Mathematik II

Planimetrie
Trigonometrie
Stereometrie
Vektorgeometrie
Dieses bewährte Lehrmittel eignet sich als Lehr- und Arbeitsbuch
im Unterricht oder für das Selbststudium.
www.321Los.ch
www.hep-verlag.ch/math2-bm
Mathematik II Geometrie
Das Buch besteht aus den folgenden Teilen:
Hans Marthaler Benno Jakob Katharina Schudel
Mathematik II
Marthaler Jakob Schudel
Dieses Lehr- und Arbeitsbuch vermittelt das Grundwissen der
Geometrie anschaulich und praxisnah. Es basiert auf dem
Rahmenlehrplan 2012 für die Berufsmaturität der Ausrichtung
Technik, Architektur, Life Sciences und deckt diejenigen Inhalte
ab, die für das Studium an einer Fachhochschule wichtig sind.
Die einzelnen Kapitel bauen aufeinander auf und enthalten neben
der fachlichen Theorie und nachvollziehbar gelösten Beispielen
zahlreiche Übungen, die es den Lernenden erlauben, das theoretische Wissen anzuwenden und zu festigen. Die vielen Abbildungen
veranschaulichen den Stoff.
Geometrie für die Berufsmaturität
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VORWORT
Mathematik ist ein wichtiges Hilfsmittel und Werkzeug für künftige Fachhochschulstudierende und Berufsleute. Die beiden Bände Mathematik I und II enthalten die für das Studium vorausgesetzten Inhalte und
fachliche Kompetenzen, wie sie im Rahmenlehrplan für die technische Berufsmaturität gefordert sind.
Das bewährte und weit verbreitete Lehrmittel wurde im Hinblick auf die Einführung des RLP 2012 ergänzt
und angepasst. Im vorliegenden Band wurde insbesondere der Teil Vektorgeometrie vollständig überarbeitet, und behandelt neu auch die Parametergleichungen von Geraden und Ebenen. Zudem wurde das
Buch ergänzt durch ein Kapitel über Polarkoordinaten.
Im Band Mathematik II wird das Grundwissen der Geometrie anschaulich und praxisnah vermittelt. Das
Lehrmittel eignet sich als Lehr- und Arbeitsbuch im Unterricht oder für das Selbststudium. Mit zahlreichen
Abbildungen und vielen gelösten Beispielen werden mathematische Zusammenhänge verdeutlicht
und vertieft. Anhand der vielen Übungen kann der theoretische Lehrinhalt in zahlreichen Situationen
angewendet werden. Die Lösungen der Übungsaufgaben stehen kostenlos zur Verfügung unter
www.321Los.ch und www.hep-verlag.ch.
Das Buch macht die Lernenden mit spezifischen Methoden der Mathematik vertraut. Die heutigen
technischen Hilfsmittel ermöglichen die Veranschaulichung der Mathematik und unterstützen die Erforschung von mathematischen Sachverhalten. Viele Aufgaben ermöglichen deshalb den sinnvollen Einsatz
von Taschenrechner und Computer, andere können problemlos ohne Hilfsmittel gelöst werden.
Juni 2014
Hans Marthaler, Benno Jakob, Katharina Schudel
Dr. Hans Marthaler unterrichtete Mathematik an verschiedenen Berufsmaturitätsschulen in den Kantonen
Bern, Luzern und Aargau. Heute ist er Rektor am Berufsbildungszentrum Fricktal in Rheinfelden.
Benno Jakob, Reto Reuter und Matthias Burkhardt sind langjährige Mathematiklehrer an der Berufsmaturitätsschule der GIBB in Bern und haben grosse Erfahrung in unterschiedlichen Berufsmaturitätsausrichtungen.
Katharina Schudel unterrichtet seit vielen Jahren Mathematik in verschiedenen Ausrichtungen der
Berufsmaturität an mehreren Schulen im Kanton Zürich, seit 2005 an der Berufsmaturitätsschule Strickhof
Lindau.
