Normalverteilung

STATISTIK 1 - BEGLEITVERANSTALTUNG
VORLESUNG 3 - NORMALVERTEILUNG
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AGENDA
01 DIE NORMALVERTEILUNG
02 ZENTRALES GRENZTHEOREM
03 Z-WERTE
04 KONFIDENZINTERVALLE
06 ÜBUNGEN
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DIE NORMALVERTEILUNG
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BEGRIFFLICHKEITEN
|
Diskrete Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion, hier hat die Zufallsvariable
nur abzählbare viele Werte (z.B. Ziehen aus einer Urne)
| Diskrete Variablen: Ergebnisse eines Experiments werden kategorisiert oder
gezählt
|
Stetige Verteilungen: Verteilungsfunktion/Dichtefunktion, überabzählbarer
Wertebereich (z.B. Körpergröße)
| Stetige Variablen: Werte in einem gegebenen Intervall können beliebig genau
sein
| Bei stetigen Zufallsvariablen bezeichnet der f(x)-Wert die
Wahrscheinlichkeitsdichte des x-Werts
| Wir fragen hier nach der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Ereignissen,
die sich in einem bestimmten Intervall befinden
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DIE NORMALVERTEILUNG
| Wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
| Weitere wichtige stetige Verteilungen sind aus der Normalverteilung
abgeleitet: Chi-Quadrat-Verteilung, t-Verteilung, F-Verteilung
| Sie wird häufig auch Gauß´sche Glockenkurve genannt
| Viele Merkmale in der Bevölkerung können durch eine
Normalverteilung beschrieben werden
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EIGENSCHAFTEN DER
NORMALVERTEILUNG
|
Ist symmetrisch, eingipflig und glockenförmig
|
Modalwert, Median und Mittelwert fallen zusammen
|
Maximum liegt bei μ
|
Verschiedene Normalverteilungen unterscheiden sich bezüglich Erwartungswert (μ)
und/oder Standardabweichung (σ)  hat einzig und allein diese Parameter
|
Der Wertebereich reicht von –∞ bis + ∞
|
Die Verteilung nähert sich asymptotisch der x-Achse
|
Die Fläche, die von der Dichtefunktion der Normalverteilung zwischen x1 = 𝜇 + 1 ∙ 𝜎
und x1 = 𝜇 − 1 ∙ 𝜎 eingeschlossen wird, ist immer gleich groß
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DIE NORMALVERTEILUNG
| Der Parameter μ ist direkt der Erwartungswert der Normalverteilung
| σ ist direkt die Varianz der Normalverteilung
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DICHTEFUNKTION
| Die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) einer stetigen
Zufallsvariable X wird zumeist als mathematische Funktion definiert.
Sie wird bei stetigen Zufallsvariablen auch als Dichtefunktion
bezeichnet.
| Die Dichtefunktion f(x) liefert also nicht unmittelbar die
Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, die Wahrscheinlichkeiten
ergeben sich aus der Fläche unter der Dichtefunktion
| Flächenanteil unterhalb der Dichte ist gleich der Wahrscheinlichkeit,
dass eine Zufallsvariable dieser Verteilung in diesem Intervall liegt
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BEISPIEL
|
In einer Befragung werden 10.000 Personen befragt, wie viel Geld sie im Monat frei
zur Verfügung haben (nach Abgaben, Miete usw.). Das Ergebnis wird in einer
Dichtefunktion dargestellt.
|
Geht man nun an der X-Achse entlang und legt einen genauen Wert fest, zum
Beispiel 123 Euro, kann man von diesem Punkt aus die Fläche berechnen, die
zwischen X-Achse und Dichtefunktion links dieses Punktes liegt. Diese Fläche gibt
an, wie groß der Anteil der Personen ist, die im Monat weniger als 123 Euro
zur Verfügung haben. Hierzu teilt man die Größe dieser Fläche durch die
Gesamtgröße der Fläche zwischen Dichtefunktion und der X-Achse. Dies kann
man für jeden beliebigen Wert der X-Achse wiederholen.
