−∞
sin2 x
dx .
x2
(2.26)
Dass Integral hat den Wert π und damit wird die Übergangswahrscheinlichkeit
P (T ) =
2πT
dN
|hb|Hint |ai|2
h̄
dE
(2.27)
Die Übergangswahrscheinlichkeit ist proportional zur Zeit T . Die Übergangsrate wba zwischen
den Zuständen a und b ist P (T )/T und damit erhält man die goldene Regel:
wba =
dN
2π
|hb|Hint |ai|2
h̄
dE
(2.28)
Der letzte Faktor ist der Phasenraumfaktor
dN
= ρ (E)
dE
(2.29)
und wird auch Zustandsdichte genannt; er gibt die Anzahl der verfügbaren Zustände pro Energieintervall an.
Phasenraumfaktor. Für ein einzelnes Teilchen ist die Anzahl der Endzustände in einem Volumen V mit Impulsen im Element d3 p~ gegeben durch V d3 p~/(2π)3 . In einem Kasten des Volumens
V = L3 werden die periodischen Randbedingungen erfüllt, wenn die erlaubten Werte der Komponente px gegeben sind durch Lpx = 2πn, wobei n eine ganze Zahl ist. Daher ist die Zahl
der erlaubten Zustände im Intervall px bis px + dpx gegeben durch Ldpx /(2π). Relativistische
Wellenfunktionen werden i.a. so normiert, daß die Dichte 2E/V , wobei V ein Normierungsvolumen ist, das sich bei der Berechnung von physikalischen Größen wie Wirkungsquerschnitten
weghebt. Damit erhält man
Zahl der Endzustände/Teilchen =
V d3 p~
(2π)3 · 2E
34
Relativistische Kinematik
Dieser Ausdruck ist lorentzinvariant.
Bei n-Teilchen-Zuständen ergibt sich die Zahl der verfügbaren Zustände als Produkt der EinTeilchen-Ausdrücke. Durch Multiplizieren mit der Deltafunktion
(2π)4 δ (4) (P1 + P2 + . . . + Pn − Pa − Pb )
wird die Energie- und Impulserhaltung sichergestellt. Damit erhält man den folgenden Phasenraumfaktor
4
dΦ (Pa + Pb , P1 , P2 , . . .) = (2π) δ
2.3.2
(4)
(P1 + P2 + . . . + Pn − Pa − Pb )
n
Y
i=1
d3 p i
.
(2π)3 · 2Ei
(2.30)
Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt
Die quantenmechanische Rechnung von Wirkungsquerschnitten beruht auf der Anwendung der
Goldenen Regel. Dabei ist noch der Flußfaktor zu berücksichtigen, der die experimentellen
Bedingungen berücksichtigt.
Flußfaktor. Der Flußfaktor ist definiert als Produkt aus dem Fluß der einlaufenden Teilchen
ja und der Dichte der Targetteilchen. Relativistische Wellenfunktionen werden i.a. so normiert,
daß die Dichte 2E/V , wobei V ein Normierungsvolumen ist, das sich bei der Berechnung von
physikalichen Größen wie Wirkungsquerschnitten weghebt. Mit dieser Normierung ist der Fluß
der einlaufenden Teilchen und die Dichte der Targetteilchen ρb gegeben durch (|~v | = relativgeschwindigkeit der Teilchen a b)
ja =
|~v |
V /(2Ea )
ρb =
2Eb
V
Man kann den Flußfaktor in einem Lorentzinvarianten Ausdruck schreiben:
q
4Ea Eb
4
F = |~v |
= 2 (Pa · Pb )2 − m2a m2b
V2
V
Da die rechte Seite Lorentzinvariant ist, genügt es, die Gültigkeit in einem Inertialsystem zu
zeigen. Im Laborsystem mit Pa = (Ea , p~a ) und Pb = (mb , 0) ist das Produkt der Vierervektoren
Pa · Pb = Ea mb . Daher ist
q
p
(Pa · Pb )2 − m2a m2b = Ea2 − m2a mb = |~v | Ea Eb
Damit ergibt sich folgender Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:
1
dσ = p
|M|2 × dΦ (Pa + Pb , P1 , P2 , . . . )
2 2
4 (P1 P2 ) − m1 m2
Fermi’s Goldene Regel
Der Wirkungsquerschnitt ist proportional dem Quadrat des Übergangsmatrixelements M
M = hψf |Hint |ψi i
das nach den Feynman-Regeln berechnet wird und das die Dynamik (Kräfte, Wechselwirkungen)
der Reaktion beschreibt; dabei sind Ψi und Ψf die Wellenfunktionen des Anfangszustandes (i,
initial state) und des Endzustandes (f, final state) und Hint ist der Wechselwirkungsoperator.
2.3
∗
2.3.3
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
Teilchenzerfälle
Lebensdauer und Zerfallsbreite. Der Teilchenzerfall ist ein statistischer Prozess. Für ein
einzelnes Teilchen kann es keine Vorhersage für die tatsächliche Lebensdauer geben, sondern es
kann nur eine mittlere Lebensdauer τ definiert werden, die dem Mittelwert der Lebensdauer für
ein Ensemble von vielen instabilen Teilchen entspricht.
Die Zerfallswahrscheinlichkeit für ein einzelnes Teilchens in der Zeit dt ist Γ · dt, unabhängig
von t, mit einer charakteristischen Konstante Γ mit der Einheit [s −1 ], genannt Zerfallsrate.
Die Zeit des Zerfalls eines einzelnen Teilchens folgt der exponentiellen Dichteverteilung f (t) =
1/Γ exp(−Γt). Für N Teilchen folgt aus der differentiellen Veränderung der Teilchenzahl dN =
−N · Γ · dt das exponentielle Zerfallsgesetz
N (t) = N0 · e−Γt
Für die mittlere Lebensdauer τ ergibt sich
Z ∞
t · N (t) dt
−Γt ∞
−Γ
·
e
0
= 1
τ= Z
=
∞
2
Γ
Γ
0
N (t) dt
0
Wenn es mehrere Zerfallskanäle (Index i) gibt, definiert man einzelne Zerfallsraten Γi mit der
totalen Zerfallsrate
X
1
Γtotal =
Γi und τ =
Γtotal
i
P
Als Verzweigungsverhältnisse Bi definiert man die Verhältnisse Γi /Γtotal (mit i Bi = 1.)
Ähnlich wie sich Wirkungsquerschnitte für die verschiedenen Wechselwirkungen unterscheiden,
so hat man auch für die Lebensdauern große Unterschiede je nach Wechselwirkung, die den
Zerfall beherrscht, s. Abb. 2.13.
Resonanzen. Kurzlebige Teilchen werden Resonanzen genannt. Im Experiment lassen sich oft
nur die Zerfallsteilchen messen. Zur Suche nach neuen kurzlebigen Teilchen müssen in möglichst
vielen Zerfällen die Impulse gemessen werden, bei einem Zweiteilchenzerfall also p~1 und p~2 .
Durch Teilchenidentifierung können den beiden Teilchen Massen m1 und m2 zugeordnet werden;
oft erfolgt die Massenzuordnung auch ohne Teilchenidentifizierung (Massenhypothesen).
Damit
p
sind die Vierervektoren der beiden Zerfallsteilchen bekannt; durch m12 = (P1 + P2 ) (P1 + P2 )
kann die Zweiteilchenmasse m12 berechnet werden (m12 wird auch effektive oder invariante
Masse des Zweiteilchensystems genannt). In der Häufigkeitsverteilung dN/dm12 der Massen
m12 kann die Resonanz durch ein Maximum identifiziert werden.
Berechnung von Zerfallsraten. Betrachtet wird der Zerfall eines Teilchens der Masse M in
n Teilchen; für die Vierervektoren gilt
P = P1 + P2 + . . . + P n .
Die Berechnung der Übergangsrate, d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Übergang in den nTeilchen-Endzustand mit bestimten Impulsen, ist gegeben durch
Übergangsrate =
(2π)4
|M|2 × dΦ (P, P1 , P2 , . . . )
2M
Fermi’s Goldene Regel
35
36
Relativistische Kinematik
Abbildung 2.13: Vergleich von charakteristischen Lebensdauern für Zerfälle über starke, elektromagnetische und schwache Wechselwirkung.
Abbildung 2.14: Blasenkammeraufnahme mit dem Zerfall eines K + in
drei Pionen: K + → π + π + π − . Die beiden positiven Pionen zerfallen gemäß
π + → µ+ νµ . Die Myonen kommen nach einer Reichweite von ca. 1.1 cm
zur Ruhe, und zerfallen dann gemäß µ+ → e+ ν̄µ νe ; das Positron ist jeweils
durch eine Spirale sichtbar. Das negative Pion zerfällt gemäß π − → µ−ν̄µ ;
das negative Myon wird am Ende seiner Reichweite eingefangen.
2.3
∗
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
Die Herleitung dieser Formel ist analog zur Diskussion beim Wirkungsquerschnitt. Die Zerfallsrate Γ für den Zerfall in diesen Endzustand erhält man durch Integration über alle Impulse.
Anwendung: Zerfall π 0 → γγ
Im Schwerpunktsystem kann der Vierervektor des π 0 als P = (M, 0) geschrieben werden. Die
Delta-Funktion δ 4 (P − p1 − p2 ) kann man daher als Produkt δ(M − E1 − E2 ) δ 3 (−~
p1 − p~2 )
schreiben. Da die Massen der Zerfallsteilchen in diesem Fall verschwinden (m1 = m2 = 0), ist
E1 = |~
p1 | und E2 = |~
p2 |. Die Zerfallsrate Γ erhält man durch Integration der Übergangsrate
alle Impulse:
Z
|M|2
1 (2π)4 1
δ (M − |~
p1 | − |~
p2 |) δ (−~
p1 − p~2 ) d3 p1 d3 p2
Γ=
2M (2π)6 4
|~p1 | |~p2 |
Z
|M|2
1
=
p1 |) d3 p1
2
2 δ (M − 2 |~
2M (2π)
|~
p1 |
Das zerfallende π0 hat Spin 0, daher kann das Matrixelement M nur von |~
p1 | abhängen:
Z
1
|M|2
Γ=
p1 |) · 4π |~
p1 |2 dp1
2
2 δ (M − 2 |~
2M (4π)
|~
p1 |
Z
1
1
M
2
|M| δ (M − 2 |~
p1 |) dp1 mit δ (M − 2 |~
p|) = δ
=
− |~p1 |
8πM
2
2
ergibt die Zerfallsrate
Γ=
1
|M|2
16πM
Bei der Berechnung von |M|2 muß berücksichtigt werden, daß der Endzustand durch zwei
identische Teilchen gebildet wird (Bose-Statistik). Bei einem Zerfall in zwei Teilchen mit gleichen
Massen m1 = m2 6= 0 wäre die Zerfallsrate
Γ=
|~
p1 |
|M|2
2
8πM
Breit-Wigner-Resonanzkurve. Betrachtet wird ein instabiles Teilchen a der Masse Ma (Resonanz), das durch Zerfall in einen Zustand b übergeht: a → b. Entsprechend der exponentiellen
Zerfallswahrscheinlichkeit (∝ e−Γ·t ) muß der Absolutbetrag der Amplitude für den Zustand a
einen exponentiellen Faktor e−Γ/2·t enthalten. Dieser Faktor kommt in der Wellenfunktion zu
dem energieabhängigen Faktor e−ı·E·t hinzu. Die zeitliche Änderung des Zustandes b wird beschrieben durch
i · ċb (t) = ca (t) · hb|Hint |ai + cb (t) · hb|Hint |bi
|{z}
|
{z
}
−Γ/2·t
vernachlässigen
→e
Durch Einsetzen der zeitabhängigen Faktoren und mit Ea = M erhält man
i · ċb (t) ∼
= hb(~x)|Hint |a(~x)i e+i(Eb −Ea )t · e−Γ/2·t
37
38
Relativistische Kinematik
Abbildung 2.15: Breit-Wigner Resonanzkurve (nicht-relativistisch)
Der Exponentialfaktor enthält im Exponenten einen Imaginärteil sowie einen Realteil (Γ) entsprechend der zeitlichen Annahme des Betrags der Amplitude. Durch Integration über die Zeit
erhält man die Amplitude des Zustands b
Z
hb(~x)|Hint |a(~x)i T −[ Γ −i(Eb −Ea )]t
cb =
dt
e 2
i
0
1
für T → ∞
= hb(~x)|Hint |a(~x)i
Γ/2 − i (Ea − Eb )
Das Betragsquadrat ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Zerfall a → b einen Zustand |bi mit
der Energie Eb zu finden, wenn die Masse der Resonanz M = Ea ist und beschreibt damit die
Massenunschärfe einer kurzlebigen Resonanz.
c∗b cb = |cb (T → ∞)|2 =
2π
hb(~x)|Hint |a(~x)i2
Γ
Γ/2π
(E − M )2 + Γ2 /4
{z
}
| b
nichtrelat. Breit-Wigner Kurve
Der Verlauf der Breit-Wigner Kurve ist analog zu Resonanzkurven aus der Mechanik und
dem Elektromagnetismus. In dieser für kurzlebige Resonanzen charakteristischen Breit-Wigner
Kurve ist die Breite bei halber maximaler Höhe (FWHM = full width at half maximum) gleich
dem Parameter Γ, Skizze in Abb. 2.15. Der Parameter wurde vorher in der Einheit [s −1 ] benutzt,
bei einem Bezugssystem, in dem h̄ = 1 ist. Zur Umrechnung der Energieunschärfe in die übliche
Energieeinheit muß Γ mit h̄ multipliziert werden: ∆E = h̄Γ mit h̄ = 6.582 × 10−22 MeV s. Die
Beziehung Γ · τ = 1 ist dann die Heisenbergsche Unschärferelation ∆E · ∆t = h̄Γ · τ = h̄.
Ein Beispiel ist in Abb. 2.16 zu sehen.
2.3
∗
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
Abbildung 2.16: Illustration der Begriffe “Resonanz”, Breit-Wigner Verteilung und Phasenraum.
39
40
Relativistische Kinematik
Glossar
Breit-Wigner-Kurve
Delta-Funktion
Energie
Exklusive Reaktionen Eine Reaktion, bei der sämtliche Teilchen des Endzustandes betrachtet werden, wird als exklusive Reaktion bezeichnet.
Exponentielle Zeitverteilung Die Zerfallszeit t eines einzelnen instabilen Teilchen folgt einer
exponentiellen Verteilung. Im Ruhsystem des Teilchens ist der Parameter die Zerfallskonstante Γ mit der Dimension [s−1 ]. Der Erwartungswert der Zerfallszeit ist hti = τ = 1/Γ,
die mittlere Lebensdauer. Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ist
f (t) dt = 1/τ exp(−t/τ ) dt
Die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall bis zur Zeit t0 ergibt sich durch Integration:
Z t0
Z t0
t0
f (t) dt = 1/τ
e−t/τ dt = − e−t/τ 0 = 1 − e−t0 /τ
0
0
sodaß die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine Zeit t0 oder grøßer gegeben ist durch
e−t0 /τ .
Bei Bewegung mit Energie E bzw. Impuls p~ ist die Überlebenswahrscheinlichkeit eines
Teilchens der Masse M für eine Zeit t0 oder größer, und die Wahrscheinlichkeit für das
Zurücklegen einer Flugstrecke x0 oder größer gegeben durch gegeben durch
P (t0 ) = e−(M/E)Γt0
P (x0 ) = e−(M/|p~|)Γx0
Festtarget-Experiment In einem Festtarget-Experiment treffen die Strahlteilchen der Masse
ma auf die Teilchen des Targets mit Masse
die sich in Ruhe befinden. Die Gesamt√ mb ,p
2
energie im Schwerpunktsystem ist W = s = m2a + m
√b + 2Ea mb , für große Energien
bei Vernachlässigung der Massen also proportional zu 2Ea mb . Die Gesamtenergie im
Schwerpunktsystem nimmt also nur mit der Wurzel der Strahlenergie Ea zu.
Fermi’s Goldene Regel
Freie Weglänge
Impuls
Inertialsystem Systeme, in denen das 1. Newtonsche Gesetz gilt, heißen Inertialsysteme. Aus
F~ = 0 folgt ~v = konstant. Inertialsysteme haben eine konstante Relativgeschwindigkeit
gegeneinander. In Inertialsystemen sind die physikalischen Gesetze gleich, zum Beispiel
gelten die Maxwellschen Gleichungen in gleicher Weise in allen Inertialsystemen. Daraus folgt, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen, die →
Lichtgeschwindigkeit c, im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich c ist. Dies wurde experimentell durch das Michelson-Experiment gezeigt.
2.3
∗
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
Inklusive Reaktionen Eine Reaktion, bei der nicht sämtliche Teilchen der Reaktion betrachtet werden, wird als inklusive Reaktion bezeichnet. Beispiel für inklusive Reaktionen sind
solche Reaktionen, bei denen nur eines der Teilchen im Endzustand, zum Beispiel π + ,
betrachtet werden, oder die zum totalen Wirkungsquerschnitt beitragenden Reaktionen.
Längenkontraktion
Lebensdauer Die Lebensdauer eines instabilen Teilchens wird i.a. im Ruhesystem des Teilchens gegeben. Jedes instabile Teilchen hat eine wohldefinierte mittlere Lebensdauer τ .
Lichtgeschwindigkeit Die Vakuuumlichtgeschwindigkeit c ist in allen → Inertialgeschwindigkeiten gleich. Der Zahlenwert ist festgesetzt als c = 299792458 m s−1 . Daraus abgeleitet
ist das Meter als Lichtweg im Vakuum in 1/299 792 458 einer Sekunde.
Lorentz-Transformation
Luminosität Die Luminosität L ist in einem Streuexperiment der Proportionalitätsfaktor zwischen dem → Wirkungsquerschnitt σ und der Reaktionsrate Ṅ entsprechend
Ṅ = L · σ.
R
2 −1
Die Einheit der Luminosiät ist [[m] s ]. Die integrierte Luminosität L dt multipliziert
mit dem Wirkungsquerschnitt σ ergibt die Anzahl der Reaktionen.
Masse Masse m ist stets die Masse im Ruhesystem des Teilchens, die Ruhemasse. Der Begriff der relativistischen Masse mrel (oder bewegten Masse) ist überflüssig und wird nicht
benutzt; die Definition mrel = γm unterscheidet sich von der Energie lediglich um den
konstanten Faktor c2 .
Matrixelement
Poisson-Verteilung Bei einer erwarteten Anzahl N von Teilchenreaktionen folgt die tatsächlich
stattfindende Anzahl n einer Poisson-Verteilung, die durch
PN (n) = e−N
Nn
n!
gegeben ist. Erwartungswert und Varianz σ 2 (Quadrat der Standardabweichung) sind bei
der Poisson-Verteilung gegeben durch N . Die beobachtete Anzahl n von
√ Reaktionen hat
daher bei einem Erwartungswert von N die Standardabweichung σ = N .
Rapidität Die Rapidität wird bei
p 1
E + pz
E + pz
z
y = ln
= ln
= tanh−1
2
E − pz
mT
E
Die Rapidität hat ein einfaches Verhalten bei Lorentz-Transformationen in z-Richtung:
bei einer Geschwindigkeit β verändert sich die Rapidität gemäß y → y − tanh−1 β. Damit
bleibt die Form der Rapiditätsverteilung dN/dy unverändert.
Für p m kann die Rapidiät mit cos θ = pz /p entwickelt werden in
y=
1 cos2 (ϑ/2) + m2 /(4p2 ) + . . .
ln
2 sin2 (ϑ/2) + m2 /(4p2 ) + . . .
41
42
Relativistische Kinematik
Als Näherung der Rapidität wird die Pseudorapidität η benutzt, wenn Masse und Impuls
des Teilchens nicht gemessen sind; die Pseudorapidität η ist definiert durch
η = − ln (ϑ/2)
und entspricht näherungsweise der Rapidität für p m und ϑ 1/γ.
Resonanz
Speicherring-Experiment
Teilchenstreuung, -reaktion
Teilchenzerfall
Vierervektor
Wirkungsquerschnitt
Zeitdilatation
Zerfallsrate
Zerfallskanal
Übergangsmatrixelement
Verzweigungsverhältnis
Wechselwirkung
Kapitel 3
Teilchenbeschleuniger
Dieses Kapitel stammt von R. Heuer und P. Schmüser. Es ist leicht geändert gegenüber der
jetzigen Version in Bergmann-Schäfer, Band IV. Dort wird es demnächst in einer Neuauflage
erscheinen.
3.1
Einleitung
Die wichtigsten Instrumente der experimentellen Elementarteilchenphysik sind Hochenergiebeschleuniger und Speicherringe, mit denen Elektronen oder Protonen, aber auch Positronen
oder Antiprotonen auf Energien von vielen GeV beschleunigt werden, sowie komplexe Nachweisapparaturen zur Registrierung und Identifikation der bei einer Reaktion erzeugten Teilchen. In
diesem Abschnitt soll auf die physikalischen Grundprinzipien dieser Instrumente und die technische Verwirklichung eingegangen werden.
Teilchenbeschleuniger enthalten in der Regel drei verschiedene Elemente:
1. Eine Teilchenquelle, meist in Verbindung mit einem Vorbeschleuniger,
2. Beschleunigungsstrecken zur schrittweisen Erhöhung der Energie und
3. magnetische Felder zur Führung und Fokussierung des Teilchenstrahls.
3.2
Strahloptik und Betatronschwingungen
Die Beschleunigung und Ablenkung geladener Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern wird durch die Lorentz-Kraft bewirkt
d~
p
~ + ~v × B)
~
F~ =
= e (E
dt
p
Dieser Ausdruck gilt auch für Geschwindigkeiten nahe c, wobei p~ = m0~v / (1 − v 2 /c2 ) der relativistische Impuls ist. Abgesehen vom Betatron werden bei allen Hochenergie-Beschleunigern
elektrische Wechselfelder zur Energieerhöhung der Teilchen eingesetzt. Für die Ablenkung und
Fokussierung relativistischer Teilchen sind jedoch Magnetfelder wesentlich effektiver: bei v ' c
entspricht die Ablenkwirkung eines mit Elektromagneten leicht erreichbaren Feldes von 2 Tesla
der eines elektrischen Feldes von 600 MV/ m, welches weit jenseits der technischen Möglichkeiten
liegt.
Die meisten Hochenergie-Beschleuniger sind kreisförmig; die Beschleunigungs- und Ablenkstrecken werden immer wieder durchlaufen. Dies gilt insbesondere für Speicherringe, in denen
44
Teilchenbeschleuniger
Abbildung 3.1: Prinzip eines der ersten Linearbeschleuniger mit Driftröhren (Wideroe)
Abbildung 3.2: Prinzip eines Zyklotrons. Links der Magnet mit der spiralförmigen Teilchenbahn und austretendem Strahl. Rechts eine Vergrößerung der Teilchenbahn in den beiden Vakuumgefäßen (‘D-Dosen=DEEs’). Im Zwischenraum ist das hochfrequente Beschleunigungsfeld
angeordnet.
3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen
45
Abbildung 3.3: Prinzipbild eines Synchrotrons (rechts); links ist eine Beschleunigungseinheit
(cavity) skizziert.
der Teilchenstrahl nach dem Ende des Beschleunigungsvorgangs für viele Stunden umläuft. Wir
beschränken uns im Folgenden auf Synchrotrons (Abb. 3.3), die durch eine energieunabhängige
Sollbahn charakterisiert sind; die magnetischen Führungs- und Fokussierungsfelder werden synchron mit dem Teilchenimpuls erhöht. In Abb. 3.1 und 3.2 sind andere Beschleunigertypen
skizziert: ein Linearbeschleuniger und ein Zyklotron.
Wir betrachten jetzt die Bewegung von Teilchen mit konstantem Impuls p0 in einem Kreisbeschleuniger, der in der horizontalen Ebene liegt. Ein homogenes Magnetfeld B0 wird in vertikaler
Richtung angelegt, um die Teilchen mit Ladung e auf eine Kreisbahn mit dem
Krümmungsradius ρ zu bringen:
B0 =
p0
eρ
Das homogene Führungsfeld allein reicht nicht aus, einen Strahl ohne Intensitätsverlust zu beschleunigen und zu speichern. Die Teilchen legen in einem Speicherring enorme Entfernungen
zurück (106 − 1010 km) und würden sich infolge der unvermeidlichen Strahldivergenz rasch
von der Sollbahn entfernen und die Wand des Vakuumrohres treffen, wenn magnetische Linsen
sie nicht immer wieder zur Sollbahn zurücklenken würden. Für diese Linsen kommen die in
Elektronenmikroskopen verwendeten Solenoidspulen nicht in Frage, da sie nur im Streufeldbereich fokussieren und für relativistische Teilchen viel zu schwach sind. Die Alternative sind
Quadrupolmagnete (Abb. 3.4), deren Feldkomponenten sich in der Form
Bx = g · y
By = g · x
(3.1)
schreiben lassen. Dabei wird mit x (y) die horizontale (vertikale) Abweichung der Teilchen von
der Achse des Magnets bezeichnet und g ist der Gradient; typische Werte sind 20 T/m für
Quadrupole mit Eisenpolschuhen und 100 - 200 T/m für supraleitende Quadrupole. Die auf
46
Teilchenbeschleuniger
Teilchenimpuls und -ladung normierte Fokussierungsstärke ist K = e g/p. Ein Quadrupol der
Länge l hat die Brennweite f = 1/(K l) (Näherung der dünnen Linse).
Ein Nachteil im Vergleich zu optischen Sammellinsen ist, dass ein Quadrupol immer nur in
einer Ebene fokussiert, in der dazu senkrechten Ebene dagegen defokussiert. Eine Fokussierung
in beiden Richtungen wird erreicht, indem man Quadrupole mit alternierenden Gradienten
periodisch aneinanderreiht. Das Alternating-Gradient-Synchrotron (AGS) in Brookhaven, USA,
und das Protonensynchrotron (PS) beim CERN in Genf waren die ersten Protonenbeschleuniger
mit AG-Fokussierung.
Abbildung 3.4: Feldverlauf und Kräfte in einem Quadrupol auf ein positiv geladenes Teilchen,
welches aus der Zeichenebene herausfliegt. Links ist ein horizontal fokussierender und rechts ein
horizontal defokussierende Quadrupol dargestellt.
Die Teilchen entfernen sich in dieser periodischen Magnetanordnung nur wenig von der Sollbahn, da sie durch die stark fokussierenden Quadrupollinsen immer wieder zurückgelenkt werden. Daher kann die Apertur der Magnete klein sein. Im HERA-Protonen-Speicherring ist der
Strahlrohrdurchmesser nur 55 mm, obwohl die Protonen den 6.3 km langen Ring innerhalb der
Speicherzeit von typisch 10 Stunden mehr als 109 -mal durchlaufen.