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INHALTSVERZEICHNIS
Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Messen von Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Orientierte Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Winkelkategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2
Winkel an Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Winkel an sich schneidenden Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Winkel an geschnittenen Parallelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3
Winkel am Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Beliebige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Spezielle Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4
Winkel am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Kreiswinkelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Satz des Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1
Das allgemeine Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Besondere Punkte und Linien am Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Berechnung des Flächeninhalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
27
2.2
Dreieck und Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3
Satzgruppe des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Das rechtwinklige Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Höhensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4
Anwendungen des Satzes des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Spezielle Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.5
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Viereck und Vieleck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1
Das allgemeine Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2
Messen und Berechnen von Vierecksflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3
Spezielle Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4
Viereck und Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.5
Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Winkelsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Regelmässige Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.6
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kreis und Kreisteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1
Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Kreisumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Kreisfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2
Kreisteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Kreisbogen und Kreissektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Kreissegment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.3
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Zentrische Streckung und Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.1
Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.2
Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.3
Ähnliche Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Ähnlichkeitsabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Ähnliche Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Ähnliche Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Ähnlichkeit am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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72
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5.4
Teilung von Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Teilung einer Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Goldener Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.5
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
Trigonometrie
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Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.1
Das Bogenmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.2
Bekannte Voraussetzungen aus der Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6.3
Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.4
Definition der Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.5
Ausgewählte Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.6
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.1
Trigonometrische Funktionen und Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Winkel und Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
104
105
105
106
107
7.2
Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
7.3
Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
7.4
Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.5
Berechnungen am Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Kreissektor (auch Kreisausschnitt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Kreissegment (auch Kreisabschnitt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
116
116
7.6
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
8.1
Herleitung der Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
8.2
Eigenschaften der Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Kongruenz zwischen Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Der Graph der Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
127
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128
8.3
Transformationen der Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.4
Allgemeine Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.5
Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.6
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9.1
Definition der Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
9.2
Beziehung zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . .
144
9.3
Graphen im Polarkoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9.4
Spiralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
9.5
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
10.2 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Das Additionstheorem für den Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Das Additionstheorem für den Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Additionstheoreme für Sinus, Cosinus und Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
161
162
163
10.3 Winkelfunktion für doppelte Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
10.4 Summen und Differenzen der Funktionen zweier Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
10.5 Goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
10.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.1 Darstellungsarten von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Schiefe Parallelprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Netz oder Abwicklung eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
177
177
11.2 Punkt, Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Punktmengen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Lage von Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Winkel im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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178
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179
11.3 Grundlagen der Körperberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Oberfläche und Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Satz des Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Prisma und Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12.1 Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.3 Allgemeines Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
183
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188
12.2 Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Schrägbild und Netz des geraden Kreiszylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Zylindervolumen und Zylinderoberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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191
191
12.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Spitze Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
13.1 Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Definition und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Herleitung der Volumenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3 Schiefe Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.4 Tetraeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
200
201
203
203
13.2 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Definition und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Herleitung der Volumenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.3 Herleitung der Oberflächenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
206
207
208
13.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
Stumpfe Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
14.1 Pyramidenstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Definition und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.2 Volumen und Oberflächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
215
215
14.2 Kegelstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Definition und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.2 Berechnung des Volumens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3 Berechnung der Oberflächeninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
217
218
218
14.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kugel und Kugelteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
15.1 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Berechnung des Kugelvolumens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2 Berechnung der Kugeloberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
224
225
15.2 Kugelsegment und Kugelkappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
15.3 Kugelsektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
15.4 Kugelschicht und Kugelzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
15.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Vektorgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
16
Vektorbegriff und Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
16.1 Zum Vektorbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Vektorielle und skalare Grössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2 Vektoren und Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
235
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16.2 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2 Muliplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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237
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240
16.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
Komponentendarstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
17.1 Komponentendarstellung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1 Vektoren in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2 Ortsvektoren in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.3 Betrag eines Vektors in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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249
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251
17.2 Komponentendarstellung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1 Das räumliche Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2 Vektoren im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.3 Ortsvektoren im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4 Betrag eines Vektors im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
252
253
253
254
17.3 Vektoroperationen in Komponentenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2 Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.3 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
255
255
256
17.4 Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.1 Einheitsvektor in Richtung eines beliebigen Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.2 Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
18.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.1 Definition Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.2 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
266
267
18.2 Rechenregeln für das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
18.3 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1 Orthogonalität zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2 Winkel zwischen Vektoren und Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
272
274
18.4 Normalprojektion eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
18.5 Flächeninhalt von Rechteck und Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
18.6 Anwendung in Ökonomie und Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
18.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
Vektorielle Darstellung von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287
19.1 Die Parametergleichung der Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287
19.2 Parameter- und Funktionsgleichung der Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
19.3 Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.1 Lagekriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2 Abstand zwischen Punkt und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
290
292
19.4 Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
19.5 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
19.6 Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
19.7 Anwendung: Modellierung von geradlinigen Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
19.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
Vektorielle Darstellung der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
20.1 Die Parametergleichung der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
20.2 Lagebeziehungen zwischen Punkt und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
20.3 Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
20.4 Gegenseitige Lage von zwei Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
20.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320
12
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WINKEL
1
Planimetrie
Die Planimetrie (griech. Flächenmessung) befasst sich mit der Geometrie der Ebene. Ausgehend von
Punkten und Geraden werden weitere Objekte wie Strecken, Strahlen und Winkel definiert und ihre
Lagebeziehungen analysiert. Ein weiterer Gegenstand der Planimetrie ist die Untersuchung von zweidimensionalen Figuren wie Dreiecke, Vierecke oder Kreise.