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BERECHNUNG
Dichtefunktion der Normalverteilung
| Beispiel: Für eine normalverteile Variable x= 30 (μ = 35; σ = 2,3) soll
die Dichte berechnet werden.
|
1
2.3× 2𝜋
∙ exp
(30−35)2
−
2𝑥2.32
| 0.173∙ exp −2.36
| 0.173 ∙ 0.095
| 0.016
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STANDARDNORMALVERTEILUNG
|
Unter den theoretisch unendlich vielen Normalverteilungen ist die
Standardnormalverteilung diejenige, bei der gilt: μ= 0
σ= 1
|
Die Standardnormalverteilung ist also eine N(0;1) –Verteilung
|
Mittels Z-Transformation einzelner Messwerte
| xi zi=
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
lässt sich jede Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung überführen
|
Dient dazu, Werte verschiedener Populationen oder Werte von Personen aus gleichen
Populationen mit verschiedenen Messverfahren vergleichbar zu machen.
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STANDARDNORMALVERTEILUNG
|
Die Dichtefunktion der Normalverteilung reduziert sich damit auf
|
Die Berechnung der Flächenanteile ist sehr aufwendig, weshalb die
Flächenanteile der Standardnormalverteilung tabelliert wurden
|
Die Fläche links vom Wert der Variable wurde tabelliert
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FLÄCHENANTEILE
Wichtige Punkte der Standardnormalverteilung
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FLÄCHEN IN DER
STANDARDNORMALVERTEILUNG
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Z-TRANSFORMATION
|
Es reicht aus, nur die Verteilungsfunktion zur Standardnormalverteilung zu tabellieren,
da man Werte der Verteilungsfunktion einer beliebigen Normalverteilung durch
die Transformationsregel durch Werte der Verteilungsfunktion der Normalverteilung
ersetzen kann
|
Sie transformiert die unterschiedlichen Werte zu einheitlichen (vergleichbaren)
Werten
|
Damit lassen sich Wahrscheinlichkeiten dafür ermitteln, dass ein Wert einer
normalverteilten Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall liegen bzw.
das ein Wert höchstens/mindestens eine bestimmte Größe annimmt
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Z-TRANSFORMATION
|
Auch können die anhand der Tabelle abgelesenen z-Werte mit der Formel für die ZTransformation wieder in ihre ursprünglichen xi-Werte umgerechnet werden
|
Man kann also die z-Tabelle rückwärts lesen
|
Gesucht ist der z-Wert, unterhalb dem 95% aller möglichen z-Werte liegen. Man sucht
dazu in der Tabelle eine Wahrscheinlichkeit (1-a), die möglichst nah an den Wert 0,95
herankommt. In der Tabelle sind das die Werte 0,9495 und 0,9505 mit den z-Werten
1,64 und 1,65. Durch Interpolation erhält man den gesuchten Wert z=1,645
| Mathematisch : zi =
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𝑥𝑖 −𝜇
𝜎
↔ xi = zi ∙ σ+ μ
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Z-TRANSFORMATION
| Welche Aussagen lassen sich noch mit den z-Werten machen?
| Man kann Prozentränge angeben
| Dazu benötigt man die Tabelle
| Bei z=2 finde ich den Wert 0,9772=97,72%
| Was heißt das?
| Beispiel IQ: z=2  IQ=130
| Man gehört also zu den intelligentesten 2,28% der Bevölkerung
| Im Bereich IQ<130 befinden sich 97,72% d. Bevölkerung
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VERTEILUNGSFUNKTION
|
Bei stetigen Merkmalen können über die Dichtefunktion keine Aussagen über das
Eintreffen einer Merkmalsausprägung getroffen werden, hier werden die
Wahrscheinlichkeiten über die Verteilungsfunktion ermittelt
|
Die Werte dieser Funktion benennen keine Einzelwahrscheinlichkeiten, sondern den
Zusammenhang zwischen einer Zufallsvariablen und deren
Wahrscheinlichkeiten, d.h. sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine
Zufallsvariable höchstens einen bestimmten Wert annimmt.
|
Die Verteilungsfunktion berechnet sich bei stetigen Zufallsvariablen durch das Integral
der Dichtefunktion.
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VERTEILUNGSFUNKTION
Standardnormalverteilung
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BEISPIEL
| Ein Fußballspieler verletzt sich beim Training. Es dauert erfahrungsgemäß 2-7
Tage, bis der Spieler wieder einsatzfähig ist. Die Zufallsvariable beschreibt die
Anzahl der Tage bis zur Genesung. Mit jedem Tag steigt die
Genesungswahrscheinlichkeit:
Tage (X)
Genesungswahrscheinlichkeit
X<2
0
X<3
0.05
X<4
0.2
X<5
0.55
X<6
0.9
X≥6
1
Aus der Tabelle ist erkennbar, dass der Fußballspieler mit
einer Wahrscheinlichkeit von 90% spätestens am 5. Tag
wieder gesund sein wird (d.h. es ist auch möglich, dass er
schon früher wieder einsatzfähig ist).
