Baustatik/Tragwerkslehre
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Baustatik für Bauberufe F=6.0kN 2 2.0m O2 O1 3 1 U Av Bv 2.0m 4.0m 6.0m 6.0kN x 4.0m Av = ---------------------- = 4.0kN 6.0m Baustatik für Bauberufe 6.0kN x 2.0m Bv = ---------------------- = 2.0kN 6.0m O2 O2 O1 Bv F Av U Knotenpunkt 3 O1 1 Allgemeines U Knotenpunkt 1 2 Einwirkungen-Belastungen Knotenpunkt 2 Die Kräftepolygone können auch in einem einzelnen Kräfteplan gemeinsam gezeichnet werden. Als Resultat erhalten wir den CREMONA- PLAN O1 Av F U Bv 3 Einteilung der Tragwerke O2 4 Statische Systeme F R1 =30kN Last 2 = 17kN Last 1 = 7.5kN/m Ah 5 Kraft- und Belastungsarten 1 m2 3 5.0 2.0 m 4.0 m 1.0 m Av 6 Festigkeitslehre 2.0 m Bv 7.0 m + 26.3 kN Av + V-Fläche V=0 kN - 3.7kN X - 20.7kN F1 F2 F3 F4 X/2 X/2 F1 Ah M-Fläche S1 1.0 m 2.0 m 2.0 m Av S1 2.0 m R 2.0 m Bv S5 S2 Av F2 S4 R=80kN S2 S3 + Pol S3 1.45m M(X/2) = +35 kNm bei X/2 = 3/4 Mmax s slinie Schlu S5 Mmax = +46 kNm (bei V=0 kN) Bv F3 S4 N-Fläche N=0kN F4 M2 = +42 kNm M1 = +45 kNm Bv Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines ...............................................................................................................................3 1.1 Die Entwurfsarbeit ...................................................................................................................... 4 2 Einwirkungen-Belastungen ...........................................................................................................5 2.1 Lastarten ................................................................................................................................... 6 2.2 Einwirkungsgruppen auf Tragwerke ............................................................................................... 7 2.3 Zusammenhänge Wichte – Flächenlasten – Streckenlasten – Einzellasten .......................................... 8 2.4 Lasten auf geneigte Flächen ....................................................................................................... 13 3 Einteilung der Tragwerke ........................................................................................................... 14 3.1 Einleitung ................................................................................................................................ 14 4 Statische Systeme .................................................................................................................... 16 4.1 Vom Bauteil zum statischen System ............................................................................................ 16 4.2 Auflagerarten ........................................................................................................................... 17 5 Kraft- und Belastungsarten ........................................................................................................ 19 5.1 Begriff der Kraft........................................................................................................................ 19 5.2 Das Moment einer Kraft ............................................................................................................. 29 5.3 Das Moment mehrerer Kräfte ..................................................................................................... 30 5.4 Das Kräftepaar ......................................................................................................................... 30 5.5 Analytische Statik ..................................................................................................................... 31 5.6 Gleichgewicht von Kräften.......................................................................................................... 39 6 Festigkeitslehre ........................................................................................................................ 70 6.1 Der Begriff der Spannung .......................................................................................................... 70 6.2 Das Widerstandsmoment W ....................................................................................................... 73 6.3 Das Trägheitsmoment ............................................................................................................... 74 6.4 Tragwiderstand, Sicherheitsgrad, Bemessungswerte ..................................................................... 75 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1-1: Einordnung der Statik in die Physik ....................................................................................3 Abbildung 1-2: Absprache Bauherrschaft – Projektverfasser ........................................................................4 Abbildung 2-1: Gebäudeschnitt mit Einwirkungen ......................................................................................5 Abbildung 2-2: Einzel- und Linienlast .......................................................................................................6 Abbildung 2-3: Flächen- und Volumenlast .................................................................................................6 Abbildung 3-1: Balkenelemente ............................................................................................................. 14 Abbildung 3-2: Plattenelement - Scheibenelement ................................................................................... 15 Abbildung 4-1: Bauteil-Statisches System ............................................................................................... 16 Abbildung 4-2: Weitere Systeme ........................................................................................................... 17 Abbildung 5-1: Zusammenhang zwischen den physikalischen Grössen ....................................................... 19 Bemerkung Ausgabe 2015 Der Autor: Reto Cantamessi Seite 2 von 79 Baustatik für Bauberufe 1 Baustatik/Festigkeitslehre Allgemeines Die Baustatik ist ein Teilgebiet der Mechanik und damit Teil der Physik. Physik Wärmelehre Wärmelehre Akustik Akustik Flüssige Körper Flüssige Körper Hydrostatik Hydrostatik Hydrodynamik Hydrodynamik Mechanik Mechanik Feste Körper Feste Körper Statik Statik Dynamik Dynamik Optik Optik Elektrizitätslehre Elektrizitätslehre Gasförmige Körper Gasförmige Körper Aerostatik Aerostatik Aerodynamik Aerodynamik Abbildung 1-1: Einordnung der Statik in die Physik Die reine Statik (griech. Statikos=etwas zum Stillstand bringen) stellt ein Teilgebiet der Mechanik dar (vgl. Abb. 1-1). Während die Mechanik allgemein die Bewegungs- und Kraftzustände von Körpern in den verschiedenen Aggregatszuständen beschreibt, beschränkt sich die Statik auf die Untersuchung zeitunabhängiger Kraft- und Verformungszustände von festen Körpern, die in Ruhe sind, d.h. auf deren Gleichgewichtszustand. Die Baustatik ist die Lehre von den äusseren und inneren Kräften und Kraftwirkungen an Tragwerken. Sie ist eine technische Wissenschaft und nicht – wie z.B. die Physik – auf die Erklärung der Natur, sondern auf die Anwendung in der Technik ausgerichtet. Baustatik Statik BestimmungStatik des äusseren Bestimmung des äusseren und inneren Kräftespiels und inneren Kräftespiels Festigkeitslehre Festigkeitslehre Beurteilung der Kraftwirkung Beurteilung der Kraftwirkung und des Materialverhaltens und des Materialverhaltens Seite 3 von 79 Baustatik für Bauberufe 1.1 Baustatik/Festigkeitslehre Die Entwurfsarbeit Die zum Tragwerkskonzept führende Entwurfsarbeit beinhaltet das Erkennen, Entwickeln und Beurteilen verschiedener Realisierungsmöglichkeiten, Gemäss der Norm SN 505 260 1 umfasst sie: Die Ausarbeitung verschiedener Varianten unter der Berücksichtigung der relevanten Entwurfsrandbedingungen Das Überprüfen der Machbarkeit Die Beurteilung der verbleibenden Realisierungsmöglichkeiten hinsichtlich der Erfüllung der Entwurfsanforderungen. Die Entwurfsarbeit ist im Allgemeinen durch ein iteratives Vorgehen gekennzeichnet. Vorangetrieben wird der Entwurf durch subjektive, auf Erfahrung und Intuition beruhende Einfälle und Entscheidungen. Diese müssen allerdings einer objektiven Kritik standhalten und dementsprechend überprüft und weiterentwickelt werden. Die in den Normen verlangten zwei Dokumente, die Nutzungsvereinbarung und die Projektbasis zwingen die Projektverfassenden zu einem geordneten Vorgehen beim Entwurf. Der Architekt und der Bauingenieur werden dadurch gezwungen, die Ziele und Bedürfnisse des Bauherrn im Detail abzuklären, mit der Bauherrschaft abzusprechen und sie in ihre Fachsprache umzusetzen. Bauherrschaft Ziele Anforderungen Bedürfnisse Vorgaben Projektverfasser Abbildung 1-2: Absprache Bauherrschaft – Projektverfasser Das Ziel jeder Entwurfsarbeit ist es, zu einem Tragwerk zu kommen, das die folgenden beiden Punkte befriedigt: Die Tragsicherheit muss gewährleistet sein, d.h. das Tragwerk muss die vorhandenen Einwirkungen aufnehmen können. Die Gebrauchstauglichkeit muss ebenfalls gewährleistet sein, d.h. das Tragwerk muss die Bedürfnisse, Anforderungen und Vorgaben des Bauherrn erfüllen. Die Aufgabe der Baustatik ist die wirtschaftliche Bemessung der Tragwerke mit einem beabsichtigten Sicherheitsgrad gegen Bruch und der Gewährleistung der Gebrauchstauglichkeit. 