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9 Elektrizitätslehre
139
9.1.1 Kraftgesetz
9.1 Elektrostatik
Zwischen geladenen Körpern wirken Kräfte: gleichnamige
Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.
beschreibt die Wechselwirkung zwischen Ladungen
Stärke der Kraft (für punktförmige Ladungen):
Einheit der Ladung:
Coulomb [C]
r
Materie ist aus positiven und negativen Ladungsträgern
aufgebaut:
Protonen
Elektronen
Ladung +1.602*10-19 C
Ladung -1.602*10-19 C
F
+
q1
-F
q1
F=
F
+
• Reibung (z.B. Katzenfell und Kunststoffstab)
• chemische Reaktionen (z.B. Batterie)
• elektromagnetische Kräfte (z.B. Dynamo)
Coulomb-Gesetz
q2
q1, q2 :
r:
ε0 :
F +
q2
Ladungen
Abstand
Dielektrizitätskonstante
(Influenzkonstante)
Normalerweise ist die Zahl der Protonen und Elektronen
gleich ⇒ Materie ist ungeladen (neutral)
Laden von Materie geschieht durch Ladungstrennung,
verursacht durch:
q1q2
4πε 0 r 2
ε 0 = 8.85 *10 −12
As
Vm
Die Richtung der Kraft ist parallel zur Verbindungsachse:
r
F1 =
r
q1q2 r
r2 r
4πε 0 r r
mit
r
F1
r
r1
r r r
r = r1 − r2
r
r
r
r2
140
141
Visualisierung des Felds durch „Feldlinien“ (Linien, die überall
parallel zu den elektrischen Feldvektoren verlaufen).
9.1.2 Elektrisches Feld
Die Coulomb-Wechselwirkung ist additiv:
q3
q4
r
F1 = q1
q2
q5
q1
Beispiel:
Kraft auf Ladung q1
n
∑
i =1
r r
r1 − ri
4πε 0 rr1 − rri 3
Feld eines Dipols
(Einheit aus positiver und negativer Ladung)
qi
r r
E (r )
Ladungen
+
-
r r
E (r )
Die Verteilung der Ladungen erzeugt ein elektrisches Feld
die Kraft auf eine Ladung q ist dann:
Eigenschaften:
r r
r r
F ( r ) = qE ( r )
• je stärker das Feld, desto dichter die Feldlinien
r r
E (r ) ist ein Vektorfeld; für jeden Punkt im Raum ist ein
• jede Feldlinie beginnt und endet in einer Ladung
Vektor definiert.
Eine Punktladung erzeugt das elektrische Feld:
r r
E (r ) =
Betrag:
r
r
4πε 0 rr 3
q
r r
r
E (r ) = E (r ) =
r r
E (r )
+
q
4πε 0 r 2
nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab!
-
r r
E (r )
Beispiel:
+Q
+
+
+
+
+
+
Kondensator (parallele Platten)
r
E
-Q
außen (fast) feldfrei
Stärke des elektrischen Felds:
- Fläche A
1 Q
-
E=
d
ε0 A
(unabhängig vom Plattenabstand d!)
142
143
Umkehrung der Integration:
9.1.3 Potential
Bewegung einer Ladung in einem elektrischen Feld erfordert
Arbeit:
=− φ
φ
=−
r r
r r r
W = Fds = − q E (r )ds
∫
∫
s
φ
s
(die aufgebrachte Kraft ist der Feldkraft entgegengesetzt)
Hierbei wird eine potentielle Energie Epot=W erzeugt.
Definition:
elektrisches Potential
r
φ
r
r
r r
Das elektrische Feld ist der negative Gradient des elektrischen
Potentials.