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QUANTILFUNKTION
| Wählt man in diesem Intervall zufällig eine Zahl, so kann man sie als
Wert einer Verteilungsfunktion interpretieren.
| Der dazugehörige Wert der Zufallsvariablen, das Quantil, ist dann
die gewünschte Zufallszahl.
| Das Quantil ergibt sich gewissermaßen als Umkehrfunktion der
entsprechenden Verteilungsfunktion.
 gibt zu einer Wahrscheinlichkeit den gewünschten Wert an
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ZENTRALE GRENZTHEOREME
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VERTEILUNG DER
STICHPROBENMITTELWERTE
|
Nehmen wir einmal an, statt der einen hätten wir theoretisch unendlich viele, gleich
große, voneinander unabhängige Stichproben erheben können, die wiederum
unendlich viele, unterschiedlich große Stichprobenmittelwerte liefern. Die
resultierende Verteilung dieser Mittelwerte ginge mit steigender Anzahl von Werten
in eine Normalverteilung über (Verteilung der Stichprobenmittelwerten)
|
Unter der Verteilung der Stichprobenmittelwerten ist - allgemein - die
Wahrscheinlichkeitsverteilung aller möglichen Ausprägungen der
Stichprobenmittelwerte zu verstehen
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VERTEILUNG DES
STICHPROBENMITTELWERTS
Exkurs - Gedankenspiel
|
Wir haben eine Grundgesamtheit
|
Hieraus nehmen wir eine genügend große Stichprobe und berechnen statistische
Kennwerte  danach wieder zurück in Grundgesamtheit
|
Wiederholen dieses Schritt unendlich oft und berechnen Stichprobenmittelwert
|
Aus diesen berechneten Mittelwert erstellen wir eine Häufigkeitsverteilung =
Verteilung der Stichprobenmittelwerte
|
Berechnen den Durchschnitt (Mittelwert der Mittelwerte) = Erwartungswert
|
Berechnung aller Standardabweichungen = Standardfehler
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STICHPROBENKENNWERTVERTEILUNG
Exkurs - Eigenschaften
|
Häufigkeitsverteilung der Stichprobenmittelwerte wird immer die Form einer
Normalverteilung annehmen
denn nach dem Zentralen Grenzwerttheorem konvergiert diese Verteilung mit
wachsender Wiederholung der Ziehung bei genügend großer Stichprobe gegen eine
Normalverteilung (unabhängig wie das Merkmal in der Population verteilt ist)
|
Stichprobenmittelwertsverteilung ist als N(μ;σ)
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ZENTRALES GRENZTHEOREM
Es besagt im wesentlichen Folgendes:
| Egal, wie eine Variable in der Population verteilt ist, die Verteilung
des Stichprobenmittelwertes wird die Form einer
Normalverteilung haben
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STANDARDFEHLER DES MITTELS
Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung
|
Es ist nichts anderes als die Standardabweichung aller „Stichproben Mittelwerte“
|
Gibt Auskunft über die durchschnittliche Abweichung der
Stichprobenmittelwerte vom Erwartungswert
𝜎
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛
|
σ𝑥 =
|
σ ist die Standardabweichung des Merkmals in der Population; dieser Wert ist immer
σ s
s=
unbekannt; er wird durch s geschätzt
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STANDARDFEHLER DES MITTELS
Interpretation
|
Ist der Standardfehler des Mittels gering, so ist es wahrscheinlich, dass die Schätzer
nur gering vom Erwartungswert abweicht.
|
Ist er dagegen hoch, so wird ein Schätzer alles Voraussicht nach sehr ungenau sein
und somit kann es sein, dass eine einzelne Schätzung stark vom tatsächlichen
Wert abweicht
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Z-WERTE
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WARUM Z-WERTE?
|
Ziel: Angabe der relativen Lage von Werten in einer Verteilung
|
Gelegentlich steht man vor der Aufgabe, den Testwert einer Person mit den
Testwerten anderer Personen in Beziehung zu setzen, um zu beurteilen, ob es sich bei
diesem Wert um einen hohen bzw. niedrigen Wert handelt
|
Z-Werte erhält man, indem man die Abweichung vom Mittel an der
Standardabweichung relativiert
𝑥𝑖−𝑥
𝑠
|
z=
|
Man kann an dem Ergebnis erkennen, ob der Messwert über oder unter dem MW
liegt und um viele SD er entfernt ist (Vorzeichen wichtig!)