1 Siehe auch Formelbuch Zeichner/-in Fachrichtung Ingenieurbau Seite 57 Seite 4 von 79 Baustatik für Bauberufe Einwirkungen-Belastungen Tragwerke sind den unterschiedlichsten Einwirkungen und Belastungen ausgesetzt. Belastet ist ein Bauwerk durch das Gewicht seiner Tragkonstruktion, durch die nichtragenden Bauteile, durch Nutzlasten, durch klimatische Einflüsse etc. (vgl. Abbildung). Davon sind nur das Gewicht der Tragkonstruktion und dasjenige der nichttragenden Bauteile rechnerisch einigermassen genau erfassbar. Nutzung und klimatische Einflüsse sind veränderlich. Für solche Fälle müssen Annahmen getroffen, d.h. Normen vereinbart werden. Massgebende Grundlage ist die Norm SN 505 261 2 „Einwirkungen auf Tragwerke“. Mit welchen Einwirkungen im Hochbau zu rechnen ist, in welcher Art sie auftreten und welche Auswirkungen sie auf Tragwerke haben, wird im Fach Betonbau dargelegt. Schnee k ruc d n Wi Wi nd so g Eigenlast g Holmdruck Windlast 2 Baustatik/Festigkeitslehre Nutzlast p Nutzlast p p Wandlast Erddruck Erddruck Bodenpressung Abbildung 2-1: Gebäudeschnitt mit Einwirkungen In der Baustatik wird davon ausgegangen, dass die Belastungen bestimmt und bekannt sind. Man unterscheidet nach Art der Verteilung die folgenden Belastungsformen: 2 - Einzellast - Linienlast - Flächenlast - Volumenlast Siehe auch Formelbuch Zeichner/-in Fachrichtung Ingenieurbau Seite 57 Seite 5 von 79 Baustatik für Bauberufe 2.1 Baustatik/Festigkeitslehre Lastarten Unter einer Einzellast versteht man eine Kraft, die punktförmig, d.h. konzentriert, angreift, z.B. die Stützenlast auf ein Fundament. Unter einer Linienlast versteht man Kräfte, die längs einer Linie (gerade oder gekrümmt) angreifen, z.B. die Eigenlast g einer Mauer. (vgl. Abb. 2-2). g F Dimension der Einzellast: [N], [kN] g = G/l Dimension der Linienlast: [kN/m] G l Abbildung 2-2: Einzel- und Linienlast Unter einer Flächenlast versteht man eine Last, die auf eine Fläche bezogen wird, z.B. das Gewicht von Lagergut auf einer Decke oder die Eigenlast einer Platte (vgl. Abb. 2-3). G g b g = G/(a b) = G/A Dimension der Flächenlast: [kN/m2] a G G= V Dimension der Volumenlast: [kN/m3] Abbildung 2-3: Flächen- und Volumenlast Seite 6 von 79 Baustatik für Bauberufe 2.2 Baustatik/Festigkeitslehre Einwirkungsgruppen auf Tragwerke a) Ständige Einwirkungen Raumlasten (Wichten) kN/m3 Beton unbewehrt 24 Stahl Baustahl 78.5 Holz Laubholz Mauerwerk Backstein Bituminöse Beläge Erdlasten kN/m3 bewehrt 25 8 Nadelholz 5 15 KS / ZS 18 Kies ungeb. 18 24 Baugrund 20 Dachflächen kN/m3 0.5 kN/m3 Dach Dach-Tonziegel Faserzement Auflasten (G2, g2) Beläge, nicht tragende Wände, Erdauflasten…. Baugrund (E, e) Erdruck, Berechnungen siehe Absatz c) Wasser (W, w) Wasserdruck, Berechnungen siehe Absatz c) 0.3 b) Nutz- und Verkehrslasten (veränderliche Einwirkungen) Gebäude Für Wohnflächen 2 kN/m2 Verkehrsflächen im Grundstückbereich, sowie Garagen Für Fahrzeuge bis 3.5 t 2 kN/m2 Für Fahrzeuge bis 3.5 t bis 16 t 5 kN/m2 Zusätzlich 20 kN Einzellast infolge Unterhalt 3 kN/m2 Bauwerke für Fussgänger und Radfahrer c) Wasser- und Erdruck, Wind- und Schneelasten Ergänzungen und Erklärungen gemäss Formelbuch Fachwissen ZFI. Kapitel Baustatik, Grundlagen Seite 57 ff. Seite 7 von 79 Baustatik für Bauberufe 2.3 Baustatik/Festigkeitslehre Zusammenhänge Wichte – Flächenlasten – Streckenlasten – Einzellasten Flächenlast g1 1 2a 2b [kN/m2] Streckenlast g1‘ [kN/m] Streckenlast g1‘ 3a 3b 3c [kN/m] Einzellast G1 [kN] Einzellast G1 [kN] Einzellast G1 [kN] = = = = = = Wichte 1 [kN/m3] Flächenlast g1 [kN/m2] Wichte 1 [kN/m3] Streckenlast g1‘ [kN/m] Flächenlast g1 [kN/m2] Wichte 1 [kN/m3] x x x x x x Dicke Bauteil [m] Lasteinzugsbreite e [m] Lasteinzugsfläche A [m2] Lasteinzugsbreite e [m] Fläche A [m2] Volumen V [m3] Beispiele: Ermitteln Sie die Flächenlast für ein Holzbrett (Nadelholz), welches eine Dicke von 2.4 cm aufweist. 2 Ermitteln Sie die Flächenlast für eine Stahlbetondecke, die eine Dicke von 20 cm aufweist. 2 Ermitteln Sie die Streckenlast (Eigengewicht) für einen Stahlbetonbalken mit folgenden Abmessungen: Breite b = 40 cm, Höhe h = 50 cm Längen l = 2.0m 2 Seite 8 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Praxisbeispiele 20cm Aufgabe 1: gd=5.0kN/m2 Bestimmen Sie die Streckenlast gw auf das Mauerwerk in kN/m. gw 2 4.0m Aufgabe 2: gw h=2.60m Bestimmen Sie die Streckenlast gw auf das Mauerwerk in kN/m. 2 24cm Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Einzellast Gk auf die Stütze in kN. gd=5.0kN/m2 gw 2 Gk m 5.0 4.0m Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Einzellast Gk auf die Stütze in kN. gd=5.0kN/m2 Gk 0m 2.5 2 2.50m Gk Seite 9 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 4: Bestimmen Sie für eine 45 cm starke Einstellhallen- Betondecke, welche mit 60 cm Erde überdeckt ist folgende Flächenlasten. Die Höhe über Meer beträgt 1’000 m, die Erdoberfläche ist nicht befahrbar. Eigenlast, Erdauflast und Schneelast in kN/m2 a) Eigenlast _________________________________________ _____________ kN/m2 b) Erdauflast _________________________________________ _____________ kN/m2 c) Schneelast 3 2 _________________________________________ _____________ kN/m2 Bestimmen Sie die Auflagerlast in kN/m auf die Wände. 20 Aufgabe 5: A A 20 Eigengewicht Holzdecke: Annahme Raumgewicht 5.0 kN/m3 4.00m Nutzlast auf Decke 5.0 kN/m2 a=60cm Holzbohlen d=50mm Holzbalken 100/240mm, a=60cm Holzdecke d=19mm 3 Querschnitt A-A 2 a=60cm Siehe auch Formelbuch Zeichner/-in Fachrichtung Ingenieurbau Seite 63 Seite 10 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 6: Gegeben ist folgender Wassergraben mit einer Länge von 10 m. a) Ermitteln Sie die Flächenlast auf den Boden in kN/m2 b) Ermitteln Sie den Wasserdruck und Resultierende auf die senkrechte Wand für Höhe z ab Wasserspiegel: 0.5 m, 1.0 m, 1.5 m und 2.0 m c) Ermitteln Sie den Wasserdrücke und Resultierende auf die abgeschrägte Uferfläche für Höhe z ab Wasserspiegel: 0.5 m, 1.0 m, 1.5 m und 2.0 m d) Zeichnen Sie alle Wasserdrücke in untenstehende Skizze ein. (ca. 1:75) (Zeichnen Sie die Wasserdrücke ausserhalb des Wassergrabens ein) Raumgewicht Wasser 1.0 kN/m3 h=2.0 1.0m P1 2 =30° b=3.0 L h=2.0 e ng Lä Lösung zur Aufgabe a) Wir denken uns 1 m Länge des Wassergrabens herausgeschnitten und betrachten dieses Teilstück. Zunächst wird die senkrechte Eigenlast, die auf eine Grundfläche von 1.0 m x 1.0 m = 1.0 m2 wirkt, festgestellt. Eine Wassersäule von der Höhe h [m] hat folgendes Volumen: Der von der Wassersäule auf die Grundfläche von 1.00m2 wirkende Kraftvektor beträgt: P1 Wasser h 10 kN 2.00m m3 20 kN m2 Seite 11 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Lösungsblatt für Aufgabe b), c) und d) 2 Seite 12 von 79 Baustatik für Bauberufe 2.4 Baustatik/Festigkeitslehre Lasten auf geneigte Flächen Bei Lastangaben auf geneigte Flächen muss man beachten, ob die Werte pro m2 geneigte Fläche oder pro m2 Grundrissfläche (Projektion der geneigten Fläche) angegeben sind. Bei verschiedenartigen Angaben werden alle Werte auf die geneigte Fläche, oder oft auch auf die Grundrissfläche projiziert umgerechnet. Einführungsbeispiel: Für eine unter =41.18° geneigtes, symmetrisches Dach sollen die Belastungen aus Eigenlast und Schnee berechnet werden. Die Dachhaut besteht aus Flachziegeln, die Sparren mit einer Abmessung von 8/16 liegen im Abstand von 75 cm voneinander. Schneelast Die gesuchten Belastungen ergeben sich so, dass sie nicht ohne Umrechnung addiert werden können: Die ständigen Lasten der Dachhaut ist auf den m2 Dachfläche (DF) bezogen und wirkt lotrecht: Die Schneelast ist für den m2 Grundfläche (GF) gegeben und wirkt ebenfalls lotrecht. g 0 1 .0 0 1 .0 ) ( s co g’= g cos( ) 1.00 Ständige Last: Flachziegel Sparren 0.55kN / m2 0.08m 0.16m 5.0kN / m3 1 0.75m g 0.09kN / m2 0.64kN / m2 (DF ) Für die statischen Berechnungen ist es zweckmässig, die ständige Last von Dachhaut und Sparren auf den m2 Grundfläche zu beziehen. Bei der Umrechnung ist zu beachten, dass zu 1m2 Dachfläche nur 1 cos m2 Grundrissprojektion gehört. Um die Last auf 1m2 Grundrissprojektion (Grundfläche GF) zu erhalten, muss darum die Last von mehr 1 als 1m2 Dachfläche, nämlich m2 Dachfläche angesetzt werden. cos Es ist also : g g 0.64kN / m2 cos cos 41.18 0.84kN / m2 (GF ) 1.99kN / m2 (GF ) Schneelast : 2 800 2 2 s 1 0.4kN / m 2.49kN / m 350 auf 1m2 Grundriss (GF ) folgt qs 0.8 2.49kN / m2 ho 800m Seite 13 von 79 Baustatik für Bauberufe 3 3.1 Baustatik/Festigkeitslehre Einteilung der Tragwerke Einleitung Das Tragwerk eines Gebäudes hat primär die Aufgabe, alle auf den Bau einwirkenden Lasten sicher in den Baugrund abzuleiten. Da Lasten grundsätzlich in jeder Richtung auftreten können, muss das Tragwerk ein räumlich steifes und tragfähiges System bilden, d.h., alle Tragwerke haben grundsätzlich drei Dimensionen: Länge – Breite – Höhe. Die Wahl eines Tragsystems hängt von verschiedenen Faktoren ab. Beim architektonischen Entwurf wird eine Tragwerkidee erarbeitet. Zusammen mit dem Bauingenieur wird dann eine Lösung gesucht und weiterentwickelt, die diesen Vorstellungen möglichst genau entspricht. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Tragwerke zu unterteilen. Eine Variante beruht auf der dominierenden Abmessung der einzelnen Teile eines Tragwerks. Wir unterscheiden in diesem Falle grundsätzlich zwischen den folgenden Tragwerksarten: - Stabtragwerke - Flächentragwerke - Kontinuierliche Körper (Volumen) In der Baustatik wird immer von einem vorgängig durch eine Modellbildung ermittelten statischen System ausgegangen. Das Tragwerk respektive die einzelnen das Tragwerk bestimmenden Elemente werden idealisiert und dabei wird versucht ein Modell zu finden, das einfach ist und trotzdem der Wirklichkeit weitgehend entspricht. mitw i Platt rkende enbr eite Balk e n Abbildung 3-1: Balkenelemente In der Abbildung 3-1 sind Balkenelemente dargestellt, bei denen die Länge gegenüber den anderen Abmessungen eindeutig dominiert. Deshalb wird dieses Tragwerk durch seine Achsen charakterisiert. Das statische System ist ein Stab, man spricht daher von Stabtragwerken. Seite 14 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre In der Abbildung 3-2 sind ein Platten- und ein Scheibenelement dargestellt. Bei einer Platte fallen zwei Dimensionen ins Gewicht: die Länge und die Breite. Als statisches System wählt man demzufolge die Mittelebene; man spricht von einem Flächentragwerk. l l d b b >> d l >> d Abbildung 3-2: Plattenelement - Scheibenelement h Bei einer Scheibe sind ebenfalls zwei Dimensionen von der gleichen Grössenordnung. Der Unterschied zwischen Platte und Scheibe liegt in der Beanspruchungsrichtung der Lasten: Die Platte wird senkrecht zu ihrer Mittelebene belastet, die Scheibe in ihrer Mittelebene. h >> b l >> b b Stabtragwerke Stäbe sind Elemente, bei denen die Länge gegenüber dem Querschnitt dominiert, d.h., zwei Dimensionen, die Breite und die Höhe, sind gegenüber der Länge vernachlässigbar klein. Zur Modellbildung für die statische Berechnung wird als wichtigste Grösse die Stabachse eingeführt. Stäbe sind in der Regel gerade, können aber auch gekrümmt vorkommen, zum Beispiel bei einer Bogenbrücke. l b Grundsätzlich unterscheidet man zwischen einfachen und zusammengesetzten Stabtragwerken. Ein einfacher Balken besteht aus einem einzelnen Stab, Rahmentragwerke und ebene oder räumliche Fachwerke bestehen aus mehreren Stäben. l >> h,b Seite 15 von 79 Baustatik für Bauberufe 4 4.1 Baustatik/Festigkeitslehre Statische Systeme Vom Bauteil zum statischen System Der einfache Balken Das statische System Ah B A Av Bv a Ah B A Av b a Bv b Der Kragarm ME Eh A Ev a Abbildung 4-1: Bauteil-Statisches System Seite 16 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Der Zweigelenkbogen mit Zugband Das statische System Ah Ah A A Av Av a Der Dreigelenkbogen mit Zugband Bh Ah A B Av Bv a Der Dreigelenk Stützbinder mit Aussenstrebe und Zugband Bh Ah A B Av Bv a Der Dreigelenk Stabzugträger Ah A Bh B Av Bv a Das Fachwerk Bh Ah A B Av Bv a Abbildung 4-2: Weitere Systeme 4.2 Auflagerarten Seite 17 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Auf dem Bau werden drei statisch bestimmte Auflagerarten unterschieden: Auflagerart Bauteil Symbol Anzahl Auflagerkräfte 1. Bewegliches Auflager Diese Art von Auflagern wird bei grösseren Tragwerken durch Rollen oder Walzen gebildet. Z w is c h e n a u f la g e r M a u e rw e rk G le it la g e r Im Hochbau begnügt man sich jedoch meist mit flächenhafter Auflagerung, die Gleiten (Gleitlager) der Träger ermöglichen. 1 V V 2. festes Auflager A u fla g e r fü r B e to n d e cke An einem festen Auflager ist keine Längsbewegung möglich. Es nimmt daher Auflagerdrücke in vertikaler und horizontaler Richtung auf. H 2 V H Gelenke gehören auch zu dieser Auflagerart. V 3. Eingespannte Auflager Sie verhindern sowohl eine Verschiebung als auch eine Verdrehung der Stabenden. Unbekannt sind alle drei Stücke der Auflagerkraft. R a h m e n e cke B e to n / B e to n M H 3 V Bewegliches Auflager z.B. Mauerwerk mit Gleitlager Brückenwiderlager Mögliche Bewegungen: Horizontal Vertikal Verdrehung Ja Nein ja Horizontal Vertikal Verdrehung Nein Nein ja Horizontal Vertikal Verdrehung Nein Nein Nein Festes Auflager z.B. Betonmauer, Stütze Eingespanntes Auflager z.B. Balkonplatte, Schutzraum, Stahlträger Seite 18 von 79 Baustatik für Bauberufe 5 5.1 Baustatik/Festigkeitslehre Kraft- und Belastungsarten Begriff der Kraft „Kraft“ ist ein abstrakter Begriff d.h. es ist ein fiktiver physikalischer Grundbegriff, der sich nicht definieren lässt. Die Existenz einer Kraft ist wissenschaftlich nicht beweisbar, wohl aber die Wirkung einer Kraft. Der Begriff ist aber geeignet, eine Reihe von Vorgängen einfach und genau zu beschreiben. Aus dem Alltag ist uns der Kraftbegriff vor allem von unserer Muskelkraft her bekannt. F m g Gesetz von Newton N kg m 2 s Hierin bedeuten: F : Kraft m : Masse g : Erdbeschleunigung Die auf einen Körper wirkende Kraft ist das Produkt aus der Masse des Körpers und der an ihm erzielten Beschleunigung. Länge Länge [m] [m] Zeit Zeit [s] [s] Masse Masse [kg] [kg] Beschleunigung Beschleunigung [m/s2] [m/s2 ] Geschwindigkeit Geschwindigkeit [m/s] [m/s] Kraft 2] Kraft [kgm/s [kgm/s2 ] Abbildung 5-1: Zusammenhang zwischen den physikalischen Grössen Kraftwirkungen sind: - Bewegungen von Körpern (Beschleunigung) Verformungen von Körpern Zerstörung von Material Schmerzen Ursachen von Kräften: - Erdanziehung Bewegungsänderungen Bremskräfte, Fliehkräfte, Windkräfte Magnetische Kräfte Seite 19 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.1.1 Baustatik/Festigkeitslehre Die Einzelkraft Eine Einzelkraft ist eine Kraft, die an einem Punkt angreift. Im Allgemeinen ist eine Kraft durch die drei folgenden Elemente bestimmt: 1. die Richtung, d.h. die Wirkungslinie und dem Richtungssinn auf derselben 2. den Betrag resp. die Kraftgrösse 3. den Angriffspunkt. Ist eine Grösse durch Betrag und Richtung gekennzeichnet, so lässt sie sich mit einem Vektor darstellen. Häufig wird die Vektorbezeichnung mit einem Pfeil gekennzeichnet. Ein Vektor, der nur durch den Betrag und die Richtung bestimmt ist, kann auf der Wirkungslinie frei verschoben werden. Man nennt ihn einen freien Vektor, weil er an keinen Angriffspunkt gebunden ist. Kommt als drittes Charakteristikum noch der Angriffspunkt hinzu, so spricht man von einem gebundenen Vektor. L W Hierin bedeuten: WL: Wirkungslinie F : Kraft A : Angriffspunkt F Kräfte sind grundsätzlich als gebundene Vektoren zu betrachten. In Bezug auf das Gleichgewicht der äusseren Kräfte darf man sie indessen als freie Vektoren gelten lassen. Die Auflagerreaktionen des Balkens sind unabhängig davon, ob man die Last oben auf den Balken stellt oder darunter aufhängt. Dagegen sind die Kraftwirkungen im Balkeninnern verschieden, je nachdem wo die Kraft angreift. F=20 kN Die Tatsache, dass bei der Bestimmung des Gleichgewichts die äusseren Kräfte als freie Vektoren betrachtet werden dürfen, ist in der Baustatik von grosser Bedeutung. 