Einheit des Felds:
[V/m]
Bemerkung:
In einem Material mit frei beweglichen Ladungsträgern
(z.B. Metall) ist die elektrische Feldstärke Null
r
φ ( r ) = − ∫ E ( r ) ds
r
r
0
⇒ ein zusammenhängender Leiter (in welchem kein Strom
fließt) hat an jedem Punkt das gleiche Potential
⇒ leitende Flächen sind „Äquipotentialflächen“
Dann gilt für die potentielle Energie:
r
r
E pot ( r ) = q φ ( r )
9.1.5 Kapazität
In einem Plattenkondensator ist die Feldstärke:
Die Potentialdifferenz zwischen zwei Orten heißt Spannung:
r
r
r r r
r
r
= φ ( r2 ) − φ ( r1 ) = − ∫ E ( r ) d s
2
U 12
r
r
1
Einheit des Potentials (und der Spannung):
Volt [V]
1 [V] = 1 [J/C]
+Q
+
+
+
+
+
+
r
E
d
-Q
-
E=
1 Q
ε0 A
144
Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten:
r
r
r
r
φ2 − φ1 = − ∫ Eds = Ed =
2
r
r
1 Q
d
ε0 A
145
Die Kapazität ist umso größer, je größer die Platten sind
und je kleiner ihr Abstand.
Umgekehrt gilt: die Spannung am Kondensator für gegebene
Ladung ist:
1
Platte 2 hat gegenüber Platte 1 eine Spannung von
U =
1 Q
d
ε0 A
U=
Q Qd
=
C ε0 A
Die Spannung nimmt mit d zu!
(das positive Vorzeichen gilt für eine positive Ladung)
Energie eines Kondensators
Definition:
Kapazität eines Kondensators
Aufzubringende Arbeit für Plattenabstand d:
Q
C=
U
1
1
W = EQd = UQ
2
2
Die Kapazität ist das Verhältnis zwischen Ladung und
angelegter Spannung.
Einheit:
Farad [F]
( ½EQ ist die Kraft zwischen den Platten; der Faktor ½ rührt
daher, dass hier eine Platte das Feld erzeugt, während die
andere als Testladung fungiert)
1 [F] = 1 [C/V]
Die gespeicherte Energie ist damit:
Die Kapazität des Plattenkondensators ist damit:
C=
Q
A
= ε0
U
d
1
1
1 Q2
2
W = UQ = CU =
2
2
2C
146
147
9.1.6 Dielektrika
Stoff aus Atomen mit fest gebundenen Elektronen:
Materie im elektrischen Feld wird polarisiert.
r
E
Metall
+
+
+
+
-
Atome bilden Dipole
r
E
-
r
E
+
-
frei bewegliche Elektronen
resultierende
Oberflächenladung
elektrische Feldstärke
ist im Inneren Null!
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+
+
+
Für das Feld im Körper gilt:
r 1 r
Ei = E
ε
Dielektrikum
+
r
E
r
E
ε
:
(falls die Grenzfläche
senkrecht zum Feld
steht)
Dielektrizitätszahl (dimensionslos)
+ Typische Werte von ε :
Elektronen
Atomkern
+
resultierende Oberflächenladung
(schwächt das elektrische Feld ab!)
Metalle schirmen elektrische Felder komplett ab!
Atom im elektrischen Feld
r
E
Elektronenwolke
verschiebt sich
⇒ Atom bildet Dipol
Glas
Gummi
Wasser
5-10
3
81 (18° C)
148
149
9.2 Ladungstransport
Kondensator mit Dielektrikum
+Q
Feldstärke im Material
-Q
+
+
+
+
+
+
-
E=
1 Q
ε 0ε A
Zeichen: I
Einheit: Ampere
[A]
1 [A] = 1 [C/s]
Spannung zwischen den Platten damit
1 Q
U = Ed =
d
ε 0ε A
d
Kapazität:
Elektrischer Strom: pro Zeiteinheit transportierte Ladungsmenge
1 [C/s] = 6.24*1018 Elementarladungen pro Sekunde
Ladungsträger
- in Metallen und Halbleitern: Elektronen
- in Elektrolyten:
Ionen
- in Gasentladungen:
Elektronen und Ionen
Q
A
C = = ε ε 0 = ε C0
U
d
Die Kapazität erhöht sich um die Dielektrizitätszahl des
eingebrachten Materials!
Für die Spannung bei gegebener Ladung gilt:
U=
Q Q
=
C ε C0
Die Spannung erniedrigt sich um ε !
Die Ladungsträger unterliegen einer „Reibung“ im Material;
ohne äußeres Feld bewegen sie sich (im Mittel) nicht.