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BEISPIEL
| Körpergröße eines Mannes bei 1,90m, Durschnitt in der Stichprobe
1,75m +15 cm Abweichung
| Ist diese Abweichung gewöhnlich?
| Dies wäre der Fall, wenn viele Personen um 15cm oder mehr vom
Mittel abweichen würden
| Da wird durch die Maße der Variabilität repräsentative Abweichen
leicht bestimmen können, liegt es nahe, die Abweichungen vom
Mittel an einem Maß für die Variabilität der Werte zu
relativieren
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BEISPIEL
190−175
=
15
|
z=
1
|
Dies bedeutet, dass der Rohwert der Person den Mittelwert um die Länge einer
Standardabweichung übersteigt repräsentative Abweichung und kein extremer Wert
|
Z-transformierte Werte haben einen MW von 0 und eine SD von 1
|
Wie man an dem Beispiel sehen kann, besitzen z-Werte nicht mehr die Einheit der
Rohwerte dimensionslose Zahl / standardisierte Variable
|
Durch die z-Transformation wird die Form der Verteilung nicht verändert
|
Kann bei jeder Variable berechnet werden
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AUFGABE
| Man nimmt an, dass die Ergebnisse eines Tests sich um einen
Mittelwert von μ=60 verteilen und eine Streuung (um diesen
Mittelwert) von σ =20 aufweisen.
| Welcher prozentuale Anteil der möglichen Testergebnisse liegt...
a) ... über 85 Punkten
b) ... unter 50 Punkten
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AUFGABE
Lösung
A) z=
85−60
=
20
1,25
| Wie kommt man jetzt an die Wahrscheinlichkeit  Ablesen der
Wahrscheinlichkeit in der z-Wert Tabelle
| In der Tabelle: 100- 0,8944 = 0,106  11%
| 11% der möglichen Testergebnisse liegen über 85 Punkten
B) z=
50−60
=
20
-0,5
| In der Tabelle: 0,309  31%
| 31% der möglichen Testergebnisse liegen unter 50 Punkten
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KONFIDENZINTERVALLE/
VERTRAUENSBEREICH
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KONFIDENZINTERVALL
| Mit einer »Zufallsstichprobe«(IQ 112 Studierende SRH) kann man
Aussagen über eine unbekannte Grundgesamtheit (alle
Studenten SRH) machen
| Wertebereich (Angabe von zwei Zahlen), in dem man den
interessierenden Parameter der Grundgesamtheit mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit erwartet, wird
Konfidenzintervall genannt
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BESTIMMUNG VON
KONFIDENZINTERVALLEN
 Es werden Konfidenzintervalle konstruiert, in die der unbekannte Parameter μ mit
einer bestimmten Überdeckungs- oder Sicherheitswahrscheinlichkeit (1-α) fällt.
 1- α gibt die Wahrscheinlichkeit (z.B. 0,95 also 95%) an, mit der der gesuchte
Populationsparameter in dem Intervall liegt; entspricht jenem Anteil aller Mittelwerte,
die innerhalb dieser Intervallgrenzen liegen
 α ist die Irrtumswahrscheinlichkeit (z.B. 0,05 also 5%), die angibt, mit welcher
Wahrscheinlichkeit die Intervallschätzung fehlerbehaftet ist
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BESTIMMUNG VON
KONFIDENZINTERVALLEN
|
Für die Bestimmung von Konfidenzintervallen macht man sich die Tatsache zu nutze,
dass die Stichprobenmittelwerte nach dem Zentralen Grenztheorem
normalverteilt ist.
| D.h. wir kennen die Verteilung aller möglichen Stichproben-Mittelwerte und
können deswegen die Grenzen berechnen, die einen beliebig vorgebbaren
(meist 90, 95 oder 99%) Flächenanteil (1-α) unter der
Normalverteilungskurve der Strichprobenkennwertverteilung des Mittelwerts
markiert
|
Obere Grenze 𝑥 +z𝜎𝑥
Untere Grenze: 𝑥 −z𝜎𝑥
|
Setzen wir für z= 1,96 ein, dann markieren die Grenzen ein 95% Konfidenzintervall;
für 1,64 ein 90% Intervall
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BESTIMMUNG VON
KONFIDENZINTERVALLEN
| Da 1-α der entsprechende Flächenanteil ist und 𝝈𝑿 der
Standardfehler des Mittelwerts, ergibt sich folgende
Berechnungsformel:
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GENERELL GILT
|
Die Länge des Konfidenzintervalls hängt ab von σ, n und 1-α
|
Hat also das untersuchte Merkmal eine große Streuung, so erhält man ein
entsprechend großes Intervall.
