Lösungen Schulbuch S. 75, 77, 78 - Helmholtz

Lösungen Schulbuch S. 75, 77, 78
Stochastik Grundkurs
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Gy, GS, TG, WG
Aufgabe 8: Gläser
Aufgabenstellung
In einer Glasbläserei werden mundgeblasene handgeschliffene Gläser hergestellt. Die Gläser werden
in fünf Arbeitsgängen gefertigt, die unabhängig voneinander erfolgen. Erfahrungsgemäß wird in den
einzelnen Arbeitsgängen unabhängig voneinander die erwünschte Qualität mit folgenden Wahrscheinlichkeiten nicht erreicht:
Arbeitsgang 1
Arbeitsgang 2
0,08
0,05
Arbeitsgang 3
0,02
Arbeitsgang 4
0,04
Arbeitsgang 5
0,03
a) Zeigen Sie, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 0,20 ein fertiges Glas nicht fehlerfrei ist.
b) Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der fehlerhaften Gläser in einer Produktionsserie vom Umfang n.
Begründen Sie, dass man X als binomialverteilt ansehen kann und geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, ihren Erwartungswert, ihre Varianz und Streuung als Funktion von n an.
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 30 hergestellten Gläsern höchstens 3 fehlerhaft sind.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 gefertigten Gläsern 30 oder mehr fehlerhaft sind. Schätzen Sie zunächst diese Wahrscheinlichkeit ab unter Verwendung des Erwartungswertes und der Standardabweichung der Zufallsvariablen X (vgl. b) ) und rechnen Sie anschließend genauer mit Hilfe der Tafel.
e) Bevor die Gläser verschickt werden, findet eine Qualitätskontrolle statt.
Dabei werden 5% der fehlerhaften Gläser übersehen, 1% der Gläser beanstandet, die noch den Anforderungen entsprechen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glas, das verschickt wird, den Qualitätsanforderungen nicht genügt?
f) Ein neu eingestellter Prüfer hat bereits 25 Gläser geprüft und dabei nur ein einziges fehlerhaftes
Glas entdeckt. Er beginnt, an der eigenen Sorgfalt zu zweifeln.
Sind seine Zweifel begründet?
120
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Stochastik Grundkurs
Erwartungshorizont
Zuordnung,
Bewertung
Lösungsskizze
I
a)
II
III
Es bietet sich an, zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis F :
„Ein Glas ist fehlerfrei“ zu berechnen. Nach Voraussetzung erfolgen die Arbeitsgänge unabhängig voneinander, daher gilt:
_
P( F ) = 0,92 + 0,95 + 0,98 + 0,96 + 0,97 6 0,80
_
P(F) = 1 – P( F ) # 0,20.
b)
15
Werden bei den fertigen Gläsern nur die Ergebnisse „fehlerhaft“ und „fehlerfrei“ unterschieden, kann die Herstellung eines Glases als Bernoulli-Experiment angesehen werden. Da die Gläser nach Voraussetzung unabhängig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit fehlerhaft sind, kann die Produktion einer Serie von Gläsern als Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 modelliert werden.
Da die Zufallsvariable X die Anzahl der Treffer in dieser Bernoulli-Kette
zählt, ist X n-0,2-binomialverteilt, und es gilt:
C nD
P(X=k) = B(n; 0,2;k) = E F + 0, 2k + 0,8n %k
GkH
E(X) = µ = n!p = 0,2n, V(X) = n!p!q = 0,16n ,
' = n + p + q = 0,16n = 0,4 n .
c)
3
P 8 X ( 3 9 $ R B 8 30;0,2; k 9 =
k $0
10
C 30 D
3
R EG k FH + 0, 2
k $0
k
10
+ 0,8n %k
30
= 0,8 & 30 + 0,2 + 0,829 & 435 + 0, 22 + 0,828 & 4060 + 0, 23 + 0,827
# 0,123 = 12,3%.
d)
10
Da hier gilt: µ = 20 , ' = 4, muss die gesuchte Wahrscheinlichkeit weniger als
2,5% betragen, da die betrachteten Trefferanzahlen außerhalb der 1,96'Umgebung um µ liegen.