⇒ Strom fließt nur zwischen Orten mit unterschiedlichem
Potential (d.h. bei angelegter Spannung)
Definition:
Widerstand R
Einheit Ohm [ Ω]
Es gilt:
I=
U
R
1 [Ω] = 1 [V / A]
Ohm‘sches Gesetz
150
Der fließende Strom ist proportional zur angelegten Spannung
und zum reziproken Widerstand.
151
9.2.1 Verschaltung von Widerständen
Reihenschaltung:
U1
U2
R1
R2
Schaltkreis zum Ohmschen Gesetz:
R
Widerstand
Leitungen
Für den gesamten Widerstand der Kette gilt (der Widerstand
der Zuleitungen wird vernachlässigt):
I
-
+
R ges = R1 + R2
n
Spannungsquelle
(bei n Widerständen:
R ges = ∑ Ri
)
i =1
Definition: spezifischer Widerstand ρ
Bei angelegter Spannung U fließt der Strom:
Einheit [Ωm]
I=
Für einen homogenen Stab gilt:
A
R=ρ
l
A
An den Widerständen fällt dabei die Spannung ab:
R1
U
R1 + R2
R2
U 2 = R2 I =
U
R1 + R2
U1 = R1 I =
l
ρ ist materialspezifisch, hängt aber von der Temperatur ab:
Metalle:
Halbleiter:
ρ steigt mit T
ρ sinkt mit T
U
U
=
R ges R1 + R2
Dabei gilt:
U1 + U 2 = U
152
Parallelschaltung:
R1
9.2.1 Elektrische Leistung
I1
I
I
R2
153
Bewegt man eine Ladung Q zwischen zwei Orten mit
Potentialunterschied U, so verändert sich die potentielle
Energie der Ladung um
∆E pot = QU
I2
Dieser Energieunterschied muss als Arbeit aufgewendet werden
(oder wird freigesetzt). Geschieht dies in der Zeit t, so ergibt sich
eine Leistung von
1
1
1
= +
Rges R1 R2
hier gilt:
(bei n Widerständen:
n
1
1
=∑
Rges i =1 Ri
P=
W QU
Q
=
= U = UI
t
t
t
)
Elektrische Leistung ist also Spannung mal Strom!
Bei angelegter Spannung U fließt der Strom:
I=
Einheit Watt [W]
U
R ges
Der Strom teilt sich auf die Widerstände auf (an beiden
liegt die gleiche Spannung an):
I1 =
U
R1
I2 =
U
R2
1 [W] = 1 [J/s] = 1 [VA]
Beispiel: die an einen Widerstand angelegt Spannung U
führt zu einem Strom I; die Leistung ist hier
U U2
P = UI = U =
= RI I = RI 2
R
R
Damit gilt für den Gesamtstrom:
I = I1 + I 2 =
U U
1
1
1
+
=U( + ) =U
R1 R 2
R1 R 2
R ges
Die Leistung ist quadratisch im fließenden Strom
bzw. in der angelegten Spannung! (die Leistung
wird als Wärme an den Widerstand abgegeben)
154
155
9.3.1 Erzeugung von Magnetfeldern
daraus folgt:
• in einer Reihenschaltung wird der Widerstand mit dem
Das Magnetfeld ist ein Vektorfeld
höchsten Wert am stärksten erwärmt (da alle vom gleichen
Strom durchflossen werden)
Einheit:
• in einer Parallelschaltung wird derjenige mit dem kleinsten
Wert am stärksten erwärmt (da an allen die gleiche Spannung
anliegt)
Stromdurchflossene Leiter erzeugen ein Magnetfeld; dieses
übt Kräfte auf andere stromdurchflossene Leiter aus.