|
Wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit erhöht, so verlängert sich auch das
Vertrauensintervall
es verringert sich damit die Genauigkeit der Intervallschätzung
|
Umgekehrt gilt: je geringer die Sicherheitswahrscheinlichkeit gewählt wird, desto
kleiner wird das Vertrauensintervall und desto größer wird die Genauigkeit.
Jedoch: Durch Verkleinerung der Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-α erhört sich die
Irrtumswahrscheinlichkeit α
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INTERPRETATION
|
Konfidenzintervalle können auch verwendet werden, um zwei Gruppen auf
Unterschiede zu untersuchen. Wenn sich die Konfidenzintervall zweier
Stichproben nicht überlappen, kann man hier auf einen signifikanten
Unterschied ausgehen
|
Ein Konfidenzintervall gibt NICHT die Wahrscheinlichkeit für ein
bestimmtes Ereignis an.
| Falsch: Wert liegt mit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit innerhalb der
Intervallgrenzen
|
Richtig: Das Konfidenzintervall überdeckt den wahren Parameter der
Population mit Wahrscheinlichkeit 95%.
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BEISPIEL
| Das Durchschnittsgewicht eines männlichen Studenten an der
Universität ABC ist 180 Pfund. Es wurden 50 männliche Studenten
gewogen. Dabei beträgt die Streuung 30 Pfund.
| Wie groß ist das 95% Konfidenzintervall für den Mittelwert?
| Untere Grenze= 180 – 1,96 x
| Obere Grenze = 180 + 1,96 x
30
50
30
50
= 171,68
= 188,32
| Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt das wahre Körpergewicht
der männlichen Studenten im Bereich 171,68 und 188,32.
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ÜBUNGEN
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ÜBUNG 1
| Welchen IQ muss man haben um zu den intelligentesten 10 % der
Bevölkerung zu gehören?(μ= 100, σ= 15)
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ÜBUNG 1
Lösung
| Tabelle  nach dem Wert 0,90 schauen
| -> z-Wert ungefähr 1,285
| Daraus folgt:
| IQ=119,275
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xi  x
z
S
ÜBUNG 2
| Peter hat 25 Punkte in einem Test A erzielt, Paul 24 Punkte in einem
Test B. Beide Tests messen das gleiche Merkmal. Wer von beiden
erzielte die bessere Leistung, wenn gilt
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𝒙
s
A
20
5
B
18
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ÜBUNG 2
Lösung
| Z-Peter = (25−20)/5 = 1
| Z-Paul = (24−18)/6 = 1
| Daraus folgt, dass Peter und Paul gleich gut abgeschnitten haben.
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ÜBUNG 3
| Maria hat an einem Dynamometer 43 kg Zugleistung erbracht,
Manfred 52 kg. Die geschlechtsspezische Vergleichsgruppe für Maria
hat einen Mittelwert von 31 kg und eine Standardabweichung von 6
kg. Die entsprechende männliche Norm liegt bei 40 kg Zug und 8 kg
Standardabweichung.
| Wer von beiden ist relativ zu seiner Gruppennorm besser?
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ÜBUNG 3
Lösung
| Z-Maria = (43−31)/6 = 2
| Z-Manfred = (52−40)/8 = 1,5
| Daraus folgt, dass Maria relativ zu ihrer Gruppennorm besser als
Manfred abschneidet.
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ÜBUNG 4
| Um einen Kurs über umweltfreundliche Autofahrer zu benutzen,
wurde der durchschnittliche wöchentliche Benzinverbrauch der
Teilnehmer ermittelt
| M-vor = 25; s-vor = 5; M-nach = 21; s-nach = 6
| Der Benzinverbrauch wird als normalverteilt angenommen. Frau A
verbrauchte vorher 15l und nachher 12l pro Woche. Hat sie ihren
Verbrauch im Vergleich zu den durchschnittlichen Autofahrern
gesenkt oder erhöht?