Die Teilchen führen um die Sollbahn Schwingungen aus, die man Betatronschwingungen nennt,
sie sind prinzipiell in Abb. 3.6 skizziert.
Abbildung 3.5: Koordinatensystem zur Beschreibung der Teilchenbewegung im Beschleuniger.
Bezeichnet man die Bahnkoordinate mit s und die Abweichungen von der Sollbahn mit x bzw.
y (in Abb. 3.5 ist das übliche Koordinatensystem skizziert), so gelten folgende Differentialgleichungen:
3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen
x00 (s) + K(s)x(s) = 0,
47
y 00 (s) − K(s)y(s) = 0
(3.2)
In einem horizontal fokussierenden Quadrupol (der vertikal defokussiert) gilt K(s) = K0 > 0,
in einem horizontal defokussierenden Quadrupol entsprechend K(s) = −K0 < 0. Die Lösungen
von (3.2) sind quasiharmonische, amplituden- und frequenzmodulierte Schwingungen
x(s) = A(s) cos(Φ(s) − Φ0 ),
wobei für die Amplituden- und Phasenfunktion gilt
A(s) = a
p
β(s),
dΦ
1
=
ds
β(s)
und a eine Konstante der Dimension (Länge)1/2 ist. Die Lösung y(s) hat die gleiche Form.
Es tritt hier eine sehr wichtige Funktion auf, die Betafunktion, die die Ortsabhängigkeit der
Amplitude und der Wellenlänge der Betatronschwingungen angibt:
A(s) ∼
p
β(s),
λ(s) = 2π β(s)
Bei vorgegebener Magnetstruktur ist die Betafunktion eindeutig bestimmt. An jeder Stelle im
Ring kann man ein Phasenraumdiagramm mit den Achsen x(s) und x0 (s) = dx/ds auftragen.
Teilchentrajektorien mit gleichem Amplitudenfaktor a aber verschiedenen Phasen Φ0 liegen auf
einer Ellipse. Die Fläche der Ellipse, die einen bestimmten Prozentsatz des Strahls einschliesst
(z.B. 90%), schreibt man in der Form F = π und definert damit einen weiteren wichtigen
Strahlparameter, die Emittanz . Wenn man die Teilchen durch den Ring verfolgt, ändert die
Ellipse ihre Form und Orientierung, aber die Fläche bleibt invariant. Dies ist eine Konsequenz
des Liouville-Theorems über die Invarianz der Phasenraumdichte. Während der Beschleunigung schrumpft die Emittanz umgekehrt proportional zum Impuls p. Die normierte Emittanz
n = /(m0 c) sollte im Prinzip invariant bleiben von der Teilchenquelle bis hin zur maximalen
Energie, sofern nichtlineare oder stochastische Effekte wie Synchrotronstrahlung, Streuung am
Restgas im Vakuumrohr oder Störsignale in den Stromversorgungsgeräten vernachlässigt werden können. Im allgemeinen beobachtet man eine gewisse Emittanzaufweitung, die natürlich
unerwünscht ist, weil sie den Strahlquerschnitt vergrößert und die Luminosität der Maschine
herabsetzt.
Der Beschleunigerring (Prinzipbild in Abb. 3.3) besteht im allgemeinen aus einer großen Zahl
identischer “FODO”-Zellen, die jeweils einen fokussierenden Quadrupol F, einen defokussierenden Quadrupol D und zwei nichtfokussierende Element O enthalten, meist Dipolmagnete oder
auch Driftstrecken. Die Periodizität der Magnetanordnung führt zu einer entsprechenden Periodizität der Betafunktion. Die Teilchentrajektorien dürfen jedoch keinesfalls periodisch sein,
dies muss sogar strikt vermieden werden, denn sonst würden die unvermeidlichen Feldstörungen
der Magnete bei jedem Umlauf mit der gleichen Phase durchlaufen werden (s. Abb. 3.6). Das
Resultat wäre ein resonanzartiges Anwachsen der Schwingungsamplitude und letztendlich der
Verlust des gesamten Strahls. Die Zahl der Betatronschwingungen pro Umlauf, auch Q-Wert genannt, darf also nicht ganzzahlig sein, weil sonst Dipol-Störfelder zum Strahlverlust führen. Aber
auch halbzahlige Q-Werte sind verboten, um Resonanzen aufgrund von Quadrupolstörfeldern
zu vermeiden.
Ein Teilchenstrahl überdeckt immer ein gewisses Impulsband von ∆p/p0 ' 10−3 . Die Brennweite der Quadrupole ist impulsabhängig. Die resultierenden “chromatischen” Fehler in der
48
Teilchenbeschleuniger
Abbildung 3.6: Links: Prinzipskizze Betatronschwingung. Rechts: Horizontale gegen vertikale
Q-Werte, die Linien deuten Resonanzen an, die beim Betrieb vermieden werden müssen.
Strahloptik werden durch Sextupollinsen korrigiert. Aus diesem Grund sind auch drittelzahlige Q-Werte gefährlich. In supraleitenden Magneten gibt es darüberhinaus Multipolfehler, die
durch permanente bipolare Ströme im supraleitenden Kabel erzeugt werden und Resonanzen
noch höherer Ordnung zur Folge haben. Ein Diagramm der horizontalen und vertikalen Q Werte
kann man in Abb. 3.6 sehen.
3.3
Beschleunigung und Synchrotronschwingungen
Die Energieerhöhung der Teilchen wird traditionell Beschleunigung genannt, obwohl sich die
Geschwindigkeit im relativistischen Bereich nur noch unwesentlich ändert. Was wirklich vergrößert wird, ist die bewegte Masse der Teilchen. Hochfrequente elektrische Felder werden
dafür eingesetzt. Die Beschleunigungseinheiten sind Hohlraumresonatoren (Abb. 3.6), die im
Stehwellen- oder Wanderwellenbetrieb arbeiten und zu TM-Schwingungen mit transversalem
magnetischem und longitudinalem elektrischem Feld angeregt werden. Die Hochfrequenzleistung
wird über Hohlleiter eingekoppelt. Die Wände des Hohlraumresonators müssen eine möglichst
gute Leitfähigkeit haben, um Ohmsche Verluste gering zu halten. Normalerweise verwendet man
Kupfer, aber in den letzten Jahren sind auch supraleitende Resonatoren aus Niob mit großem
Erfolg gebaut und betrieben worden. Am TESLA-Testbeschleuniger werden Feldstärken bis 25
MV/m erreicht.
In einem Kreisbeschleuniger muss die Frequenz des Hochfrequenz-(HF)-Systems an die Umlauf-
3.3 Beschleunigung und Synchrotronschwingungen
Abbildung 3.7: Prinzip der Energie- und Phasenfokussierung, oben für nicht-relativistische Teilchen (v c) und unten für relativistische Teilchen (v ' c). Im relaticvistischen Fall wird das
Referenzteilchenmit Impuls p0 mit zwei Teilchen verglichen, die eine Impulsabweichung haben.
Beim Umlauf n sollen alle drei Teilchen den Resonator mit der Sollphase ψ0 der HF durchlaufen. Beim Umlauf (n+1) passiert nur das Referenzteilchen den Resonator mit der Sollphase
ψ0 und erhält den nominellen Energiezuwachs E0 . Das Teilchen mit p > p0 kommt später an
und erhält einen kleineren Energiezuwachs, das Teilchen mit p < p0 kommt früher und erhält
einen größeren Energiezuwachs. Die Folge sind annähernd harmonische Schwingungen um die
Energie und Phase des Referenzteilchens.
frequenz der Teilchen angepasst werden. Als Referenz wählen wir ein Teilchen mit Sollimpuls p0
und stellen die Bedingung auf, dass bei jedem seiner Durchgänge durch den HF-Resonator die
HF-Phase denselben Wert Φ0 hat, so dass dieses “Referenzteilchen” immer den gleichen Energiezuwachs erhält. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Hochfrequenz fHF ein ganzzahliges
Vielfaches der Umlauffrequenz f0 des Referenzteilchens ist: fHF = h · f0 . Der Impuls p0 wächst
natürlich infolge der Energieerhöhung an, aber dies ist ein langsamer “adiabatischer” Prozess.
In Protonenbeschleunigern muss die Frequenz fHF proportional zur Teilchengeschwindigkeit
erhöht werden. In einem der Vorbeschleuniger für HERA ändert sich fHF um einen Faktor 3
zwischen der Anfangsenergie von 50 MeV und der Endenergie von 7 GeV. Elektronen sind meist
so nahe an der Lichtgeschwindigkeit, dass die Frequenz konstant gehalten werden kann.
Die Synchronisation von Hochfrequenzphase und Teilchendurchgang wird dadurch erschwert,
dass im Strahl nicht nur Teilchen mit Sollimpuls p0 vorhanden sind. Teilchen mit p = p0 +
∆p haben im allgemeinen eine andere Umlaufzeit als das Referenzteilchen mit p = p0 . In
49
50
Teilchenbeschleuniger
Elektronenbeschleunigern ist in sehr guter Näherung v = c. Elektronen mit p > p0 haben eine
größere Umlaufzeit als das Referenzteilchen, weil ihr Bahnradius in den Dipolmagneten größer
ist. In Protonenbeschleunigern ist häufig beim Beginn der Beschleunigung v deutlich kleiner
als c, dann haben Protonen mit p > p0 eine kürzere Umlaufzeit als das Referenzteilchen. Mit
wachsender Energie geht v → c, so dass bei hohen Protonenenergien die Situation wie bei
Elektronen wird.
Wir betrachten einen Elektronenkreisbeschleuniger mit einer einzelnen Beschleunigungsstrecke.
Abb. 3.7 zeigt, dass die Phase der Hochfrequenzspannung während des Teilchendurchgangs
zwischen 90◦ und 180◦ gewählt werden muß, damit ein Strahl mit einem endlichen Impulsband
±∆p nicht auseinanderläuft. Wenn T0 die Umlaufzeit für das Referenzteilchen mit p = p0 ist,
so braucht ein Elektron mit ∆p > 0 eine Zeit T > T0 , es kommt somit bei einer kleineren HFAmplitude an der Beschleunigungsstrecke an und erhält einen geringeren Energiezuwachs als
das Referenzteilchen. Umgekehrt ist es für ein Elektron mit ∆p < 0. Die Konsequenz ist, dass die
Teilchen annähernd harmonische Schwingungen um die Energie und Phase des Referenzteilchens
durchführen. Die Frequenz dieser Synchrotronschwingungen ist wesentlich geringer als die der
Betatronschwingungen. Im HERA-Protonenspeicherring gibt es 31.15 Betatronschwingungen
pro Umlauf, aber nur 0.002 Synchrotronschwingungen.
Aus Abb. 3.7 ist ersichtlich, dass nur die Teilchen in einem begrenzten Phasenintervall um die
Sollphase Φ0 beschleunigt werden. Teilchen, die stark davon abweichen, werden abgebremst.
Daher besteht der Strahl aus kurzen Paketen (”bunches”) von Teilchen. Elektronen müssen
zur Kompensation des Energieverlustes durch Synchrotronstrahlung auch nach Erreichen der
Endenergie ständig nachbeschleunigt werden. Sie sind daher stets aus Strahlpaketen aufgebaut.
Bei einem Protonenspeicherring könnte man nach Erreichen der Endenergie die Beschleunigungsspannung abschalten und eine gleichförmig über den Umfang verteilte Strahlintensität
erreichen, aber das ist für Collider-Experimente unerwünscht. Im Speicherbetrieb wählt man
daher Φ0 = 180◦ und bewahrt damit die Paketierung des Protonenstrahls, ohne den Teilchen
im Mittel Energie zuzuführen.
3.4
Synchrotronstrahlung
In den Dipolmagneten eines Kreisbeschleunigers erfahren die geladenen Teilchen eine Zentripetalbeschleunigung, die nach den Gesetzen der Elektrodynamik zur Abstrahlung von Energie
führt. Die abgestrahlte Leistung P wächst quadratisch mit der Energie E0 der Teilchen und der
Größe des Magnetfeldes B an; sie ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Ruhemasse m0 .
P =
e2 c3
2 e2
· E02 · B 2
3 4π0 (m0 c2 )4
Für vorgegebenen Krümmungsradius ρ ist B = p0 /(eρ) ≈ E0 /(eρc), und der Energieverlust pro
Umlauf wird
e2
·
U0 =
e0
Numerisch ergibt sich:
E0
m0 c 2
4
U0 [keV ] = 8.85 · 10
−5
1
ρ
E04
ρ
3.4 Synchrotronstrahlung
wobei E0 in GeV und ρ in m einzusetzen ist.
Abbildung 3.8: a) Axialsymmetrische Strahlungsverteilung eines bewegten Elektrons im Schwerpunktsystem; b) Scharf nach vorne gebündelte Verteilung im Laborsystem.
Beim Elektron–Positron–Speicherring PETRA mit ρ = 192 m beträgt der Energieverlust pro
Umlauf U0 = 60 MeV für E0 = 19 GeV. Im Large Electron Positron Ring LEP am CERN
wächst diese Zahl auf 2.8 GeV bei einer Strahlenergie von 100 GeV an. Diese enormen Verluste
müssen ständig durch ein äußerst leistungsfähiges Hochfrequenzbeschleunigungssystem ausgeglichen werden. LEP wird der größte Kreisbeschleuniger für Elektronen bleiben, Energien von
vielen 100 GeV bis TeV lassen sich nur noch mit Linearbeschleunigern realisieren. Für Elektronen im GeV–Bereich ist die Synchrotronstrahlung scharf nach vorn gebündelt (s. Abb. 3.8)
und erstreckt sich vom sichtbaren Licht bis in den Röntgenbereich.
Die Abstrahlung ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Masse des Strahlteilchens
und ist bei den heutigen Protonenbeschleunigern vernachlässigbar. Im Large Hadron Collider
LHC wird ein Proton von 7 TeV etwa 10 keV pro Umlauf verlieren. Das ist für das HF–
System und die Strahldynamik unerheblich, bedeutet aber eine starke Wärmebelastung für das
Kryogeniksystem der supraleitenden Magnete.
3.4.1
Strahlungsdämpfung und Quantenanregung.
Die Synchrotronstrahlung in Elektronenkreisbeschleunigern hat neben ihren negativen Auswirkungen auch einige positive Einflüsse: sie wirkt sich günstig auf die Strahlstabilität aus. Die zur
Kompensation der Strahlungsverluste ständig erforderliche Nachbeschleunigung der Elektronen
führt dazu, daß Betatron– und Synchrotronschwingungen gedämpft werden. Die Abstrahlung
der Photonen erfolgt nahezu parallel zur Flugrichtung des Elektrons, so daß die Longitudinal–
und Transversal–Komponenten des Impulses gleichermaßen vermindert werden, während die
Beschleunigungsstrecke nur die Longitudinalkomponente erhöht. Dadurch verringert sich kontinuierlich der Winkel zwischen Teilchenimpuls und Sollbahn. Die transversale Ausdehnung eines
Strahlpakets wird kleiner, schrumpft allerdings nicht auf null, sondern auf Minimalwerte, die
durch die Quantennatur der Strahlung und die daraus resultierenden statistischen Schwankungen bestimmt sind. Zudem hat ein Elektron mit ∆p > 0(∆p < 0) eine höhere (geringere)
Abstrahlung als das Referenzteilchen. Die Differentialgleichung für Synchrotronschwingungen
erhält infolgedessen einen Dämpfungsterm, aber auch hier treten die Quantenfluktuationen auf,
die ein Schrumpfen auf null verhindern. Die Energieverteilung in einem Elektron–Positron–
51
52
Teilchenbeschleuniger
Speicherring wird durch eine Gaussfunktion beschrieben, deren Varianz quadratisch mit der
Energie anwächst
w(E) = √
mit
1
exp −(E − E0 )2 / 2σ 2
2π · σ
σ=
E04
1
55h̄c
√ ·
· .
3
64 3 (m0 c2 ) ρ
(3.3)
(3.4)
Im ADONE–Speicherring in Frascati (Italien) mit E0 = 1.5 GeV betrug die Energieunschärfe
σ = 0.9 MeV, im PETRA–Ring mit E0 = 19 GeV bereits 22 MeV. Diese beträchtliche, durch
die Quantennatur der Synchrotronstrahlung verursachte Energiebreite der Elektronen– und
Positronenstrahlen ist sehr nachteilig bei der Untersuchung schmaler Resonanzen wie der ψ–
oder Upsilon-Teilchen.
Die Dämpfung der Betatron– und Synchrotronschwingungen bewirkt, daß Elektronen den Einfluß von Störungen rasch “vergessen”. Bei Protonen oder Ionen ist dies nicht der Fall. Jede von
außen angeregte Schwingung, sei es durch Rippel im Magnetfeld oder Rauschen der Hochfrequenz, bleibt erhalten und vergrößert die Emittanz. Aktive Maßnahmen wie stochastische oder
Elektronen–Kühlung sind nötig, um die Oszillationen der individuellen Protonen oder Antiprotonen zu reduzieren. Kollektive Schwingungen lassen sich durch Oktupolmagnete dämpfen, da
in höheren Multipolfeldern die Betatronfrequenz amplitudenabhängig wird, so daß die Phasenkohärenz der Teilchen allmählich verloren geht. Dieser Effekt wird Landau–Dämpfung genannt,
aber die Oszillation der einzelnen Protonen wird dabei nicht gedämpft.
3.5
Teilchenquellen und Vorbeschleuniger
Eine ganze Kette von Beschleunigern ist nötig, um Teilchen auf Energien von vielen GeV oder
sogar TeV zu bringen. Dafür gibt es physikalische, technische und finanzielle Gründe, von denen
wir einige aufführen.
1. Normal- oder supraleitende Magnete haben nur einen begrenzten Bereich von etwa 1:20
zwischen dem niedrigsten nutzbaren Feld (Feldverzerrungen durch Remanenz im Eisen
oder permanente Ströme im Supraleiter) und dem Maximalfeld (Sättigung im Eisenjoch
oder kritischer Strom des Supraleiters).
2. Der Querschnitt eines Protonenstrahls sinkt umgekehrt proportional zur Energie, daher
kann man bei hohen Energien die Apertur der Magnete reduzieren.
3. Auf niederenergetische Protonenpakete wirken stark defokussierende Kräfte aufgrund der
elektrostatischen Abstoßung. Um eine Strahlaufweitung zu verhindern, benötigt man viele
Quadrupole mit kurzer Brennweite. Bei relativistischen Teilchen heben sich abstossenden
elektrischen und die anziehenden magnetischen Kräfte nahezu auf.
Abb. 3.9 zeigt als Beispiel die Vorbeschleuniger für die Elektron-Proton-Speicherringanlage
HERA. Die Elektronen aus einer Glühkathode werden auf 50 keV beschleunigt und in einen
Wanderwellen-Linearbeschleuniger (LINAC I) eingeschossen, der sie auf eine Energie von 220
MeV bringt. In einem Synchrotron von 100 m Durchmesser (DESY II) wird die Energie auf
7.5 GeV erhöht. Ein zweites Synchrotron, der umgebaute Speicherring PETRA, beschleunigt
3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger
Abbildung 3.9: HERA und seine Vorbeschleuniger.
die Elektronen auf 12 GeV, und von dort werden sie endlich in den HERA-Elektronenring
eingeschossen.
Auf der Protonenseite beginnt man zunächst mit einer lonenquelle, die negativ geladene Wasserstoffionen von 18 keV liefert. Die nächste Beschleunigerstufe ist ein elektrischer HochfrequenzQuadrupol. Dieser relativ neue Vorbeschleunigertyp hat bemerkenswerte Eigenschaften: er beschleunigt die Ionen auf 750 keV, fokussiert sie und macht aus dem gleichförmigen Strahl der
lonenquelle einen paketierten Strahl. Dieser wird für den nachfolgenden Linearbeschleuniger
(LINAC III) gebraucht, der die Ionenenergie auf 50 MeV erhöht. Die H–Ionen werden danach
in das Synchrotron DESY III eingeschossen. Sie durchlaufen eine dünne Kunststoff-Folie, in
der beide Elektronen abgestreift und aus den negativ geladenen Ionen positiv geladene Protonen werden. Das Abstreifen der Elektronen ist ein stochastischer Effekt. Man kann damit
das Liouville-Theorem umgehen und im Synchrotron eine höhere Phasenraumdichte als in den
Vorbeschleunigern erzielen. Bei einer Energie von 7.5 GeV werden die Protonen in den PETRARing geschossen, dort auf 40 GeV gebracht und danach in den HERA-Protonenring injiziert.
3.5.1
Kreisförmige und lineare Collider
Die Experimente an Hochenergiebeschleunigern lassen sich in zwei Klassen unterteilen: Festtargetexperimente, bei denen ein hochenergetischer Teilchenstrahl auf stationäre Protonen oder
Kerne trifft, sowie Experimente mit kollidierenden Strahlen. Messungen mit Myon-, Pion, Kaonoder Neutrinostrahlen sind notwendigerweise vom Festtargettyp. Sie haben den gravierenden
Nachteil, dass ein Großteil der Strahlenergie in nutzlose Bewegungsenergie der Sekundärteilchen
übergeht. Die für die Erzeugung neuer Teilchen relevante Energie W im Schwerpunktsystem ist
(Gleichung 2.4)
q
√
W = s = m21 + m22 + 2E1 m2
(3.5)
wobei m1 die Masse des Strahlteilchens und m2 die Masse des Targetteilchens ist. Trifft ein
100 GeV-Pion auf ein ruhendes Proton, so verbleibt eine Schwerpunktsenergie von nur 14 GeV.
Noch dramatischer wird dieser Verlust für Elektron-Positron-Wechselwirkungen: wollte man
53
54
Teilchenbeschleuniger
ein Υ-Teilchen erzeugen, indem man einen Positronenstrahl auf ruhende Elektronen schießt, so
müssten die Positronen die utopische Energie von 90000 GeV haben. In einem Speicherring mit
gegenläufigen Elektronen- und Positronenstrahlen braucht man nur 4.73 GeV pro Strahl.
Die Ereignisrate R = Ṅ an einem Collider ist
R = Lσ
(3.6)
Dabei ist σ der Wirkungsquerschnitt der betrachteten Reaktion und L die Luminosität des
Speicherrings. Für einen Elektron-Positron-Speicherring mit Nb Elektronen- und Positronenpaketen pro Strahl, die jeweils N− bzw. N+ Teilchen enthalten, wird die Luminosität
L=
N− · N+ · Nb · f0
4πσx σy
Hierin bedeuten f0 die Umlauffrequenz und σx , σy die Varianzen der Ladungsverteilung der
Strahlpakete am Wechselwirkungspunkt. Typische Werte sind 1 mm horizontal und < 0.1 mm
vertikal. Heutige Collider erreichen L = 1031 bis 1033 cm−2 s−1 .
Die Luminosität ist umgekehrt proportional zum Strahlquerschnitt. Durch Minimalisierung
der Betafunktion am Wechselwirkungspunkt (man spricht von Mini-Beta- oder sogar MikroBeta-Anordnungen) kann man L deutlich vergrößern. Dazu ist es erforderlich, Quadrupole sehr
nah an den Wechselwirkungspunkt zu bringen und teilweise mit in den experimentellen Aufbau
einzubeziehen. Eine Erhöhung der Teilchenzahlen N+ und N− steigert ebenfalls die Luminosität.
Hierbei ist jedoch eine interessante Grenzbedingung gegeben: bei der Strahlkreuzung wirkt das
Positronenpaket wie eine fokussierende Linse auf das Elektronenpaket und umgekehrt. Dadurch
verändert sich der Q-Wert, d. h. die Zahl der Betatronschwingungen pro Umlauf. Die Q-WertVariation muß hinreichend klein sein (bei Elektron-Positron-Speicherringen erfahrungsgemäß
< 0.025, bei Proton-Proton- oder Antiproton-Proton-Ringen eine Größenordnung weniger),
damit Resonanzen vermieden werden, die die Strahlen instabil machen.
In einer Tabelle sind einige der heute betriebenen oder im Bau oder der Planung befindlichen Großbeschleuniger und Collider aufgeführt. Der LEP-Speicherring wird der größte e+ e− –
Speicherring bleiben, da wegen der E 4 -Abhängigkeit der Synchrotronstrahlung eine signifikante Energieerhöhung nicht mehr durch Vergrößerung des Radius erreicht werden kann. Um
Elektron-Positron-Wechselwirkungen im Bereich von 500 GeV und darüber studieren zu können,
bleibt nur der Weg, Strahlen aus Linearbeschleunigern frontal aufeinander zu schießen. Ein erster Schritt ist mit dem SLC (Stanford Linear Collider) in Stanford gemacht worden. Dort werden Elektronen und Positronen im Linearbeschleuniger auf Energien zwischen 40 und 50 GeV gebracht. Die Pakete laufen hintereinander auf verschiedenen Flanken einer elektro-magnetischen
Wanderwelle. Am Ende der Beschleunigung durchlaufen sie zwei entgegengesetzte 180◦ -Bögen
und kommen in der Experimentierzone zur Kollision. Durch extrem feine Fokussierung sind
Strahldimensionen unter 2 µm am Wechselwirkungspunkt erreicht worden. Für die geplanten
Collider im 500 bis 1000 GeV-Bereich muss die Fokussierung noch wesentlich feiner werden,
damit trotz der einmaligen Strahlkreuzung Luminositäten von 1034 cm−2 s−1 oder mehr erzielt werden können. Die Untersuchungen an der Final Focus Test Beam Facility in Stanford
beweisen, dass dies möglich sein sollte.
3.6
Kosmische Beschleuniger
Kosmische Strahlung wurde 1912 von Viktor Hess in Ballonflügen entdeckt. Man muß unterscheiden zwischen der Strahlung, die auf die Erdatmosphäre trifft: primäre kosmische Strahlung
3.6 Kosmische Beschleuniger
und der sekundären, die wir auf der Erdoberfläche messen. Weit unterhalb der Erdoberfläche
ändert sich die Zusammensetzung wiederum, was durch die unterirdischen Neutrinoexperimente
ausgenutzt wird.
Abbildung 3.10: Das Spektrum der kosmischen Strahlung.
Die primäre Komponente der kosmischen Strahlung besteht vorwiegend aus Protonen und zu
einem winzigen Bruchteil aus Elektronen und schweren Kernen. Die Energiespektren sind zudem
sehr verschieden. Die hadronische Komponente entspricht etwa 98%, davon sind wiederum 87%
Protonen, 12% α Teilchen und 1% schwere Kerne (bis Fe, Co, Ni). Das Energiespektrum wird
meist logarithmisch dargestellt (Abb. 3.10). Weiterhin ist ein starker Neutrinofluß vorhanden,
der aber nur schwer nachzuweisen ist.