2.5 m Av=10kN 2.5 m Bv=10kN Seite 20 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.1.2 Baustatik/Festigkeitslehre Graphische Zusammensetzung und Zerlegen von Kräften Resultierende und Komponenten Sind mehrere Kräfte vorhanden, ist es oft von Vorteil, diese durch eine einzige Kraft zu ersetzen, welche die gleiche Wirkung hat. Eine Kraft, die dieselbe Wirkung hat wie eine Anzahl gegebener Kräfte, nennt man die Resultierende dieser Kräfte. Die gegebenen Kräfte nennt man die Komponenten. Möglich ist auch der umgekehrte Fall, d.h. die Resultierende ist gegeben, und die Komponenten werden gesucht. 5.1.3 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt Zusammensetzen von zwei Kräften An einem Punkt greifen zwei Kräfte verschiedener Grössen aus verschiedenen Richtungen an. Gemäss der Vektorrechnung gilt: F1 F2 FR Zusammensetzen von 2 Kräften Zwei an einem gemeinsamen Punkt angreifende Kräfte lassen sich durch eine am Punkt angreifende Resultierende ersetzen. Wirkungslinie, Richtung und Grösse der Resultierenden entsprechen dabei der Diagonalen des Kräfteparallelogramms, das aus den Komponenten F1 und F2 gebildet wird. Y-Achse F1 FR X-Achse F2 Hierin bedeuten: F1,F2: Komponenten FR : Resultierende Kraft Seite 21 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.1.4 Baustatik/Festigkeitslehre Vorgehen bei der Ermittlung der Resultierenden Für die graphische Konstruktion empfiehlt es sich, stets zwei Zeichnungen anzufertigen. 1. Einen Lageplan, in dem die Angriffspunkte und Richtungen der Kräfte festgehalten werden. 2. Einen Kräfteplan, in dem die Kräfte massstäblich zusammengesetzt werden. Lageplan Kräfteplan (1 cm = x kN) F1 F1 F2 FR FR F2 Zusammensetzen von mehreren Kräften Greifen mehrere Kräfte an einem gemeinsamen Punkt, setzt man zunächst zwei davon zu einer Resultierenden R1,2 zusammen. Diese kann man mit einer dritten Kraft zu einer neuen Resultierenden R1,2,3 zusammensetzen usw. Die Zwischenresultierenden R1,2 braucht nicht eingezeichnet zu werden. Es genügt, im Kräfteplan die Einzelkräfte zu einem Kräftepolygon aneinander zu reihen. Lageplan Kräfteplan (1 cm = x kN) F2 F1 F1 FR 1,2 F3 F2 FR 1,2,3 F3 FR 1,2,3 Seite 22 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Im Kräftepolygon werden die Kräfte nach Grösse und Richtung aneinander gereiht. Die Reihen folge kann beliebig gewählt werden. Die Verbindungslinie vom Anfangspunkt der ersten Kraft zum Endpunkt der letzten Kraft ergibt die Richtung und die Grösse der Resultierenden. Die Reihenfolge der Kräfte hat keinen Einfluss, weil die Vektoraddition kommutativ ist. Es gilt: F1 F2 F2 F1 Die Vektoraddition ist auch assoziativ, d.h., es gilt: F2 F1 F2 F3 F1 F2 F3 F2 F1 FR 1,2,3 FR 1,2,3 F3 F3 F1 FR1,2,3 F3 F1 F2 Beispiel 1 Ein über eine Rolle geführtes Seil hat eine Zugkraft von S=6 kN zu übertragen. Wie gross ist die Resultierende? Lageplan Kräfteplan (1 cm = 2 kN) S1= S2= 6 kN 6 kN Seite 23 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre FR F1 5.1.5 F2 F3 F4 Die Polfigur F1 1 5 1 2 F2 Pol 3 FR a 4 2 3 4 F3 5 F4 c Vorgehen Schneiden sich die Kräfte nicht mehr auf der Zeichenfläche, oder sind die Kräfte sogar parallel, so bedient man sich zur Ermittlung der Resultierenden der Polfigur als Kräfteplan. Mit den gegebenen Kräften zeichnet man zunächst den Kräfteplan. Hiermit erhält man die Resultierende FR der Grösse und Richtung nach. Zur Bestimmung ihrer Lage wählt man neben dem Kräfteplan einen beliebigen Pol, und verbindet diesen mit dem Anfangs- und Endpunkt der einzelnen Kräfte. Diese Verbindungslinien nennt man Polstrahlen. Zu den Polstrahlen zieht man im Lageplan von einem geeigneten, sonst aber beliebigen Punkt a auf F1 beginnend Parallelen zu den Polstrahlen, die man Seilstrahlen nennt. Wiederholen dieses Vorganges, bis sämtliche Kräfte aufgebraucht sind. Durch den Schnittpunkt c der Strahlen im Lageplan, welche im Kräfteplan mit FR ein Dreieck bilden, geht die gesuchte Resultierende sämtlicher Kräfte. Kräfte, die im Krafteck mit den Polstrahlen ein Dreieck müssen sich im Lageplan in einem Punkt schneiden. Einführungsbeispiel 1 Ermitteln Sie die Grösse, Richtung und Lage der Resultierenden für folgendes Kräftesystem: F1 = 20 kN F2 = 30 kN F3 = 15 kN F2 Kräfteplan (1 cm = F1 kN) Pol F3 2.00 4.00 Seite 24 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 2: Gegeben ist folgende Stützmauer. a) Ermitteln Sie die Grösse, Richtung und Lage der Resultierenden R aus (G1, G2, G3 auf graphische Weise. und Ea) b) Ermitteln Sie zudem, ob die Mauer sowohl gegen Kippen als auch gegen Gleiten genügend sicher ist. Ermitteln Sie zuerst der horizontale Erdruck Eh gem. Formelbuch S. 63 ff und dann mittels Trigonometrie den Erdruck Ea. Betrachten Sie jeweils einen Laufmeter Länge Beton = 24.00 kN/m3 Erde = 19.34 kN/m3, (Das Fundament ist auf kiesigem Boden gegründet =0.6) Lageplan Kräfteplan (1 cm = kN) 140 25 45 70 b20 2 G2 340 260 G1 Ea G3 113 80 d21.7 Seite 25 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 3: Gesucht: a) Grösse und Richtung der Resultierenden R b) Tragen Sie die Resultierende in den Plan ein und vermassen Sie R. F1 = 20kN, F2 = 40kN, F3 = 50kN, F4 = 30kN Lösen Sie die Aufgabe graphisch (Polfigur)4 und kontrollieren Sie Ihre Lösung mit einer geeigneten Rechnung. Lageplan 1:100 F1 F2 F3 F4 Ah 1.0 m Av 2.0 m 2.0 m 2.0 m 2.0 m Bv Kräfteplan 1cm = 100kN F1 2 Pol 4 Siehe auch Formelbuch Zeichner/-in Fachrichtung Ingenieurbau Seite 73 Seite 26 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.1.6 Baustatik/Festigkeitslehre Zerlegen einer Kraft in zwei Komponenten Im Gegensatz zum Zusammensetzen von gegebenen Kräften (den Komponenten) muss in diesem Fall eine gegebene Kraft (Die Resultierende) in ihre Komponenten zerlegt werden. Die Aufgabe ist nur lösbar, wenn sich alle Wirkungslinien in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Die Lösung geschieht durch umgekehrte Anwendung des Kräfteparallelogramms. Lageplan Kräfteplan (1 cm = x kN) (1) WL (1) WL FR1,2 (2) WL (2) WL 5.1.7 Zerlegen in mehrere Komponenten Wegen des gemeinsamen Schnittpunktes der Wirkungslinie (gemeinsamer Angriffspunkt) ist jede Lösung richtig, in der das Kräftepolygon der Resultierenden entspricht. Es gibt unendlich viele Lösungen. Die Aufgabe ist somit unbestimmt, wie nachstehende Figur verdeutlicht. Lageplan (2) WL Kräfteplan (1 cm = x kN) (1) WL (1) WL FR 1,2,3 FR 1,2,3 (3) WL (3) WL (2) WL (2) WL Eine Kraft lässt sich bei gleichem Angriffspunkt der Resultierenden und der Komponenten in der Ebene nur durch zwei Teilkräfte eindeutig zerlegen. Seite 27 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 1: Ermitteln Sie durch eine genaue Zeichnung die Kräfte, welche im Hebekran auftreten und geben Sie an, ob es sich jeweils um eine Zug- oder Druckkraft handelt. Kräfteplan 1cm = _______ kN 2.80m Stab 1 Stab 2 2 1 Tonne 3.70m 1.50m Aufgabe 2: Das Gewicht des aufgehängten Betonrohres beträgt 110 kg. Ermitteln Sie die Kräfte in den beiden Holzstützen. (g=10m/s2) Lageplan Kräfteplan 1cm = N 1.90 m 2 3.75 m 2.40 m 3.20 m Seite 28 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.2 Baustatik/Festigkeitslehre Das Moment einer Kraft In der Statik ist mit dem Begriff der Kraft allein nicht auszukommen. Um später den Gleichgewichtszustand einer Tragkonstruktion zu beschreiben, braucht es noch den Begriff des Momentes. Das Moment einer Kraft F bezogen auf einen Punkt P ist das Produkt aus der Kraft und dem rechtwinkligen Abstand ihrer Wirkungslinie vom Punkt P, dem sogenannten Hebelarm (vgl. Figur 5-4) M Fa Hierin bedeuten: M : Moment F : Kraft a : Hebelarm Das Moment einer Kraft ist immer auf einen bestimmten Punkt bezogen. (vgl. Figur 5-5). Wird das Moment auf einen anderen Punkt bezogen, so ändert sich die Grösse des Moments. + M1 = F1 a1 Positives Moment - M2 = F2 a 2 Negatives Moment Merke: Vorzeichen (subjektive Festlegung): Das Moment ist positiv, wenn es sich im Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt dreht. Seite 29 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.3 Baustatik/Festigkeitslehre Das Moment mehrerer Kräfte Die algebraische Summe der Momente mehrerer Kräfte in Bezug auf einen beliebigen Punkt ist gleich dem Moment ihrer Resultierenden bezogen auf denselben Punkt. Die Momente verschiedener Kräfte bezogen auf einen gemeinsamen Punkt lassen sich