Dabei gilt:
F
I
F
r
B
antiparallele Ströme stoßen sich ab
Es gilt:
r
B
∫
A
Rand
(Weg)
Fläche A
parallele Ströme ziehen sich an
F
I
r
j
F
I
1[T] = 1 [ Vs/m2]
Tesla [T]
Magnetfelder werden von elektrischen Strömen erzeugt
el. Stromdichte
9.3 Elektromagnetismus
r r
B(r )
µ0
r r
r r
Bds = µ 0 j dA = µ 0 I
∫
A
Das Wegintegral des Magnetfelds auf
einem geschlossenen Weg ist gleich dem
Integral der elektrische Stromdichte über
die eingeschlossene Fläche (dies ergibt
den gesamten durch diese Fläche
fliessenden elektrischen Strom)
: Induktionskonstante
µ0 = 4π * 10-7
Vs
Am
I
Zwischen zwei Leitern im Abstand von 1 m, in denen ein Strom
von 1 A fließt, wirkt eine Kraft von 2*10-7 N pro 1 m Länge.
(dies dient als die eigentliche Definition des Ampere!)
Merke: das Magnetfeld ist „rechtshändig“ (in Richtung des Stroms
gesehen umkreisen die Magnetfeldvektoren den Strom im
Uhrzeigersinn)
156
Ist das Magnetfeld auf dem Weg überall gleich stark und parallel
zum Weg ausgerichtet, ist das Wegintegral einfach die Multiplikation
mit der Weglänge:
∫
r r
Bds = B ds = BL
∫
A
Beispiel:
157
Damit ergibt sich:
BL = µ 0 NI
⇒
B = µ0
A
gerader langer stromdurchflossener Draht
I
r
B
Windungszahl
pro Länge
Aus Symmetriegründen muss das
Magnetfeld tangential auf Kreisen um
den Draht liegen. Damit gilt
∫
r
r
B
r r
Bds = B 2π r = µ 0 I
A
⇒
B=
µ0
I
2π r
Auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld wirkt die Kraft:
Im Inneren homogenes
B-Feld, aussen Null
lange Spule
Weg für Integral
r
r r
F = q v×B
r
B
N Windungen auf Länge L
∫
r r
Bds = BL
⊗
I ges = NI
r
B
Kreisbahn: Zentripetalkraft = Lorentzkraft
r ⊗
v
e-
A
Gesamtstrom durch die
vom Weg eingeschlossene
Fläche:
Lorentz-Kraft
Beispiel: Elektron im Magnetfeld
Dann gilt:
I
Strom durch den
Draht
9.3.2 Kraftwirkung von Magnetfeldern
Das Magnetfeld nimmt mit zunehmenden Abstand zum Draht ab
(und zwar umgekehrt proportional: doppelter Abstand heisst
halbes Magnetfeld).
Beispiel:
Magnetfeld in einer
langen Spule
N
I
L
⊗
r
F
r
⊗
⇒
v2
m = evB
r
mv
Bahnradius
r=
eB
158
Ströme sind bewegte Ladungen
⇒ auf stromdurchflossene Leiter im B-Feld wirken Kräfte
r
B
I
⊗ r
F
L
⊗
⊗
⊗
Strom:
Q
I=
t
Bewegen sich die Ladungsträger
mit Geschwindigkeit v durch den
Leiter, durchlaufen sie die Länge
L in der Zeit t=L/v
F
r
elektrischem Feld
e-
⊗ Fr
⊗
r r r
E = v×B
mit
Bewegung im B-Feld „erzeugt“ E-Feld!
r
E
r
r r
F = LI ×B
⊗
µ I µ L
F = LIB = LI 0 = 0 I 2
2π r 2π r
I
(L=1m, I = 1A, r = 1m ⇒
r ⊗
v
r
B ⊗
Damit ist die Kraft zwischen zwei parallelen Leitern:
F
r
r r
F = −e v × B
r
r
Kraftwirkung wie bei F = −e E
Kraft:
homogenes B-Feld
F = QvB = LIB
I
r
B
⊗
Bewegte Leiterschleife im B-Feld
Die Kraft auf den Leiter ist dann:
vektoriell:
Umgekehrt gilt: Bewegung eines Leiters im Magnetfeld erzeugt
einen Strom im Leiter
⇒
Q
Q
Qv
I= =
=
t L/v L
Damit gilt:
159
F = 2*10-7 N )
⊗ r
v
⊗
erzeugtes E-Feld ist überall
gleich groß
⇒ der Potentialunterschied
über die Leiterschleife ist
Null
inhomogenes B-Feld
r
B
⊗ ⊗
⊗ ⊗ r⊗
⊗ ⊗ E
⊗
stark
⊗
r
v
⊗
schwach
das erzeugte E-Feld ist ebenfalls
inhomogen
⇒ führt zu Potentialunterschied
über die Leiterschleife (Induktion)
160
Bei der Bewegung im inhomogenen Magnetfeld verändert sich
der magnetische Fluß durch die Schleife. Je inhomogener das
B-Feld, desto höher die induzierte Spannung, desto höher
aber auch die Änderung des Magnetfeldflusses durch die
Schleife.