Die Teilchen mit den höchsten Energien überhaupt sind in der kosmischen Strahlung registriert
worden: Energie/Nukleon' 1020 eV.
Es ist Gegenstand heutiger Forschung, die Mechanismen und Orte der Beschleunigung aufzufinden. Unsere Galaxis ist zweifellos eine Quelle kosmischer Strahlung. Die höchsten Energien
kommen aber von außerhalb der Galaxis, z.B. von Supernovae und AGNs. AGNs (Active Galactic Nuclei) sind ein Oberbegriff für viele sehr verschiedenartige Objekte, die beobachtet werden.
In denen spielen sich wilde Prozesse ab, so daß es auch zur Beschleunigung und Emission von
hochenergetischen Teilchen kommt.
55
56
Teilchenbeschleuniger
3.7
Einige Beschleunigeranlagen
Lab
CERN
DESY
FNAL
SLAC
KEK
Cornell
BNL
Acc. Year Beams
LEP 89-00 e+ e−
LHC 07pp
HERA 92ep
Tevatron 88pp̄
PEP-II 99e + e−
KEK-B 99e + e−
CESR 99e + e−
RHIC 00IonIon
Energy (GeV)
90-210
14000
320
1960
3+9 Υ(4S)
3+9 Υ(4S)
5.5+5.5 Υ(4S)
50-500
Experiments
Aleph, Opal, L3, Delphi
Atlas, CMS, LHC-B, Alice
ZEUS, H1, Hermes
D0, CDF
BaBar
Belle
CLEO
Star,Phenix,Brahms,Phobos
3.7 Einige Beschleunigeranlagen
SLAC 2 MILE ACCELERATOR
57
58
Teilchenbeschleuniger
Kapitel 4
Erhaltungssätze und Symmetrien
4.1
Symmetrieeigenschaften
In der Physik spricht man von Symmetrieeigenschaften, wenn ein physikalisches System aus
einem bestimmten Zustand durch eine Transformation in einen anderen möglichen Zustand
übergeht, der sich vom ersten Zustand in gewissen Eingenschaften nicht unterscheidet: das
System verhält sich invariant gegenüber einer Symmetrietransformation in bezug auf bestimmte
Eigenschaften. Symmetrieeigenschaften hängen eng zusammen mit Invarianzeigenschaften und
Erhaltungssätzen.
Symmetrieeigenschaften werden mathematisch durch die Gruppentheorie behandelt. Eine Symmetriegruppe ist durch eine Transformationsvorschrift definiert; Beispiel ist die Gruppe der
Rotationen im Raum. Invarianz gegenüber einer kontinuierlichen Symmetrietransformation bedingt die Existenz einer Erhaltungsgröße (Noethers Theorem, Emmy Noether 1918). Die Erhaltungsgröße ist dabei die Erzeugende der Gruppe.
In der Teilchenphysik spielen drei Arten von Symmetrien eine besondere Rolle:
• Kontinuierliche Raum-Zeit-Symmetrien,
• Diskrete Symmetrien, und
• Kontinuierliche dynamische Symmetrien.
Zu den kontinuierlichen Raum-Zeit-Symmetrien gehören die Zeitverschiebung, die räumliche
Translation und die Rotation um eine beliebige Achse im Raum. Offenbar sind Naturgesetze invariant unter diesen Transformationen. Die aus der Invarianz folgenden Erhaltungssätze
sind in der Tabelle 4.1 angegeben. Die Invarianzen bedeuten, daß die Bewegungsgleichungen
bzw. die ein System beschreibende Lagrangefunktion eines Systems forminvariant gegenüber
Lorentztransformationen sind.
Symmetrie
Zeitverschiebung
Räumliche Translation
Rotation
Eichtransformation
↔
↔
↔
↔
Erhaltungssatz
Energie
Impuls
Drehimpuls
Ladung
Tabelle 4.1: Symmetrien und Erhaltungssätze
Zu den kontinuierlichen dynamischen Symmetrien gehören Eichsymmetrien. Aus der Invarianz
der Lagrange-Funktion elektrisch geladener Teilchen gegenüber globalen Phasentransformatio-
60
Erhaltungssätze und Symmetrien
nen folgt die Erhaltung der elektrischen Ladung (Tabelle).
Quantenmechanik-Wiederholung. Ein Zustand |ai wird durch eine Wellenfunktion ψa (~r, t) beschrieben, die
Lösung der Schrödinger-Gleichung
∂
b
i ψ = Hψ
∂t
b ist der Operator der totalen Energie. In Operatoren der
ist (NB. h̄ = 1, c = 1). Der Hamilton-Operator H
Quantenmechanik gibt es die Ersetzungen
~
p
~ → 1/i ∇
E → i∂/∂t
Physikalischen Meßgrößen ist ein Operator Fb zugeordnet. Der Erwartungswert der physikalischen Meßgröße ist
für den Zustand |ai gegeben durch den quantenmechanischen Erwartungswert
Z
hF i = ha|Fb |ai ≡ ψa∗ Fb ψa d3~r
Die Varianz (Unschärfe) der physikalischen Meßgröße ist gegeben durch den Erwartungswert
Z
2
2
2
b
(∆F ) = ha| F − hF i |ai ≡ ψa∗ Fb − hF i ψa d3~r
Wenn die Wellenfunktion ψa Eigenfunktion zu dem Operator Fb ist, gilt die Eigenwertgleichung
Fbψa = fa ψa
mit dem Eigenwert fa . Der Eigenwert fa ist gleich dem Erwartungswert hF i, die Varianz (Unschärfe) ist dann
Null, d.h. der Eigenwert ist eine Konstante der Bewegung.
b können gleichzeitig Eigenfunktionen zu einem anderen Operator
Eigenfunktionen zum Hamilton-Operator H
b
b a = Ea ψa auch die Eigenwertgleichung
sein. Für einen Operator F gelte gleichzeitig mit Hψ
Dann gilt auch
Fbψa = fa ψa .
b a = Fb Hψ
b a
b Fb ψa = Hf
b a ψa = fa Hψ
H
oder
i
h
b Fb = 0
b Fb − Fb H
b ψa ≡ H,
H
b und Fb ; man sagt, die Operatoren kommuDas Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge der Operatoren H
tieren.
Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz gemeinsamer
Eigenfunktionen zu zwei Operatoren ist das Kommutieren der beiden Operatoren.
b durch
Der Kommutator wird allgemein zu zwei Operatoren Fb und G
h
i
b ≡ Fb G
b−G
b Fb
Fb , G
b
als neuer Operator definiert. Wenn der Kommutator verschwindet (d.h. wenn die beiden Operatoren Fb und G
b
b
vertauschbar sind), gibt es Lösungen, die gleichzeitig Eigenfunktionen zu den beiden Operatoren F und G sind.
Weiterhin gilt für einen Operator Fb, der nicht explizit zeitabhängig ist:
Kommutiert ein Operator mit dem Hamiltonoperator, so verschwindet die zeitliche Ableitung. Es handelt sich um eine Erhaltungsgröße.
4.1 Symmetrieeigenschaften
4.1.1
61
Räumliche Translation und Impulserhaltung
Wir wollen als einfachen Fall ein System von Teilchen betrachten, das im Raum um einen
konstanten Vektor ~a verschoben werden soll. Falls es als ganzes verschoben wird und keine
äußeren Kräfte wirken, so werden die physikalischen Eigenschaften ungeändert bleiben. In der
QM drückt sich das als Invarianz des Hamiltonoperators aus. Der Ortsvektor der Teilchen des
Systems ~xi wird transformiert nach:
~xi → ~x0i = ~xi + ~a
(4.1)
Wir betrachten nur eine infinitesimale Translation: δ~x = ~a. Invarianz des Hamiltonoperators
heißt dann:
b x0 , ~x0 , . . . ) = H(~
b x1 + δ~x, ~x2 + δ~x, . . . )
H(~
1
2
Für ein einzelnes freies Teilchen ist diese Eigenschaft unmittelbar erfüllt, wie man an seinem
Hamiltonoperator sieht:
2
1
∂2
∂2
1 2
∂
b
5 =−
+
+
H=−
2m
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
b x0 ) = H(~
b x + δ~x) = H(~
b x)
H(~
(4.2)
b x0 , ~x0 . . . ) = H(~
b x1 , ~x2 . . . ),
H(~
1
2
(4.3)
b x) ≡ ψ(~x + δ~x)
Dψ(~
(4.4)
Allgemein gilt: der Hamiltonoperator ist invariant unter Translation
die durch folgenden Operator ausgedrückt werden kann:
wo ψ(~x) eine Wellenfunktion des Systems ist. Entwicklen wir rechts nach δ~x, so erhalten wir:
~ x)
ψ(~x + δ~x) = ψ(~x) + δ~x · 5ψ(~
~ so gilt:
Erinnern wir uns an die Definition des Impulsoperators:b
p~ = −i∇,
b auf die Wellenfunktion:
Wir wenden D
an. Dann
Vergleich mit 4.4 gibt:
b = 1 + iδ~x · b
D
p~
(4.5)
b x)ψ(~x)
ψ 0 (~x) = H(~
b 0 (~x) = D
b H(~
b x)ψ(~x)
Dψ
b ψ 0 (~x) = ψ 0 (~x + δ~x) = H(~
b x + δ~x) ψ(~x + δ~x)
D
b x) ψ(~x + δ~x) = H(~
b x) D
b ψ(~x)
= H(~
(4.6)
(4.7)
62
Erhaltungssätze und Symmetrien
Hier haben wir jetzt die Invarianz des Hamiltonoperators 4.3 ausgenutzt. Vergleich mit 4.6 und
4.7 ergibt:
b H(~
b x) − H(~
b x)D]ψ(~
b x) = 0
[D
b und H
b
Da das für eine beliebige Wellenfunktion gilt, so folgt, daß der Kommutator von D
b
b
verschwindet, das heißt D und auch p~ ist eine Erhaltungsgröße.
i
h
b
b =0
b H]
b =0
p~, H
(4.8)
[D,
Das kann man leicht auf ein System von N Teilchen verallgemeinern. Dann gilt, daß der totale
Impuls
p~ =
N
X
p~i
i=1
erhalten ist.
In analoger Weise kann bewiesen werden, daß die Energieerhaltung in einem abgeschlossenen
System gleichbedeutend ist mit der Invarianz gegenüber der Verschiebung der Zeitkoordinate.
Drehimpulserhaltung ist gleichbedeutend mit der Invarianz gegenüber Rotationen.
4.2
Drehimpuls
Dieses Kapitel bringt vor allem anfangs viel Wiederholung aus der Quanenmechanik, die nicht
detailliert in der Vorleung gebracht wird. Insbesondere werden auch Auf– und Absteigeoperatoren
in der Teilchenphysik nicht nochmal besprochen.
Drehimpulse in der Quantenmechanik (Wiederholung). Klassisch ist der Bahndrehimpuls definiert durch
das Vektorprodukt von Orts- und Impulsvektor:
~ = ~r × p
Vektor L
~
mit Komponenten
Lx
Ly
Lz
= ypz − zpy
= zpx − xpz
= xpy − ypx
~ gilt für die Indizes die zyklische Vertauschung). Der Drehimpuls ist bei Bewegungen
(bei den Komponenten von L
von Teilchen in einem Zentralfeld eine erhaltene Größe (z.B. Planetenbewegung). Der quantenmechanische
Operator
~b = b
L
~r × b
p~
wird in üblicher Weise gebildet, indem für die Impulskomponenten der entsprechende Operator eingesetzt wird;
er hat eine wichtige Bedeutung bei dreidimensionalen Problemen im Zentralpotential. Die Komponenten L x , Ly
~ lassen sich als Operatoren in kartesischen und in Polarkoordinaten schreiben:
und Lz des Drehimpulsvektors L
h̄
∂
∂
−h̄
∂
∂
b
Lx =
y
−z
=
sin ϕ
+ cot ϑ cos ϕ
(4.9)
i
∂z
∂y
i
∂ϑ
∂ϕ
b y = h̄ z ∂ − x ∂ = h̄ cos ϕ ∂ − cot ϑ sin ϕ ∂
(4.10)
L
i
∂x
∂z
i
∂ϑ
∂ϕ
b z = h̄ x ∂ − y ∂ = h̄ ∂ .
L
(4.11)
i
∂y
∂x
i ∂ϕ
Der Operator für das Quadrat des gesamten Bahndrehimpulses ergibt sich durch Summation der Quadrate der
Komponenten:
∂
1
∂2
1 ∂
2
2
2
2
c
2
b
b
b
sin ϑ
+
L = Lx + Ly + Lz = −h̄
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
4.2 Drehimpuls
63
Der Operator enthält nur die Winkelkoordinaten ϑ und ϕ (und nicht die Koordinate r). Die eckige Klammer entspricht gerade dem Operatorteil der winkelabhängigen Wellengleichung (siehe unten, Gleichung (4.12)). Daraus
c2 ist:
ergibt sich direkt, daß die Wellenfunktion ψ auch Eigenfunktion zum Operator L
c2 ψ = ` (` + 1) h̄2 ψ .
L
Kugelfunktionen (Wiederholung). Die Lösung ψ(r, ϑ, ϕ) der Schrödinger-Gleichung für ein Zentralpotential
V (r) kann in Produktform ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) Y (ϑ, ϕ) geschrieben werden. Die winkelabhängige Wellenfunktion
Y (ϑ, ϕ) ist die Lösung der winkelabhängigen Wellengleichung
1 ∂
∂Y
1 ∂2Y
= −` (` + 1) Y ,
(4.12)
sin ϑ
+
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
die das Potential V (r) nicht enthält. Die Lösungen sind die Kugelfunktionen Y`m (ϑ, ϕ), die von den Quantenzahlen ` und m abhängen. Die Kugelfunktionen für ` = 0, 1 und 2 sind:
p
p
Y2,0 =
5/16π 3 cos2 ϑ − 1
p
p
3/4π cos ϑ
Y1,0 =
p
(4.13)
Y2,±1 = ∓ 15/8π cos ϑ sin ϑ e±iϕ
Y0,0 =
1/4π
p
Y1,±1 = ∓ 3/8π sin ϑ e±iϕ
2
±2iϕ
Y2,±2 =
15/32π sin ϑ e
c2 und zu L
cz :
Die Kugelfunktionen sind gleichzeitig Eigenfunktionen zu L
c2 Y`m (ϑ, ϕ) = ` (` + 1) Y`m (ϑ, ϕ)
L
cz Y`m (ϑ, ϕ) = m` Y`m (ϑ, ϕ)
L
Kommutatoren. Für weitere Betrachtungen zum Drehimpuls ist die Benutzung von Kommub x und L
b y ist der Kommutator
tatoren vorteilhaft. Für die beiden Operatoren L
h
i ∂
∂
2
bz
bx , L
by ≡ L
bx L
by − L
by L
b x = h̄ x
= ih̄L
(4.14)
−y
L
∂y
∂x
und in entsprechender Weise gilt auch (zyklische Vertauschung der Indizes)
i
h
by , L
b z = ih̄L
bx
L
i
h
b x = ih̄L
by .
bz , L
L
(4.15)
(4.16)
Diese Beziehungen zeigen, daß je zwei Komponenten des Drehimpulses nicht kommutieren. Es
gilt jedoch:
i
i h
i h
h
c
2
c
2
c
2
b
b
b
L , Lx = L , Ly = L , Lz = 0 .
c2 und zum Operator einer Komponente
Es ist also möglich, eine Eigenfunktion zum Operator L
c2 und L
~ zu bestimmen. üblicherweise werden Eigenfunktionen zu den Operatoren L
cz
von L
betrachtet.
Die Kommutatorregeln (4.14), (4.15) und (4.16) für die Drehimpulskomponenten sind tatsächlich
allgemeiner als die ursprünglichen Gleichungen (4.9) bis (4.11). Sie bilden die Basis für die Algebra des Drehimpulses.
Räumliche Rotationsinvarianz und Drehimpuls. Wir betrachten infinitesimale Rotationen. Bei der Rotation bleiben die Achsen fest, und das System wird gedreht, z.B. für eine
Drehung um den Winkel δφ um die z Achse:
xi → x0i = xi cos δφ + yi sin δφ
yi → yi0 = −xi sin δφ + yi cos δφ
zi → zi0 = zi
(4.17)
(4.18)
(4.19)
64
Erhaltungssätze und Symmetrien
Falls Invarianz gegen Rotation vorliegt, so ist die den gedrehten Zustand beschreibende Funktion
Ψ0 gleich der ursprünglichen Funktion am Punkt R−1~r, der durch die Drehung R nach ~r gedreht
b Ψ fest. Für eine infinitesimale
wird: Ψ0 (~r) = Ψ(R−1~r). Dies legt die Transformation Ψ0 = U
Rotation ε = δφ um die z-Achse erhält man damit
(Für kleine Winkel benutzt man die Näherung: sin ε ' ε und cos ε ' 1.)
b Ψ(x, y, z) = Ψ(R−1~r) ' Ψ(x + εy, y − εx, z)
U
∂Ψ
∂Ψ
−x
= Ψ(x, y, z) + ε y
∂x
∂y
= (1 − iε(xpy − ypx )) Ψ
(4.20)
(4.21)
(4.22)
Die infinitesimale Rotation kann in der Form
b = 1 − iεJbz
U
(4.23)
geschrieben werden. Der Operator Jbz wird der Generator der Rotationen um die z-Achse genannt. Wegen
†
†
†
b
b
b
b
b
b
1 = U U = 1 + iεJ z 1 − iεJ z = 1 + iε J z − J z + O(ε2 )
folgt, daß der Generator Jbz hermitesch (J † = J) ist und daher eine quantenmechanische Observable ist. Der Vergleich mit Gleichung (4.14) zeigt, daß der Generator Jbz identisch ist mit
b~
der dritten Komponente des Drehimpulsoperators J.
Die Rotation um einen endlichen Winkel ϑ kann durch eine Folge von n infinitesimalen Rotationen aufgebaut werden:
n
n ϑ
b
b (ϑ) = U
b (ε) = 1 − i Jbz
U
−→ e−iϑJ z
n→∞
n
Entsprechende Hermitesche Operatoren können für Rotationen um die x- und y-Achse eingeführt werden. Diese Operatoren erfüllen die Kommutatorregeln (mit zyklischer Vertauschung)
analog zu den Relationen (4.14) bis (4.16).
Schiebeoperatoren. In der formalen Herleitung der Eigenschaften des Drehimpulses in der
Quantenmechanik geht man von dem Operator J~ aus, für dessen Komponenten Jx , Jy und Jz
(bzw. J1 , J2 und J3 ) die folgenden Vertauschungsregeln gelten:
[Jx , Jy ] ≡ Jx Jy − Jy Jx = iJz
2 J , J x ≡ J 2 Jx − J x J 2 = 0
(+ zyklische Vertauschung der Indizes)
etc
(4.24)
(4.25)
Die Interpretation in Analogie zum klassischen Bahndrehimpuls wird nicht benötigt. Aus den
Vertauschungsregeln folgt, daß es gemeinsame Eigenzustände zu J 2 und Jz gibt; deren Eigenwerte werden mit j(j + 1) bzw. mit m bezeichnet.
Schiebeoperatoren J+ und J− , auch genannt Aufsteige- und Absteige-Operatoren, werden eingeführt durch
J+ = Jx + iJy
J− = Jx − iJy
mit Jz J+ − J+ Jz = +J+
mit Jz J− − J− Jz = −J− .
4.2 Drehimpuls
65
Mit diesen Beziehungen läßt sich die folgende Identität herleiten:
Jz (J+ |j mi) = (m + 1) (J+ |j mi) .
Daraus folgt, daß die Wellenfunktion (J+ |j mi) ein Eigenzustand zum Operator Jz ist mit
Eigenwert m+1. Entsprechend ist die Wellenfunktion (J− |j mi) ein Eigenzustand zum Operator
Jz mit Eigenwert m − 1. Die Schiebeoperatoren, angewendet auf eine Wellenfunktion |j mi,
ergibt also eine Änderung der z-Komponente des Drehimpulses von +1 bzw. −1.
Aus dieser Algebra läßt sich herleiten, daß die einzig möglichen j-Werte
j = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .
sind und daß m die Werte zwischen −j und +j in Schritten von ∆m = 1 annnehmen kann.
Man erhält also aus den Vertauschungsregeln halbzahlige Werte des Drehimpulses. Damit kann
auch der halbzahlige Spin s und der halbzahlige Gesamtdrehimpuls j beschrieben werden.
Die folgende Zusammenfassung zeigt die Eigenschaften der Drehimpulsoperatoren:
Jz |j mi = m |j mi
J 2 |j mi = j(j + 1) |j mi
p
J+ |j mi = j(j + 1) − m(m + 1) |j m+1i
p
J− |j mi = j(j + 1) − m(m − 1) |j m+1i .
Die Schiebeoperatoren können auch zur Berechnung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten benutzt
werden, die bei der Addition von Drehimpulsen auftreten.
4.2.1
Addition von Drehimpulsen
Die Addition von Drehimpulszuständen erfolgt in der Quantenmechanik nach Regeln, die aus
den Kommutatoreigenschaften folgen. Zwei Drehimpulse, J~1 und J~2 , mit den Quantenzahlen j1
und j2 können zu einem resultierenden Drehimpuls J~ kombiniert werden, mit einer Quantenzahl
j, die der Ungleichung
|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2
Ein Drehimpulseigenzustand mit festen Werten von j und m hat allgemein keine festen Werte
von m1 und m2 .
Quantenmechanisch entsteht der Eigenzustand mit den Quantenzahlen j und m durch Addition
von j1 und j2 in allen möglichen Linearkombinationen, die die Beziehung
m1 + m 2 = m
(4.26)
erfüllen. In der ket-Schreibweise ist die Addition von zwei Zuständen |j1 m1 i und |j2 m2 i
zum Zustand |j mi zu betrachten. Bei der Zusammensetzung bzw. Zerlegung von Drehimpulszuständen treten Koeffizienten C auf, die Clebsch-Gordan-Koeffizienten heißen und tabelliert sind. Es gibt zwei äquivalente Formeln, wobei in den Summen jeweils die Bedingung
m1 + m2 = m zu beachten ist:
X
j j 1 j2
(4.27)
Cm
|j mi =
m 1 m 2 | j 1 m1 i | j 2 m2 i
j1 , j2
j1 +j2
| j 1 m1 i | j 2 m2 i =
X
j=|j1 −j2 |
j j 1 j2
Cm
m1 m2 | j mi
(4.28)
66
Erhaltungssätze und Symmetrien
Die Berechnung der Koeffizienten erfolgt durch die Forderung, daß der Zustand |j1 j2 j mi Eic2 und des Operators L
bz für die z-Komponente ist. Die
genzustand des Drehimpulsoperators L
Koeffizienten sind nicht eindeutig festgelegt, unterschiedliche Konventionen unterscheiden sich
um eine komplexen Faktor vom Betrag 1; hier wird die Konvention nach Condon and Shortley 1
benutzt.
Die Tabelle 4.1 enthält die Clebsch-Gordan-Koeffizienten bis zur Dimension 2 × 2.
Für ein zusammengesetztes System aus zwei Systemen wird auch die Abkürzung
|j1 j2 m1 m2 i ≡ | j1 m1 i |j2 m2 i
benutzt und für einen Zustand mit dem Satz von Drehimpulsquantenzahlen `, s, m` , ms wird
die Schreibweise
|`, s, m` , ms i
benutzt.
Beispiel: Addition von Drehimpulsen j1 = 1/2 und j2 = 1.
Frage ist, welche Zustände gibt es? Der Gesmtdrehimpuls kann sein J = 3/2 oder 1/2.
Wir betrachten die Zustände mit J = 3/2. Die Zustände mit m = ±3/2 können nur durch
|3/2 +3/2i = |1 +1i|1/2 +1/2i
|3/2 −3/2i = |1 −1i|1/2 −1/2i
(4.29)
(4.30)
realisiert werden. Die Anwendung des Schiebeoperators J− auf die Zustände mit j1 = 1/2 und
j2 = 1 ergeben:
√
J− |1 +1i = 2|1 0i
J− |1/2 +1/2i = |1/2 −1/2i
√
J− |1 0i = 2|1 − 1i
J− |1/2 −1/2i = 0
(4.31)
J− |1 −1i = 0
Der Schiebeoperator J− wird nun auf beide Seiten der Gleichungen (4.29) angewendet, bei der
Umformung werden die Eigenschaften (4.31) benutzt:
J− |3/2 +3/2i = J− |1 +1i|1/2 +1/2i
= (J− |1 +1i)|1/2 +1/2i + |1 +1i (J− |1/2 +1/2i)
√
√
3 · |3/2 +1/2i = 2 · |1 0i|1/2 +1/2i + 1 · |1 +1i|1/2 −1/2i
Man erhält schließlich:
|3/2 +1/2i =
p
2/3 |1 0i|1/2 +1/2i +
p
1/3 |1 + 1i|1/2 −1/2i
(4.32)
Durch nochmaliges Anwenden von J− auf 4.32 erhält man einen weiteren Zustand |3/2 −1/2i.
D.h. zu J = 3/2 gibt es 4 Zustände, die sich aus Drehimpuls 1 und 1/2 zusammmensetzen
lassen. Alle Zustände sind nochmal zusammengestellt:
|3/2 +3/2i = |1 +1i|1/2 +1/2i
p
p
|3/2 +1/2i =
2/3 |1 0i|1/2 +1/2i + 1/3 |1 + 1i|1/2 −1/2i
p
p
|3/2 −1/2i =
2/3 |1 0i|1/2 −1/2i + 1/3 |1 − 1i|1/2 +1/2i
|3/2 −3/2i = |1 −1i|1/2 −1/2i
1
Condon and Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York 1953.
(4.33)
(4.34)
(4.35)
(4.36)
4.2 Drehimpuls
67
Notation:
1
0
+1
1
0
0
+ 1/2 + 1/2 1
+ 1/2 − 1/2 1/2 1/2 1
+
1/2
−
1/2
−1
1/2
− 1/2
1/2×1/2
2×1/2 + 5/2
5/2 5/2 3/2
+ 2 1/2
1 3/2 + 3/2
+ 1 − 1/2
0 + 1/2
3/2
+ 3/2 3/2 1/2
+ 1 + 1/2
1 + 1/2 + 1/2
1×1/2
+2 +1
3
+3 3
1 +2
2
+2
m1
m2
.
.
.
2
2
+2
+ 3/2 +1/2 1 + 1
3/2×1/2
2/3 1/3 3/2
1/3 − 2/3 − 3/2
− 1 − 1/2
1
...