also algebraisch zu einem resultierenden Moment addieren. MR F1 a1 F2 a2 F3 a3 R1,2.3 ar oder allgemein formuliert: MR R ar 5.4 F a i i Das Kräftepaar Unter einem Kräftepaar versteht man zwei parallele, entgegengesetzt gerichtete, gleich grosse Kräfte, deren Wirkungslinien den Abstand a voneinander haben. Lageplan Kräfteplan Die Resultierende der Kräfte hat die Grösse Null, d.h. das Kräftepolygon ist geschlossen. Trotzdem ist ein Moment vorhanden. Ein Kräftepaar lässt sich also nicht durch eine Resultierende ersetzen. Es übt eine drehende Wirkung aus. Gedankenmodell: Ein Holzteller schwimmt auf dem Wasser und dreht sich im Uhrzeigersinn um die eigene Achse, d.h. es wirkt ein Drehmoment ausgelöst durch F1 und F2. Seite 30 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.5 5.5.1 Baustatik/Festigkeitslehre Analytische Statik Analytisches Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften Eine Kraft ist durch folgende Angaben definiert: - Die Richtung, d.h. die Wirkungslinie und den Richtungssinn auf derselben - Die Grösse - Den Angriffspunkt In der analytischen Statik wird eine Kraft üblicherweise wie folgt dargestellt: Man wählt ein rechtwinkliges Koordinatensystem und zerlegt die Kräfte in Komponenten, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die Kraft ist also gegeben durch Fy = Komponente in y-Richtung Fz = Komponente in z-Richtung M = Moment bezogen auf den Nullpunkt M aF M zo Fy M yo FZ Kräfte werden zusammengesetzt, indem man ihre Komponenten algebraisch addiert F1,y F1 cos F1,z F1 sin F2,y F2 cos b F2,z F2 sin b F3,y F3 cos F3,z F3 sin Ry F Rz i,y F i,z Ry F1 cos F2 cos b F3 cos Rz F1 sin F2 sin b F3 sin Grösse : R 2 Ry RZ 2 Neigungswinkel : tan d RZ Ry Seite 31 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiele Aufgabe 1: Gegeben: F1 = 80 kN Gesucht: Resultierende R (Grösse und Winkel) F2 = 60 kN Lageplan Kräfteplan 1cm = 20 kN 2 Lösungsweg mit Tabelle Seite 32 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 1: Gegeben: F1 = 320 kN F2 = 620 kN Gesucht: a) Drehmomente M1, M2, M3 und M4 b) gesamtes Drehmoment M1,2,3, F3 = 850 kN F4 = 780 kN Lageplan 2 Seite 33 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Drehmomente können auch mit Hilfe der horizontalen und vertikalen Kraftkomponenten F V und FH berechnet werden. Dadurch fällt das Berechnen der rechtwinkligen Abstände weg, beziehungsweise die aus der Aufgabenstellung gegebenen rechtwinkligen Abstände können verwendet werden. Weiter kann mit Hilfe der Drehmomente die Lage der Resultierenden berechnet werden. Beispiel 2: Gegeben: F1 = 250 kN Gesucht: F2 = 320 kN a) Grösse und Winkel von R(1,2,3) b) Lage von R(1,2,3) F3 = 200 kN (Abstand vom Drehpunkt) z Richtung y Richtung F1 176.78 kN 176.78 kN F2 277.13 kN 160.0 kN F3 141.42 kN RV R (1,2) R Z 2 312.49 kN R y 2 Winkel :tan 141.42 kN R H= 312.49 2 124.64 kN 124.64 336.43 kN 2 R V 312.49 kN 2.51 R H 124.64 kN 68.25 M F 2m F 0m F 6.50m F 0m F 8.10m F 0m M 176.78 kN 2m 277.13 kN 6.50m 141.42 8.10m 1' 009.40 kNm 1v 1H 2v Abs tan d vom Drehpunkt: 2H a= L= 3v 3H M 1' 009.40 kNm 3.00 m R M RV 336.43 kN 1' 009.40 kNm 3.23 m 312.49 kN Seite 34 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 3: Gegeben: F1 = 400 kN F2 = 700 kN Gesucht: a) Resultierende R (Grösse und Winkel) b) Horizontaler Abstand von R zum Auflager A F3 = 400 kN F4 = 300 kN 2 Seite 35 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 4: Gegeben: F1 = 200 kN Gesucht: F2 = 150 kN Resultierende R (Grösse und Winkel) graphisch und rechnerisch F3 = 300 kN F4 = 600 kN Lageplan Kräfteplan 1 cm = 100 kN z Ord inate F2 F4 10° 45° y Abszisse 30° F1 F3 2 Seite 36 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.5.2 Baustatik/Festigkeitslehre Zerlegen von Kräften mit beliebigen Wirkungslinien Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen im allgemeinen Dreieck können Kräfte mit dem Sinus- und Cosinussatz zerlegt werden. Beispiel 1: Gegeben: F1 = 200 kN Gesucht: Zerlegen Sie die Kraft F1 in F2 und F3 WL2 und WL3 Lageplan Kräfteplan 1cm = 20 kN 2 Lösungsweg Sinussatz F2 F1 sin 45 sin 105 F2 F3 F1 sin 30 sin 105 F3 F1 sin 45 sin 105 F1 sin 30 sin 105 200 kN sin 45 sin 105 200 kN sin 30 sin 105 146.41 kN 103.53 kN Seite 37 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 2: Gegeben: Stabfachwerk mit Wirtshausschild Gesucht: Stabkräfte 1 und 2 Geben Sie auch an, ob es sich um Zug- und oder Druckkräfte handelt. Lösen Sie die Aufgabe zuerst graphisch und dann rechnerisch. Kräfteplan 1cm = 20 kN 60 Lageplan 20 Stab 1 20 m=30kg Stab 2 30 2 80 Seite 38 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.6 5.6.1 Baustatik/Festigkeitslehre Gleichgewicht von Kräften Definition für ‚Gleichgewicht von Kräften’ Eine auf einen Körper wirkende Kräftegruppe, also z. B. Lasten und Auflagerreaktionen, sind dann im Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkung als Ganzes gegenseitig aufhebt. Sie darf also einen Körper in seinem bisherigen Bewegungszustand nicht beeinflussen. Dies bedeutet also folgendes: Die Baustatik setzt in der Regel ruhende Körper voraus, also kann man sagen: In der Statik müssen für alle nachfolgenden Berechnungen die Auflagerkräfte (Auflagerreaktionen) bekannt sein, wie hier z.B. der Anteil der auf die Holzstützen wirkenden Lasten. Damit man diese Auflagerkräfte berechnen kann, muss man aber zuerst die Grundlagen über das ‚Gleichgewicht der Kräften’ kennen. Das Newton’sche Axiom: Der Krafteinwirkung (Actio) eines Körpers auf einen anderen entspricht eine gleich grosse, entgegengesetzt gerichtete Wirkung (Reactio) ACTIO = REACTIO Soll ein Körper ruhen, so müssen die auf ihn wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sein. Folgendes Einführungsbeispiel soll den Sachverhalt verdeutlichen: Malermeister=85kg vom Holzbock B 1.60m entfernt Ausgangslage Eimer=30kg vom Holzbock A 1.20 m entfernt Eigengewicht Holzbrett 6.33kg/m im Schwerpunkt wirkend A B ½ ½ 3.00 m 2.30 m 2.60 m Statisches System F Holz=500N (Ersatzlast) F Eimer =300N F Maler =850N Schnee Ah A B Av Bv 1.20m 1.60 m 3.95 m 2.30 m 3.95 m 3.00 m 2.60 m Seite 39 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Da die Gesamtheit aller Kräfte durch eine Resultierende ersetzt werden kann (siehe: Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften), so ist eine Kräftegruppe dann im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich Null ist. Aus dieser Erkenntnis können die sogenannten ‚Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden. Bedingung: R = 0 (Die Resultierende aller Kräfte ist gleich Null) Die Resultierende R kann in Komponenten zerlegt werden: ⇒ R = Summe V = 0 (1. Gleichgewichtsbed. – Vertikalkomponente) V ⇒ R = Summe H = 0 (2. Gleichgewichtsbed. - Horizontalkomponente) H Auch wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, können z.B. bei einem Kräftepaar (Summe V = 0, Summe H = 0) noch Momente auftreten. Diese Momente haben immer das Bestreben den Körper zu bewegen, es muss also noch eine dritte Bedingung eingeführt werden. Diese dritte Bedingung lautet: Die Summe aller statischen Momente bezüglich eines Punktes ist ebenfalls gleich Null. => Summe M = Summe Fi ⋅ ai = 0 (3. Gleichgewichtsbed. - Momente) Zur Untersuchung, ob eine Kräftegruppe im Gleichgewicht ist, stehen uns also drei Gewichtsbedingungen zur Verfügung. H V M 0 0 0 Wir wenden o.g. Theorie am konkreten Einführungsbeispiel an und ermitteln die Auflagerreaktionen den beiden Holzböcken in A und B. Die Summe aller statischen Momente um den Auflagerpunkt A müssen im Gleichgewicht sein! Das bedeutet folgendes: H M A 0 Ah 0 (sonst keine horizontalen Komponenten also 0 300N 1.20m 500N 1.65m Bv 3.0m 850N 4.60m 0 Bv M 0 B Av WICHTIG : V Ah 0.00N 300N 1.20m 500N 1.65m 850N 4.60m 1' 458.33N 3.0m 300N 4.20m Av 3.0m 500N 1.35m 850N 1.60m 0 300N 4.20m 500N 1.35m 850N 1.60m 3.0m 191.67N Kontrolle ob alle vertikalen Kräfte auch Null ergeben! 0 300N Av 500N Bv 850N 0 300N 191.67N 500N 1' 458.33N 850N 0 i.o. Wenn sich der Malermeister gegen das rechte Ende des Balkens bewegt wird es problematisch, weil der Gleichgewichtszustand ins Wanken gerät! Im Lehrgespräch mit der Fachlehrperson wird der Sachverhalt verdeutlicht. Seite 40 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B, wenn sich der Malermeister am Ende des Balkens befindet! Zeichnen Sie zuerst das statische System sauber auf! Malermeister=85kg vom Holzbock B 2.60m entfernt Ausgangslage Eimer=30kg vom Holzbock A 1.20 m entfernt Eigengewicht Holzbrett 6.33kg/m im Schwerpunkt wirkend A B ½ 2.30 m ½ 3.00 m 2.60 m Statisches System 2 Seite 41 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen AH, AV und BV bei folgenden statischen Systemen: Zeichnen Sie zuerst die Kraftvektoren für alle Auflagerreaktionen ein. Kontrolieren Sie auch die Resultate mit v = 0! 