29
P 8 X # 30 9 $ 1 % P( X ( 29) $ 1 % R B(100;0,2; k )
k $0
Mit Hilfe der Tafel für kumulierte Binomialverteilungen erhält man:
29
1 % R B(100;0,2; k ) # 1 – 0,989 = 0,011 = 1,1%.
k $0
5
5
10
121
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Stochastik Grundkurs
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Zuordnung,
Bewertung
Lösungsskizze
I
e)
II
III
Mit den Bezeichnungen F:= „Glas erfüllt nicht die Anforderungen“ und
V:= „Glas besteht die Kontrolle“ gilt:
_
_
_
P(F )= 0,2 , P( F ) = 0,8 , P(V/F) = 0,05 , P (V / F ) = 0,01.
Gefragt ist nach P(F/V). Diese Wahrscheinlichkeit kann durch geeignete Umformungen des Ansatzes P ( F / V ) $
f)
P( F V V )
P (V )
,
mit Hilfe eines kleinen Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel bestimmt
werden. P(F/V) # 0,012 = 1,2%.
20
Die Wahrscheinlichkeit, weniger als zwei fehlerhafte Gläser bei einer Stichprobe von 25 Gläsern zu erhalten, beträgt nur B(25; 0,2; 0) + B(25; 0,2; 1) #
3%. Insofern besteht Anlass zu Zweifeln, die aber erst statistisch bestätigt würden, wenn bei weiteren 25 „Ziehungen“ wieder weniger als zwei fehlerhafte
Gläser entdeckt würden.
5
10
55
20
Insgesamt 100 BWE 25
122
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Lineare Algebra / Analytische Geometrie Leistungskurs
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Aufgabe 3 Libellenentwicklung
In dieser Aufgabe sollen die Anzahlen der Individuen in den verschiedenen Entwicklungsstadien einer
Libellenart betrachtet werden. Dabei werden folgende Annahmen zu Grunde gelegt.
Eine junge Libelle legt 90 Eier, von denen sich 5 % zu Junglarven weiterentwickeln. 50 % der Junglarven entwickeln sich zu Altlarven (Nymphen), während 5 % der Junglarven das Altlarven-Stadium
überspringen und zu jungen Libellen werden. Von den Altlarven entwickeln sich 30 % zu jungen Libellen. 25 % der jungen Libellen überleben eine Generation und legen als alte Libellen immerhin noch
40 Eier, deren Entwicklungsfähigkeit denen der Junglibellen entspricht. Die fehlenden Prozentanteile
entsprechen jeweils einem Nichtüberleben dieses Stadiums. Alle alten Libellen sterben in der nächsten
Generation.
a) Geben Sie eine graphische Darstellung dieses Lebenszyklus an und ermitteln Sie daraus eine
Populationsmatrix P.
A
B
(Benutzen Sie abkürzend: C
D
E
Anzahl der jungen Libellen
Anzahl der alten Libellen
, und damit v
Anzahl der Eier
Anzahl der Junglarven
Anzahl der Altlarven
A
B
C
D
E
als Populationsvektor.)
b) In einem Teich sind zu Beginn 25 Junglibellen, 5 Altlibellen, 6000 Eier, 200 Junglarven und 80
Altlarven vorhanden.
Berechnen Sie die Anzahlen der einzelnen Entwicklungsstadien für die nächsten zwei Generationen.
c) Bestimmen Sie eine Startpopulation, die sich in jeder Generation reproduziert.