...
Coefficients
3/5 2/5 5/2 3/2
2/5 − 3/5 − 3/2 − 3/2
− 1 − 1/2
− 2 + 1/2
1
+1
4/5 1/5 5/2
1/5 − 4/5 − 5/2
− 2 − 1/2
+ 3/2 − 1/2 1/4 3/4
+ 1/2 + 1/2 3/4 − 1/4
2
0
1
1
0
5/2
+ 5/2
+ 3/2 + 1
1
+ 3/2 0
+ 1/2 + 1
3/2×1
1
2
3
+ 2 0 1/3 2/3
+1
+1
+1
+ 1 + 1 2/3 −1/3
+ 2 −1 1/15 1/3 3/5
3
1/6 − 3/10
2
1
1×1 + 22 2 1 + 01 + 01 8/15
6/15 − 1/2 1/10
0
0
0
+1 +1 1 +1 +1
+ 1 − 1 1/5 1/2 3/10
2
1
0
+ 1 0 1/2 1/2
0 0 3/5
0 − 2/5
0
0
0 + 1 1/2 − 1/2
0
− 1 + 1 1/5 − 1/2 3/10
+ 1 − 1 1/6 1/2 1/3
0 − 1/3 2
0 0 2/3
− 1 + 1 1/6 − 1/2 1/3 − 1
.
.
.
J
M
2/5 3/5 5/2 3/2
3/5 − 2/5 − 1/2 − 1/2
0 − 1/2
− 1 + 1/2
1/3 2/3 3/2 1/2
2/3 − 1/3 − 1/2 − 1/2
0 − 1/2
− 1 + 1/2
2×1
m2
+ 2 − 1/2 1/5 4/5 5/2 3/2
+ 1 + 1/2 4/5 − 1/5 + 1/2 + 1/2
− 1/2 − 1/2 1
+ 1 − 1/2
0 + 1/2
m1
J
M
0 −1
−1 0
−2 +1
1
−1
0 − 1 1/2 1/2 2
− 1 0 1/2 − 1/2 − 2
−1 −1 1
+ 1/2 − 1/2 1/2 1/2
2
1
5/2 3/2
− 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2 − 1 − 1
+ 3/2 + 3/2
− 1/2 − 1/2 3/4 1/4 2
3/2 1/2
2/5 3/5 5/2
− 3/2 + 1/2 1/4 − 3/4 − 2
3/5 − 2/5 + 1/2 + 1/2 + 1/2
− 3/2 − 1/2 1
2/5 1/2
+ 3/2 − 1 1/10
3/2 1/2
+ 1/2 0 3/5 1/15 − 1/3 5/2
− 1/2 + 1 3/10 − 8/15 1/6 − 1/2 − 1/2 − 1/2
+ 1/2 − 1 3/10 8/15 1/6
3
1
2
− 1/2 0 3/5 − 1/15 − 1/3 5/2 3/2
−1 −1
−1
− 3/2 + 1 1/10 − 2/5 1/2 − 3/2 − 3/2
− 1/2 − 1 3/5 2/5 5/2
6/15 1/2 1/10
− 3/2 0 2/5 − 3/5 − 5/2
2
8/15 − 1/6 − 3/10
3
1/15 − 1/3 3/5 − 2 − 2
− 3/2 − 1
1
− 1 − 1 2/3 1/3 3
− 2 0 1/3 − 2/3 − 3
−2 −1 1
3/2×3/2
3
+3 3
2
+ 3/2 + 3/2
1 +2
+2
3
2
+ 3/2 + 1/2 1/2 1/2
1
+ 1/2 + 3/2 1/2 − 1/2 + 1 + 1
+1
+ 3/2 − 1/2 1/5 1/2 3/10
3/2
3
2
+ 1/2 + 1/2 3/5
0 − 2/5
+ 3/2
0
− 1/2 + 3/2 1/5 − 1/2 3/10
0
2/5
+ 3/2 − 3/2 1/20 1/4
− 2/5
7/2
5/2 3/2
1/2
+ 1/2 − 1/2 9/20 1/4
1/5 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2
− 1/2 + 1/2 9/20 − 1/4
− 3/2 + 3/2 1/20 − 1/4
− 3/2 1/35 6/35 2/5
2/5
− 1/2 12/35 5/14
0 − 3/10
5/2 3/2 1/2
1/2 18/35 − 3/35 − 1/5
7/2
1/5
3/2 4/35 − 27/70 2/5 − 1/10 − 1/2 − 1/2 − 1/2 − 1/2
2×3/2
4
4
+2 +2 1
+2 +1
+1 +2
2×2
7/2
+ 7/2 7/2 5/2
+ 2 + 3/2
1 + 5/2 + 5/2
+ 2 + 1/2 3/7 4/7
+ 1 + 3/2 4/7 − 3/7
+ 2 − 1/2
+ 1 1/2
0 3/2
3
4
+3 +3
1/2 1/2
3
2
4
1/2 − 1/2 + 2
+2 +2
+2
+1
0
0 3/14 1/2 2/7
1 4/7
0 − 3/7
2 3/14 − 1/2 2/7
7/2
+ 3/2
4
+1
5/2
+ 3/2
1/7 16/35
4/7
1/35
2/7 − 18/35
+2
+1
0
−1
3
+1
2
+1
4
0
3
0
2
0
1
0
0 − 3/2
− 1 − 1/2
− 2 1/2
0
0
+ 2 − 2 1/70 1/10 2/7 2/5 1/5
+ 1 − 1 8/35 2/5 1/14 − 1/10 − 1/5
0 − 2/7
0 1/5
0 0 18/35
− 1 1 8/35 − 2/5 1/14 1/10 − 1/5
− 2 2 1/70 − 1/10 2/7 − 2/5 1/5
4
−1
3
−1
2
−1
0
0
9/20 1/4
− 1/20 − 1/4
− 1/20 1/4
9/20 − 1/4
3
−1
2
−1
1
−1
+ 1/2 − 3/2 1/5 1/2 3/10
0 − 2/5
− 1/2 − 1/2 3/5
− 3/2 + 1/2 1/5 − 1/2 3/10
+ 1 − 3/2 4/35 27/70 2/5 1/10
0 − 1/2 18/35 3/35 − 1/5 − 1/5
− 1 1/2 12/35 − 5/14
0 3/10 7/2
− 2 3/2 1/35 − 6/35 2/5 − 2/5 − 3/2
1
+1
+ 2 − 1 1/14 3/10 3/7 1/5
+ 1 0 3/7 1/5 − 1/14 − 3/10
0 1 3/7 − 1/5 − 1/14 3/10
− 1 2 1/14 − 3/10 3/7 − 1/5
1
0
5/2 3/2
− 3/2 − 3/2
3
−2
2
−2
− 1/2 − 3/2 1/2 1/2 3
− 3/2 − 1/2 1/2 − 1/2 − 3
− 3/2 − 3/2 1
2/7 18/35 1/5
7/2
4/7 − 1/35 − 2/5
5/2
1/7− 16/35 2/5 − 5/2 − 5/2
− 1 − 3/2 4/7
3/7 7/2
− 2 − 1/2 3/7 − 4/7 − 7/2
− 2 − 3/2
1
−1
+ 1 − 2 1/14 3/10
3/7 1/5
1/5 − 1/14 − 3/10
0 − 1 3/7
− 1 0 3/7 − 1/5 − 1/14 3/10
− 2 1 1/14 − 3/10
3/7 − 1/5
4
−2
3
−2
1
2
−2
0 − 2 3/14 1/2 2/7
− 1 − 1 4/7
3
0 − 3/7
4
− 2 0 3/14 − 1/2 2/7 − 3 − 3
− 1 − 2 1/2 1/2 4
− 2 − 1 1/2 − 1/2 − 4
−2
−2
1
Abbildung 4.1: Clebsch Gordan-Koeffizienten mit der Zeichenkonvention von Condon p
and Shortley. Zu jedem Koeffizienten gehört noch die Quadratwurzel, d.h. −8/15 bedeutet − 8/15.
68
Erhaltungssätze und Symmetrien
Ähnlich kann man die Zustände zu J = 1/2 konstruieren.
4.2.2
Spin-Statistik-Theorem
Systeme identischer Teilchen. Wenn zwei Teilchen identisch sind, sollten sie in der Wellenfunktion in gleicher Weise behandelt werden. Der physikalische Zustand sollte unverändert
sein, wenn die beiden Teilchen vertauscht werden, daraus folgt die Forderung
ψ(1, 2) = eiϕ ψ(2, 1)
mit
|ψ(1, 2)|2 = |ψ(2, 1)|2 .
Die zweifache Vertauschung führt zum ursprünglichen Zustand zurück, also folgt
e2iϕ = 1
und
eiϕ = ±1 .
Aus der Identität von zwei Teilchen folgt also für deren Wellenfunktion unter Vertauschung der
beiden Teilchen
ψ(1, 2) = ±ψ(2, 1) .
Diese Symmetrieverhalten unter Vertauschung kann auf Systeme von n identischen Teilchen
und die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für das gesamte System verallgemeinert werden.
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für ein n-Teilchensystem lautet:
b 2, . . . , n)Ψ(1, 2, . . . , n; t) = ih̄ ∂ Ψ(1, 2, . . . , n; t)
H(1,
∂t
Der Hamilton-Operator ist symmetrisch gegenüber der Vertauschung von zwei identischen Teilb vertauscht
chen, denn die Identität bedeutet gerade, daß die Teilchen ohne Änderung von H
werden können. Im folgenden soll Pbij ein Operator sein, der die Teilchen i und j vertauscht.
Der Operator wird zunächst auf den Hamilton-Operator eines n-Teilchen-Systems angewendet:
b 2, . . . , i, . . . , j, . . . , n) = H(1,
b 2, . . . , j, . . . , i, . . . , n)
Pbij H(1,
und für identische Teilchen gilt
b 2, . . . , j, . . . , i, . . . , n) = H(1,
b 2, . . . , i, . . . , j, . . . , n) .
H(1,
Der Hamilton-Operator selbst verhält sich also symmetrisch bei der Vertauschung von zwei
identischen Teilchen. Daher erhält man bei der Anwendung des Vertauschungsoperators Pbij
auf die n-Teilchen-Schrödingergleichung das Ergebnis, daß entweder sowohl die Wellenfunktion
Ψ(1, 2, . . . , n) als auch deren zeitliche Ableitung ∂Ψ(1, 2, . . . , n)/∂t sich symmetrisch verhalten
oder sich antisymmetrisch verhalten. Daraus folgt, daß der Symmetriecharakter zeitlich konstant
bleibt: die Wellenfunktion Ψ zum Zeitpunkt t und die Wellenfunktion Ψ + (∂Ψ/∂t)dt zum
Zeitpunkt t + dt haben den gleichen Symmetriecharakter.
Die nichtrelativistische Quantenmechanik kann keine Aussagen über den Symmetriecharakter
von Wellenfunktionen für Systeme identischer Teilchen machen. In der Quantenfeldtheorie wurde im Spin-Statistik-Theorem die Beziehung zwischen Spin und Statistik bewiesen.
Spin-Statistik-Theorem:
Fermionen-Systeme (Pauli-Prinzip): Systeme identischer Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) werden durch Wellenfunktionen beschrieben, die sich bei der
Vertauschung von je zwei Teilchen antisymmetrisch verhalten gemäß
Pbij Ψ(1, 2, . . . , i, . . . , j, . . . , n) = −Ψ(1, 2, . . . , j, . . . , i, . . . , n) ,
4.2 Drehimpuls
69
Bosonen-Systeme: Systeme identischer Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen)
werden durch Wellenfunktionen beschrieben, die sich bei der Vertauschung von je
zwei Teilchen symmetrisch verhalten.
Es wird nun wieder der Fall von zwei identischen Teilchen betrachtet, wobei ein Teilchen sich
in einem Quantenzustand a und das andere Teilchen sich in einem Quantenzustand b befinden soll. Bei der Schreibweise der Zwei-Teilchen-Wellenfunktion als Produkt von zwei entsprechenden Ein-Teilchen-Wellenfunktionen verlangt das Spin-Statistik-Theorem eine der folgenden
Wellenfunktionen:
1
ψS = √ [ψa (r1 )ψb (r2 ) + ψa (r2 )ψb (r1 )]
2
1
ψA = √ [ψa (r1 )ψb (r2 ) − ψa (r2 )ψb (r1 )]
2
(4.37)
(4.38)
Dabei sind ψa√und ψb orthonormierte Wellenfunktionen, daher muß bei der Linearkombination
der Faktor 1/ 2 stehen.
Die Postulate verlangen nicht, daß die totale Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen
als Linearkombination von Produkten von Einteilchen-Wellenfunktionen geschrieben werden
kann. Falls dies jedoch möglich ist, stellen die obigen symmetrischen und antisymmetrischen
Linearkombinationen die für einen Zwei-Boson- bzw. Zwei-Fermion-Zustand gültigen Wellenfunktionen dar. Die antisymmetrische Wellenfunktion verschwindet identisch, wenn die beiden
Zustände a und b gleich sind, zwei Fermionen können also nicht den gleichen Zustand einnehmen.
4.2.3
Spin 1/2
Die Leptonen und die Quarks haben eine Spin von 1/2 und daher ist der Fall des Spins 1/2 der
wichtigste Fall. Die beiden möglichen Spineinstellungen |s mi werden auf verschiedene Arten
dargestellt:
1
|1/2 1/2i
| ⇑i
0
0
|1/2 −1/2i
| ⇓i
1
Der allgemeine Zustand kann in der Form
α|1/2 +1/2i + β|1/2 −1/2i ≡
α
β
mit |α|2 + |β|2 = 1
geschrieben werden. Dabei geben |α|2 und |β|2 die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß die Messung
der z-Komponente den Wert 1/2 bzw. −1/2 ergibt.
Die Spinoperatoren Sb1 , Sb2 und Sb3 mit der Eigenschaft [Sbi , Sbj ] = iSbk mit zyklischer Vertauschung der Indizes sind analog zu den allgemeinen Drehimpulsoperatoren definiert; sie können
b
~ ≡ 1/2 ~σ .
durch die Pauli-Matrizen dargestellt werden in der Form S
σ1 =
0 1
1 0
σ2 =
0 −i
i 0
σ3 =
1
0
0 −1
70
Erhaltungssätze und Symmetrien
Beispiele für die Anwendung der Operatoren auf allgemeine Zustände sind:
1
α
β
=
Sb1
β
α
2
1 1 0
1 α
α
α
2
b
S1
=
=
β
β
4 0 1
4 β
1
α
α
=
Sb3
β
2 −β
3 2
α
α
α
b
2
2
2
~
b
b
b
S
= S1 + S2 + S3
=
β
β
4 β
2
b
~ ist mit
Die letzte Zeile zeigt, daß der allgemeine Zustand ein Eigenzustand zum Operator S
dem Eigenwert s(s + 1) = 3/4.
Zwei Spin 1/2 Teilchen. Das aus zwei Spin 1/2 Teilchen zusammengesetzte System hat einen
Spin von 1 oder 0. Zum Spin 1 ergeben sich drei Zustände (Triplett):
|1 +1i = |1/2 +1/2i |1/2 +1/2i
p
p
|1 0i = 1/2 |1/2 +1/2i |1/2 −1/2i + 1/2 |1/2 −1/2i |1/2 +1/2i
|1 −1i = |1/2 −1/2i |1/2 −1/2i
und zum Spin 0 ergibt sich ein Zustand (Singlett/Singulett):
p
p
|0 0i = 1/2 |1/2 +1/2i |1/2 −1/2i − 1/2 |1/2 −1/2i |1/2 +1/2i
Bei einem System aus zwei identischen Spin 1/2 Teilchen verhält sich die Spinwellenfunktion
des Tripletts symmetrisch unter Vertauschung und die Spinwellenfunktion des Singuletts antisymmetrisch unter Vertauschung der beiden Teilchen. Entsprechend dem Pauli-Prinzip muß
dann die Ortswellenfunktion sich antisymmetrisch (Triplett) bzw. symmetrisch (Singulett) unter Vertauschung verhalten.
4.3
Isospin und Flavour-Symmetrien
4.3.1
Interim: Entdeckung der Seltsamkeit
Im Jahre 1946 haben Rochester und Butler in Nebelkammern, in denen sie eine Bleiplatte
als Target angebracht und die sie mit Höhenstrahlung bombardiert hatten, seltsame Teilchen
beobachtet: Sie sahen aus wie ein “V” oder eine Gabel. Man interpretierte sie als langlebige,
neutrale (im Detektor unsichtbare) Teilchen, die dann in zwei geladene zerfielen.
Solche Teilchen wurden später häufig beobachtet, als man hochenergetische Teilchenstrahlen
zur Verfügung hatte. Eine Prototyp Reaktion ist:
Danach zerfallen die neutralen Teilchen:
Λ → pπ −
π−p → K 0Λ
K 0 → π+π−
Λ ist ein Baryon, K 0 ein Meson, beide ungeladen, d.h. im Detektor nicht sichtbar (in Abb. 4.2
ist ein Blasenkammerbild von solch einer Reaktion zu sehen). Seltsam war, daß diese Teilchen
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien
71
mit Wirkungsquerschnitten erzeugt wurden, die eindeutig auf starke Wechselwirkung hinwiesen. Andererseits erfolgte der Zerfall so langsam, daß ein meßbarer Zerfallsweg auftrat. Die
Lebensdauern sind etwa
Abbildung 4.2: Blasenkammeraufnahme einer Reaktion π − p → K 0 Λ mit nachfolgendem Zerfall
Λ → pπ − und K 0 → π + π − .
τ ∼ 10−10 s,
charakteristisch für schwache Wechselwirkung.
Weiterhin traten diese neuen Teilchen immer paarweise auf (assoziierte Produktion). Man erfand
eine additive Quantenzahl “Seltsamkeit” oder “Strangeness” S und definierte
SΛ = −1
SK 0 = +1
Man postulierte, daß die Seltsamkeit in starker Wechselwirkung erhalten ist und in schwacher
verletzt sein kann.
S
π−p → K 0Λ
0 0
+1 − 1
Heute wissen wir, daß man ein neues Quark entdeckt hatte, das s Quark. Da in starken Wechselwirkungen die Quarksorte erhalten ist, können diese neuen Quarks nur paarweise als Quark–
Antiquark erzeugt werden.
72
Erhaltungssätze und Symmetrien
Quarkinhalt
MESONEN (B=0)
Spin 0 Zustand Spin 1 Zustand
S
ud
π + (140)
ρ+ (769)
0
0
0
uu, dd
π (135)
ρ (769)
0
−
−
du
π (140)
ρ (769)
0
....................................................
us
K + (494)
K ∗+ (892)
1
0
∗0
ds
K (498)
K (896)
1
....................................................
sd
K 0 (498)
K ∗0 (896)
−1
−
∗−
su
K (494)
K (892)
−1
....................................................
ss
φ(1020)
0
Tabelle 4.2: Quarkzusammensetzung und Quantenzahlen einiger Mesonen.
π − = ud,
K 0 = ds Λ = uds
p = uud
Beim Zerfall muß sich das s–Quark umwandeln, was nur in schwacher Wechselwirkung erlaubt
ist. Das Diagramm ist:
Λ
{
u
d
s
u
d
u
W
-
-u
d
}p
}π
-
Im folgenden gehen wir von Teilchen aus, die nur u, d und s Quarks und ihre Antiteilchen
enthalten.
4.3.2
Isospin
Schon kurz nach der Entdeckung des Neutrons 1932 hat W. Heisenberg postuliert, daß Proton und Neutron die beiden Zustände eines einzigen Teilchens, des Nukleons, sind. Dies wurde nahegelegt aus der Analyse von pp- und pn-Streudaten und durch den Vergleich der Bindungszustände von Spiegelkernen wie 3 H,3 He. Nach Abzug der Coulombkräfte sind die Kernkräfte zwischen pp, pn und nn offenbar identisch (im gleichen Spinzustand), man spricht von
der Ladungsunabhängigkeit der Kernkräfte. Die relative Massendifferenz zwischen Proton und
Neutron ist lediglich δm/m = 0.13%; sie wird auf die elektromagnetische Wechselwirkung
zurückgeführt. Man kann Proton und Neutron als die beiden ”Einstellungen” eines Teilchens
auffassen. Dies legt der Vergleich mit den beiden Spineinstellungen eines Elektrons nahe: ohne Magnetfeld ist die Energie beider Einstellungen gleich, und mit Magnetfeld B 6= 0 gibt es
Energieunterschiede gemäß E0 ± µB B.
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien
73
BARYONEN (B=1)
Quarkinhalt Zustand
Spin
S
uud
p(938)
1/2
0
udd
n(940)
1/2
0
....................................
uds
Λ(1116)
1/2
−1
....................................
uus
Σ+ (1189) 1/2
−1
0
uds
Σ (1193) 1/2 1 −1
dds
Σ− (1197) 1/2
−1
....................................
uss
Ξ0 (1315) 1/2
−2
dss
Ξ− (1321) 1/2
−2
Tabelle 4.3: Quarkzusammensetzung und Quantenzahlen einiger Baryonen.
Analog zum Spin wurde daher ein Isospin I eingeführt mit Operatoren, die den gleichen Vertauschungsrelationen folgen wie der Drehimpuls J:
[Ij , Ik ] ≡ Ij Ik − Ik Ij = iI`
mit zyklischer Vertauschung der Indizes
und Auf- und Absteige-Operatoren
I+ = I 1 + i I 2
I− = I 1 − i I 2 .
Für das Nukleon mit Isospin 21 ergeben sich danach die zwei Isospinzustände Proton |pi und
Neutron |ni:
|pi = |1/2 + 1/2i
|ni = |1/2 − 1/2i
In der Folgezeit wurden weitere Multipletts von Hadronen gefunden; die folgende Tabelle gibt
einen Überblick. Innerhalb eines Multipletts sind die Massenunterschiede zwischen den verschieden geladenen Mitgliedern des Multipletts gering.
Multiplett
Singulett
Dublett
Triplett
Quartett
Isospin
Teilchenmultipletts
I=0
η
Λ
Ω−
I = 1/2
K 0, K +
K − , K̄ 0
(n, p)
−
0
+
−
0
+
I=1
(π , π , π )
(Σ , Σ , Σ )
I = 3/2 (∆− , ∆0 , ∆+ , ∆++ )
(Ξ− , Ξ0 )
Für die Teilchenmultipletts wird eine Hyperladung Y definiert durch
Hyperladung Y = B + S
(B = Baryonenzahl, S = Seltsamkeit), und die elektrische Ladung Q (in Einheiten der Elementarladung) eines Teilchens eines Multipletts wird durch die dritte Komponente des Isospins
bestimmt:
Elektr. Ladung Q = I3 + Y /2 .
Diese Beziehung heißt Gell-Mann–Nishijima Beziehung.
74
Erhaltungssätze und Symmetrien
Postulat: Die starke Wechselwirkung ist invariant unter Rotationen
im Isospin-Raum. Physikalische Größen wie Wirkungsquerschnitt
~ des Isospins und nicht
und Zerfallsrate hängen nur vom Betrag |I|
von der dritten Komponente I3 ab, die die elektrische Ladung bestimmt.
Beispiel: Verhältnis von Wirkungsquerschnitten.
Mit Hilfe der Isospin-Invarianz läßt sich folgern, daß die Beziehung
σ(pp → π + d)
=2
σ(np → π 0 d)
für die Reaktionsquerschnitte σ gilt. Für die Reaktionsraten der beiden Reaktionen gilt bei
Isospin-Invarianz
X
σ ∝ |Amplitude|2 ∝
|hI 0 , I30 |A|I, I3 i|2 .
I
Das Deuteron d hat Isospin 0 und das π-Meson hat Isospin 1, der Endzustand beider Reaktion
hat daher Isospin I = 1 mit der dritten Komponente I3 = +1 bzw. 0. Der Anfangszustand pp
ist ebenfalls ein reiner Zustand mit Isospin I = 1, dagegen gilt für den Anfangszustand np die
Zerlegung
p
p
|ni|pi = |1/2 −1/2i|1/2 +1/2i = 1/2|1 0i − 1/2|0 0i
dieser Zustand hat also nur einen Anteil von 50% mit Isospin I = 1, daraus folgt das Verhältnis
der Wirkungsquerschnitte.
4.3.3
Isospin und das π-N -System
Nukleonresonanzen. Es gibt zwei Arten von angeregten Nukleonen oder Nukleonresonanzen,
solche mit Isospin I = 1/2, bezeichnet mit N , und solche mit Isospin I = 3/2 ), bezeichnet mit
∆ (s. Abb.4.3). Die Lebensdauer der Zustände ist von der Größenordnung τ = 10−24 sec und
sie zerfallen über die starke Wechselwirkung in ein Nukleon (Proton oder Neutron) und in ein
oder mehrere π-Mesonen. Die möglichen Ladungszustände sind durch den Isospin festgelegt,
siehe Tabelle.
Resonanz
N
∆
Isospin
Ladungszustände
I = 1/2
N0
N+
−
0
I = 3/2 ∆
∆ ∆+ ∆++
Betrachtet wird der Zerfall der einfach positiv geladenen Resonanzen N + und ∆+ . Nach der
Tabelle der Clebsch-Gordan-Koeffizienten ergeben sich die folgenden Isospin-Zerlegungen:
p
p
N + : |1/2, +1/2i = + 2/3|1 + 1i|1/2 − 1/2i − 1/3|1 0i|1/2 + 1/2i
p
p
∆+ : |3/2, +1/2i = + 1/3|1 + 1i|1/2 − 1/2i + 2/3|1 0i|1/2 + 1/2i
Daraus ergeben sich die folgenden Verhältnisse der Zerfallswahrscheinlichkeiten:
N + : Γ N + → π+ + n : Γ N + → π− + p = 2 : 1
∆+ : Γ ∆+ → π + + n : Γ ∆+ → π − + p = 1 : 2
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien
Abbildung 4.3: Erzeugung von ∆ Resonanzen in π p Wechselwirkungen.
Experimentell wird dieses aus dem Isospin-Formalismus folgende Ergebnis bestätigt.