5kN 5kN Av=______ kN Ah 1m Av 60° Ah Ah=______ kN 4m Bv Av Av=______ kN 1m Ah=______ kN 4m Bv Bv=______ kN 5kN 20kN 50kN 30kN 20kN Av=______ kN 1m 1.5m Ah=______ kN 2.5m 1m 1m 50° Av=______ kN 2m Ah=______ kN 1m Bv=______ kN Bv=______ kN 28.28kN 20kN 135° Av=______ kN 1m Ah=______ kN 4m 1m 20kN 20kN Av=______ kN 45° 2m Bv=______ kN 20kN 10kN Av=______ kN 2m Ah=______ kN 2m 14.14kN Bv=______ kN 1m Ah=______ kN 2m 1m 2m 28.28kN Bv=______ kN 15kN 135° 20kN Av=______ kN 2m Av=______ kN Ah=______ kN 2m Ah=______ kN 1m Bv=______ kN 5kN 4m Bv=______ kN 10kN 10kN Av=______ kN 1m 2m 1m Av=______ kN Ah=______ kN 2m Bv=______ kN 1m Bv=______ kN 1m Av=______ kN 5kN Ah=______ kN Bv=______ kN Ah=______ kN 1m 2m 1m 1m Bv=______ kN Seite 42 von 79 2 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Berechnungen: Seite 43 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.6.2 Baustatik/Festigkeitslehre Auflagerreaktionen am Kragarm Das Auflager des Kragarmes wird auch Einspannung genannt. Es resultieren ebenfalls drei Auflagerreaktionen. EV. EH und ME. ME wird dabei als Einspannmoment bezeichnet. Balkonschnitt Eigenlast aus Brüstung Die Summe aller statischen Momente um den Auflagerpunkt E müssen im Gleichgewicht sein! Das bedeutet folgendes: Windlast H 0 Eh Fw 0 Eh Fw 1.0 kN M 0 50 15 15 1.84 m ME FG 0.95m FG,B 1.92m Fw 0.5m 0 ME 12.5kN 0.95m 3.6kN 1.92m 1.0kN 0.5m 16 2.00 m ME 18.29kNm V 0 Statisches System Ev FG FG,B 0 FG,B= 3.6 kN FG=12.5kN Ev 12.5kN 3.6kN 16.20kN Fw=1.0 kN 0.95 m 50 Eh ME Die Auflagerreaktionen lauten also: Ev = +16.20 kN Eh = + 1.00 kN Ev 1.92 m 8 2.00 m ME = +18.29kNm Bemerkungen: Ein positives Vorzeichen bedeutet also, dass wir die Richtungen resp. der Drehsinn des Einspannmomentes der Auflagerreaktionen (Vektoren) richtig angenommen haben. Im Weiteren heisst das, dass die Vektoren (die Richtung der Auflagerreaktionen unbedingt zur Rechnung gehören. Seite 44 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 1: Gegeben ist ein HEB- Träger, welcher an einer Stahlstütze mit vier Schrauben befestigt ist. Bestimmen Sie alle Auflagerreaktionen und bestimmen Sie aus der Auflagerreaktion ME die resultierende Zug- resp. Druckkraft auf die Schrauben. (siehe Kräftepar aus Kap. 5.4) Kopfplattenanschluss mit 4 HV-M12 280 F=6.5 kN 2800mm Statisches System F=6.5 kN ME Eh Ev 2 2800mm Seite 45 von 79 Baustatik für Bauberufe Verteilte Belastung Um den Sachverhalt zu verdeutlichen dient untenstehendes Einführungsbeispiel. Gegeben ist ein 50cm breiter Betonbalken, der auf einem Mauerwerk abgestützt wird. (Wichte Beton =25 kN/m3) Lageplan Ermittlung des Eigengewichtes Betonbalken Querschnittsfläche A 0.6m 0.50m 0.3 m2 60cm 5.6.3 Baustatik/Festigkeitslehre Volumen V 6.0m 0.3m3 A 1.8 m3 Gewichtskraft FG 1.8 m3 25 30cm kN 45.0 kN m3 Gewichtskraft pro Laufmeter F 45.0 kN g= G 7.50 L 6.0 m oder kN g=A 0.3 m2 25 3 7.50 m 5.40m 30cm Statisches System kN m kN m g=7.5 kN/m Eigenlast Balken Ah Av Um die Auflagerreaktionen berechnen zu können, müssen wir diese Gewichtkraft pro Laufmeter in eine Ersatzlast umrechnen. Bv 5.70m Ersatzlast FG=42.75 kN Ah Die Ersatzlast FE lautet dann: FE=7.50 Av Bv 5.70m kN 5.70 m 42.75 kN m Bemerkung: Ersatzlasten greifen immer im Schwerpunkt der verteilten Belastung an. Wir haben also unsere verteilte Belastung wieder in ein statisches System mit Einzelkräften reduziert und können nun die Auflagerreaktion wie gewohnt berechnen. H M A 0 Ah 0 0 Bv 5.70m FE 2.82m 0 42.75 kN 2.85m 5.70m Av 5.70m FE 2.85m 0 Bv M B 0 42.75 kN 2.85m 5.70m Av Bv FE 0 ! i.O. Av Kontrolle! 21.38kN 21.38kN Seite 46 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B,wenn F1 = 15 kN, F2 = 5 kN und q=3 kN/m gegeben sind. Zeichnen Sie zuerst das statische mit allen Ersatzlasten sauber auf und ergänzen Sie vor der Berechnung der Auflagerreaktion die erforderliche zusätzlliche Bemassung zu den Auflagern hin. Kontrollieren Sie mit (V) =0 ihre Rechnung! F1 F2 g=3.0 kN/m Ah Av Bv 2.0m 2.0m 2.0m 2 s Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B für g=2 kN/m Kontrollieren Sie mit (V) =0 ihre Rechnung! g Ah Av Bv 6m 2 Seite 47 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen in A und B,wenn F1 = 6 kN, g=2 kN/m und p=3 kN/m gegeben sind. Zeichnen Sie zuerst das statische mit allen Ersatzlasten sauber auf und ergänzen Sie vor der Berechnung der Auflagerreaktion die erforderliche zusätzlliche Bemassung zu den Auflagern hin. Kontrollieren Sie mit (V) =0 ihre Rechnung! F1 p g Ah Av 1m Bv 1m 2m 1m s 2 Seite 48 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen AH, AV und BV bei folgenden statischen Systemen: Zeichnen Sie zuerst die Kraftvektoren für alle Auflagerreaktionen ein. v = 0! Kontrolieren Sie auch die Resultate mit 20 kN 25 kN/m Av=__________ kN 10 kN/m 15 kN B A 1.9m 4.5m BV=__________ kN 5.7m 15 kN Ah=__________ kN 55 kN Av=__________ kN 18 kN/m 14 kN/m 25 kN B A 2.7m 4.5m 3.9m 3.1m BV=__________ kN Ah=__________ kN 20 kN 2.8m Av=__________ kN 22 kN/m BV=__________ kN B A 3.4m 2.4m Ah=__________ kN 8.2m B 2kN Av=__________ kN 4.0m 1kN/m 2.0m CV=__________ kN A C Ch=__________ kN 7.0m 15 kN 20 kN Av=__________ kN 4 kN/m 8 kN/m 15 kN A B 2.75m 2.25m 2.50m BV=__________ kN Ah=__________ kN Seite 49 von 79 2 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Berechnungen: Seite 50 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Praxisbeispiel 1: Gegeben ist ein Balkon mit Brüstung in Stahlbeton. a) Bestimmen Sie das statische System mit allen Einzellasten b) Berechnen Sie alle Auflagerreaktionen im Punkt E. (pro Meter Balkonlänge!) Kontrollieren Sie mit (V) =0 ihre Rechnung! Grundriss Schnitt Statisches System P=3 kN/m2 1.0m P=900 N/m2 90 15 15 Eh 20 ME 10 1.84 m Ev 16 2.00 m 1.84 m 2.00 m 16 s 2 Seite 51 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Praxisbeispiel 2: Gegeben : Betondecke mit Backsteinwand Gesucht: Zeichnen Sie das statische System auf und berechnen Sie die Auflagerreaktionen AV und BV für einen Deckenstreifen von 1m Breite, mit einer Nutzlast p einer Wohnung von 2kN/m2. Grundriss 1.0m Belastungen: Eigengewicht Wand pro Laufmeter kN Nutzlast Wohnung kN/m 12 12 3.26 m 5.50 m 1.88 m 12 Eigengewicht Decke kN/m 2 s Statisches System Schnitt 2.0m Backsteinwand Betondecke d=20cm 12 1.88 m 12 5.50 m 3.26 m 12 0.06 5.38 m 0.06 Seite 52 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Praxisbeispiel 3: Gegeben : Wohnungsdecke gemäss Skizze Gesucht: Zeichnen Sie das statische System auf und berechnen Sie die Auflagerreaktionen AV und BV für einen Deckenstreifen von 1m Breite, mit folgenden Nutzlasten: Wandlast =_______kN/m =2kN/m2 P =4kN/m2 Statisches System Wandlast =_______kN/m Wohnung Balkon A 12 (Balkon) 60 (Wohnung) 18 P B 5.40m 12 2.20m 16 s 2 Seite 53 von 79 Baustatik für Bauberufe 5.6.4 Baustatik/Festigkeitslehre Schnittkräfte an statisch bestimmten Stabtragwerken An einem Tragwerk wirken sowohl äussere wie auch innere Kräfte. Unter den äusseren Kräften versteht man einerseits die Lasten, die auf ein Tragwerk wirken, und andererseits die Auflagerreaktionen, die notwendig sind, um ein Gleichgewicht herzustellen. Unter den inneren Kräften versteht man diejenigen Kräfte, die zwischen und in den einzelnen Teilen des Tragwerks wirksam sind. Sie werden als Schnittkräfte bezeichnet. s Bisher wurden nur die äusseren Kräfte (Lasten, Momente, Auflagerreaktionen), F die an einem Tragwerk wirken betrachtet. Nachdem diese äusseren Kräfte bekannt s sind, kann untersucht werden, welche F F inneren Kräfte an einem Tragwerk wirken. F F F Folgendes Beispiel soll den Sachverhalt verdeutlichen: Äussere Kräfte werden all jene Kräfte bezeichnet, die von aussen auf einen Bauteil einwirken: Dachpfosten Eigengewicht (FG, g) - Nutzlasten (FP, p) - Auflagerreaktionen (AV, BV, AH, BH) Lageplan 10 kN Dachstrebe 5 kN Innere Kräfte werden all jene Kräfte bezeichnet, die im Inneren eines Bauteils wirken: - Normalkraft (N) Schubkraft (V) Biegemoment Dachbalken 1.5m (M) Ein Bauteil ist im Gleichgewicht, wenn: Die äusseren Kräfte des Bauteils im