1
Winkel
1.1
Grundlagen
Definition
Winkel
Zwei Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt S bilden einen
Winkel. Der Punkt S heisst Scheitelpunkt.
Die Strahlen p und q sind die Schenkel des
Winkels.
A
q
S
α
B
p
Kommentar
• Winkel können auf drei Arten bezeichnet werden:
– mit griechischen Buchstaben: a, b, g, …
– durch Angabe der Schenkel: /(p, q)
– durch Angabe von drei Punkten: /ASB. Den Scheitelpunkt schreibt man immer in der Mitte und die
Abfolge der Punkte erfolgt im Gegenuhrzeigersinn.
1.1.1
Messen von Winkeln
Die Grösse von Winkeln kann man in verschiedenen Massen angeben. In der Planimetrie verwenden wir
meistens Altgrad.
Definition
Altgrad
Einen Winkel der Grösse 1° (Grad) erhält man, wenn man einen Kreis durch Radien in
360 deckungsgleiche Teile (Kreissektoren) zerlegt.
Kommentar
• Für eine feinere Unterteilung kann man Minuten und Sekunden verwenden:
1° = 60 ′ (Minuten), 1 ′ = 60 ′′ (Sekunden).
• Die Teilung des Kreises in 360 Teile hat ihren Ursprung bei den Sumerern, die ein Zahlensystem mit Basis
60 verwendet haben.
• Teilt man einen Kreis durch Radien in 400 deckungsgleiche Teile, erhält man einen Winkel der Grösse
1 Gon (Neugrad). Dieses Mass wird in der Vermessungstechnik verwendet.
• Ein weiteres Winkelmass ist das Bogenmass, welches wir in Teil II kennenlernen werden.
13
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PLANIMETRIE
I
1.1.2
Orientierte Winkel
Wird ein Strahl um seinen Anfangspunkt S gedreht,
so entsteht ein orientierter Winkel.
Bei einem positiv orientierten Winkel erfolgt
die Drehung im Gegenuhrzeigersinn und die
Grössenangabe hat einen positiven Wert.
Hier wird der Ausgangsstrahl p gedreht, bis er die
Endposition q erreicht hat.
Bei einem negativ orientierten Winkel erfolgt die
Drehung im Uhrzeigersinn und die Grössenangabe
hat einen negativen Wert.
Hier wird der Ausgangsstrahl q gedreht, bis er die
Endposition p erreicht hat.
q
∠(p, q) = 40°
S
p
q
∠(q, p) = − 40°
S
p
Kommentar
• Wenn nichts ausdrücklich erwähnt wird, spielt die Orientierung des Winkels keine Rolle und es werden
ausschliesslich positive Winkelwerte verwendet.