Allgemein: die in einer Leiterschleife induzierte Spannung
ist proportional zur zeitliche Änderung des Magnetfeldflusses
durch die Schleife.
U
161
9.3.3 Induktionsgesetz
Jede zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch
eine Leiterschleife induziert eine Spannung (bei offener
Schleife) oder einen Strom (bei geschlossener Schleife)
Der induzierte Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte
Magnetfeld der Ursache entgegenwirkt.
r r
r r
U = − ∫ Eds = ∫ B& dA
A
Lenz‘sche Regel
A
Der magnetische Fluss durch die Leiterschleife kann geändert
werden durch:
• Änderung des Magnetfelds
• Änderung der Fläche der Schleife
• Änderung des Winkels zwischen Fläche
und Magnetfeld
Fläche A
Erinnerung:
r
j
Stromdichte
Beispiel: Dynamo
Der Gesamtstrom durch eine Fläche A ist:
I=
∫
r r rr
j dA = j A = jA
r
B
A
für
homogenes
r
j
genauso:
r r
A
r r
zeitliche Ableitung:
φ& = ∫ B& dA
A
rotierende Spule
(Fläche A,
n Windungen)
rr
BA = BA cos ωt
Induzierte Spannung:
Magnet
U =n
rfür r
j A
magnetischer Fluß durch eine Fläche
φ = ∫ BdA
Rotation:
U(t)
nωAB
d rr
( BA) = −nBAω sin ωt
dt
Wechselspannung
t
− nωAB
(Amplitude steigt mit der Frequenz)
162
163
Dividieren der Gleichungen ergibt:
9.3.4 Transformator
r
B(t )
Durch Spule 1 fließt ein
Wechselstrom
Spule 2
I1 = I 0 cos ωt
U2
~ U1
Spule 1
und erzeugt ein zeitabhängiges
Magnetfeld.
Spannungsverhältnis
am Transformator
U1 n1
=
U 2 n2
Aufbau aus zwei Spulen:
Das Spannungsverhältnis entspricht dem Verhältnis der Windungszahlen! Eine Wechselspannung kann also mit einem Transformator
verstärkt oder abgeschwächt werden!
Jetzt mit Anschluss eines Verbrauchers:
r
B (t )
In Spule 2 induziert dieses Magnetfeld eine Spannung
U 2 = n2
d r r
BdA = n2φ&
∫
dt A
auch in Spule 1 wird eine Spannung induziert (Selbstinduktion):
U1 = n1φ&
(hier geht der gleiche magnetische Fluß ein; dies gilt, wenn die
Spulen gleich groß sind und einen kleinen Abstand haben)
Diese Spannung U1 muss aufgebracht werden, um den Strom I1
aufrechtzuerhalten (eine Spule wirkt bei Wechselstrom wie ein
Widerstand).
Damit gilt für die Spannungen am Transformator:
U1 = n1φ& = n1φ0 sin ωt
U 2 = n2φ& = n2φ0 sin ωt
I2
Spule 2
R
Abgesehen von (geringen)
Verlusten muss die elektr.