Isospin und π-N -Reaktionen. Mit den zwei Ladungszuständen des Nukleons und den drei
Ladungszuständen des Pions kann eine große Zahl von π-N -Streuexperimenten unternommen
werden. Der Isospin-Formalismus erlaubt es, die vielen möglichen Prozesse auf zwei unabängige
Isospin-Amplituden M1/2 (Gesamtisospin 1/2) und M3/2 (Gesamtisospin 3/2) zurückzuführen,
mit denen alle πN → πN -Prozesse beschrieben werden können. Der Verlauf der totalen und
elastischen Wirkungsquerschnitte für π ± p- und π ± d-Kollisionen als Funktion der Energie ist
in Abbildung 4.4 gezeigt. Er zeigt insbesondere bei kleinen Energie eine deutliche resonante
Struktur, die auf Nukleonresonanzen mit Isospin I = 1/2 und I = 3/2 zurückzuführen ist. In
der π + p-Streuung ist der Zwischenzustand ein reiner Isospin I = 3/2-Zustand, in dem daher
nur ∆+ -Resonanzen auftreten können.
Grundlage sind die beiden folgenden Annahmen:
• in Systemen von Hadronen werden die Isospins der Teilchen vektoriell wie Drehimpulse
addiert; auch im Isospinraum können die Clebsch-Gordan-Koeffizienten benutzt werden.
• Der Hamilton-Operator der starken Wechselwirkung vertauscht mit dem Operator des
Isospins.
Der Isospin des π-N -Systems setzt sich aus den Isospinzuständen des π-Mesons und des Nukle-
75
76
Erhaltungssätze und Symmetrien
200
Cross section (mb)
100
50
⇓
π+p total
20
10
π+pelastic
5
2
–1
10
πp
1
1.2
10
2
πd 2.1
3
3
4
4
5
10
2
5 6 7 8 910
6 7 8 910
Center of mass energy (GeV)
10
20
20
30
30
3
40
40 50 60
100
⇓
Cross section (mb)
50
π ±d total
π– p total
20
10
π – p elastic
5
2
–1
10
1
10
10
2
10
3
Laboratory beam momentum (GeV/c)
Abbildung 4.4: Die totalen und elastischen Wirkungsquerschnitte für π ± p-Kollisionen und π ± dKollisionen (nur totale Wirkungsquerschnitte) als Funktion des Strahlimpulses und als Funktion
der Gesamtenergie im Schwerpunktsystem.
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien
77
ons zusammen:
|πN i = |I, I3 iπ |I, I3 iN
Die beiden einfachen Fälle
|π + pi = |1, +1iπ |1/2, +1/2iN = 1 · |3/2, +3/2i
|π − ni = |1, −1iπ |1/2, −1/2iN = 1 · |3/2, −3/2i
führen für das π-N -System auf reine Isospin-3/2-Zustände. Durch π + p- und π − n-Stöße wird
also ein Isospin-3/2-Zustand gebildet, der dann wieder zu einem eindeutigen π + p bzw. π − nEndzustand führt.
Die anderen π-N -Zustände enthalten Anteile von Gesamtisospin 1/2 und 3/2.
σ(π + p → π + p) : σ(π − p → π 0 n) : σ(π − p → π − p)
2 2 2 1 2
= M3/2 : M3/2 − M1/2 : M3/2 + 2M1/2 =
9
9
(
9:2:1
0:1:2
wenn I = 3/2 dominiert
wenn I = 1/2 dominiert
Die Gültigkeit dieser Beziehungen läßt sich in Resonanzbereichen kontrollieren. Resonanzen
im π-N -System mit Isospin I = 3/2 werden mit dem Buchstaben ∆ bezeichnet. Die erste
Resonanz ist das ∆(1232) mit einer Masse von etwa 1232 MeV/c2 , Spin 3/2 und Isospin 3/2.
Man erkennt in der Abbildung 4.4 das berechnete Verhältnis von 9 : 1 zwischen σ(π + p → π + p)
und σ(π − p → π − p) im Bereich dieser Resonanz.
Resonanzen im π-N -System mit Isospin I = 1/2 werden mit dem Buchstaben N bezeichnet.
Die Resonanz N (1520) (Masse bei 1520 MeV/c2 , Isospin 1/2 und Spin 3/2) ist im Wirkungsquerschnitt σ(π − p → π − p) deutlich sichtbar; wie erwartet, sieht man im Wirkungsquerschnitt
σ(π + p → π + p) kein Maximum bei dieser Masse.
Quark
u
d
d
u
d
s
Baryonzahl B Spin J Isospin I
+1/3
+1/3
+1/3
−1/3
−1/3
−1/3
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1/2
0
I3
Seltsamkeit S
el. Ladung Q [e]
+1/2
−1/2
0
−1/2
+1/2
0
0
0
−1
0
0
+1
+2/3
−1/3
−1/3
−2/3
+1/3
+1/3
Tabelle 4.4: Isospin und Quarks
78
Erhaltungssätze und Symmetrien
4.4
Diskrete Symmetrien
Betrachtet werden die folgenden Operatoren:
• Raumspiegelung Pb: ~r → ~r0 = −~r
b alle ladungsartigen Quantenzahlen (wie elektrische Ladung, ma• Ladungskonjugation C:
gnetisches Moment, B, L, Seltsamkeit, Charm, . . . ) werden umgekehrt; der Operator
verwandelt Teilchen in Antiteilchen
b
Invarianz des Systems unter diesen Operationen bedeutet für einen Eigenzustand von Pb oder C,
daß Übergänge nur zu Eigenzuständen mit dem gleichen Eigenwert erfolgen können. Eigenwerte
b sind multiplikative Quantenzahlen.
von Pb oder C
Weiterhin wird noch der Operator
• Zeitumkehr Tb: t → t0 = −t
b Pb und C
b Pb Tb werden betrachtet. Nach
betrachtet. Auch Kombinationen der Operatoren wie C
dT . Es gibt
dem CPT-Theorem sind alle Wechselwirkungen invariant unter dem Produkt CP
keine experimentellen Hinweise, die diesem Theorem widersprechen.
Ursprünglich wurde allgemein angenommen, daß die Gesetze der Physik generell invariant unb und Tb sind. Experimentell wurde jedoch 1956 gezeigt,
ter den einzelnen Operationen Pb, C
daß Raumspiegelungssymmetrie in der schwachen Wechselwirkung maximal verletzt ist. Weiterhin wurde 1964 experimentell gezeigt, daß die schwache Wechselwirkung unter der Produktd nur angenähert invariant ist; hier ist die Verletzung von der Größenordnung
Operation CP
−3
10 .
4.5
Parität
Die Paritätstransformation Pb besteht in der räumlichen Inversion der Koordinaten:
~r = (x, y, z) → ~r0 = (x0 , y 0 , z 0 ) = −~r = (−x, −y, −z).
Diese Operation ist in Abb. 4.5 illustriert und wird mit der Spiegelung an einer Ebene verglichen.
Ein System heißt invariant gegenüber der Paritätstransformation, wenn der Hamilton-Operator
unter der Operation ungeändert bleibt:
h
i
b r 0 , ~r0 , . . .) = H(−~
b r 1 , −~r2 , . . .) = H(~
b r1 , ~r2 , . . .)
b Pb = 0
H(~
H,
1 2
Wenn dies gilt, sind
• die Paritäten von Anfangs- und Endzustand einer Reaktion gleich, und
• die Parität ist für gebundene Zustände eine gute Quantenzahl.
Zustände von Atomen und Kernen sind mit großer Präzision Eigenzustände der Parität, wie
die experimentelle Suche nach paritätsverletzenden Übergängen gezeigt hat. Dies zeigt, daß
in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen Paritätserhaltung gilt. Dagegen ist die
Paritätserhaltung in der schwachen Wechselwirkung verletzt; dies wird im Kapitel 4.6 diskutiert.
Im folgenden wird die schwache Wechselwirkung nicht betrachtet und es wird untersucht, was
aus der Paritätserhaltung in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen folgt.
Der Paritätsoperator wird zunächst auf einen Ein-Teilchen-Zustand angewendet:
Pbψ(~r, t) = Pa ψ(−~r, t)
(4.39)
4.5 Parität
Abbildung 4.5: a) Spiegelung an einer Ebene; b) Raumspiegelung (Paritätstransformation).
79
80
Erhaltungssätze und Symmetrien
wobei der Index a das Teilchen kennzeichnet. Da die zweifache Anwendung des Paritätsoperators
auf den ursprünglichen Zustand führt, gilt Pa2 = 1 und Pa = +1 oder −1. Für eine Impulseigenfunktion ψp~ (~r, t) = exp [i (~p · ~r − Et)] ist
Pbψp~ (~r, t) = Pa ψp~ (−~r, t) = Pa ψ−p~ (~r, t)
Ein Teilchen in Ruhe, d.h. p~ = 0, ist also ein Eigenzustand zum Paritätsoperator mit dem
Eigenwert Pa . Der Eigenwert Pa wird Eigenparität, kurz Parität, des Teilchens genannt. Experimentell kann die Eigenparität von Teilchen, die in Reaktionen erzeugt oder vernichtet werden,
bestimmt werden. Dagegen lassen sich aus dem Experiment keine Aussagen über die Eigenparität von Teilchen machen, die sowohl im Anfangs- als auch im Endzustand vorhanden sind.
Die Verallgemeinerung der Gleichung (4.39) ist
Pbψ(~r1 , ~r2 , . . . t) = P1 P2 · · · ψ(−~r1 , −~r2 , . . . t)
mit einem eigenen Faktor für jedes Teilchen. Parität ist eine multiplikative Quantenzahl.
4.5.1
Parität von Drehimpulszuständen
Teilchen in definierten Drehimpulszuständen sind ebenfalls Eigenzustände der Parität. Die Wellenfunktion hat die Form
ψn`m (~r) = R(r)Y`m (ϑ, ϕ)
mit den Polarkoordinaten r, ϑ und ϕ. In Polarkoordinaten bedeutet die Paritätstransformation
r → r 0 = r,
ϑ → ϑ0 = π − ϑ,
ϕ → ϕ0 = π + ϕ
Für diese Transformation haben die Kugelfunktionen Y`m (ϑ, ϕ) die Eigenschaft
Y`m (ϑ, ϕ) → Y`m (π − ϑ, π + ϕ) = (−1)` Y`m (ϑ, ϕ)
und es folgt
Pbψn`m (~r) = Pa ψn`m (−~r) = Pa (−1)` ψn`m (~r)
d.h. der Drehimpulszustand mit der Bahndrehimpulsquantenzahl ` führt auf einen Faktor (−1)` .
4.5.2
Parität von Fermionen und Antifermionen
Bisher ist bei der Diskussion der Raumspiegelung die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung
benutzt worden. Zustände z.B. mit Elektronen und Positronen werden dabei durch getrennte
Wellenfunktionen beschrieben. In der relativistischen Beschreibung mit der Dirac-Gleichung
beschreibt eine einzige vierkomponentige Wellenfunktion sowohl Elektronen als auch Positronen,
und dadurch gibt es eine Beziehung zwischen den Eigenparitäten des Elektrons und Positrons.
Die Analyse zeigt, daß die Dirac-Gleichung nur verträglich ist mit der Paritätserhaltung für
Pe+ Pe− = −1
(4.40)
d.h. mit entgegengesetzten Eigenparitäten von Elektron und Positron. Das gleiche Argument
gilt für alle Fermion- und Antifermion-Eigenparitäten:
Pf Pf¯ = −1
mit der Bezeichnung f¯ für das Antiteilchen des Fermions f .
4.5 Parität
81
Diese theoretische Vorhersage läßt sich experimentell überprüfen durch die Untersuchung der
Reaktion
e+ + e− → γγ
Im Parapositronium befinden sich ein Elektron und ein Positron in einem gebundenen Zustand
mit der Bahndrehimpulsquantenzahl ` = 0 (s-Zustand). Die Parität des Anfangszustands ist
daher Pi = Pe+ Pe− (−1)0 = Pe+ Pe− . Durch eine Messung der Parität des Zwei-Photonensystems
kann das Produkt Pe+ Pe− bestimmt werden. Indirekt ist diese Messung möglich durch Untersuchung der Polarisation der emittierten Photonen. Das Experiment bestätigt die theoretische
Erwartung (4.40).
Da Elektronen und Positronen stets in Paaren erzeugt oder vernichtet werden, ist die Bestimmung der Paritäten von Elektron bzw. Positron alleine nicht möglich. Das gleiche gilt für die
anderen geladenen Leptonen (µ und τ ). Nach Konvention ordnet man den Teilchen e− , µ− und
τ − die Eigenparität +1 und den Antiteilchen e+ , µ+ und τ + die Eigenparität −1 zu.
Die gleiche Konvention wird für Quarks und Antiquarks benutzt. Auch für Protonen, Neutronen etc. wird die Eigenparität als +1 festgelegt, sodaß die Eigenparität der entsprechenden
Antiteilchen −1 ist.
4.5.3
Das elektromagnetische Feld und Photonen
Die Eigenparität des Photons kann aus den elektromagnetischen Feldgleichungen theoretisch
hergeleitet werden. Diese Herleitung ergibt als Eigenparität des Photons Pγ = −1. Diese Zuordnung ist im Einklang mit den beobachteten atomaren Übergängen durch Photonemission:
es tritt immer eine Paritätsänderung an den Kernen auf.
4.5.4
Die Eigenparität des π −
Die Eigenparität des π − wurde experimentell in der Reaktion
π− + d → n + n
gemessen. Negative Pionen werden in flüssigem Deuterium abgebremst und von einem Deuteriumatom eingefangen. Sie bilden ein pionisches Atom, in dem das Elektron durch das π −
ersetzt wird. Das π − geht unter γ-Emission über in einen s-Zustand (` = 0, mit Wellenfunktion ψπ (0) 6= 0), von dem aus es vom Deuteron absorbiert wird. Der Gesamtdrehimpuls des
Anfangszustands ist 1 (Spin des Deuterons ist 1, Spin des π − und Bahndrehimpuls sind Null).
Der beobachtete Endzustand wird aus zwei Neutronen gebildet; dies ist ein System aus zwei
identischen Fermionen, dessen Wellenfunktion antisymmetrisch gegenüber der Vertauschung
der beiden Neutronen sein muß (Pauli-Prinzip). Diese Forderung legt den Bahndrehimpuls `0
zwischen den beiden Neutronen fest, wie die Tabelle zeigt, in der die möglichen Werte des
Bahndrehimpulses `0 , der Gesamtspin S 0 des nn-Systems und der Symmetriecharakter der Wellenfunktion bei einem Gesamtdrehimpuls von 1 angegeben ist (s = symmetrisch, a = antisymmetrisch):
Bahndrehimpuls
`0
0
1
1
2
Spin S 0 des
nn-Systems
1
0
1
1
Symmetrie für
`0 -Anteil S 0 -Anteil
s
s
a
a
a
s
s
s
Gesamtsymmetrie
s
s
a
s
82
Erhaltungssätze und Symmetrien
Größe
Skalar
Pseudoskalar
Vektor (polarer Vektor)
Pseudovektor (axialer Vektor)
Raumspiegelung
Pb(s) = +s
Pb(p) = −p
Pb(~v ) = −~v
Pb(~a) = +~a
Tabelle 4.5: Verhalten von Skalaren und Vektoren unter der Raumspiegelung Pb.
In diesem Fall hat Vertauschen der Neutronen die gleiche Wirkung wie die Paritätsoperation; die
räumliche Wellenfunktion ist symmetrisch für einen geraden Wert von `0 und antisymmetrisch
für `0 = 1. Nur die Kombination S 0 = `0 = 1 verhält sich antisymmetrisch, also liegt die
0
Parität des Endzustandes mit (−1)` = −1 eindeutig fest. Wegen Paritätserhaltung hat der
Anfangszustand ebenfalls Parität −1, also ist
Pπ · (−1)` · Pd = −1
Daraus folgt die negative Eigenparität des π − mit Pπ = −1, denn für die Eigenparität des
Deuterons gilt Pd = PN2 · (−1)`d = 1 beim Bahndrehimpuls der Nukleonen im Deuteron von
`d = 0 oder = 2.
Die Eigenparität des π 0 wurde unabhängig durch Messung der Spinkorrelation der beiden
Zerfalls-Photonen bestimmt, sie ist ebenfalls −1. Die Parität aller Teilchen eines Isospin Multipletts ist gleich.
4.5.5
Quarkmodell
Mesonen im Quarkmodell. Mesonen sind im Quarkmodell gebundene Zustände aus einem
Quark q und einem Antiquark q̄. Bei einem relativen Bahndrehimpuls von ` ist demnach die
Parität des q q̄-Zustandes gegeben durch
P = (−1)` Pq Pq̄
Die Grundzustände haben relativen Bahndrehimpuls von ` = 0. Es ergibt sich eine negative
Eigenparität sowohl im Spin-Singlettzustand (⇑⇓) als auch im Spin-Triplettzustand (⇑⇑). Man
nennt die Mesonen mit J P = 0− Pseudoskalare (Beispiel π, und die J P = 1− Vektormesonen
(Beispiel ρ).
Singulett
Triplett
4.6
Relative
Spinorientierung
⇑⇓
⇑⇑
Bahndrehimpuls
Spin-Parität
`=0
`=0
J P = 0−
J P = 1−
pseudoskalare Mesonen
Vektormesonen
Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung
Im Jahre 1956 kamen die beiden Theoretiker Lee und Yang zu dem Schluß, daß die schwache
Wechselwirkung möglicherweise nicht invariant unter der Raumspiegelung Pb ist. Ausgelöst wurde diese Vermutung durch das sogen. τ − θ-Paradoxon: man beobachtete Zerfälle von zunächst
4.6 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung
unbekannten Teilchen in zwei und in drei Pionen, bei denen der Endzustand offenbar unterschiedliche Parität hatte. Deshalb nahm man an, daß es sich um zwei Teilchen handelte: eins
nannte man θ eins τ . Bald stellte man fest, daß sie gleiche Masse, Spin und Lebensdauer haben,
es sich also um ein Teilchen handelte2 . Lee und Yang stellten fest, daß Paritätserhaltung in
der starken und elektromagnetischen Wechselwirkung gut experimentell überprüft war, nicht
jedoch in der schwachen Wechselwirkung.
Das Transformationsverhalten verschiedener Größen unter der Raumspiegelung Pb ist in der
Tabelle 4.5 angegeben. Polare Vektoren wie der Ortsvektor ~r oder der Impuls p~ ändern unter
~ = ~r ×~p
Raumspiegelung ihr Vorzeichen; dagegen bleibt ein axialer Vektor wie der Drehimpuls L
unter Raumspiegelung unverändert. Man definiert eine Größe als skalares Produkt eines polaren
und eines axialen Vektors
~σ K · p~e ,
die die Emissionsrichtung des Elektrons mit Impuls p~e relativ zum Kernspin ~σ K beschreibt. Unter der Paritätstransformation Pb ändert diese ”skalare” Größe ihr Vorzeichen, man nennt diese
Größe pseudoskalar. Wenn Invarianz unter Pb gegeben ist, so muß der Erwartungswert dieser
Größe Null sein. Eine Messung muß also im Mittel Null ergeben; jeder von Null verschiedene
Wert bedeutet Paritätsverletzung.
Das Wu-Experiment. Historisch das erste Experiment, in dem Paritätsverletzung nachgewiesen wurde, war das “Wu Experiment”. Zur Untersuchung möglicher Paritätsverletzung wurde
durch Wu et al. ein Experiment zum β-Zerfall von 60 Co unternommen. 60 Co (Spin J = 5)
zerfällt in einem reinen Gamow-Teller-Übergang in 60 Ni∗ (Spin J = 4), wobei der totale Drehimpuls der Leptonen des Endzustands J = 1 ist. Aus Drehimpulserhaltung folgt, daß auch der
Spin des Elektrons in die Richtung des Drehimpulses J~ zeigen muß. Durch Kühlung auf 0.01 K
in einem Solenoiden wurde die 60 Co-Kerne ausgerichtet, und diese Ausrichtung konnte durch
die Winkelverteilung der γ-Strahlung von 60 Ni∗ überprüft werden.
Das Prinzip des Wu-Experimentes ist in Abb. 4.6 skizziert.
Gemessen wurden die relativen Elektron-Intensitäten beim β-Zerfall des 60 Co gegen die den
Spin ausrichtende Feldrichtung. Die Ergebnisse waren konsistent mit einer Verteilung der Form
~σ · p~
v
I(ϑ) = 1 + α
= 1 + α cos ϑ
E
c
mit α = −1 (~σ ist der Einheitsvektor in Drehimpulsrichtung, p~ und E sind Impuls und Energie
des Elektrons, und ϑ ist der Emissionswinkel des Elektrons relativ zur Drehimpulsrichtung). Die
Abhängigkeit von der Elektronengeschwindigkeit v wurde im Bereich 0.4 < v/c < 0.8 überprüft.
Die Messung einer von Null verschiedenen pseudoskalaren Meßgröße bedeutet, daß die Paritätserhaltung in der Wechselwirkung verletzt ist. Die longitudinale Polarisation oder Helizität
ist definiert durch
I+ − I −
v
H=
≡α ,
I+ + I −
c
wobei I+ und I− die Intensitäten für p~ parallel bzw. antiparallel zu ~σ sind. Das experimentelle
Ergebnis aus β-Zerfällen ist
(
+1
für e+
α≈
,
(4.41)
−1
für e−
2
Heute nennen wir dieses Teilchen K Meson (Spin 0).
83
84
Erhaltungssätze und Symmetrien
Abbildung 4.6: Prinzip des Wu Experiments, mit dem 1956 die Verletzung der Parität nachgewiesen wurde.
d.h. beim β-Zerfall werden die Elektronen mit Helizität ≈ −1, und Positronen mit Helizität
≈ +1 emittiert.
Das Ergebnis der Gleichung (4.41) bedeutet für ein masseloses Teilchen vollständige Polarisation, H = +1 oder −1. Diese vollständige Polarisation wird daher für Neutrinos bzw. Antineutrinos erwartet. Die Helizität der Neutrinos wurde in einem klassischen Experiment von Goldhaber
1958 experimentell bestimmt, das Experiment ist z.B. im Buch von Perkins oder Martin-Shaw
erklärt. Das Ergebnis dieses Experiments und auch späterer zur Helizität von Anti-neutrinos
bestätigten die obigen Erwartungen.
Das Neutrino Am Neutrino kann man besonders einfach die Paritätsverletzung sehen: In
einem Experiment von Goldhaber 1958 wurde experimentell nachgewiesen, daß beim Neutrino der Spin immer “entgegengesetzt zur Flugrichtung” steht. D.h. präziser: wir nehmen an,
daß das Neutrino exakt masselos ist, dann fliegt es mit Lichtgeschwindigkeit. Nehmen wir die
Flugrichtung als Quantisierungsachse +z, dann ist p~=(0,0,p). Die z Komponente des Spins ist
immer Sbz χν = −1/2, d.h. die Helizität H = ms /s = −1.
Wir haben eine Richtung vorgegeben: den Impuls des Neutrinos (Polarvektor) und eine Axial~ den Spin des Neutrinos.
vektor: S,
~ aber nicht: jetzt
Wenden wir den Paritätsoperator auf das Neutrino an, so kehrt sich p~ um, S
wäre Sz =+1/2. Das wird für das Neutrino nie beobachtet! Es gilt allgemein für Teilchen in
schwacher Wechselwirkung: Teilchen nehmen polarisiert an schwacher Wechselwirkung teil: bei
Teilchen ist der Spin vorwiegend entgegengesetzt zur Flugrichtung ausgerichtet, bei Antiteilchen
in Flugrichtung. Vollständige Polarisation tritt auf, wenn die Teilchen masselos sind (und damit
Lichtgeschwindigkeit haben).
4.7 Ladungskonjugation
85
Die Neutrinos sind nur schwer nachzuweisen, deshalb muß man ihre Helizität indirekt messen:
das kann man z.B. über den Pionzerfall machen.
Das geladene π ± zerfällt schwach, z.B.:
π + → µ+ + ν µ .
Die Lebensdauer ist lang, τ = 2.6 · 10−8 s. Wir kennen den Spin des Pions: J P = 0− und wir
wissen, daß das Neutrino Helizität −1 hat. Da Drehimpulserhaltung gilt, wissen wir auch, daß
das Myon seinen Spin entgegengesetzt zur Flugrichtung hat. Man muß also die Polarisation
der Myonen messen. Das Ergebnis solcher Experimente zeigte genau wie das Goldhaber Experiment, daß die Ausrichtung des Neutrino Spins entgegengesetzt zur Flugrichtung ist, für
Antineutrinos dagegen in Flugrichtung. Diese Tatsache ist eine entscheidende Eigenschaft der
schwachen Wechselwirkung, die dann in die Theorie eingebaut werden muß.
4.7
Ladungskonjugation
Nach der Quantenfeldtheorie gibt es zu jedem Teilchen ein Antiteilchen. Das Antiteilchen hat bei
allen ladungsartigen Quantenzahlen das umgekehrte Vorzeichen; zu den ladungsartigen Quantenzahlen gehören: elektrische Ladung, Baryonen- und Leptonenzahl, Seltsamkeit, Charm, . . . .
Teilchen und Antiteilchen haben gleiche Masse, Lebensdauer und Spin.
b der Ladungskonjugation ersetzt alle Teilchen durch ihre Antiteilchen im gleiDer Operator C
chen Zustand, sodaß Ort, Impuls etc. ungeändert bleiben. Da die elektrische Ladung und das
magnetische Moment jedes Teilchens im Vorzeichen umgedreht werden, bleiben die elektromagnetischen Wechselwirkungen unter dieser Operation unverändert; die Ladungskonjugation ist
auch eine Symmetrie der starken Wechselwirkung. In der schwachen Wechselwirkung ist die
Symmetrie der Ladungskonjugation verletzt. Im folgenden wird nur die starke und elektromab der Ladungskonjugation mit dem
gnetische Wechselwirkung betrachtet, bei der der Operator C
Hamiltonoperator vertauscht:
h
i
b H
b =0
C,
4.7.1
C-Parität
Der Operator der Ladungskonjugation transformiert ein Teilchen b, dessen Zustand durch |bi
bezeichnet wird, in sein Antiteilchen b̄:
b = |b̄i .
C|bi
(4.42)
Teilchen und Antiteilchen sind gleich, wenn alle ladungsartigen Quantenzahlen gleich Null sind;
Beispiele sind γ und π 0 . Solche Teilchen α sind Eigenzustände zum Operator der Ladungskonjugation und man kann
b
C|αi
= Cα |αi .