Gleichgewicht sind. - 3.0m 2.0m 2.30m 4.20m Gedankenmodell Die äusseren und innere Kräfte eines geschnittenen Teilbereiches gegenseitig im Gleichgewicht sind. F=5 kN 10 kN Die inneren Kräfte eines gedachten Schnittes im Gleichgewicht sind. Schnittstelle - Schnittstelle - Wenn der Balken nicht brechen soll, so muss an jeder beliebigen Schnittstelle Gleichgewicht herrschen! V = 0 (Schubkraft V) H = 0 (Normalkraft N) V = 0 (Biegemoment M) Betrachten wir die beiden Deckenteile einzeln: Es herrscht Gleichgewicht, wenn die inneren Kräfte entgegengesetzt gleich gross sind wie die äusseren Kräfte am betrachteten Bauteil. Statisches System FV=7.07 kN 5 kN M M N Ah A Av V 1.5m FH=7.07 kN N B V 0.8m 2.30m 2.2m 2.0m 4.20m Seite 54 von 79 Bv Baustatik für Bauberufe 5.6.5 Baustatik/Festigkeitslehre Die Berechnung der Schnittkräfte Rechnungsgang 1. Berechnen der Auflagerreaktionen 2. Schnittstelle bestimmen und Gleichgewicht herstellen 3. Darstellung der Schnittkräfte F= 42.42 kN Einführungsbeispiel am einfachen Balken.. Berechnen Sie die Schnittkräfte M, V und N in den Schnitten 0-4 und stellen Sie diese graphisch dar. Ah 0 FV=30kN 2 1 3 4 45° FH=30kN Auflagerreaktionen : Av 15kN AH 30kN Bv 15kN 2.0 m 2.0 m Av Bv FV=30kN Schnitte von links aus (also von A) Schnitt 0-0 Biegemoment M0 Querkraft V0 , N0 Ah M 0 0, A V 0m-M0 0 FH=30kN 1.0 m 3.0 m Av Bv FV=30kN V 0 0, V0 15kN N0’ 0.0 m M0 0kNm A V V0 0 V0’ V0 M0 M0’ V1 M1 M1’ V1’ N1’ N1 Ah FH=30kN Normalkraft N0 1.0 m N 0 0, AH N0 0 1.0 m N0 30kN Bv Sprung!! V2 oder : Schnitte von rechts aus (also von B) Ah Schnitt 0-0 Biegemoment M0' M 0 ' 0, BV 4m+Fv 2m+M0' 0 Querkraft V0' , BV Fv V0 ' 0 2.0 m Av M2 M2’ N2 V2’ N2’ 2.0 m M0 ' 0kNm 2.0 m Av Bv FV=30kN V 0 ' 0, N3 Ah Normalkraft N0' N 0 ' 0, FH N0 ' 0 N0 ' 30kN 2.0 m N3’ FH=30kN 1.0 m 1.0 m Av Bv FV=30kN Merke: Es ist gleichgültig, ob der Schnitt an der betreffenden Stelle von links oder von rechts betrachtet wird. M3 M3’ V3’ V3 V0 ' 15kN Ah 3.0 m FH=30kN 1.0 m V4 M4 M4’ V4’ N4 N4’ 0.0 m Av Bv Seite 55 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Fortzetzung: Ermitteln Sie nun selbstständig die Schnittkräfte für die Schnitte 1 bis 4 und stellen Sie diese grapisch dar. Ergänzung: Schnitt 2-2 Im Schnitt 2 machen V und N einen Sprung!. Unmittelbar links der Schnittstelle wirkt Fv noch nicht, das heisst V2 = +15 kN (wie Schnitt 1). Kurz nach der Schnittstelle wirkt Fv, das heisst V2 = -15 kN (wie bei Schnitt 3) An der Schnittstelle 2 also macht V einen Sprung von +15 kN auf -15 kN. Diese Differenz der beiden Schubkräfte entspricht genau der äusseren Belastung Fv. Die gleichen Überlegungen gelten natürlich auch für die Normalkraft N! = 2 s Seite 56 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Fortsetzung: Darstellung der Schnittkräfte F= 42.42 kN 0 1 2 3 4 45° Ah 2.0 m 2.0 m Av Bv M-Linie 1cm = 20 kNm s 2 V-Linie 1cm = 10 kN V-Linie 1cm = 10 kN Seite 57 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 2: F1= 50 kN F2= 50 kN Ermitteln Sie für den folgenden Balken Die Schnittkräfte und stellen Sie diese graphisch dar. Ah Av 2.0 m 2.0 m 2.0 m Bv M-Fläche V-Fläche s 2 Seite 58 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 3: F1= 50 kN Ermitteln Sie für den folgenden Balken Die Schnittkräfte und stellen Sie diese graphisch dar. Ah Av 5.0 m 1.0 m Bv M-Fläche V-Fläche s 2 Seite 59 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 4: F1= 80 kN F2= 30 kN Ermitteln Sie für den folgenden Balken Die Schnittkräfte und stellen Sie diese graphisch dar. Ah Av 2.0 m 2.0 m Bv 2.0 m M-Fläche s 2 V-Fläche Seite 60 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 5: F1= 30 kN Ermitteln Sie für den folgenden Balken Die Schnittkräfte und stellen Sie diese graphisch dar. Ah Av Bv 4.0 m 2.0 m M-Fläche V-Fläche s 2 Seite 61 von 79 Baustatik für Bauberufe Die Schnittkräfte mit verteilter Belastung Herleitung der Schnittkraftverteilung am einfachen Balken mit einer gleichmässig verteilten Belastung. Statisches System Bezeichnen wir die Gesamtlast q l mit R, so wird wegen der symmetrischen Lastanordnung nach nebenstehendens System: q [kN/m] R=ql Av R1=qx ql 2 An beliebiger Stelle erhalten wird die Querkraft mit: l Q x Av q x q q x 2 l Q x q x 2 V1 Av x/2 x/2 x x’=l-x Hier tritt das grösste Biegemoment auf, und es wird mit: l l l ql l ql l q l2 Av q 2 2 4 2 2 2 4 8 ql/2 + ql/2 Dies ist die Gleichung einer geneigten Geraden, l deren Nullpunkt bei x= liegt. 2 Mmax Bv Q-Fläche l/2 l/2 M-Fläche + 1’ M für q 2’ M für R An beliebiger Stelle x erhalten wir: M x Av x q x x ql x q x l x q x x ' x q x 2 2 2 2 2 Dies ist die Gleichung einer quadratischen Parabel. Die angedeuteten Seilstrahlen 1‘ und 2‘ sind ihre Endtangenten, und die Pfeilhöhe wird halb so gross wie die Höhe des Seildreieicks. Zusammenfassend ergibt sich also für gleichmässig verteilte Belastung: 1. Die Querkraft ändert sich stetig nach einer linearen Funktion. Die Querkraftfläche besteht aus zwei gleichen Dreiecken. 2. Die Momentenfläche wird von einer quadratischen Parabel begrenzt. In der Statik ist der eben gezeigte Fall sehr häufig und kommt bei sehr vielen Bauwerken zur Anwendung. Seite 62 von 79 1/2 Am Auflager B wird ql QB 2 M1 N1 1/2 QA Q(x) Am Auflager A wird Bv l M(max) bei Q=0 ql R Av=Bv= 2 2 M(x) 5.6.6 Baustatik/Festigkeitslehre Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Einführungsbeispiel Gegeben sind die äusseren Kräfte mit: 1) Gesucht: Schnittkraftdarstellung für: - Nutzlast 1 7.5 kN/m - Schubkraft (V) - Nutzlast 2 17 kN - Moment (M) - Normalkraft (N) Auflagerreaktionen berechnen AV = ______________ kN AV = _______________ kN BV = _______________________ kN Berechnung der Auflagerreaktionen (inkl. Kontrolle!) Last 2 = 17kN Last 1 = 7.5kN/m Ah 1 2 3 1.0 m 4.0 m Av 7.0 m 2.0 m Bv Seite 63 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Seite 64 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre 1. Balken an wichtigen Stellen „schneiden“ an jeder Stelle, wo die Lasteinwirkung ändert 2. Ziel ist: die grössten Schnittkräfte am Tragwerk zu erhalten! FR1=30kN Schnitt 1-1 V 0 A V FR1 V1 0 V1 26.30kN 30kN 3.70kN M 0 N1 2.0 m V1 Av AH N1 0 N1 0kN Last 2=17kN M1’ N1’ BV F2 V1 ' 0 V1 ' 20.70kN 17kN 3.70kN M 0 2.0 m 4.0 m oder! Schnitt 1’ – 1’ V 0 M1 Ah A V 4.0m FR1 2.0m M1 0 M1 26.30kN 4.0m 30kN 2m 45kNm H 0 Last 1 = 7.5kN/m V1’ 1.0m 2.0m Bv BV 3.0m F2 1.0m M1 ' 0 M1 ' 20.70kN 3.0m 17kN 1m 45kNm H 0 N1 ' 0 N1 ' 0kN 2 Führen Sie nun die Schnitte 2-2, und 3-3 selber durch und zeichnen Sie die Schnittkräfte V, M und N auf der vorherigen Seite ein. s Seite 65 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Fortsetzung Last 2 = 17kN Last 1 = 7.5kN/m Ah 1 1.0 m 4.0 m Av V-Fläche 2 3 7.0 m 2.0 m Bv s M-Fläche N-Fläche Seite 66 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 1: Ermitteln Sie für den folgenden Balken Die Schnittkräfte und stellen Sie diese graphisch dar. Aus Statik-5 s 2 Seite 67 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 2: Ermitteln Sie für den folgenden Balken Die Schnittkräfte und stellen Sie diese graphisch dar. q = 3 kN/m Ah Av Bv 4.0 m 2.0 m M-Fläche s 2 V-Fläche Seite 68 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 3: Ermitteln Sie für den folgenden Balken Die Schnittkräfte und stellen Sie diese graphisch dar. q = 3 kN/m Ah Av Bv 4.0 m 2.0 m s 2 Seite 69 von 79 Baustatik für Bauberufe 6 Baustatik/Festigkeitslehre Festigkeitslehre Als Teilgebiet der Baustatik hat die Festigkeitslehre die Aufgabe, das Verhalten der Materialien unter Krafteinwirkung zu untersuchen. Als Grundlage dazu dienen die ermittelten Schnittkräfte an einem Bauteil sowie die Wahl des Baustoffs. Es geht somit um die Beurteilung von inneren Kraftwirkungen und die Bestimmung der Deformationen. 