Beschreiben Sie das Populationsmodell geeignet als Funktion und interpretieren Sie das eben berechnete Ergebnis (Startpopulation, die sich in jeder Generation reproduziert) mithilfe dieser
Funktion.
d) Ermitteln Sie eine Startpopulation, aus der nach einer Generation 11 Junglibellen, 5 Altlibellen,
2000 Eier, 40 Junglarven und 20 Altlarven geworden sind.
Durch einen besonderen Umwelteinfluss werden die Anzahlen der Larven (jung und alt) ad hoc halbiert, während die Eier und die Libellen davon unbeeinflusst bleiben.
e) Geben Sie begründet eine Matrix H an, die die Halbierung der Larvenanzahlen beschreibt.
f) Dieser besondere Umwelteinfluss tritt periodisch und nur alle 10 Generationen auf.
Beschreiben Sie mit den Matrizen P und H, welcher Populationsvektor vE sich nach 10 Generationen aus einer Anfangspopulation v A ergibt, wenn die Halbierung der Larven am Ende des Beobachtungszeitraumes auftritt.
Beurteilen Sie, ob das Ergebnis, also der Populationsvektor vE , davon beeinflusst wird, dass die
Halbierung der Larvenanzahlen zu Beginn, in der Mitte oder am Ende eines Beobachtungszeitraumes von 10 Generationen auftritt.
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Lineare Algebra / Analytische Geometrie Leistungskurs-Lösungen
Aufgabe 3 Libellenentwicklung
Zuordnung,
Bewertung
Lösungsskizze
I
II
5
15
III
a) Mit den Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung ergibt sich folgender Graph
und folgende Populationsmatrix P des Lebenszyklus:
90
A
0,25
B
40
C
0,05
D
0,5
0,05
P
E
0,3
0
0
0
0,05 0,3
0,25 0
0
0
0
90 40
0
0
0 .
0
0 0,05
0
0
0
0
0
0,5
0
b)
Die Startpopulation wird durch den Vektor v0
25
5
6000 beschrieben.
200
80
Die Anzahlen der ersten Generation berechnen sich durch: v1
P v0
34
6, 25
2450 ,
300
100
also zu 34 jungen Libellen, 6 alten Libellen, 2450 Eiern, 300 Junglarven und
100 Altlarven.
Die Anzahlen der zweiten Generation berechnen sich durch:
45
8,5
v2 P v1
3300 , also zu 45 jungen Libellen, 8 alten Libellen, 3300 Eiern,
122,5
150
122 Junglarven und 150 Altlarven.
Den Populationsvektor vi der i-ten Generation erhält man allgemein durch:
vi P i v0 . Dabei kann aber nur das Endergebnis gerundet werden. So ergeben
sich bei der Berechnung der 2. Generation mithilfe von P2 3310 Eier.
15
83
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Lineare Algebra / Analytische Geometrie Leistungskurs-Lösungen
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Zuordnung,
Bewertung
Lösungsskizze
I
II
III
20
5
c) Für eine sich selbst reproduzierende Population v gilt:
P v v
( P E ) v 0 . Das Lösen des LGS ergibt:
0, 4
0,1
v
4
1
r ' 40
2
1
400
20
10
r
, r
.
Um ganze Tiere zu erhalten, muss auf r
* eingeschränkt werden.
Das Populationsmodel beschreibt die Funktion f mit f (vi )
P vi .
Die sich selbst reproduzierenden Populationen sind Fixpunkte von f, genauer die
Menge aller Fixpunkte von f, da obiger Ansatz äquivalent zu f (v ) v ist.
d)
11
5
2000 . Lösen des LGS ergibt: x
40
20
Gesucht ist der Vektor x mit P x
20
5
800 .
40
30
10
e) Die Matrix H lässt die ersten drei Komponenten des Populationsvektors unverändert und halbiert die letzten beiden Komponenten.
H
1
0
0
0
0
1
0
0
0 0 0
0 0 0
1 0 0 , denn H
0 12 0
0 0 0 0
f)
Stellt vE _ normal
1
2
A
B
C
D
E
A
B
C .
1
2D
1
E
2
10
P10 v A die Endpopulation nach 10 Jahren im vorliegenden Mo-
dell dar, so ergibt sich vE
H vE _ normal . Dabei werden lediglich die Anzahlen
der Jung- und Altlarven halbiert.