Leistung erhalten bleiben:
~ U1
I1
Spule 1
P1 = P2
U1I1 = U 2 I 2
Mit obigem Ergebnis also:
I 2 U1 n1
=
=
I1 U 2 n2
Auch der Strom kann verstärkt oder abgeschwächt werden
(und zwar umgekehrt proportional zur Spannung)
164
165
9.3.5 Elektrotechnische Anmerkungen
Bemerkung: tatsächlicher Aufbau eines Transformators
r
B (t )
Im Haushalt: „230 V“ Wechselspannung, 50 Hz
U(t)
~ U1
325 V
U2
Spule 1
Amplitude: 325 V
Spule 2
t
-325 V
Eisenkern: verstärkt und führt das B-Feld
20 ms
Anwendung von Transformatoren: Stromtransport
Erzeugt am ohmschen Verbraucher die gleiche Leistung
wie eine Gleichspannung von 230 V:
I
P = UI
Leitung mit
Widerstand RL
Generator
P=
Verbraucher
∫U (t ) I (t )dt =
0
1
τ
τ
∫U 0 cos(ωt )
0
U0
cos(ωt )dt
R
2
U0 1
1 U 0 U eff
2
=
cos (ωt )dt =
=
Rτ0
R
2 R
2
∫
P2
PV = U L I = RL I 2 = RL 2
U
⇒
Verlust ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Spannung;
daher ist ein Transport bei hoher Spannung sehr vorteilhaft!
230 V
U eff =
1
U 0 = 230V
2
U
Kabel:
schematisch:
380000 V
τ
τ
τ
Verlustleistung in der Leitung:
230 V
1
braun
„Phase“
t
„Null“
t
„Erde“
t
blau
gelb/grün
Transformator
Transformator
166
Verbaucher werden mit „Phase“ und „Null“ verbunden;
„Erde“ dient ausschließlich zum Schutz!
9.3.6 Wirbelstrom
Die Bewegung eines ausgedehnten Leiters in einem inhomogenen
Magnetfeld erzeugt Kreiströme
Drehstrom: 3 Phasen
r
B
Amplitude: 325 V
U(t)
325 V
167
R
S
T
induzierte Ströme
r
v
I
t
Magnet
-325 V
max. Differenz:
Die Ströme erzeugen Wärme
⇒ bei der Beweung wird Arbeit geleistet
⇒ zwischen Leiter und Magnet wirkt eine „Reibungskraft“
3 * 325V = 562V
U
Kabel:
braun
„Phase R“
t
Technisch wird diese Kraft in „Wirbelstrombremsen“ genutzt.
„Phase S“
t
9.3.7 Selbstinduktion
r
Ein zeitabhängiger Strom durch eine
B (t )
schwarz
schwarz
„Phase T“
t
blau
~U
„Null“
t
„Erde“
t
Spule erzeugt ein zeitabhängiges
Magnetfeld; dieses erzeugt in der Spule
eine Gegenspannung
U L = nφ&
gelb/grün
φ ist proportional zum Strom:
Drehstrom erlaubt höheren Strom und höhere Spannungen
(wichtig für starke Verbraucher)!
( γ hängt von der Spule ab)
φ = γI
168
U L = nγ I& = LI&
⇒
L: Induktivität
Beispiel: lange Spule
Selbstinduktion
Einheit: Henry [H] = [Ωs]
n
l
φ = BA = µ0 IA
Hier ist
169
UC =
weiterhin
Q
C
Q& 1
U& C = = I
C C
und damit
Beides eingesetzt in die Gleichung für die Spannungen:
also
n
U = nφ& = nµ0 AI& = LI&
l
L = µ0
bzw.
1
I + LI&& = 0
C
A 2
n
l
9.3.8 Schwingkreis
⇒
Differentialgleichung
für die Stromstärke im
Schwingkreis
1
I&& = −
I
LC
Schaltung aus Kondensator und Spule
L
C
UC
UL
In einem geschlossenen
Kreis addieren sich alle
Teilspannungen zu Null:
Vergleich mit harmonischem Oszillator
Die Differentialgleichung lautet:
&x& = −
n
∑U
i =1
Hier:
UC +U L = 0
und damit auch:
U& C + U& L = 0
Es ist
U L = LI&
und damit
U& L = LI&&
i
=0
und hat die Lösung
x(t ) = x0 cos(ωt )
D
x
m
ω=
;
D
m
Für den Schwingkreis lautet die Lösung also
I (t ) = I 0 cos(ωt )
;
ω=
1
LC
Der Strom oszilliert; die Frequenz ist umso kleiner, je größer
L oder C ist!