(4.43)
schreiben, wobei Cα ein Phasenfaktor ist. Da eine zweite Transformation das Antiteilchen wieder
zurück in das Teilchen transformiert, ist Cα2 = 1 und Cα = ±1. Man könnte einen entsprechenden Phasenfaktor auch in Gleichung (4.42) einführen; dieser Faktor hat jedoch keine physikalischen Konsequenzen, weil die relative Phase von Teilchen und Antiteilchen nicht gemessen
werden kann, und daher wird der Faktor nicht eingeführt.
b mit Eigenwerten ±1, die durch die C-Erhaltung
Die Teilchen γ, π 0 . . . sind Eigenzustände von C
gemessen werden können. Teilchen-Antiteilchen-Paare sind Eigenzustände, wobei der Operator
86
Erhaltungssätze und Symmetrien
b Teilchen b und Antiteilchen b̄ vertauscht. Wenn der Zustand unter Vertauschung b ↔ b̄
C
symmetrisch oder antisymmetrisch ist, dann ist
b b̄i = |b̄ bi = ±|b b̄i
C|b
(4.44)
b Beispiel ist ein π + π − -Paar in einem Zustand mit
und daher ist |b b̄i ein Eigenzustand unter C.
Bahndrehimpuls L, für das
b + π − ; Li = (−1)L |π + π − ; Li
C|π
(4.45)
gilt, denn die Teilchen-Vertauschung vertauscht den relativen Ortsvektor in der räumliche Wellenfunktion.
Bei Systemen aus Fermion-Antifermion gibt es insgesamt drei Faktoren mit dem Ergebnis
b f¯; S, L, Ji = (−1)L+S |f f¯; S, L, Ji .
C|f
(4.46)
Neben dem Faktor (−1)L für den Bahndrehimpuls L gibt es den Faktor (−1)S+1 von der Vertauschung der Teilchen in der Spinwellenfunktion; ein Faktor (−1) kommt von der Fermion¯
Antifermion-Vertauschung. Das neutrale Pion, π 0 , zum Beispiel ist ein uū- oder dd-Zustand
mit
1
S0 , d.h. mit L + S = 0 und daher ist die C-Parität im Quarkmodell Cπ0 = +1.
4.7.2
Experimentelle Tests der C-Invarianz
Der Wert der C-Parität des π 0 von Cπ0 = +1 nach dem Quarkmodell wird durch seinen
hauptsächlichen Zerfall π 0 → γγ bestätigt:
b 0 i = Cπ0 |π 0 i
C|π
b
C|γγi
= Cγ Cγ |γγi = +|γγi .
Die C-Parität des Photons kann wie seine Parität aus dem Verhalten des klassischen elektromagnetischen Feldes hergeleitet werden. Da sich das Vorzeichen der elektrischen Ladung ändert,
müssen auch das elektrische Feld und das Potential ihr Vorzeichen ändern und es gilt unter
Ladungskonjugation
~ r , t) → Cγ A(~
~ r , t)
A(~
~ r, t) → −E(~
~ r, t)
E(~
Φ(~r, t) → −Φ(~r, t)
Einsetzen in die Gleichung
~
~ = −∇Φ
~ − ∂A
E
∂t
ergibt die C-Parität Cγ = −1 für das Photon. C-Erhaltung kann durch die Untersuchung
des möglichen Zerfalls des π 0 in drei Photonen geprüft werden. Dieser Zerfall wurde bisher
experimentell nicht beobachtet und die untere Grenze
R≡
Γ(π 0 → γγγ)
< 3.1 × 10−8
Γ(π 0 → γγ)
wurde bestimmt. man kann daraus schließen, daß C-Erhaltung in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen gilt und daß die C-Parität des Photons negativ ist.
Eine weitere Bestätigung kommt aus dem Zerfall von Positronium . . .
4.7 Ladungskonjugation
4.7.3
87
Verletzung der C-Invarianz in schwacher Wechselwirkung
Die C-Operation verwandelt ein ν in ein ν. Dabei wird weder der Impuls noch der Spin beeinflußt. D.h. wir bekommen ein Teilchen, was nicht existiert: ein ν mit Helizität −1. Hintereinb ergibt wieder einen existierenden Zustand, die Paritätsoperation
anderausführen von Pb und C
verändert die relative Ausrichtung von Impuls und Spin, die Ladungskonjugation erzeugt ein
Antiteilchen. Wir bekommen also ein Antineutrino mit Helizität +1, welches existiert.
4.7.4
G-Parität∗
(Anmerkung: dieser Abschnitt wird in der Vorlesung ausgelassen!)
Das Konzept der G-Parität erlaubt Auswahlregeln im Zerfall von Meson-Resonanzen; es läßt
sich zurückführen auf Ladungskonjugations- und Isospin-Invarianz.
b der Ladungskonjugation kann nur für neutrale Systeme Eigenwerte haben.
Der Operator C
Durch Kombination mit Isospin-Rotationen kann ein Operator
b=C
bR
b=C
b exp (iπI2 )
G
definiert werden, der auch für einige geladenen Systeme die Formulierung von Auswahlregeln
b ist eine Rotation um 180◦ um die zweite Achse im Isospinraum, gefolgt
erlaubt. Die Operation G
von der Ladungskonjugation.
Ein Zustand |I I3 = 0i wird betrachtet. Dieser Zustand verhält sich unter Isospinrotationen
b
entspricht der
wie die Kugelfunktion Y`m (ϑ, ϕ) unter Rotationen in Ortsraum. Die R-Operation
Transformation ϑ → π − ϑ, ϕ → π − ϕ und dafür gilt
Y`0 → (−1)` Y`0
b mit dem Eigenwert (−1)I .
und daher ist auch der Zustand |I I3 = 0i Eigenzustand zu R
b mit Eigenwert +1, denn es gibt den Zerfallsmode
Das neutrale Pion ist Eigenzustand von C
b mit Eigenwert −1:
π 0 → γγ. Daher ist das π 0 Eigenzustand zum Operator G
b 0 i = −|π 0 i .
G|π
b auf ein geladenes Pion kehrt zunächst der Operator R
b
Bei der Anwendung des Operators G
+
−
b ändert die
das Vorzeichen der Komponente I3 um, zum Beispiel π → π , und der Operator C
Ladung erneut. Daher kann man schreiben
b + i = ±|π + i
G|π
b − i = ±|π − i
G|π
b allerdings mit einer willkürlichen
Die geladenen Pionen sind also Eigenzustände zum Operator G,
b
Phase bei der Operation C, zu der sie nicht Eigenzustände sind. Es ist üblich, für alle Elemente eines Isospin-Multipletts die gleiche G-Parität festzulegen, und daher kann man allgemein
schreiben:
b
G|πi
= −|πi .
Die G-Parität ist eine multiplikative Quantenzahl und daher gilt für einen Zustand aus n Pionen
b
G|ψ(nπ)i
= (−1)n |ψ(nπ)i .
Folgerung ist, daß ein Meson mit positiver G-Parität nur in eine gerade Zahl von Pionen zerfallen
kann und ein Meson mit negativer G-Parität nur in eine ungerade Zahl von Pionen zerfallen
kann.
88
Erhaltungssätze und Symmetrien
Die η- und η 0 -Mesonen haben Isospin I = 0 und eine C-Parität von +1, denn es gibt einen
Zerfall in zwei Photonen. Der Zerfall über die starke Wechselwirkung in zwei Pionen ist wegen
der Paritätserhaltung verboten. Da die beiden Mesonen positive G-Parität haben, ist ein Zerfall
in drei Pionen durch starke Wechselwirkung ebenfalls verboten. Es bleibt ein die G-Parität
verletzender elektromagnetischer Zerfall in drei Pionen. Die Zerfallsbreite der η- und η 0 -Mesonen
ist daher mit 1.18 keV bzw. 0.2 MeV sehr klein.
4.8
CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen
Als klar war, daß die schwache Wechselwirkung die Parität und die C-Parität einzeln verletzt,
hatte man angenommen, daß CP (Kombination von Ladungskonjugation und Parität) immer
noch eine “gute” Symmetrie sei. Man hat also in der schwachen Wechselwirkung Eigenzustände
zu CP zu betrachten.
4.8.1
CP -Eigenzustände
Die neutralen K-Mesonen gehören zu den beiden in der Tabelle 4.6 angegebenen IsospinDubletts.
Meson
K+
K0
0
K
K−
Quark-System
us
ds
sd
su
Seltsamkeit
S = +1
S = +1
S = −1
S = −1
Masse in MeV
493.7
497.7
497.7
493.7
Tabelle 4.6: Die beiden Dubletts der K-Mesonen.
0
Die beiden neutralen Mesonen K 0 und K haben entgegengesetzte Quarkzusammensetzung und
unterschiedliche Seltsamkeit. Sie sind bei ihrer Erzeugung in Reaktionen der starken Wechselwirkung durch die Erhaltung der Seltsamkeit unterschieden (Eigenzustände der Seltsamkeit).
Erzeugungsreaktionen sind unter anderem folgende:
π− + p → K 0 + Λ
π− + p → K 0 + K − + p
0
π− + p → K + Λ + n + n
0
π+ + p → K + K + + p
Die Schwellenenergien dieser Reaktionen sind unterschiedlich. Durch entsprechende Wahl der
Strahlenergie kann ein reiner K 0 -Strahl erzeugt werden. Das ist auch möglich am pp Speicherring
LEAR:
p + p → K − + π+ + K 0
p + p → K + + π− + K
0
0
0
K 0 und K sind Teilchen und Antiteilchen. Sowohl das K 0 als auch das K sind Eigenzustände
zum Paritätsoperator, der Eigenwert ist −1 (pseudoskalare Mesonen). Sie sind nicht Eigen-
4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen
89
zustände zum Ladungskonjugationsoperator C. Es gelten folgende Beziehungen3 :
0
0
Pb|K i = −|K i
b 0 i = −|K 0 i
C|K
Pb|K 0 i = −|K 0 i
b 0 i = −|K 0 i
C|K
d |K 0 i = +|K 0 i
CP
0
d |K 0 = +|K 0 i
CP
K 0 und K unterscheiden sich in der Seltsamkeit um |∆S| = 2. Sie können beide durch die
schwache Wechselwirkung in zwei oder drei Pionen zerfallen (erinnere: θ − τ Rätsel!). Dabei
gilt |∆S| = 1. Dadurch daß sie beim Zerfall den gleichen Endzustand haben, können die beiden
Zustände sich mischen durch virtuelle Pion-Zwischenzustände:
0
2π
0
K ↔
↔K
3π
u
s
|K 0 i
d
W
W
u
W
s
d
0
|K i
s
d
|K 0 i
u
u
0
|K i
s
d
W
0
Abbildung 4.7: Quarkdiagramme zum Übergang K 0 → K . Es gibt weitere Diagramme, bei
denen das u-Quark durch c- oder t-Quarks ersetzt ist.
Diese Übergänge mit |∆S| = 2 sind von zweiter Ordnung in der schwachen Wechselwirkung. Im
Quarkbild wird diese Umwandlung durch die Diagramme 4.7 beschrieben; in weiteren Diagrammen sind die u-Quarks durch c- oder t-Quarks ersetzt. Ein reiner K 0 -Zustand zur Zeit t = 0 wird
0
in eine Überlagerung von K 0 und K übergehen. Beim Zerfall in zum Beispiel zwei oder drei
π-Mesonen durch die schwache Wechselwirkung geht der Zerfall von einem CP -Eigenzustand
0
aus. Die Linearkombinationen von K 0 und K , die Eigenzustände zu CP sind, werden als K10
und K20 bezeichnet:
1 0
|K10 i = √ |K 0 i + |K i
2
1
0
|K20 i = √ |K 0 i − |K i
2
CP = +1
CP = −1
Die beiden Endzustände aus zwei π-Mesonen und drei π-Mesonen haben den CP -Eigenwert +1
bzw. −1:
π 0 π 0 , π + π − Wir hatten weiter oben bereits Parität und C-Parität von Zwei-Pionen Systemen
angeschaut. Hier kommt jeweils “+” heraus, da sie aus dem Zerfall eines Spin 0 Teilchens
kommen.
3
Warnung: Für die Vorzeichen der ladungstransformierten Zustände gibt es verschiedene Konventionen. Das
hat aber auf die Argumentation dieses Kapitels keine wichtige Auswirkung.
90
Erhaltungssätze und Symmetrien
~ 12 in ihrem Schwerπ 0 π 0 π 0 Im drei-Pion Zustand muß man den Drehimpuls zweier Pionen L
~ 3 ist dann der Drehimpuls des dritten Pions um den Schwerpunktsystem betrachten. L
punkt der ersten beiden im Gesamtschwerpunktsystem. Da das K Spin 0 hat, muß gelten:
~ 12 + L
~3 = 0
L
woraus wiederum folgt L12 = L3 , wobei Li jeweils für die Drehimpulsquantenzahl steht.
Deshalb ist die Parität des drei Pion Zustands:
P = Pπ3 (−1)L12 (−1)L3 = −1
(4.47)
Die C Parität ist, falls die Bahndrehimpulse 0 sind:
C = (Cπ0 )3 = +1.
Also haben wir CP = −1 wie erwartet.
π π π Die Parität berechnet sich wie bei den drei neutralen Pionen (Gleichung 4.47). Für die
C-Parität bekommen wir:
C = Cπ0 (−1)L12 = (−1)L12
+ − 0
Daher haben wir:
CP = (−1)L12 +1 .
Der Drehimpuls des zwei-Pionen Systems kann gemessen werden durch Messen der Winkelverteilung. Es kommt heraus L12 = 0 und damit CP = −1.
Der Q-Wert der beiden Zerfälle ist unterschiedlich, daher sind die Phasenraumfaktoren und
damit die Zerfallsraten sehr unterschiedlich, wie in der folgenden Tabelle angegeben.
Zustand
0
0
0
|K i + |K i
|K1 i =
0
|K20 i =
|K 0 i − |K i
√1
2
1
√
2
4.8.2
Zerfall
Lebensdauer
→ 2π
CP = +1
→ 3π
CP = −1
τ1 = 0.9 × 10−10 sec
τ2 = 0.5 × 10−7 sec
Oszillationen der Seltsamkeit
Bisher sind die Amplituden der K10 - und K20 -Zustände ohne ihre Zeitabhängigkeit angegeben
worden. Die zeitliche Entwicklung wird im Ruhesystem angegeben. Dann gibt es zwei Faktoren,
einen Faktor e−imt mit rein imaginärem Exponenten (Energie gleich Ruhemasse m) und einen
Faktor e−Γt/2 , der die Zerfallswahrscheinlichkeit beschreibt. Die Massen und Zerfallskonstanten
der beiden Zustände K10 - und K20 werden mit m1 und Γ1 bzw. mit m1 und Γ1 bezeichnet. Die
zeitliche Entwicklung wird dann durch die Amplituden
|K10 (t)i = |K10 (0)i e−(im1 +Γ1 /2)t
|K20 (t)i = |K20 (0)i e−(im2 +Γ2 /2)t
beschrieben.
Zur Zeit t = 0 wird eine reiner K 0 -Zustand angenommen, der sich experimentell durch Wahl
einer bestimmten Energie realisieren läßt. Wegen der Beziehung
1
|K 0 it=0 = √ |K10 (0)i + |K20 (0)i
2
4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen
91
1
∆m · τ1 = 0.5
Intensity
K0
K0
0
0
t/τ1
10
Abbildung 4.8: Oszillationen der K 0 - und K 0 -Intensitäten für einen ursprünglich reinen K 0 -Strahl. Ein Wert von ∆m τ1 = 0.5 wurde angenommen.
√
√
sind die Amplituden der K10 - und K20 -Zustände zur Zeit t = 0 gleich: 1/ 2 |K10 (0)i = 1/ 2 |K20 (0)i =
0
|K0 i. Aus dem reinen K 0 -Zustand wird sich im Laufe der Zeit eine Mischung von K 0 - und K Zuständen entwickeln auf Grund der Beziehungen
1
|K 0 (t)i =
|K10 (t)i + |K20 (t)i
2
1
0
|K10 (t)i + |K20 (t)i
|K (t)i =
2
zwischen den Amplituden. Die Intensitäten ergeben sich aus dem Betragsquadrat der Amplituden
2 I0 −Γ t
I(K 0 ) = hK 0 (t)|K 0 (t)i =
e 1 + e−Γ2 t + 2e−(Γ1 +Γ2 )t/2 cos ((m2 − m1 ) t)
4
2 I
0
0
0
0
I(K ) = hK (t)|K (t)i =
e−Γ1 t + e−Γ2 t − 2e−(Γ1 +Γ2 )t/2 cos ((m2 − m1 ) t)
4
2
mit I(0) = |hK 0 |K 0 i|t=0 . Diese Formeln enthalten einen Oszillationsterm mit der ”Frequenz”
∆m = |m2 −m1 |. Die Abbildung zeigt für den Zahlenwert ∆m = 0.5Γ1 den zeitlichen Verlauf der
0
0
Intensitäten von K 0 und K . Experimentell konnte die Zahl der K -Reaktionen als Funktion des
Abstands von der K 0 -Quelle gemessen werden. Der Meßwert von ∆m ist (0.5300 ± 0.0012) ×
1010 sec−1 . Dies entspricht einer Massendifferenz von etwa 3.5 × 10−12 MeV/c2 . Dieser Massenunterschied kann theoretisch durch Unterschiede in den Beiträgen verschiedener virtueller
Zustände zur Selbstenergie in Prozessen zweiter Ordnung in der schwachen Wechselwirkung
abgeschätzt werden.
4.8.3
K 0 -Regeneration
Die K10 -K20 -Mischung führt auf einen Regenerationsprozess. Angenommen man hat zu Beginn einen reinen K 0 -Strahl. Wenn dieser für eine Zeit in der Größenordnung von 100 K10 -
92
Erhaltungssätze und Symmetrien
Lebensdauern durch Vakuum fliegt, ist praktisch die gesamte K10 -Komponente zerfallen (d.h.
50 % der ursprünglichen Intensität) und es bleibt die K20 -Komponente. Wenn dieser Reststrahl
nun auf Materie trifft, wird es zu Reaktionen auf Grund der starken Wechselwirkung kommen,
bei denen die Komponenten mit Seltsamkeit S = +1 und S = −1 entsprechend
1 0
0
|K2 i = √ |K i − |K i
2
wesentlich sind. Nach Durchgang durch Materie mit nuklearen Wechselwirkungen (starke Wech0
0
selwirkung) sollte der Reststrahl aus 50 % |K 0 i und 50 % |K i bestehen. Die Existenz von K
mit S = −1 in großer Entfernung von der Quelle eines reinen K 0 -Strahls mit S = +1 wurde
0
experimentell durch Reaktionen wie K + p → Λ + π + bestätigt.
0
Die |K 0 i- und die |K i-Komponenten haben im Material unterschiedliche Wechselwirkungen;
0
das |K i enthält ein s-Quark und kann Endzustände mit Hyperonen (zum Beispiel Λ) erzeugen.
0
Nach Verlassen des Materials gibt es eine |K 0 i-Amplitude f |K 0 i und eine |K i-Amplitude
0
f |K i, wobei wegen der unterschiedlichen Wechselwirkungen |f | > |f | ist. Der ursprüngliche
K20 -Strahl wird durch die Wechselwirkungen mit der Materie transformiert in
f −f f +f 1 0
0
0
0
0
√
√ f |K 0 i − f |K i = √
f |K i + f |K i +
f |K i − f |K i
2
2 2
2 2
1
1
=
f − f |K1 i +
f + f |K2 i
2
2
Eine Komponente des K1 -Zustands wird also regeneriert; experimentell kann diese Regeneration
nachgewiesen werden durch die ππ-Zerfälle des K1 .
4.9
CP -Verletzung
Die neutralen K-Mesonen erlauben sehr empfindliche Tests der CP -Erhaltung. Tatsächlich
wurde im Zerfall der neutralen K-Mesonen in einem historischen Experiment von Christensen,
Cronin und Fitch 1964 eine kleine CP-Verletzung gefunden. Bei ihrer Apparatur handelt sich
um ein Zwei-Arm Spektrometer, in dem Zerfallspionen gemessen und identifiziert werden. Das
Prinzip des Experiments ist: man erzeugt einen K 0 Strahl, wartet bis alle K10 zerfallen sind
und mißt die K20 Zerfälle. Drei Pion zerfälle dominieren , es wurde aber ein winziger Anteil von
Zwei Pion Zerfällen gefunden. Im Experiment fand man z.B. in 22700 Drei Pion Zerfällen 45 ± 9
Zwei Pion Zerfälle. Die CP-Verletzung ist also ein winziger Effekt von der Größenordnung 10−3 ,
im Gegensatz zur Paritätsverletzung, die maximal ist (falls das Neutrino masselos ist, hat es
immer Helizität −1).
Die Erklärung der CP-Verletzung ist bis heute nicht vollständig gelungen. Allerdings wurde
gerade im letzten Jahr (2001/2002) ein großer Fortschritt erzielt: man hat zum ersten Mal
CP-Verletzung auch in einem anderen System als dem K 0 System gemessen, nämlich in B 0
Zerfällen, s. später.
Man kann für das K 0 System ganz allgemein ansetzen:
KS0 = K10 − K20
KL0 = K10 + K20
(4.48)
(4.49)
KS0 ist dann das kurzlebige K 0 , KL0 das langlebige. ist eine komplexe Zahl mit kleinem Betrag.
Es gibt zwei Möglichkeiten für das Auftreten des Zwei Pionzerfalls von KL0 :
4.10 Zeitumkehr
93
Abbildung 4.9: Asymmetrie in der Zerfallsrate für Reaktionen 4.50 (bezeichnet als N − ) und
4.51 (bezeichnet als N + ) aufgetragen gegen die Zeit.
• “indirekt”: der kleine Anteil K10 ist dafür verantwortlich;
• “direkt”: K20 selbst zerfällt in 2 Pionen.
Kürzlich (circa 1999/2000) wurde experimentell geklärt, dass beide Teile vorhanden sind.
CP-Verletzung ist wichtig, um zu verstehen, warum das Weltall –heutiger Kenntnis nach– nahezu ausschließlich aus Materie besteht. Man nimmt an, dass nach dem Urknall Materie und
Antimaterie zunächst gleich häufig vorhanden war und die Asymmetrie erst bei der Abkühlung
auftrat. Eine Grundvoraussetzung ist eine Unsymmetrie zwischen der Wechselwirkung von Materie und Antimaterie.
CP-Verletzung liefert diese; man sieht das leichter an folgender Reaktion:
KL0 → π + e− ν e
KL0 → π − e+ νe
(4.50)
(4.51)
Die beiden Reaktionen gehen durch die CP-Operation ineinander über. Man hat einen kleinen
Unterschied in der Zerfallsrate gefunden, s. Abb. 4.9.
4.10
Zeitumkehr
Die Prüfung der Invarianz der Gesetze der Teilchenphysik gegenüber der Zeitumkehr Tb ist
b Alle Teilchen sind Eigenzustände zu Pb und einige
schwieriger als bei den Operatoren Pb und C.
b Jedoch ist kein Teilchen Eigenzustand zu Tb und daher kann
Teilchen sind Eigenzustände zu C.
T-Erhaltung nicht einfach durch Multiplizieren von Quantenzahlen geprüft werden.
Empfindliche Tests von Zeitumkehrinvarianz bestehen in der genauen Messung von Größen, die
exakt Null sein sollten. Das klassische Beispiel ist das statische elektrische Dipolmoment des
94
Erhaltungssätze und Symmetrien
Neutrons. Für ein Elementarteilchen müßte das elektrische Dipolmoment in die Spinrichtung
zeigen, weil es keine andere definierte Richtung gibt. Jedoch ist das Dipolmoment ein Vektor
und der Spin ein Pseudovektor, und ein nichtverschwindendes elektrisches Dipolmoment würde
daher Paritätsverletzung bedeuten. Unter Zeitumkehr ändert der Spin sein Vorzeichen, nicht
aber das Dipolmoment, und ein nichtverschwindendes elektrisches Dipolmoment würde daher
auch T-Verletzung bedeuten. Die augenblickliche experimentelle Grenze für das elektrische Dipolmoment des Neutrons ist
d < 0.63 × 10−25 e cm
Tabelle 4.7 zeigt das Verhalten verschiedener Größen unter den Operationen Pb und Tb. Um die
Invarianz gegenüber der Zeitumkehr-Transformation zu testen, muß man eine Größe bilden, die
bei der Operation Tb ihr Vorzeichen ändert, bei der Operation Pb jedoch nicht. Eine solche Größe
ist
~σ · (~pe × p~ν ) ,
(4.52)
die unter Tb ihr Vorzeichen ändert und die beim β-Zerfall polarisierter Neutronen gemessen
werden kann (~σ = Spin des Neutrons, p~e = Impuls des Elektrons, p~ν = Impuls des Neutrinos).
Die Transformationseigenschaften unter Tb und Pb ergeben sich aus Tabelle 4.7. Wenn Invarianz
unter Tb gegeben ist, muß die Messung der Größe in Gleichung 4.52 im Mittel Null ergeben.
Die Messung ergab tatsächlich Null im Rahmen der Meßfehler. Bei dieser Messung wurde der
Neutrino-Impuls durch Messung des Proton-Impulses und Ausnutzung von Impulserhaltung
bestimmt.
Transformation
Raumspiegelung
Zeitumkehr
Pb
Tb
~r
p~
Ort Impuls
−~r
−~
p
+~r
−~
p
~σ
Spin
+~σ
−~σ
~
E
Elektr. Feld
~
−E
~
+E
~
B
~σ · (~pe × p~ν )
Magnetfeld
~
+B
+
~
−B
−
Tabelle 4.7: Das Verhalten verschiedener Größen unter Raumspiegelung und Zeitumkehr.
Prinzip des detaillierten Gleichgewichts. T -Invarianz führt zu einer Beziehung zwischen
einer Reaktion und der zeitlich umgekehrten Reaktion. In der klassischen Physik ist diese beziehung vertraut, denn die Newtonschen Bewegungsgleichungen sind von zweiter Ordnung in der
Zeit und daher sind sie invariant unter Zeitumkehr t → −t. In der Quantenmechanik werden
durch die Zeitumkehr Tb die Teilchenimpulse und die z-Komponenten der Spins im Vorzeichen
umgedreht. Durch zusätzliche Raumspiegelung Pb können die Vorzeichen der Teilchenimpulse
wiederum im Vorzeichen umgedreht werden. Wenn über die Spinprojektionen gemittelt wird,
sollte sich Reaktionen a + b → c + d und c + d → a + b nur durch die Vertauschung von Anfangsund Endzustand unterscheiden, und die Reaktionsraten sollten bei Mittelung über die Spinzustände gleich sein. Diese Prinzip des detaillierten Gleichgewichts genannte Beziehung ist in
der starken und der elektromagnetischen Wechselwirkung experimentell bestätigt worden.
Spin des geladenen Pions. Der erste Hinweis darauf, daß der Spin des Pions gleich Null
ist, kam durch die Anwendung des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts auf die Reaktion
p + p → π + + d und die Umkehrreaktion π + + d → p + p bei gleicher Schwerpunktsenergie.