Es gilt P H H P, denn die erste Zeile der Matrix H P entspricht jener von P,
die erste Zeile von P H lautet aber (0 | 0 | 0 | 0,025 | 0,15).
Das Endergebnis hängt daher davon ab, wann mit H multipliziert wird, bzw.
verändert der Zeitpunkt des besonderen Umwelteinflusses das Ergebnis.
Insgesamt 100 BWE 20
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5
15
60
20
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Aufgabe 9
Stochastik Leistungskurs
Modegeschäfte
Die Aufgabenteile a) und c) basieren auf Station 15 in Lernen an Stationen, Matrizenrechnung
(www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/dinslakenproj3/).
In der Innenstadt sind drei Modegeschäfte mit ähnlichem Angebot: BlueBlack, Goldie X und JeansHouse. Die Geschäftsführerin von BlueBlack gibt eine Untersuchung über die Kundenwanderung zwischen diesen drei Geschäften in Auftrag.
Das beauftragte Institut macht eine Umfrage, die ergibt:
60 % der Kunden von BlueBlack, die dort innerhalb eines Monats eingekauft haben, kaufen dort
auch im Folgemonat, während 25 % zu Goldie X und 15 % zum JeansHouse abwandern.
Goldie X bleiben 55 % der Kunden im Folgemonat treu, 20 % wandern jedoch zu BlueBlack ab
und 25 % zum JeansHouse.
Das JeansHouse schaffte es, sogar 70 % seiner Kunden an sich zu binden, verliert aber jeweils
15 % an BlueBlack und Goldie X.
Im untersuchten Monat kauften bei BlueBlack 2 700 Personen, bei Goldie X 2 000 und im JeansHouse
3 200.
a) Stellen Sie die Kundenwanderung in einer Tabelle oder mit einem Graphen dar.
Die Geschäftsführerin interessiert die in diesem Modell zu erwartende Kundenverteilung in den nächsten 6 Monaten, um über geeignete Werbemaßnahmen entscheiden zu können.
b) Berechnen Sie die zu erwartende Kundenverteilung nach 1 Monat. Geben Sie zwei Berechnungsmöglichkeiten für die zu erwartende Verteilung nach 2 Monaten.
Ermitteln Sie, welche Auswirkungen auf die Berechnung und die Kundenzahlen hat die Annahme,
dass das oben beschriebene Modell in den nachfolgenden 6 Monaten weiter gelten soll.
Hinweis: Das Ergebnis nach 2 Monaten ist [2423, 2337, 3140] (in der Reihenfolge B, G, J), nach
6 Monaten [2372, 2371, 3157], jeweils auf ganze Zahlen gerundet.
c) Zeigen Sie unter der Annahme, das Modell von a) gelte weiterhin, dass die Kundenbewegung zum
Stillstand kommt und bestimmen Sie die dann gegebene Anzahl von Kunden in den drei Geschäften.
Interpretieren Sie die Ergebnisse aus der Sicht der Geschäftsführerin von BlueBlack.
d) Mit der Werbekampagne von BlueBlack gelingt der Geschäftsführerin ein Cup, da es nach folgendem System als Prämie ein ausgefallenes Kleidungsstück von Carotti gibt:
Bei jedem Kauf darf die Kundin bzw. der Kunde aus einer großen, gut gefüllten Schale für je 50
Umsatz einen kleinen Umschlag ziehen, der ein Puzzle-Teil enthält (bei einem Einkauf zu 120
zum Beispiel darf man dann 2-mal einen Umschlag ziehen). Es gibt 5 verschiedene Puzzle-Teile,
die zusammengelegt ein Rechteck ergeben und die Prämie!
Wie viele Umschläge man sammeln muss, bis ein Puzzle fertig ist, hängt vom Zufall ab. Die Anzahl der Umschläge kann also als Zufallsvariable aufgefasst werden.
