Biosignalverarbeitung Inhalt
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Biosignalverarbeitung Werner Backfrieder Studiengang Medizin-Informatik Inhalt • Grundlagen der Elektrizitätslehre – Signale • • • • • Fourieranalyse Digitalisierung von Signalen lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) digitale Filter adaptive Filter – Wiener Filter – PCA-Filter Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg 1 Grundlagen der Elektrizitätslehre Inhalt • Elektrostatik • Ohm’scher Kreis – Kirchoff’schen Gesetze • Wechselstromkreis – kapazitiver und induktiver Widerstand – RC-Glied als Filter – LC-Schwingkreis Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg Coulombsches Gesetz • Kraft (Wechselwirkung) zwischen zwei geladenen Teilchen – direkt proportional zum Produkt der Ladungen q1 und q2 [Coulomb] – indirekt proportional zum Quadrat des Abstandes r q1 F= Werner Backfrieder q2 q1 ⋅ q2 4πε 0 r 2 1 ε0= 8,854*10-12As/Vm Dielektrizitätskonstante des Vakuums University of Applied Sciences Hagenberg 2 Elektrisches Feld • Elektrisches Feld – Jeder Ladung ist ein elektrisches Feld zugeordnet. Das die elektrische Feldstärke E entspricht jener Kraft, die auf eine positive Einheitsladung (1C) ausgeübt wird. – Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe (Betrag / Richtung) – Richtung: Die Feldrichtung wird durch die Bewegungsrichtung eines positiv geladenen Teilchens im Feld bestimmt. – Betrag = Feldstärke E = F /q E (r ) = 1 q 4πε 0 r 2 Werner Backfrieder Feld einer Punktladung q, Abhängigkeit von r. University of Applied Sciences Hagenberg Feldlinien • Feldlinien dienen zur Veranschaulichung des elektrischen Feldes. • Die Feldlinie zeigt die Richtung des Feldes im Raum an. • Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Feldstärke. (a) (b) (c) Beispiele elektrischer Felder: (a) elektrische Monopole, (b) Dipol, (c) homogenes Feld eines Plattenkondensators Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg 3 Potential - Spannung • Das Potential Φ eines Punktes r in einem Feld, ist jene Arbeit, die verrichtet werden muß, um eine Einheitsladung im Feld E von einem Bezugspunkt r0 nach r zu bringen. • Das Potential ist immer von einer Eichkonstante Φ(r0) abhängig. • Die Spannung ist der Potentialunterschied zwischen zwei Punkten im Feld U=Φ(r2)-Φ(r1) homogenes Feld inhomogenes Feld r r r0 r0 r r Φ ( r ) = ∫ E ⋅ dr Φ (r ) = E ⋅ (r − r0 ) Arbeit=Kraft x Weg r r0 Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg Stromkreis • Eine Spannungsquelle und ein Verbraucher bilden einen elektrischen Stromkreis. U + I R • Der Zusammenhang zwischen der Stromstärke I, der angelegten Spannung U und dem ohmschen Widerstand R ist durch das Ohmsche Gesetz gegeben. U = R⋅I • Definition des Stroms: Ladung die pro Zeiteinheit durch einen Leiterquerschnitt fließt. dQ I= Werner Backfrieder dt University of Applied Sciences Hagenberg 4 Kirchhoffsche Gesetze • 1. Kirschoffsches Gesetz, Knotenregel – Die Summe der an einem Knoten zu- und abfließenden Ströme ist gleich Null. I1 I I=I1+I2 Ladungserhaltung I2 • 2. Kirchhoffsches Gesetz, Maschenregel – In einer Schleife ist die Summe aller Spannungen gleich Null. U U=-U1 Die beiden Spannungen sind gegengleich. Die Stromquelle baut die Spannung U auf, die als Spannung U1 am Widerstand R abfällt. + R U1 Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg Spanungsteiler 1. 2. 3. 4. 5. U=U1+U2 U1=U-R2I U1=U-R2U/(R1+R2) U1=U(1-R2/(R1+R2)) U1=(R1/(R1+R2))U U + R1 U1 R2 U2 Beispiel Biosignale: Biologische Signale sind durch geringe Signalstärke und hohen Innenwiderstand (R2) gekennzeichnet. Um ein Signal in entsprechender Güte zu messen, muss die Messschaltung über einen hochohmigen Eingang (R1) verfügen. Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg 5 Kondensator - Impedanz Werden die beiden Platten eines Kondensators ungleich aufgeladen, so wird ein elektrisches Feld im Inneren des Kondensators aufgebaut. Die dem Feld zugeordnete Spannung und die Ladung des Kondensators bilden den Zusammenhang: Q = C ⋅U Durch Anlegen einer Wechselspannung lädt und entlädt sich der Kondensator periodisch. Der Zusammenhang von Strom und Spannung im Kondensator lässt sich wie folgt darstellen: dQ ; U = U s cos(ωt ) dt dQ dU =C = −CU sω sin(ωt ) dt dt I= Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg Strom-Spannung Kondensator Der Strom läuft der Spannung um 90o=π/2 vor. Die Phasenverschiebung beträgt Φ=+π/2. I = −ωCU s sin(ωt ) = ωCU s cos(ωt + π / 2) Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg 6 Impedanz Kondensator Analog dem Ohmschen Gesetz U=R.I wird für Wechselstrom die Beziehung zwischen Spannung und Strom durch die Impedanz Z ausgedrückt, dabei handelt es sich wegen der Phasenbeziehung um eine komplexe Größe. Im U = U s cos(ωt + π / 2) I = ωCU s cos(ωt + π / 2) I U = Z ⋅I Z =− Φ=π/2 i ωC Re U Darstellung in der komplexen Ebene Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg RC-Glied RC-Glied einfache Form des Tiefpass-Filters, i.e. ein frequenzabhängiger Spannungsteiler. Das Übertragungsverhalten ist das Verhältnis der Eingangsspannung Ue zur Spannung Ua, die am Kondensator abfällt. R Ua Ue C i − Ua 1 = ωC = Ue R − i 1 + iωRC ωC 2 Ua 1 = Ue 1 + (ωRC ) 2 ω<<1/RC: das Übertragungsverhältnis geht gegen 1, d.h. tiefe Frequenzen gehen durch, Tiefpass ω>>1/RC: hohe Frequenzen werden abgeschwächt, Phasenverschiebung Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg 7 Lorentzkraft Bewegt sich ein elektrisch geladenes Teilchen in einem Magnetfeld, wird es durch die Lorentzkraft abgelenkt. Die Richtung der Kraft ist senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld. r r r F = q ⋅ (v × B ) q Ladung v Geschwindigkeit B Magnetfeld. Spule - Selbstinduktion Eine an eine Spule angelegt Wechselspannung bewirkt eine Umkehr des Stromes, bei gleichzeitig aufgebautem Magnetfeld, dadurch wird eine Spannung induziert, die dem Strom entgegenwirkt, die Selbstinduktionsspannung. U = −L dI dt L Induktivität der Spule I Strom U Spannung Werner Backfrieder University of Applied Sciences Hagenberg LC-Schwingkreis UC +U L = 0 Q dI (t ) −L =0 C dt I (t ) d 2 I (t ) − −L =0 C dt 2 eα t − L α 2 e αt = 0 I (t ) = eαt ⇒ − C 1 i α2 = − ⇒α = ± LC LC − komplexes periodisches Signal ±i e 1 t LC = cos(± Werner Backfrieder 1 1 t ) + i sin(± t) LC LC University of Applied Sciences Hagenberg 8