Die Messung der Wirkungsquerschnitte beider Reaktionen wurde mit unpolarisierten Teilchen
durchgeführt; dies enspricht einer Mittelung über die möglichen Anfangszustände der Spins.
4.11 Das CP T -Theorem
95
Über die Endzustände der Spins wurde summiert. Für jeden Spin Sf des Endzustands muß
daher ein Faktor (2Sf + 1) berücksichtigt werden. Auch Fluß- und Phasenraumfaktoren müssen
berücksichtigt werden. Die differentiellen Wirkungsquerschnitte sind gegeben durch
(2Sπ + 1) (2Sd + 1) p2π
dσ(pp → π + d)
=
|Mif |2
d cos ϑ
2π
vi vf
und
dσ(π + d → pp)
(2Sp + 1)2 p2p
=
|Mf i |2 ,
d cos ϑ
2π
vi vf
wobei ϑ der Streuwinkel, pπ und pp die Impulsbeträge des Pions und des Protons sind, und vi
und vf die relativen Geschwindigkeiten der pp- bzw. π + d-Paare im Schwerpunktsystem sind. Das
Prinzip des detaillierten Gleichgewichts besagt, daß die über Spins gemittelten Streuamplituden
gleich sind:
|Mif |2 = |Mf i |2 .
Für das Verhältnis der differentiellen Wirkungsquerschnitte ergibt dies
dσ(pp → π + d)/d cos ϑ
=3
dσ(π + d → pp)/d cos ϑ
pπ
pp
2
(2Sπ + 1) ,
wenn für Sp und Sd die bekannten Spinwerte 1/2 bzw. 1 eingesetzt werden. Das Verhältnis
bestimmt den Wert des Pion-Spins. Die Messung der beiden Wirkungsquerschnitte Anfang der
50 Jahre ergab das Ergebnis Sπ = 0.
4.11
Das CP T -Theorem
b der
Alle Wechselwirkungen sind unter der kombinierten Operation der Ladungkonjugation C,
b
b
Raumspiegelung P und der Zeitumkehr T invariant. Man nennt dies das CP T -Theorem; in der
Quantenfeldtheorie läßt sich zeigen, daß das Theorem in jeder relativistischen Quantentheorie
gilt, in denen sich Signale nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.
Eine Folgerung aus dem CPT Theorem ist, daß Teilcheneigenschaften wie Masse, Betrag der
Ladung und des magn. Momentes von Teilchen und Antiteilchen exakt gleich sein müssen. In
Tabelle 4.8 sind experimentelle Grenzen an solchen Größen aufgeführt.
Measured Quantity
Limit or value
(MK 0 − MK 0 )/(MK 0 + MK 0 ) < 10−19
(Me+ − Me− )/(Me+ + Me− )
< 4 × 10−8
(MΛ − MΛ )/(MΛ + MΛ )
(−5 ± 5) × 10−6
(Q
< 2 × 10−5
p − Qp )/e
.
Qp
Mp
Q
Q
Qp
− Mpp
+ Mpp
Mp
(µe+ − µe− )/(µe+ + µe− )
(τµ+ − τµ− )/(τµ+ + τµ− )
(8 ± 6) × 10−10
−(3 ± 5) × 10−13
< 10−4
Tabelle 4.8: Experimentelle Grenzen an Differenzen zwischen Teilchen und Antiteilchen.
96
Erhaltungssätze und Symmetrien
4.12
Zusammenfassung und Quantenzahlen
Tabelle 4.9 gibt einen Überblick über die in den starken, elektromagnetischen und schwachen
Wechselwirkungen gültigen Erhaltungssätze.
Erhaltungssatz
Energie, Impuls, Drehimpuls
Ladung Q, Baryonenzahl B
Leptonzahl L, Le , Lµ , Lτ
Parität, C-Parität
Seltsamkeit, Charm, Bottom, Top
Isospin
CP
T
CP T
Wechselwirkung
stark e.m. schwach
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
ja
nein
ja
ja
nein
ja
nein
nein
ja
ja
nein
ja
ja nein (??)
ja
ja
ja
Tabelle 4.9: Tabelle der Erhaltungssätze und Wechselwirkungen
Mit den Erhaltungssätzen verbunden sind Quantenzahlen, die den elementaren Teilchen zugeordnet werden können. Den Quarks und den Hadronen, sowie dem Photon und Gluon kann
Spin und Parität, bezeichnet mit J P , zugeordnet werden. Teilchen, die Eigenzustände der Ladungskonjugation sind, kann darüberhinaus auch eine C-Parität zugeordnet werden, die zu J P C
zusammengefaßt wird.
Quarks und Hadronen kann weiterhin ein Isospin I zugeordnet werden; bei einigen Hadronen
ist zusätzlich eine G-Parität möglich4 , die mit dem Isospin zu der Angabe von I G zusammengefaßt wird. Weitere Quantenzahlen wie Baryonen- und Leptonenzahl sind in der Tabelle 4.9
aufgeführt. Achtung: Die Tabelle stellt den Stand des Wissens um das Jahr 2002 dar. Modifikation können auftreten, z.B. wenn man bestätigt, daß Neutrinos Masse haben, und damit die
Le,µ,τ nicht mehr separat erhalten sind. Die Verletzung wird aber sehr klein sein!
4
In dieser Vorlesung ausgelassen!
Kapitel 5
Teilchennachweis und Detektoren
Detektoren sind i.a. nur geeignet zum Nachweis von Teilchen mit genügend großer Lebensdauer. Für kurzlebige Teilchen müssen andere Methoden verwandt werden, s. z.B. “invariante
Masse”. Kann man den Spurverlauf eines Teilchens messen und damit z.B. die Krümmung im
Magnetfeld, so kann man daraus Impuls und Ladung bestimmen. Falls es gelingt, auch die
Teilchenenergie oder auch die Teilchengeschwindigkeit zu bestimmen, so kann man die Masse
berechnen. Bei hohen Energien ist letzteres oft nicht möglich. Oft kann man aber indirekt über
die Wechselwirkung der Teilchen mit der Detektormaterie oder mit anderer Materie auf ihre
Natur schliessen. . .
Wir diskutieren also zunächst die Wechselwirkung von Teilchen mit Materie. Überwiegend
geschieht diese Wechselwirkung durch elektromagnetische Wechselwirkung:
• Ionisation
• Vielfachstreuung
• Čerenkovstrahlung
• Bremsstrahlung, e → e + γ
• Paarbildung, γ → e+ + e−
Wichtige Ausnahme: Messung von Hadronen und Jets durch starke Wechselwirkung in “hadronischen Kalorimetern”.
5.1
Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
5.1.1
Wechselwirkung schwerer geladener Teilchen: IONISATION
Basis vieler Detektoren ist die IONISATION, die ein geladenes Teilchen beim Durchqueren
von Materie (gasförmig, flüssig oder fest) bewirkt. Durch Ionisation von Atomen bleiben bewegliche Elektronen und schwere Ionen zurück. Durch Anlegen elektrischer Felder werden die
Ladungsträger auf Elektroden gesammelt und zu meßbaren Signalen verarbeitet.
Anwendungen z.B.:
• Gasgefüllte Spurkammern
– Geigerzähler
– Proportionalkammern
98
Teilchennachweis und Detektoren
– Driftkammern
• Halbleiterzähler
Quantitativ kann man den Energieverlust eines Teilchens durch Ionisation durch die Bethe–
Bloch Formel angeben.
z2
2me c2 (βγ)2
dE
2
= D · ne 2 ln
− β +...
(5.1)
−
dx
β
I
D ist eine Ansammlung von Konstanten, ne ist die Zahl der Elektronen pro Volumeneinheit in
der durchlaufenen Materie. β und z beschreiben das ionisierende Teilchen.
Bedeutung der Größen:
(h̄c)2
= 5.1 · 10−25 MeV cm2
D= 4πα2
me c 2
z·e
Ladung des ionisierenden Teilchens
β
Geschwindigkeit β = vc
ne
Elektronendichte in der durchquerten Materie [cm−3 ]
NA
Z
A
ρ
I
Avogadrozahl
Kernladungszahl
Atomgewicht [g]
Dichte [g/cm3 ]
mittl. Ionisationsenergie [eV]
ne = N A · Z ·
ρ
A
≈ 16 · Z 0.9 eV
Als Dimension für den spezifischen Energieverlust dE/dx kommt in Gleichung 5.1 heraus:
[MeV/cm]. Ebenfalls gebräuchlich ist es, durch die Dichte ρ zu dividieren und den Energieverlust differentiell in der sogenannten “Massenbelegungsdichte” X = ρx anzugeben:
1 dE
dE
MeV
=
−2
dX g/cm
ρ dx
Der spezifische Energieverlust ist in Abb. 5.1 dargestellt als Funktion von βγ. Zusätzlich ist die
Skala für den Impuls mehrerer Teilchenarten angegeben.
Eigenschaften der Bethe–Bloch Formel
Der spezifische Energieverlust
dE
ist:
dx
• unabhängig von der Masse des Teilchens
• nur abhängig von seiner Geschwindigkeit β ((βγ)2 = β 2 /(1 − β 2 )). Bei kleinen β ist die
Abhängigkeit stark, ∼ 1/β 2 .
• ∼ Z, d.h. der Anzahl Elektronen im Material
Z
• ∼
A
Da
Z
A
für viele Stoffe ≈ 0.5 ist, ist die Abhängigkeit des Wertes des spezifischen Energieverlustes
dE
vom Medium gering. Der Verlauf von
zeigt ein Minimum bei βγ ∼ 3 − 4, danach steigt er
dx
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
99
10
− dE/dx (MeV g−1cm2)
8
6
5
H2 liquid
4
He gas
3
2
Sn
Pb
1
0.1
1.0
0.1
0.1
0.1
1.0
10
100
βγ = p/Mc
Fe
Al
C
1000
10 000
1.0
10
100
Muon momentum (GeV/c)
1000
1.0
10
100
Pion momentum (GeV/c)
10
100
1000
Proton momentum (GeV/c)
1000
10 000
Abbildung 5.1: Spezifischer Energieverlust in verschiedenen Materialien als Funktion von βγ
(flüssiger Wasserstoff wird in der Blasenkammer benutzt.) Zusätzlich ist der Impuls für Myonen,
Pionen und Protonen angegeben.
32
dE/dx (keV/cm)
28
µ
π
K
p
D
24
20
e
16
12
8
0.1
1
Momentum (GeV/c)
10
Abbildung 5.2: Messung des Energieverlustes in einer Driftkammer in Abhängigkeit des Impulses.
100
Teilchennachweis und Detektoren
Abbildung 5.3: Elektrische Feldlinien eines geladenen Teilchens in Ruhe (links) und eines mit
γ = 3 bewegten (rechts).
Abbildung 5.4: Energieverlust-Verteilung für π-Mesonen und Elektronen in einer Schicht von 1.5
cm Argon mit 5% CH4 bei Normalbedingungen. Die Histogramme sind Daten und die Kurven
verschiedene Modellrechnungen.
wieder an, allerdings nur logarithmisch. Dieser sogenannte ‘relativistische Wiederanstieg’ hängt
mit der relativistischen Verformung des elektrischen Feldes zusammen, welches das Teilchen
umgibt (s. Abb. 5.3).
Die Anzahl der Ionen und Elektronen, die durch den Energieverlust erzeugt werden, hängt von
der Ionisationsenergie des Stoffes ab. Typische Werte sind ≈ 20 − 40eV für Gase und 3eV
für Halbleiter. In Halbleitern entstehen also etwa 10 mal mehr Ionenpaare als in gasgefüllten
Kammern, was u.a. zu einer guten Energieauflösung führt.
Der diskutierte Ausdruck für die Bethe–Bloch Formel 5.1 gilt nur für “schwere” Teilchen, z.B.
Myonen, Pionen, Kaonen, Protonen, Deuteronen, etc. Für Elektronen ist bei hohen Energien der
Energieverlust durch Bremsstrahlung wichtiger. Für den Energieverlust durch Ionisation muß
bei Elektronen in der Bethe–Bloch Formel eine Korrektur angebracht werden, die berücksichtigt,
daß das Projektil die gleiche Masse hat wie das Atomelektron.
Man kann die Formel 5.1 auf mehrere Arten herleiten, klassisch wurde sie z.B. von Bohr abgeleitet. Man findet solche klassischen Näherungsrechnungen in vielen Büchern [Lohrmann1,Leo].
Quantenmechanisch wurde sie von Bethe und Bloch abgeleitet.
Die Bethe–Bloch Formel gibt den mittleren Energieverlust an. Der Energieverlust, der in einzelnen Stoßprozessen stattfindet, fluktuiert um diesen Mittelwert. Die Verteilung ist asymmetrisch
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
101
50000
20000
Fe
10000
Pb
5000
R/M (g cm−2 GeV−1)
C
2000
H2 liquid
He gas
1000
500
200
100
50
20
10
5
2
1
0.1
2
0.02
0.02
0.1
1.0
5
0.05
0.05
0.2
0.1
2
5
0.2
0.5
βγ = p/Mc
10.0
1.0
2
5
2.0
5.0
Muon momentum (GeV/c)
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
Pion momentum (GeV/c)
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0 20.0
5.0
100.0
10.0
10.0
50.0
Proton momentum (GeV/c)
Abbildung 5.5: Reichweite in verschiedenen Materialien.
und hat einen langen Ausläufer zu hohen Energien (Landauverteilung, s. Abb. 5.4). Grob ist
die Erklärung dafür:
• dicke Absorber: viele Stöße→ Gaußverteilung
• dünne Absorber:
– viele Stöße mit kleinem
– wenige mit großem
dE
dx
dE
dx
Reichweite Summiert man den Energieverlust auf, bis das Projektil alle Energie verloren
hat, so erhält man die Reichweite:
Z 0
1
dE
R=
E −dE/dx
Bei “niedrigen” Energien kann man durch Messung der Reichweite auf die Energie schließen.
Bei hohen Energien ist eine Messung der Reichweite meist nicht mehr möglich. Ein Überblick
über die Reichweite ist in Abb. 5.5 gegeben.
5.1.2
Vielfachstreuung
Die elastische Streuung geladener Teilchen an Atomkernen führt hauptsächlich zu einer Richtungsänderung (s. Skizze in Abb. 5.6). Der Energieübertrag ist i.a. klein. Der Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch die Rutherfordformel:
102
Teilchennachweis und Detektoren
x
x/2
splane
Ψplane
yplane
θplane
Abbildung 5.6: Vielfachstreuung in einer Ebene in einer Materieschicht der Dicke x. Das Teilchen
tritt von links ein. θplane ist dasselbe wie θx in Gl. 5.2.
dσ
=
dΩ
Z z e2
2pvc
2
1
sin4
θ
2
Die kleinen Streuwinkel sind am wahrscheinlichsten, man hat daher meist viele kleine Ablenkungen. Man kann durch statistische Betrachtung eine Formel für die Ablenkung eines Teilchens
in einer Ebene nach Durchlaufen einer Materieschicht x angeben. Die Verteilung des Winkels
θx in einer Ebene ist näherungsweise Gaußförmig mit einer Standardabweichung von:
r
p
x
13.6 MeV
2
(5.2)
θx = hθ i =
pβc
X0
Hierbei ist X0 die Strahlungslänge (s. Gleichung 5.6). Die Formel gilt für ein einfach geladenes
Teilchen, sonst muß noch mit z multipliziert werden. Man sieht an Gl. 5.2, daß die Vielfachstreuung groß wird für kleine Impulse. Vielfachstreuung kann in der Praxis leicht eine Begrenzung
liefern z.B. für die Meßgenauigkeit von Impulsen, Richtungen, etc. und begrenzt damit auch
die Möglichkeit, Massen zu messen.
5.1.3
Čerenkovstrahlung
Effekt: Emission elektromagnetischer Strahlung (im optischen, vor allem aber auch im UV
Bereich). Der Čerenkov-Effekt tritt beim Durchgang schneller, geladener Teilchen durch ein
Medium mit Brechungsindex n > 1 auf. Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist dann: c/n
und Čerenkovstrahlung wird emittiert, falls die Geschwindigkeit des Teilchens die Bedingung
erfüllt:
v > c/n.
v nc : Teilchen polarisiert das Medium radialsymmetrisch, d.h. vor und hinter sich gleichermaßen: es resultiert keine Abstrahlung.
v > nc : Teilchen “überholt” das von ihm erzeugte el.mag. Feld→Entstehung einer Wellenfront
ähnlich Machschem Kegel →Čerenkovstrahlung.
c
vn
Da cos θc ≤ 1 gelten muss, folgt obige Bedingung für die Teilchengeschwindigkeit. Beim Čerenkoveffekt
hat man i.a. eine sehr geringe Lichtausbeute: der Energieverlust beträgt ca. 400 eV/cm; vgl. Ionisation: 2 MeV/cm. Trotzdem Einsatz zur Teilchenidentifikation bei bekanntem Impuls, früher
cos θc =
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
103
Abbildung 5.7: Links: Geometrische Konstruktion zur Veranschaulichung des Čerenkov-Effekt
und der Čerenkov-Bedingung. Rechts: Skizze eines Cerenkovzählers, in dem man den Cerenkovwinkel messen kann.
meist als Schwellencerenkov Zähler.
Heutzutage wird oft eine Anordnung verwandt, die es erlaubt, den Čerenkovwinkel zu messen:
RICH=Ring Imaging Cerenkov Counter (z.B. DELPHI Experiment) oder
DIRC=Detection of internally reflected Čerenkovradiation im BABAR Experiment.
5.1.4
Energieverlust von Elektronen: Bremsstrahlung
Elektronen verlieren ihre Energie hauptsächlich durch “Bremsstrahlung”, Abstrahlung von Photonen im Feld eines Kerns. Der Effekt ist nur für leichte geladene Teilchen wichtig. Bei heute in
der Praxis erreichten Energien ist Bremsstrahlung nur wichtig für Elektronen (Ausnahme evtl.
Astroteilchenphysik).
Wahrscheinlichkeit, nach einer dünnen Schicht dx, ein Photon der Energie zwischen k und k+dk
zu finden ist (Näherungsformel für hohe Energien E):
Φ(E, k)dxdk '
dx dk
X0 k
Eigenschaften der Bremsstrahlung:
• Emissionswinkel der Photonen ist klein: ∼
• Photonenspektrum ∼
1
k
m
E
“Bremsstrahlungsspektrum”
Mittlerer Energieverlust durch Bremsstrahlung:
Z
dx E
dk
dx
−dE =
k
=E
X0 k=0 k
X0
dE
dx
−
=
E
X0
(5.3)
(5.4)
X0 ist die sogenannte Strahlungslänge, die von der Materie abhängt. Die Energie eines Elektrons
nach Durchqueren der Materieschicht x folgt durch Integration:
104
Teilchennachweis und Detektoren
Positrons
Electrons
0.15
Bremsstrahlung
0.5
Møller (e −)
0.10
Ionization
Bhabha (e +)
0
1
(cm2 g−1)
− 1 dE (X 0−1)
E dx
1.0
0.20
Lead (Z = 82)
0.05
Positron
annihilation
10
E (MeV)
100
1000
Abbildung 5.8: Normierter Energieverlust pro Strahlungslänge in Blei für Elektronen als eine
Funktion der Elektronen oder Positronen Energie.
x
).
(5.5)
X0
E0 ist die Anfangsenergie. X0 ist also die Materiedicke, nach der die Energie eines Elektrons (im
Mittel) auf 1/e abgenommen hat. Für hohe Energien ist X0 durch folgenden Ausdruck gegeben:
2 h̄c
NA
183
1
3
2
α
= 4Z
(5.6)
ln
X0
A
mc2
Z 1/3
E = E0 exp (−
Z und A charakterisieren das Material, α ist die Feinstrukturkonstante und mc2 die Masse
des Elektrons. Der Energieverlust durch Ionisation ist für Elektronen in Abhängigkeit von der
Energie ungefähr konstant, wenn die Elektronenenergie nicht zu klein ist. Der Energieverlust
durch Strahlung nimmt mit der Energie zu, s. Gl. 5.4. Daher dominiert bei hohen Energien
der Verlust durch Abstrahlung. Man definiert die “kritische Energie” als die Energie, wo beide
Verlustraten gleich sind (vgl. Abb. 5.8):
dE
dE
(Ekrit )|rad =
(Ekrit )|ion .
dx
dx
Näherungsweise ist die kritische Energie gegeben durch:
Ekrit '
600
[MeV]
Z
Dies ist nur eine “Faustformel”. Bessere Näherungen (durch Anpassung an Daten) sind:
Ekrit '
610
[MeV] für feste, flüssige
Z + 1.24
Ekrit '
Substanzen.
710
[MeV] für gasförmige
Z + 0.92
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
(a) Carbon ( Z = 6)
− experimental σtot
1 Mb
Cross section (barns/atom)
105
σp.e.
1 kb
σRayleigh
1b
κnuc
σCompton
10 mb
κe
(b) Lead ( Z = 82)
Cross section (barns/atom)
1 Mb
− experimental σtot
σp.e.
σRayleigh
1 kb
κnuc
1b
10 mb
10 eV
σCompton
1 keV
κe
1 MeV
Photon Energy
1 GeV
100 GeV
Abbildung 5.9: Gesamtwirkungsquerschnitt für Photonen als Funktion der Photonenenergie für
verschiedene Prozesse. Dabei bezeichnet Kn = e+ e− Paar Produktion am Kern; Ke am Elektron;
σi ncoh bezeichnet Comptonstreuung an den Elektronen, der Rest ist nicht so wichtig.
5.1.5
Wechselwirkung von Photonen mit Materie
Die Wechselwirkung von Photonen mit Materie ist auch eine elektromagnetischer Prozeß. Bei
niedrigen Energien gibt es drei wichtige Prozesse, deren Wahrscheinlichkeit unterschiedlich von
der Photonenergie k abhängt (vgl. auch Abb. 5.9 und 5.10):
• Photoeffekt, σ ∼ k −3 bei hohen Energien, darunter auch ‘Kanten’
• Comptonstreuung σ ∼ k −1
106
Teilchennachweis und Detektoren
Tabelle 5.1: Strahlungslänge X0 , kritische Energie Ekrit und hadronische Absorptionslänge λHad
für einige Materialien.
Material
X0 [g/cm2 ]
Ekrit [M eV ]
λHad [g/cm2 ]
63.0
24.0
18.9
11.3
8.5
13.8
6.3
9.6
40.5
36.0
9.5
8.0
340.0
47.0
35.0
21.5
14.5
24.0
6.9
∼11.8
80.0
93.0
12.5
10.5
52.4
106.4
119.7
147.0
168.0
131.9
193.7
H2
Al
Ar
Kr
Xe
Fe
Pb
Bleiglas SF 5
Plexiglas
H2 O
NaI(Tl)
Bi4 Ge3 O12
83.6
84.9
152.0
164.0
1.0
0.9
NaI
0.8
0.7
0.6
C
Ar
Pb
H2O
H
Fe
P 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1
2
5
10
20
50
100 200
Photon energy (MeV)
500 1000
Abbildung 5.10: Wahrscheinlichkeit P, daß eine Photonwechselwirkung zu einer e− e+ Paarbildung führt.
• e+ e− Paarbildung σ ' konstant
Beim Photoeffekt wird ein Elektron durch das Photon herausgelöst, das Photon wird dabei
vollständig absorbiert. Beim Comptoneffekt wird dagegen ein Photon am (fast) freien Elektron
gestreut; γ + e → γ + e. Paarbildung erfolgt nach der Reaktion: γ + Kern → e+ e− + Kern. Die
Anwesenheit des Kerns bei Paarbildung ist notwendig, um Impuls und Energie gleichzeitig zu
erhalten (→ Übung!).
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
Wegen der angegebenen Energieabhängigkeit der Wirkungsquerschnitte, ist bei hohen Energien,
E>
∼ 10 MeV, nur noch Paarbildung wichtig wie man in Abb. 5.9 sieht.
(Die Prozesse können außer am Kern auch an den Atomelelektronen (natürlich mit anderer
Wahrscheinlichkeit) stattfinden.)
Die Intensität eines γ–Strahls nimmt durch Paarbildung exponentiell ab mit der durchlaufenen
Materiedicke x:
I = I0 exp(−
7x
)
9X0
(Vgl. Formel 5.5 für den Energieverlust durch Bremsstrahlung!) Diese Formel gilt erst im “asymptotischen” Bereich, E > 1 GeV, d.h. weit oberhalb der Schwellenenergie von 2me c2 = 1.1 MeV.
5.1.6
Starke Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
Eine wichtige Wechselwirkung von Hadronen (π ± , K ± , K 0 , p, n, etc) mit Materie ist die starke
Wechselwirkung oder auch Kernwechselwirkung. Sie ist unabhängig von der Ladung des einfallenden Teilchens und nur Hadronen nehmen daran teil (Hadronen=Teilchen, die aus Quarks
zusammengesetzt sind). Wir betrachten zunächst nur die Wechselwirkung mit Nukleonen, Protonen oder Neutronen. Der Wirkungsquerschnitt für irgendeine Reaktion von Pionen, σT , ist
in Abb. 4.4 als Funktion der Energie dargestellt. Er setzt sich zusammen aus dem inelastischen Wirkungsquerschnitt, den man auch Absorptionswirkungsquerschnitt σabs nennt, und
dem elastischen Wirkungsquerschnitt. Er zeigt bei niedrigen Energien eine komplizierte Struktur (Bildung von kurzlebigen Teilchen oder Resonanzen) und wird dann fast flach. Bei den
höchsten Energien steigt er leicht an.
Ein Strahl von Hadronen mit der Intensität I0 , der auf Materie fällt, wird nach der Wegstrecke
x abgeschwächt gemäß:
I = I0 e−x/λ
ρ und A sind Dichte und Atomgewicht der durchlaufenen Materie.
Die mittlere freie Weglänge zwischen zwei Wechselwirkungen ist dann:
λcoll =
A
NA ρ σT
oder gebräuchlicher (in [g/cm2 ]):
Xcoll =
A
N A σT
Bei inelastischen Wechselwirkungen wird das Nukleon aufgebrochen und mindestens ein weiteres
Teilchen (zumeist ein Pion) erzeugt. Dieser Wirkungsquerschnitt ist der für die Bildung von
hadronischen Kaskaden wichtige Anteil. Man definiert dann die Absorptionslänge λI :
λI =
A
σinel. ρ NA
Eine wichtige Frage für Detektoren von hadronischer Wechselwirkung ist: wie berechnet sich
der Wirkungsquerschnitt an einem Kern aus dem an Nukleonen. Man setzt im allgemeinen an:
σabs (A) = σ0 Aα
107
108
Teilchennachweis und Detektoren
und paßt sowohl σ0 als auch α an die Daten an. Zahlenwerte sind z.B. σ0 = 41.2 mb und α ' 0.7.