Ermitteln Sie den Erwartungswert der nötigen Umschläge, und interpretieren Sie das Ergebnis im
Hinblick auf die Frage, wie teuer das ausgefallene Kleidungsstück von Carotti, für einen Kunden denn nun eigentlich ist.
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Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Aufgabe 9
Stochastik Leistungskurs - Lösungen
Modegeschäfte
Zuordnung,
Bewertung
Lösungsskizze
I
von
a)
BlueBlack
nach
Goldie X
II
III
JeansHouse
BlueBlack
0,6
0,2
0,15
Goldie X
0,25
0,55
0,15
JeansHouse
0,15
0,25
0,7
60%
BlueBlack
15%
20%
70%
55%
15%
JeansHouse
Goldie X
25%
Tabelle oder Graph erwartet.
b)
Die Übergangsmatrix ist M
10
0,6 0,2 0,15
0, 25 0,55 0,15 (aus Tabelle oder Graph).
0,15 0,25 0,7
0,6 0,2 0,15
Nach einem Monat ergibt sich: 0, 25 0,55 0,15
0,15 0,25 0,7
2700
2000
3200
2500
2255
3145
Die Berechnung für den 2. Monat kann erfolgen durch
0,6 0,2 0,15
(i) 0, 25 0,55 0,15
0,15 0,25 0,7
2500
0,6 0,2 0,15
2 255 oder (ii) 0, 25 0,55 0,15
3145
0,15 0,25 0,7
2
2700
2000
3200
Die Annahme, das Modell aus a) gelte in den folgenden 6 Monate weiter, bedeutet, dass in diesen 6 Monaten
die Anzahl der Gesamtkunden in den drei Geschäften unverändert bleibt
die Wanderungsanteile sich ebenfalls nicht ändern.
15
5
c) Stillstand der Kundenbewegung würde bedeuten, dass die Gleichung M X = X
lösbar ist, also mindestens ein solcher Vektor X existiert.
I
0,6 x1 0,2 x2
0,15 x3
x1
40 x1 20 x2 15 x3
0
Ansatz: II 0, 25 x1 0,55 x2 0,15 x3
III 0,15 x1 0,25 x2 0,7 x3
x2
x3
25 x1 45 x2 15 x3
0
15 x1 25 x2 30 x3
0
89
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Stochastik Leistungskurs - Lösungen
Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik
Zuordnung,
Bewertung
Lösungsskizze
I
II
III
25
10
Aus II I und 2 I + III folgt 65x1 65x2 = 0 und 65x1+65x2 = 0,also x1 = x2.
Eingesetzt in III folgt 30x3 = 40x2
x3
4
x2 .
3
Wie in b) erwähnt, ist die Gesamtkundenzahl von Anfang noch gültig, d.h. es
muss auch gelten x1 + x2 + x3 = 7 900.
x1 und x3 eingesetzt ergeben 10 x2 = 5900 3 = 23 700
mit x3 = 3 160.
x2 = 2 370 = x1 und da-
Die Kundenbewegung stabilisiert sich im Modell bei diesen absoluten Zahlen:
BlueBlack und Goldie X je 2 370 Kunden, JeansHouse 3 160 Kunden.
Diese Werte sind nach 6 Monaten fast erreicht.
BlueBlack schneidet am schlechtesten ab, da es über 12 % der Kunden verliert,
JeansHouse bleibt fast stabil und Goldie X gewinnt über 18 % an Kunden hinzu.
Die Geschäftsführerin muss also dringend eine erfolgreiche Werbekampagne
starten.
d) Es ist zunächst ein Modell zu erstellen, mit dem die Frage beantwortet werden
kann:
Wir betrachten das Sammeln der Puzzleteile als einen zufälligen Prozess mit 6
Zuständen. Zustand i bedeutet, dass man unter den bereits gesammelten Puzzleteilen i verschiedene hat. Der Zustand 0 ist die Anfangssituation, der Zustand 5
ist der gewünschte Endzustand. Jedes Mal, wenn man einen neuen Umschlag
bekommt findet ein Übergang statt, und die Übergangswahrscheinlichkeiten
sind in folgendem Diagramm dargestellt.