6.1 Der Begriff der Spannung Für die Untersuchung eins Bauteils – zum Beispiel des in untenstehender Figur dargestellten Zugstabes ist nicht nur die Normalkraft N massgebend, sondern ebenso die Querschnittfläche des Stabes. Dabei ist es praktisch, die Beanspruchung eines Materials nicht in kN, sondern bezogen auf die Flächeneinheit, also z.B. in N/mm2, auszudrücken. Dies führt zum Begriff der Spannung. Die Spannung wird mit (Sigma) bezeichnet. Da die Spannung am Zugstab senkrecht zum Querschnitt des Elements wirkt, wird sie als Normalspannung bezeichnet. N A N mm2 Hierin bedeuten: : Spannung (Normalspannung) N : Normalkraft A : Querschnittsfläche Aus untenstehender Figur ist ersichtlich, dass eine Verdoppelung der Querschnittsfläche zu einer Halbierung der inneren Spannung führt, denn die Normalkraft im Stab verteilt sich dann auf eine doppelt so grosse Querschnittfläche. N N A a2 A 2 a2 N 1 2 a a a 2a a 2 N 2 a2 N N 1 2 2 Seite 70 von 79 Baustatik für Bauberufe Die Normalkraft N Die Normalkraft wirkt „normal“ das heisst rechtwinkligen zur betrachteten Querschnittfläche eines Bauteils. Wir kennen sie als Druck- oder Zugkraft. Die Normalkraft erzeugt im Querschnitt eine Normalspannung (Sigma) FStütze Beispiel: 1 Stütze mit Kranbahnkonsole 1 FKonsole Gegeben: Deckenauflagerkraft Kranbahn FStütze FKonsole = 800 kN = 600 kN Stütze 30x40cm (Eigengewicht vernachlässigen) 15 F N [ ] A mm2 20 6.1.1 Baustatik/Festigkeitslehre 2 Gesucht: Normalkraft und Normalspannung in den Schnitten 1 und 2 40 25 Seite 71 von 79 2 6.1.2 Baustatik/Festigkeitslehre Die Schubkraft V Die Schubkraft wirkt „parallel“ zur betrachteten Querschnittsfläche eines Bauteils. Man bezeichnet sie als Schubkraft, Querkraft oder Scherkraft. FStütze 3 Baustatik für Bauberufe V N [ ] A mm2 Beispiel: Stütze mit Kranbahnkonsole Gegeben: Deckenauflagerkraft Kranbahn FKonsole FStütze = 800 kN FKonsole = 600 kN 20 3 Stütze 30x40cm (Eigengewicht vernachlässigen) Gesucht: Schubkraft und Schubspannung im Schnitt 3 40 25 Das Biegemoment M Gesucht: Biegemoment in den Schnitten 1, 2 und 3. 1 F=10kN E 1 Kragarm gemäss Skizze 2 Kragträger Gegeben: 2 Beispiel: 3 Das Biegemoment bewirkt „dass sich ein Bauteil verbiegt“. Es wirkt sich zum Beispiel in einem Träger als „unten Zug“ und „oben Druck“ aus. 3 6.1.3 15 Die Querkraft erzeugt im Querschnitt eine Schubspannung (Tau) 2.0m 0.5 3.0m Seite 72 von 79 Baustatik für Bauberufe Das Widerstandsmoment W Das Widerstandsmoment ist ein Mass für den Widerstand, den die Ränder (Randfasern) eines Balkenquerschnitts einem Biegemoment entgegensetzt. Durch Kenntnis des Widerstandsmoments können unmittelbar die maximale Biegespannung im Querschnitt errechnet werden. Angaben von Widerstandsmomenten sind u.a. üblich in Tabellen von Stahlprofilen und anderen elastischen Bauteilen. Räumliche Darstellung am Rechteckquerschnitt z o D M zo=h/2 h x y y zu=h/2 b h Z b 1/3zo 2/3zo z=2/3h 6.2 Baustatik/Festigkeitslehre 2/3zu 1/3zu u Spannungsverteilung am Rechteckquerschnitt y- Achse = starke Hauptachse z- Achse = schwache Hauptachse Mi Mmax ; Mmax D z Z z DZ O hb h 1 b O 2 2 4 Mmax D z Z z oder: O,U wobei b=Breite des Balkens O h b 2 b h2 h O 4 3 6 Mmax b h2 6 Für Rechteckquerschnitte gilt also: Mmax W Wy b h2 ; 6 Widers tan dsmoment W Randspannungen O,U WZ h b2 6 Seite 73 von 79 Baustatik für Bauberufe 6.3 Baustatik/Festigkeitslehre Das Trägheitsmoment Das Flächenträgheitsmoment, auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet, ist zusammen mit dem Elastizitätsmodul (bzw. Schubmodul) ein Mass für die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts gegen Biegung. Ausserdem liefert das Flächenträgheitsmoment Aufschluss über die Neigung von Stäben zu knicken. Mit dem Flächenträgheitsmoment ist eine Spannungsverteilung infolge Biegung über einen Querschnitt errechenbar. Flächenträgheitsmoment und Elastizitätsmodul sind Konstanten, welche das Verformungsverhalten von Stäben unter Last beschreiben. Anwendungsbeispiel Gegeben ist ein Rechteckquerschnitt mit der Breite b=180 mm und der Höhe h=400 mm. Berechnen Sie: - die Widerstandsmoment Wy; WZ - die Trägheitsmomente Iy; IZ - die Randspannungen in Feldmitte o; u z q=Eigengewicht+Nutzlast = 4kN/m Ah A B Av 10m Detail A y Bv Detail A h=400mm b=180mm o=-10.4N/mm2 Wy b h2 180mm 400mm 4 ' 800 103 mm3 6 6 Wz 400mm 180mm h b2 2 '160 103 mm3 6 6 2 2 My x b h3 180mm 400mm Iy 960.0 106 mm4 12 12 3 h b3 400mm 180mm IZ 194.4 106 mm4 12 12 3 u=+10.4N/mm2 (O,U) M(max) Wy q l2 2 4 N / mm 10 ' 000mm q l2 6 6 N 8 10.42 2 2 2 b h 8 b h 8 mm2 180mm 400mm 6 Seite 74 von 79 Baustatik für Bauberufe 6.4 Baustatik/Festigkeitslehre Tragwiderstand, Sicherheitsgrad, Bemessungswerte Die Tragsicherheit wird durch den Vergleich des Bemessungswertes der Beanspruchung mit demjenigen des Tragwiderstandes nachgewiesen: Ed ≤ Rd Der Bemessungswert Ed der Beanspruchung berechnet sich anhand der in der Norm enthaltenden Werte der Einwirkungen. Der Bemessungswert Rd des Tragwiderstandes ist den verschiedenen Konstruktionsnormen zu entnehmen. Bemessungswert der Beanspruchung Ed Gemäss den Nutzungsanforderungen werden nach Norm SN 505 260 oder projektspezifisch die charakteristischen Werte der Nutzlasten und der ständigen Lasten bestimmt. Die Multiplikation dieser Werte mit den Lastbeiwerten ergeben die Bemessungswerte Fd der Einwirkungen. f Beispiele für Lastbeiwerte: (aus Norm Einwirkungen) Lastbeiwert für Nutzlast Y = 1.50 Lastbeiwert für ständige Last und Eigengewicht γ = 1.35 Q G Bemessungswerte des Tragwiderstandes Rd (Genaue Angaben: siehe entsprechende Normenwerke) oder Formelbuch „Fachwissen“ für Zeichner/-in in Fachrichtung Ingenieurbau auf Seite 81. Beispiel Stahlstütze Nutzlast Q = 60 kN (aus statischer Berechnung) k Ständige Last und Eigengewicht G = 40 kN k (aus statischer Berechnung) Lastbeiwerte (aus Norm Einwirkungen ) für Nutzlast γ = 1.50 für ständige Last und Eigengewicht γ = 1.35 Q G Bemessungswert der Beanspruchung: E = γ · Q + γ · G = 1.5 · 60 kN + 1.35 · 40kN = 144 kN d Q G Tragwiderstand der Stütze R = 158 kN K (aus Berechnung oder aus Tabelle) Allgemein wird nach Norm R als Tragwiderstand für alle Arten von Tragwiderständen angegeben. Tragwiderstandsbeiwert für Stahl γ = 1.05 R (aus Norm SIA 263 Stahlbauten) Bemessungswert des Tragwiderstandes: R = R /γ = 158 / 1.05 = 150 kN d K R Nachweis: Ed = 144 kN < Rd = 150 kN Die Tragsicherheit ist also gewährleistet Seite 75 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 2: Bestimmen Sie die erforderliche Höhe h eines Holzbalkens mit der Breite b = 120 mm. Die zulässige Biegespannung für Holz sei σd(zulässig) = 10 N/mm2 q=g+p=3.0 kN/m A B 5.0 m 2 s Beispiel 3: Ein Freiträger ist mit der Kraft F = 8000 N belastet. Es ist sein Querschnitt zu bestimmen. Die Höhe soll sich zur Breite wie 4:1 verhalten. Die zulässige Biegespannung für Belastungsfall σb(zulässig) = 160 N/mm2 F= 8000 N h b=h/4 2 Material S235 150 cm s Seite 76 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 4: Eine Balkenlage wiegt pro m2 inkl. Bodenkonstruktion 80 kg. Pro m2 Bodenfläche ist mit einer Nutzlast von 2 kN zu rechnen. Bestimmen Sie einen möglichen Balkenquerschnitt bei Einem Balkenabstand von 75 cm, Spannweite 4.0m 1.0m2 Zulässige Biegespannung b=10 N/mm2 0m 4. 75 cm 75 cm 2 s Beispiel 5: Gegeben: Balkenlage; Spannweite L = 350cm; Last g + q = 500 kg/m2 Gesucht: Balkenabstand für Kantholz 100/200mm: 2 Seite 77 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 6: Ein HEA-200 Stahlträger besitzt ein Widerstandsmoment von Wy von 389‘000 mm3. Die zulässige Spannung beträgt σ(zul) 147 N/mm2. Welche Nutzlast inkl. Eigengewicht kann der Träger bei einer Spannweite von 4.80m aufnehmen? 2 Beispiel 7: Ein Holzbalken (Nadelholz, C24) mit 12 / 24 cm Querschnitt wird auf zwei Stützen im Abstand l =3.50 m aufgelegt. Mit welcher gleichmässig verteilten Last darf er belastet werden, wenn der Balken: a) a) Hochkant eingebaut wird? b) b) Liegend eingebaut wird? 2 Seite 78 von 79 Baustatik für Bauberufe Baustatik/Festigkeitslehre Beispiel 8: (Fakultativ!) gehört nicht zu den Grundanforderungen Wählen Sie für einen Stahlträger, dessen Maximalmomente gegeben sind, ein geeignetes Profil aus der IPE- Reihe aus, so dass der Biegespannungsnachweis eingehalten wird. Charakteristische Biegemomente: aus Eigengewicht Mg = 120 kNm Aus Verkehrslast Mp = 80 kNm Biegespannungsnachweis: Grenzspannung Stahl S235 (F = 1.35) (F = 1.50) σ(Rd) = 218 N/mm2 2 Beispiel 9: (Fakultativ!) gehört nicht zu den Grundanforderungen Wählen Sie für einen Stahlträger ein geeignetes Profil aus der HEB-Reihe aus, so dass sowohl der Biegespannungsnachweis als auch der Durchbiegungsnachweis eingehalten werden. Stützweite Eigengewicht g Einzellast aus Verkehr L = 5.20 m g = 8.0 kN/m Fp = 20.0 kN Durchbiegungsnachweis: Zulässige Durchbiegung E-Modul Stahl zul f Biegespannungsnachweis: Grenzspannung Stahl (S235) σ(Rd) = 218 N/mm2 (F = 1.35) (F = 1.50) = = 2 210‘000 N/mm2 L/300 5 HEB-Träger 2.60 m 2.60 m 5.20 m 5 Siehe auch Formelbuch Zeichner/-in Fachrichtung Ingenieurbau Seite 91 Seite 79 von 79