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ÜBUNG 4
Lösung
| Z-vor = (15−25)/5 = -2
| Z-nach = (12−21)/6 = -1.5
| Daraus folgt dass sich der Verbrauch der Frau gesenkt hat.
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ÜBUNG 5
| Die Zeit, die Studierende pro Semesterwoche in der Vorlesungszeit
für die Vorbereitung von Seminaren aufwenden sei normalverteilt μ =
10 und σ = 6. Bestimmen Sie, wie viele Stunden sich ein Studierender
mindestens vorbereiten muss, um zu den 5% der Studierenden zu
gehören, die sich am längsten vorbereiten.
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ÜBUNG 5
Lösung
| Tabelle zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
95%(0,9505) ist gleich ein z-Wert von 1,65. Über diesem Wert liegen
5 % der Studenten.
| Umwandlung des z-Wertes in xi-Wert.
| Ein Studierender muss sich also mindestens 19,9 Stunden pro Woche
vorbereiten, um zu den eifrigsten 5% zu gehören.
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ÜBUNG 6
| In einer Zufallsstichprobe von 64 Personen wurde ein
durchschnittlicher Intelligenzquotient von 80 Punkten erreicht. Die
Standardabweichung beträgt s = 12 Punkte. Geben Sie das 95%
Vertrauensintervall an.
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ÜBUNG 6
Lösung
| σM=
𝑠
𝑛
= 1,5
| μM = 80
| Obere Grenze = 80 + 1,96 x
| Untere Grenze = 80 – 1,96 x
12
= 82,94
64
12
= 77,06
64
| Das 95%-ige Vertrauensintervall geht von 77 bis 83.
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ÜBUNG 7
| Es sei unterstellt, der Intelligenzquotient sei normalverteilt mit μ =
100 und σ = 10. Wenn man insgesamt 10% der Population mit den
extremsten Werten (jeweils 5% an beiden Enden) nicht
berücksichtigt, in welchen Bereich wird der IQ dann noch variieren?
| Wie wahrscheinlich ist das Auftreten eines IQs zwischen 100 und
108?
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ÜBUNG 7
Lösung
|
Gesucht sind zwei xi-Werte, deren Intervall die mittleren 90%der Anteilsfläche
markieren. Da wir nur die Möglichkeit haben, in der Tabelle zur Verteilungsfunktion
der Standardnormalverteilung nachzusehen, ermitteln wir statt unten xi-Werten
zunächst die z-transformierten x-Werte, nämlich die z-Werte:
|
Z-Werte in ursprüngliche x-Werte umwandeln
|
Demnach variiert der IQ, wenn man nur die mittleren 90% der Population
berücksichtigt zwischen 83.5 und 116.5.
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ÜBUNG 7
Lösung
|
Wie wahrscheinlich ist das Auftreten eines IQs zwischen 100 und 108?
|
Zu berechnen ist die Fläche zwischen 100 und 108.
|
Xi-Werte in z-Werte transformieren
|
Laut der Tabelle ergibt sich bis zu z=0.8t ein Flächenanteil von 0,7881. Davon wird die
Fläche von z=0 (Fläche 0,5) abgezogen:
|
0,7881-0,5 = 0,2881
|
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 28% wird der IQ in diesem Bereich liegen.
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ÜBUNG 8
| Eine Untersuchung von n=50 Hähnchen auf ihren Kaloriengehalt
ergab einen Stichproben-Mittelwert von 𝑥 =215,48, sowie eine
Standardabweichung von s=33,14. Wie lauten die Intervallgrenzen
bei 95% Überdeckungswahrscheinlichkeit?
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ÜBUNG 8
Lösung
| Obere Grenze = 215,48 + 1,96 x
| Untere Grenze = 215,48 - 1,96 x
33,14
50
33,14
50
= 224,67
= 206,29
| Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der wahre Kaloriengehalt
zwischen 209,29 und 224,67.
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ÜBUNG 9
| Die Verteilung der Ergebnisse des letzten Statistiktests ist
normalverteilt mit einem Mittelwert von 7,2Punkten und einer
Standardabweichung von 3,5Punkten. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit,
a) mit mindestens 10 Punkten zu bestehen,
b) mit der Punktzahl zwischen 5 und 8 zu liegen,
c) höchstens 4 Punkte zu erreichen?
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ÜBUNG 9
Lösung
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VIELEN DANK
FÜR DIE
AUFMERKSAMKEIT!
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