170
Für die Spannung an der Spule gilt:
171
9.3.9 Elektromagnetische Wellen
U L = LI& = LI 0 (−ω sin(ωt )) = U 0 sin(ωt )
Auch die Spannung oszilliert, aber phasenverschoben gegenüber
dem Strom:
Jedes zeitabhängige Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.
Genauso erzeugt ein zeitabhängiges elektrisches Feld ein Magetfeld.
Herleitung: betrachten einen Kondensator
I(t)
r
B
I
t
E=
r
B
r
E
A
I
U(t)
Elektrisches Feld im Kondensator:
r
B
t
1 Q
ε0 A
Zeitliche Ableitung:
1 Q&
1
E& =
=
I
ε0 A ε0 A
umgeformt:
I = ε 0 AE&
τ = 2π LC
Ein Schwingkreis ist das elektromagnetische Analogon
zum mechanischen harmonischen Oszillator!
Annahme: der „Strom“ im Kondensator erzeugt das gleiche
Magnetfeld wie der Strom in den Zuleitungen:
∫
r r
Bds = µ 0 I = µ 0ε 0 AE&
A
Damit hat man einen direkten Zusammenhang zwischen
dem Magnetfeld und der zeitlichen Änderung des elektrischen
Felds.
172
Zusammenfassend: für die elektrischen und magnetischen
Felder gilt:
∫
r r
Bds = µ 0ε 0 AE&
∫
r r
Eds = − AB&
A
173
Für beliebig kleine ∆x wird dies:
vereinfachte
„Maxwell‘sche
Gleichungen“
δE
δB
=−
δx
δt
Analog gilt:
A
(gilt für homogene Felder und
r
E
r
r
A ; B
r
A
)
Weitere Vereinfachung der Gleichungen: das E-Feld zeige nur in
eine Richtung und variiere senkrecht dazu in seiner Stärke
Damit gilt auch
δB
δE
= − µ0ε 0
δx
δt
δ 2E
δ 2B
=− 2
δtδx
δt
δ 2B
δ 2E
= − µ 0ε 0
δxδt
δx 2
Hier gilt für das Ringintegral:
r
E1
∫
r l
E2
r r
Eds = E 2 l − E1l
Gleichsetzen ergibt:
A
= ( E 2 − E1 )l = ∆El
Damit lautet die Gleichung
∆x
Analog gilt:
δ 2E
δ 2B
=
−
δtδx
δx 2
δ 2B
δ 2E
= − µ0ε 0 2
δxδt
δt
∆El = − AB&
Integrationsweg
1 δ 2B
δ 2B
=
δt 2 µ 0ε 0 δx 2
Die Fläche A des Integrationswegs ist gegeben durch:
A = ∆xl
Damit:
∆El = − ∆xlB&
⇒
∆E
= − B&
∆x
und damit:
δ 2E
1 δ 2E
=
δt 2 µ0ε 0 δx 2
(das negative
Vorzeichen liegt
an der relativen
Ausrichtung der Vektoren)
174
Allgemein: Wellengleichung elektromagnetische Wellen
1 δ2 r
δ2 r
B ( x, t ) =
B ( x, t )
µ 0ε 0 δx 2
δt 2
1 δ2 r
δ2 r
E ( x, t ) =
E ( x, t )
µ0ε 0 δx 2
δt 2
Lösung:
(für ebene Welle
in x-Richtung)
r
r
B ( x, t ) = B0 cos(kx − ωt )
r
r
E ( x, t ) = E0 cos(kx − ωt )
mit
und
ω
k
=
Darstellung:
9.3.10 Erzeugung von elektromagnetischen Wellen
Erzeugung fast immer durch schwingende Dipole („Antennen“)
+
r
E
r
E
r
E
~U
r
r
r r
r
E0 ⊥ B0 ; E0 , B0 ⊥ c
r
r
E0 = c B0
-
r
E
in großem
Abstand fast
ebene
Wellenfronten
λ /2
„Nahfeld“
„abgelöste Wellen: Fernfeld“
Antennen: Abstrahlung (und Empfang) sind optimal, wenn
die Antennenlänge der halben Wellenlänge der Strahlung entspricht
1
µ0ε 0
r
E
r
B
Elektromagnetische Wellen sind transversal: die elektrischen
und magnetischen Feldvektoren stehen senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung!