0
1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1
2
3
4
5
0,8
0,6
0,4
0,2
Angenommen wurde dabei die Gleichverteilung der verschiedenen Puzzleteile
( große, gutgefüllte Schale ). Zustand 5 kann nicht mehr verlassen werden (absorbierend).
Ausgehend vom Zustand 0 soll die erwartete Anzahl der Übergänge bestimmt
werden, bis man im erstmals im Zustand 5 ist.
Die Lösungsidee besteht darin, nicht nur diesen Erwartungswert e zu betrachten,
sondern simultan für jeden Zustand i die erwartete Anzahl E(i) der Übergänge
unter der Bedingung, dass man sich im Zustand i befindet. Die Beziehungen
zwischen diesen Werten erlauben es letztlich den gesuchten Wert E(0) zu
bestimmen:
Es gilt trivialerweise: E(5) = 0
Nun können wir E(4) bestimmen, es gilt nämlich nach Definition des Erwartungswertes:
90
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Stochastik Leistungskurs - Lösungen
Zuordnung,
Bewertung
Lösungsskizze
I
II
III
20
15
50
25
4
1
4
1
1 E (4)
1 E (5) 1
E (4)
0
5
5
5
5
4
E (4) 1
E (4)
5
Diesen Zusammenhang können wir als lineare Bestimmungsgleichung für E(4)
auffassen mit der eindeutigen Lösung:
E(4) = 5.
Man sieht, wie es weiter geht:
3
2
15
oder
E(3) = 7,5.
E (3) 1
E (3)
E (4)
E (3)
5
5
2
2
3 15
55
E (2) 1
E (2)
E (2)
, gerundet
E(2) 9,2
5
5 2
6
1
4 55
125
, gerundet
E(1) 10,4
E (1) 1
E (1)
E (1)
5
5 6
12
E (4)
E (0) 1 1 E (1)
1
125
12
E (0)
137
, gerundet
12
E(0)
11,4
Im Mittel muss man also 11 bis 12 Umschläge sammeln, um in den Genuss
des ausgefallenen Kleidungsstücks von Carotti zu kommen, also im Mittel einen
Umsatz von 550 bis 600 machen.
Wenn das Modegeschäft ansonsten angemessene Preise hat, und man dort auch
ohne die Werbeaktion gerne kauft, geht das in Ordnung. Wenn aber wegen des
Sonderangebots z.B. alle Kleidungsstücke doppelt so teuer wie in vergleichbaren
Geschäften sind, dann kostet Carotti fast 300 .
Bemerkung: Diese Überlegungen lassen sich leicht auf Situationen verallgemeinern, bei denen die vollständige Sammlung aus n Objekten besteht, z.B. zur
Weltmeisterschaft Fußballerbilder. Es gibt auch Würfelspiele, bei denen derjenige gewinnt der zuerst alle Augenzahlen mindestens einmal geworfen hat.
Weitere Verallgemeinerungen bestehen darin, dass man absorbierende endliche
Markoff-Ketten betrachtet, denn unser Beispiel lässt sich als eine solche auffassen. Dann kann man prinzipiell immer zwei Fragen stellen und beantworten:
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten landet man in den einzelnen absorbierenden Endzuständen?
(Hier sinnlos, da nur ein absorbierender Zustand vorhanden ist)
Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl der Übergänge bis zum Erreichen eines absorbierenden Endzustandes?
In beiden Fällen geht man genau so vor wie hier, beantwortet die gestellten
Fragen also nicht nur für den speziellen Startzustand sondern für alle Zustände
als Startzustände. Die Beziehungen zwischen diesen Größen liefern für beide
Fragestellungen je ein lineares Gleichungssystem, das es zu lösen gilt.
Insgesamt 100 BWE 25
91
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