Macht man ein einfaches geometrisches Modell des Kerns in dem man annimmt, daß die Kerndichte konstant ist, so ist das Volumen ∼ A. Nimmt man weiter an, daß Kerne Kugelgestalt
haben, so gilt für den Radius:
RA = R0 A1/3
Man würde dann für den Querschnitt des Kerns erwarten: σ = π R02 A2/3 , also α ' 2/3. Aus
Experimenten weiß man: R0 ' 1.2 fm (fm=10−15 m).
5.2
Spurdetektoren für geladene Teilchen
Die Reaktionen, die beschrieben wurden, werden in vielfältigen Detektoren benutzt. Ein Experiment enthält meist eine Vielzahl von Komponenten und es gibt immer einen Optimierungsprozeß. Es haben sich einige “Standarddetektorsysteme” herausgebildet. An Beschleunigern hat
man:
• Festtargetexperimente: Spektrometer mit Spurerkennung, Teilchenidentifikation;
• Targetkalorimeter für Neutrinoexperimente
• Speicherringexperimente: oft Solenoiddetektoren mit Spurerkennung, Kalorimetern, Myondetektoren
Dazu kommen oft noch viele spezialisierte Komponenten. Ein wichtiger Detektortyp, der für
die Neutrinophysik eingesetzt wird, ist ein großer WasserČerenkovdetektor.
5.2.1
Impulsmessung
Die Bewegung eines Teilchens der Ladung q im Magnetfeld wird beschrieben durch:
d~
p
~
= q (~v × B)
F~L =
dt
F~L ist die Lorentzkraft. Falls das Magnetfeld homogen ist und Energieverluste durch Wechselwirkungen vernachlässigt werden, so bleibt der Impulsbetrag konstant und das Teilchen ändert
nur seine Richtung und beschreibt eine helixförmige Bahn. Am einfachsten ist die Bewegung
zu verstehen, falls das Magnetfeld senkrecht zur (anfänglichen) Bewegungsrichtung ist. In der
~ resultiert eine Kreisbewegung mit Radius R. Benutzt man noch die
Ebene senkrecht zu B
2
Zentripetalkraft p /(γm R), wobei γ m v = p ist, so erhält man für ein Teilchen der Ladung e:
p = 0.2998 B R
(5.7)
Einheiten sind: [p] = GeV/c; [B] = T ; [R] = m. Messung von R durch Messung der
Spurparameter ergibt dann den Impuls, genauer den Impuls transversal zur Flugrichtung: pT .
Die erreichbare Genauigkeit kann man leicht durch Betrachten des Kreissegments mit Sehne l,
Sagitta s und Radius R abschätzen. Es gelten folgende elementare Beziehungen (s. Abb. 5.11):
θ
θ
s = R (1 − cos ) = 2 R sin2 ;
2
4
Mit diesen Näherungen gilt:
L2
R=
8s
sin
θ
θ
L
∼ ∼
2
2
2R
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen
109
Abbildung 5.11: Krümmungsgradius R, Ablenkwinkel θ und Sagitta s für ein geladenes Teilchen
des Impulses p in einem homogenen Magnetfeld der Länge L.
Setzt man dies in Gl. 5.7 ein, so folgt:
p = 0.3
B L2
8s
Man kann annehmen, daß die relative Impulsauflösung durch die von der Sagitta s gegeben ist:
∆p
∆s
=
p
s
In einer Driftkammer misst man den Spurverlauf meist mehrfach. Für N äquidistante Punkte
hat Glückstern eine Formel angegeben, die die erreichte Impulsauflösung mit der erreichten
Genauigkeit eines Meßpunktes korreliert.
Hier ist L die projizierte Spurlänge im Magnetfeld und es ist angenommen, daß N groß ist
(N > 10). Man erhält dann für die Impulsauflösung:
r
∆p
720
p
∆s
=
= 2
p
s
L
N + 4 0.3 B
Diese Formel wird Glücksternformel genannt, sie beruht auf statistischen Überlegungen zum
Einfluß der N Messungen. Die Auflösung verbessert sich also schneller durch Erhöhen der
Spurlänge als durch Erhöhen des Magnetfeldes oder der Auflösung der Meßpunkte.
T
Praktisch erreichbar in Driftkammern: ∆p
≈ 0.01 pT (Auflösung der Koordinatenmessung etwa
pT
100 µm). In Siliziumstreifendetektoren erreicht man 20 µm. In Zukunft sollen am LHC auch
Siliziumdetektoren zur Impulsmessung benutzt werden.
5.2.2
Szintillatoren
In einem Szintillationsmaterial wird die durch ein geladenes Teilchen übertragene Anregungsenergie in sichtbares Licht umgewandelt. Wichtige anorganische Szintillatoren sind Natriumiodid mit Thalliumzusatz oder Wismutgermanat (Bi4 Ge3 O12 , BGO). Sie zeichnen sich durch
große Lichtausbeute und kleine Strahlungslänge aus, sind jedoch teuer und empfindlich und haben lange Lichtabklingzeiten (einige µs). Organische Szintillatoren lassen sich preisgünstig für
großflächige Zähler herstellen. Der Szintillationsprozeß ist hier zweistufig: zunächst werden Molekülniveaus angeregt, bei deren Zerfall blaues oder UV-Licht emittiert wird. Dem Szintillator
110
Teilchennachweis und Detektoren
Abbildung 5.12: a) Prinzip der Lichtauslese mit einem “Fischschwanz”-Lichtleiter; b) Prinzipieller Aufbau eines Photomultipliers. Das Elektrodensystem befindet sich in einem evakuierten
Glaskolben. Der Photomultiplier wird meist durch einen Mu-Metall-Zylinder aus hochpermeablem Werkstoff gegen magnetische Streufelder abgeschirmt (auch gegen das Erdmagnetfeld) c)
Wellenlängenschieberauslese eines Szintillators
ist eine “Wellenlängenschieber”–Substanz zugesetzt, die über Fluoreszenz daraus längerwelliges
Licht macht. Die Lichtausbeute ist bei organischen Szintillatoren deutlich geringer, aber auch
die Lichtabklingzeiten sind kürzer (einige ns), so daß Plastik-Szintillatoren für genaue Zeitmessungen eingesetzt werden können.
Das Szintillationslicht wird über Lichtleiter aus Plexiglas auf die Photokathode eines Photomultipliers geleitet, s. Abb. 5.12. Die Quantenausbeute beträgt für Bialkali-Kathoden etwa 25%,
d. h. auf 4 Photonen kommt im Mittel ein Photoelektron. Durch ein 10- bis 14-stufiges Sekundärelektronenvervielfacher (Dynoden)-System erreicht man Verstärkungsfaktoren von 106
bis 108 , so daß ein einzelnes Photoelektron ein elektronisch meßbares Signal an der Anode des
Photomultipliers liefert. Szintillationszähler mit Plastik-Szintillatoren werden häufig für Flugzeitmessungen eingesetzt. Bei Zählern von mehreren Metern Länge und etwa 20 cm Breite,
deren Licht an beiden Schmalseiten mit Photomultipliern registriert wird, sind Zeitauflösungen
von ∼ 0.2 ns erreichbar.
5.2.3
Blasenkammer
Die Blasenkammer ist in den 60er Jahren eines der wichtigsten Instrumente der Elementarteilchenphysik gewesen, und viele neue Teilchen wurden in diesem Gerät entdeckt, das einen
visuellen Zugang in die subatomare Welt eröffnete. Heute ist diese Aufgabe von abbildenden
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen
111
Driftkammern übernommen worden. In einer Blasenkammer befindet sich ein verflüssigtes Gas,
meist flüssiger Wasserstoff, unter Überdruck. Eine schnelle Expansion mit Hilfe eines Kolbens
versetzt die Flüssigkeit in einen überhitzten Zustand. Entlang der lonisationsspur geladener
Teilchen bilden sich Gasblasen, die mit Blitzlampen beleuchtet und durch mehrere Kameras
stereoskopisch photographiert werden. Der große Vorteil einer Blasenkammer besteht darin,
daß alle geladenen Teilchen sichtbar gemacht werden. Aus der Krümmung der Spuren in einem
Magnetfeld von 2-3.5 Tesla kann man die Teilchenimpulse berechnen. Die Blasenkammer ist
als Detektor für Speicherringe nicht geeignet, weil sie nicht “triggerbar” ist, d. h. nicht durch
ein externes elektronisches Signal für ein interessierendes Ereignis zum Ansprechen gebracht
werden kann, da der Expansionsvorgang zu langsam verläuft.
5.2.4
Proportional- und Driftkammern
Die wichtigsten Instrumente zur Messung von Teilchenspuren sind heute große gasgefüllte
Proportional- und Driftkammern mit einer Vielzahl von Signaldrähten. Der Vorläufer solcher
Kammern ist das Proportionalzählrohr, bei dem sich ein dünner Anodendraht (Durchmesser
20-50 µm) konzentrisch in einem gasgefüllten Rohr befindet. Das elektrische Feld ist radial vom
Anodendraht nach außen gerichtet und hat die Größe
Abbildung 5.13: Vieldraht-Proportionalkammer; oben: schematischer Aufbau; unten: Äquipotentiallinien (gestrichelt) und elektrische Feldlinien in der Umgebung zweier Anodendrähte in
der Ebene senkrecht zur Drahtrichtung.
E(r) =
U 1
·
ln ab r
(5.8)
a=Drahtradius, b= Rohrradius, U =angelegte Spannung.
Ein ionisierendes Teilchen erzeugt längs seiner Spur Elektron-Ion-Paare. Die Elektronen wandern zum Anodendraht und werden durch das hohe Feld in der Nähe des Drahtes so stark beschleunigt, dass Sekundärionisationsprozesse mit einer lawinenartigen Ladungsträgervermehrung
auftreten. Die Gasverstärkung kann bis zu 105 betragen. Die Signalhöhe ist proportional zur
Ionisationsdichte.
112
Teilchennachweis und Detektoren
In einer Vieldraht-Proportionalkammer (Abb. 5.13) sind parallele Anodendrähte in 2 bis 3 mm
Abstand angeordnet; der Drahtdurchmesser ist typisch 20 µm. Die Drähte befinden sich zwischen Kathodenebenen. In der Nähe der Anodendrähte ist das elektrische Feld annähernd radial
wie beim Zählrohr. Als Füllgase verwendet man Argon mit Beimischungen
von CO2 , CH4 oder
√
anderen molekularen Gasen. Die räumliche Auflösung ist σ = d/ 12 , wo d der Drahtabstand
ist. Wesentlich bessere Auflösungen sind mit Driftkammern möglich. Hierbei nutzt man aus,
Abbildung 5.14: Oben: Elektrische Feldlinien in einer planaren Driftkammer. Unten:
Äquipotentiallinien in einer Zelle einer Driftkammer (schematisch); +HV2: Potential des Anodendrahtes; −HV1: Potential der Kathodendrähte; übrige Drähte: Potential variierend zwischen 0 und −HV1.
dass die primär erzeugten Elektronen mit nahezu konstanter Driftgeschwindigkeit zum Signaldraht wandern und die Gasverstärkung erst in unmittelbarer Nähe des Drahtes einsetzt. Aus
der Zeitdifferenz zwischen dem Signal auf dem Anodendraht und dem Durchtritt des ionisierenden Teilchens durch die Kammer kann man den Abstand der Teilchenspur vom Signaldraht
berechnen. Eine Auflösung von 200 µm ist in großen Driftkammern erreichbar, bei speziellen
Kammern sind auch Werte unter 100 µm erzielt worden. Abb. 5.14 zeigt eine typische Driftkammerzelle. Trotz der wesentlich besseren Ortsauflösung kann ein viel größerer Signaldrahtabstand
als bei einer Proportionalkammer gewählt werden.
An den Elektron-Positron-Speicherringen benutzt man vorwiegend zylindrische Driftkammern
mit tausenden von Signaldrähten, die in vielen konzentrischen Lagen angeordnet sind. Aus
der Krümmung der Spuren in einem Magnetfeld von 0.5 bis 2 Tesla können die Impulse aller geladenen Teilchen bestimmt werden. Für eine ausführliche Darstellung verweisen wir auf
Kleinknecht. In Abb. 5.15 und 5.16 ist der Querschnitt von Vieldrahtdriftkammern gezeigt.
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen
Abbildung 5.15: Querschnitt durch die Argus Driftkammer mit einem Ereignis: e+ e− → B 0 +
B 0 . Letzteres oszilliert in ein B 0 . Die gemessenen Spuren sind Zerfallsprodukte der beiden B 0
Mesonen. Gezeigt ist eine Projektion in die Ebene senkrecht zu den kollidierenden e+ e− Strahlen
durch den Kollisionspunkt.
113
114
Teilchennachweis und Detektoren
a)
Verarmungszone
E
Ausleseelektronik
p-Halbleiter
n-Halbleiter
Metallisierung (Al)
Leitungsband
p+-Auslesestreifen
El
-
+
-
-
Valenzband
+
Ev
+
+
-
+
-
X
+
b) Nl
X
n-Silizium
ionisierendes
Teilchen
Sperrspannung
EF
Ne
n+-Silizium
Metallisierung (Al)
Abbildung 5.17: Links: Prinzip eines Halbleiterdetektors für Präzisionsdetektoren, z.B. Mikrovertexdetektoren. Rechts: a) Energieniveaus am pn–Übergang von dotierten Halbleitern im
Bändermodell, b) Dichte der Ladungsträger.
5.2.5
Halbleiterdetektoren/Mikro-Vertexdetektoren
Der Nachweis relativ langlebiger Teilchen (z.B. B-Hadronen) sowie die Bestimmung sekundärer
Vertizes erlangt immer größere Bedeutung bei vielen teilchenphysikalischen Fragestellungen.
Silizium-Mikrovertexdetektoren erlauben eine Ortsmessung mit einer Auflösung von etwa 10
µm und ermöglichen damit die präzise Vermessung von Spuren, deren Extrapolation zum
Primärvertex und die Identifizierung von Zerfalls-(Sekundär)vertizes.
Mikrostreifendetektoren sind grossflächige (Größenordnung 4-6 cm2 ), meist 300 µm dicke Halbleiterdioden mit einer feinen, streifenförmigen Strukturierung der Elektroden mit Abständen
von typischerweise 50 µm auf einer oder auch auf beiden Oberflächen (siehe Abb. 5.17). Es handelt sich um pn-Grenzschichten, die bei einigen 100 V angelegter Spannung in Sperr-Richtung
betrieben werden, wodurch eine an Ladungsträgern verarmte sensitive Region entsteht. Hochenergetische Teilchen erleiden beim Durchtritt durch eine solche Diode einen Energieverlust,
der zur Erzeugung von etwa 22000 Elektron-Loch-Paaren führt, welche im elektrischen Feld zu
den Elektrodenstreifen driften und dort elektronisch verstärkt werden. Die vom durchfliegenden
Teilchen freigesetzte Ladung verteilt sich durch kapazitive Kopplung auf mehrere benachbarte
Streifen. Der Ort des Teilchendurchgangs wird über den Schwerpunkt dieser Einzelladungen
berechnet. Dies erlaubt die Bestimmung des Teilchendurchtrittspunkts mit einer Genauigkeit
von wenigen Mikrometern.
Hintereinander und in mehreren Lagen zylindrisch um den Wechselwirkungspunkt angeordnete Mikrostreifendetektoren bilden einen Mikro-Vertexdetektor, wie er in den Experimenten
verwendet wird. Abb. zeigt schematisch den Schnitt durch einen solchen zweilagigen MikroVertexdetektor senkrecht zur Strahlachse zusammen mit den rekonstruierten Spuren eines Ereignisses.
Pixeldetektoren sind matrixförmig unterteilte Siliziumdetektoren mit noch besserer Ortsauflösung
5.3 Kalorimeter
115
von jeweils etwa 5 µm in beiden orthogonalen Richtungen.
5.3
Kalorimeter
5.3.1
Elektromagnetische Kalorimeter (Schauerzähler)
Bei hohen Energien lösen sowohl Photonen als auch Elektronen, die auf Materie treffen, elektromagnetische Schauer aus. Das sind Kaskadenprozesse, bei denen Bremsstrahlung und e+ e− –
Paarbildung abwechseln:
γ → e + e−
und
e± → e ± γ
(Zur Erinnerung: beide Prozesse finden nur im Feld eines Kernes statt.) Diese Schauerbildung
ist in der Praxis das wichtigste Merkmal für die Wechselwirkung von Photonen und Elektronen.
Abbildung 5.18: Stark vereinfachtes Modell zur Entwicklung eines elektromagnetischen Schauers.
Um ein qualitatives Verständnis für die Schauer zu entwickeln, kann man ein stark vereinfachtes
Modell von Heitler heranziehen. Heutzutage werden Schauer in allen Details im Computer simuliert. Im Heitler Modell (Skizze in Abb. 5.18) nimmt man an, daß nach einer Strahlungslänge
X0
1. ein Elektron der Energie E jeweils ein Photon abgestrahlt hat mit der Energie E/2
2. ein Photon der Energie E ein e+ e− Paar gebildet hat, die beide Energien E/2 haben
Dieses ist zwar eine grobe Vereinfachung, aber plausibel, da sowohl Paarbildung als auch Bremsstrahlung durch X0 charakterisiert sind.
Folge: Nach jeder Strahlungslänge verdoppelt sich die Zahl der Teilchen, wenn man e+ , e− und γ
als Teilchen zählt. Nach t Strahlungslängen hat man also 2t Teilchen. Weiterhin halbiert sich die
Teilchenenergie nach jeder Strahlungslänge, d.h. nach t Strahlungslängen hat man E(t) = E/2t .
Nach einigen Strahlungslängen gibt es etwa gleich viele e+ , e− und γ. e± induzierte und γ
induzierte Schauer unterscheiden sich kaum mehr.
Der Schauer hört in diesem einfachen Modell schlagartig auf, wenn die Energie unter die kritische
Energie sinkt. Dann dominiert Ionisation über Bremsstrahlung. An dieser Stelle hat dann die
Teilchenzahl auch ihr Maximum erreicht. Sei tmax die Tiefe, bei der das eintritt. Also:
116
Teilchennachweis und Detektoren
0.125
30 GeV electron
incident on iron
(1/E0) dE/dt
0.100
80
0.075
60
Energy
0.050
40
Photons
× 1/6.8
0.025
0.000
20
Electrons
0
5
10
15
t = depth in radiation lengths
20
Number crossing plane
100
0
Abbildung 5.19: Links: Computersimulation für Elektronen von 30 GeV, die in Eisen aufschauern. Histogramm: normierter Energieverlust pro Strahlungslänge. Punkte: Zahl der Elektronen
mit Energie größer 1.5 MeV (rechte Achse); Vierecke: Zahl der Photonen mit Energie größer 1.5
MeV skaliert auf dieselbe Zahl wie Elektronen. Rechts: Longitudinales Schauerprofil in Kupfer
für Elektronen unterschiedlicher Energie. Die Spektren sind auf gleiche Fläche normiert.
E/2tmax = Ekrit
E = 2tmax Ekrit
E
= tmax ln 2
Ekrit
Und die Position des Schauermaximums ist:
ln
tmax =
ln(E/Ekrit )
ln 2
An der Stelle haben wir dann eine Teilchenzahl:
E0
Ekrit
Die Zahlen, die man mit diesem groben Modell berechnet, sind nur der Größenordnung nach
richtig. Eine wesentliche Tatsache ist auch bei genaueren Rechnungen noch richtig:
Nmax = 2tmax = etmax ln 2 =
Die Tiefe tmax des Schauermaximums nimmt nur logarithmisch
(d.h. langsam) mit der Primärenergie zu.
Für Blei, z.B. ist mit Ekrit = 7 MeV:
E = 5 GeV
E = 50 GeV
tmax = 9.5
tmax = 12.8
5.3 Kalorimeter
117
Eine Computersimulation für Elektronen von 30 GeV, die in Eisen aufschauern, ist in Abb.5.19
zu sehen.
Die laterale Ausdehnung des Schauers ist wesentlich bestimmt durch Vielfachstreuung im Material des Detektors. Man gibt einen “Molièreradius” an
RM = X0
21 MeV
.
Ekrit
Nur etwa 10% der Gesamtenergie wird in einem Schauer außerhalb eines Zylinders mit Molièreradius deponiert, 99% sind innerhalb von 3.5 RM .
Die Energieauflösung hängt im Endeffekt davon ab, wieviele Elektronen zum elektrischen Signal
beitragen. Das wiederum hängt ab von:
1. Deponierte Energie in den aktiven Lagen des Detektors (Fluktuationen der Stichprobe,
“sampling fluctuations”)
2. Energieverluste longitudinal oder seitlich
3. Rauschen im Detektor und in der Elektronik
4. Überlagerung von Signalen (“pileup”)
√
Falls die Fluktuationen der Poisson Statistik folgen, so ist die Standard Abweichung σ = N
und
σ(N )
1
=√
N
N
√
Falls N ∼ E, so ist auch die Energieauflösung ∼ 1/ E und wird besser mit höherer Energie.
Es gibt homogene elektromagnetische Kalorimeter, die aus Einkristallen bestehen, z.B. NaI, CsI,
Bleiglas oder BGO (s. z.B. auch im Abschnitt über Szintillatoren). Inhomogene Kalorimeter
bestehen abwechselnd aus Absorber und Detektorschichten, Beispiele sind in Abb. 5.20. Als
Absorber wird meist Pb gewählt, als Detektor z.B. Szintillator oder flüssiges Argon, evtl auch
Proportionalkammern.
5.3.2
Hadronische Kalorimeter
Hadronische Kalorimeter werden für die Messung hadronischer Kaskaden optimiert. Man kann
die Energie von einzelnen Hadronen aber wichtiger noch von Jets messen. Jets sind je nach
Energie mehr oder weniger kollimierte Bündel von Hadronen. Hadronen machen starke Wechselwirkung mit der Materie des Detektors, d.h. es werden Kaskaden von Pionen und anderen
Hadronen erzeugt. Charakteristische Dimension von hadronischen Kalorimetern ist daher die
Absorptionslänge λI .
Die Bauweise von hadronischen Kalorimetern ist wie bei inhomogenen elektromagnetischen
Kalorimetern: Absorber wechselt ab mit Detektormaterial, s. Abb. 5.20. Da λI wesentlich größer
ist als X0 sind hadronische Kalorimeter viel größer. In Abb. 5.21 und 5.22 ist die Ausdehnung
eines hadronichen Schauers in Eisen und Kupfer verdeutlicht.
Blei: X0 = 0.56 cm, λI = 17.1 cm
Beispiel:
Eisen X0 = 1.76 cm, λI = 16.7 cm
Die Energieauflösung wird bestimmt durch die physikalischen Prozesse und durch statistische
Fluktuationen. Bei Kernreaktionen hochenergetischer Teilchen entstehen drei Komponenten:
118
Teilchennachweis und Detektoren
Abbildung 5.20: Verschiedene Bauweisen inhomogener Kalorimeter. A=Absorber,
S=Szintillator, W=Wellenlängenschieber, LA=Flüssiges Argon, MWPC=Proportionalkammer.
• hochenergetische Hadronen: schnelle π ± , K ± , N ukleonen, . . .
• elektromagnetische Komponente: ausgelöst durch π 0 → γ γ
• Kernfragmente hoher Masse, auch ‘abgdampfte’ n, α
Nur die erste Komponente trägt zur Ausbildung des hadronischen Schauers bei. Die zweite initiiert einen elektromagnetischen Schauer. Die dritte ist für den Nachweis verloren. Um eine gute
Auflösung zu erreichen, muß man vor allem erreichen, daß der Schauer möglichst vollständig
absorbiert wird und daß die hadronische und elektromagnetische Komponente mit ähnlicher
Auflösung nachgewiesen werden.
In einem sogenannten kompensierenden Uran Kalorimeter im ZEUS Detektor ist das erreicht
worden und es hat folgende Auflösung:
0.35
∆E/E ' √
E
wobei E in GeV einzusetzen ist.
5.3.3
Ein Speicherringdetektor
Wir wollen hier als Beispiel in Abb. 5.23 den H1-Detektor vorstellen, der am Speicherring HERA
Daten nimmt. Es sind viele verschiedene Detektorkomponenten zur Impuls- und Richtungsmessung sowie zur Identifikation der erzeugten Teilchen erforderlich, die dargestellt sind.
5.3 Kalorimeter
119
Abbildung 5.21: Mittlerer Anteil der Energie, der in Eisen deponiert wird, als Funktion der
Dicke des Absorbers. Transversal ist der Absorber groß genug, so daß keine Verluste auftreten.
200
12
11
150
10
9
95%
8
7
100
6
/
/
/
50
5
10
Bock param.
CDHS data
CCFR data
50 100
500 1000
Single Hadron Energy (GeV)
5
4
3
Abbildung 5.22: Links: Laterale Entwicklung eines hadronischen Schauers (ZEUS Uran Kalorimeter) in verschiedenen Tiefen. Rechts: Tiefe in Eisen, bei der 99% bzw. 95% eines hadronischen
Schauers enthalten sind.
Hauptkomponenten: zylinderförmige Spurenkammer (CJC), die zusammen mit dem Magnetfeld
~ erzeugt Feldlinien
die Impulsbestimmung erlaubt. Das Magnetfeld ist solenoidförmig, d.h. B
parallel zum Strahl. Ein Kalorimeter umgibt die Spurkammer, es hat eine elektromagnetische
Sektion und eine hadronische. Das Rückflußjoch des Magneten dient als Absorber für Hadronen.
Myonen werden außen in darin befindlichen Spurkammern nachgewiesen.
Depth in Iron (λI)
Depth in Iron (cm)
99%
120
Teilchennachweis und Detektoren
1
3
4
5
6
8
10
11
12
13
15
Strahlrohr und Strahlmagnete
2 Zentrale Spurkammern
Vorwärtsspurkammern mit Übergangsstrahlungsmodulen
Elektromagnetisches Kalorimeter (Blei/Flüssig–Argon)
Hadronisches Kalorimeter (Edelstahl/Flüssig–Argon)
Supraleitende Spule (B = 1.15 T)
7 Kompensationsmagnet (B = 4.83 T)
Helium–Kälteanlage
9 Myon–Kammern
Instrumentiertes Eisenjoch (Eisenplatten und Streamerrohrkammern)
Myon–Toroidmagnet (B = 1.6 T)
rückwärtige Spurkammer und Kalorimeter
Vorwärtskalorimeter (Plug)
14 Betonabschirmung
Flüssig–Argon–Kryostat
Abbildung 5.23: Der H1–Detektor.
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