Antenne
Geschwindigkeit der Welle:
c=
175
= 299792458
lopt =
m
s
r
c
Werte:
λ
2
=
c
2f
f = 250 MHz ⇒
λ=1.2 m,
lopt = 0.6 m
f = 2400 MHz ⇒
λ=0.125 m, lopt = 6.25 cm
(Sender in der Vorlesung)
f = 300 kHz
⇒
λ=1000 m, lopt = 500 m
(Radio, Mittelwelle)
f = 1800 MHz
(Handy)
⇒
λ=16.6 cm,
lopt = 8.4 cm
176
177
9.3.11 Polarisationsfilter
Experimentelle Anmerkung:
Von einer Antene erzeugte elektromagnetische Wellen
sind „polarisiert“: das E-Feld zeigt nur in eine Richtung
(parallel zur Antenne; das B-Feld steht senkrecht dazu)
Nachweis des elektrischen Felds einer Welle:
Antenne
Glimmlampe, zündet bei 90 V
r
E
Polarisationsfilter absorbieren oder reflektieren Wellen
abhängig von der E-Feld-Richtung
5 cm
Leuchtende Lampe zeigt, dass das elektrische Feld stärker ist
als:
90V
V
E=
= 1800
5cm
m
Beispiel: Metall-Rost
Metalloberflächen „schließen E-Felder kurz“; parallel zur
Oberfläche ist die E-Feldstärke Null
⇒ el.magn. Wellen werden reflektiert
Nachweis des magnetischen Felds einer Welle:
Voraussetzung: gute Leitfähigkeit in Richtung des E-Felds
Drahtschleife
Glühbirne
r
B
Rost
d
gute Leitfähigkeit in Richtung der Stäbe;
keine senkrecht dazu!
Die Änderung des magnetische Felds induziert einen Strom
in der Schleife; dieser wird durch die leuchtende Birne angezeigt
r
E
Metallstäbe
r
E
E-Feld der Welle:
wird reflektiert
wird durchgelassen
⇒ hinter dem Polarisationsfilter ist die Welle senkrecht zu
den Stäben polarisiert.
178
179
9.3.13 Energietransport durch el.magn. Wellen
9.3.12 Optik mit Radiowellen
Metallflächen können als Spiegel eingesetzt werden
Energiedichte eines elektromagnetischen Felds:
1
2
ρ E = (ε 0 E 2 +
1
µ0
B2 )
Einheit: [J/m3]
Normaler Dipol:
Abstrahlung in fast
alle Richtungen
Dipol mit Reflektor:
gerichtete Abstrahlung
(„Parabolantenne“)
Bei einer Welle gilt:
ε0E 2 =
1
µ0
B2
(gleicher Anteil der Energie im E- und B-Feld!)
rr
Reflektion an Ebene: stehende Welle
Spiegel
E-Feld
Welle
Überlagerung
zwischen
einlaufender und
auslaufender Welle
λ /2
An der Oberfläche ist das Feld immer Null:
Schwingungsknoten
Vor dem Spiegel treten in regelmässigen Abständen
Bereiche auf, wo die Feldstärke Null ist!
also
ρ E = ε 0 E 2 = ε 0 E0 2 cos 2 (k r )
Räumlich gemittelt:
ρE =
Damit:
1
1
ε 0 E 2 dV = ε 0 E0 2
VV
2
1
2
∫
ρ E = ε 0 E0 2 =
1 1 2
B0
2 µ0
Energiedichte
einer el.mag.
Welle
Die Welle bewegt sich mit Geschwindigkeit c; der Energiefluß
ist damit:
1
2
φE = cρ E = cε 0 E0 2 =
1 c 2
B0
2 µ0
Einheit: [J/m2s
Die von der elektromagnetischen Welle transportierte Energie
ist proportional zum Quadrat der Feldstärke!
180
9.3.14 Spektrum elektromagnetischer Wellen
Die nachweisbare Strahlung erstreckt sich über mehr als
20 Größenordnungen in der Frequenz!
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electromagnetic_spectrum_c.svg