1.1.3
Winkelkategorien
Winkel können in verschiedene Kategorien unterteilt werden. Die gebräuchlichsten sind:
Nullwinkel
spitzer Winkel
α
rechter Winkel
α
α
α = 0°
0° < α < 90°
gestreckter Winkel
überstumpfer Winkel
α
α
α = 180°
180° < α < 360°
1.2
Winkel an Geraden
1.2.1
Winkel an sich schneidenden Geraden
α = 90°
stumpfer Winkel
α
90° < α < 180°
Vollwinkel
α
α = 360°
Winkel an zwei sich schneidenden Geraden haben folgende Eigenschaften:
Scheitelwinkel und Nebenwinkel
δ
Scheitelwinkel sind gleich gross:
a = g und b = d
γ
α
(1)
β
Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel:
a + b = b + g = g + d = d + a = 180°
(2)
14
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WINKEL
1.2.2
1
Winkel an geschnittenen Parallelen
Wenn zwei parallele Geraden h1 und h2 von einer dritten Geraden g geschnitten werden, dann entstehen
bei jedem der beiden Schnittpunkte vier Winkel. Vergleicht man die Lage von zwei Winkeln eines Winkelpaares, so kann man die drei Typen Stufenwinkel, Wechselwinkel und Gegenwinkel unterscheiden, die
folgende Eigenschaften haben:
Winkel an Parallelen
g
δ'
Stufenwinkel sind gleich gross:
a = a ′, b = b ′, g = g ′, d = d ′
(3)
α'
δ
(4)
α
Gegenwinkel ergeben zusammen einen
gestreckten Winkel:
a + d ′ = b + g ′ = g + b ′ = d + a ′ = 180°
h1
β'
Wechselwinkel sind gleich gross:
a = g ′, b = d ′, g = a ′, d = b ′
γ'
γ
h2
β
(5)
Kommentar
• Man kann innere und äussere Wechselwinkel unterscheiden. Die inneren Winkel liegen innerhalb dem
Parallelenpaar h1 und h2, die äusseren ausserhalb. Das gleiche gilt für die Gegenwinkel.
• Gegenwinkel werden exakter auch als entgegengesetzt liegende Winkel bezeichnet.
• Die Sätze über Winkel an Parallelen können am elegantesten mit abbildungsgeometrischen
Überlegungen (Translation, Punktspiegelung) bewiesen werden.
1.3
Winkel am Dreieck
1.3.1
Beliebige Dreiecke
Ein Dreieck entsteht, wenn man drei Punkte miteinander verbindet, die nicht auf einer Geraden liegen.
Bezeichnungen am Dreieck
Die Eckpunkte A, B, C werden im
Gegenuhrzeigersinn bezeichnet.
C
γ
Die Winkel werden mit den griechischen
Buchstaben a, b, g bezeichnet.
a
b
Die Seiten a, b, c liegen den entsprechenden
Eckpunkten gegenüber.
Die Höhen stehen senkrecht auf der
jeweils im Index benannten Seite und
gehen durch den gegenüberliegenden
Eckpunkt.
hc
α
A
β
c
B
15
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PLANIMETRIE
I
Winkel am Dreieck haben die folgenden Eigenschaften:
Winkel am Dreieck
C
Innenwinkel
λ
Die Innenwinkelsumme beträgt in jedem beliebigen
Dreieck 180°:
γ
ϕ
(6)
a + b + g = 180°
β
Aussenwinkel
Ein Aussenwinkel ist gleich der Summe der nicht
anliegenden (gegenüberliegenden) Innenwinkel:
w = a + g, m = b + g und λ = a + b
1.3.2
B
α
A
μ
(7)
Spezielle Dreiecke
Es gibt drei Arten von speziellen Dreiecken mit folgenden Eigenschaften:
Gleichschenkliges Dreieck
Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich
lang und die beiden Basiswinkel gleich gross:
(8)
a=b
r
r
h
β
α
b
Kommentar
• Die beiden gleich langen Seiten r werden als Schenkel, die dritte Seite als Basis b bezeichnet. Deshalb
heissen die Winkel a und b Basiswinkel.
• Die Gleichheit der Basiswinkel folgt aus der Tatsache, dass die Höhe h Symmetrieachse ist.
Rechtwinkliges Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der
nicht rechten Winkel 90°:
(9)
a + b = 90°
α
β
Kommentar
• Dies folgt direkt aus der Innenwinkelsumme im allgemeinen Dreieck:
a + b + 90° = 180°
⇒ a + b = 90°
16
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WINKEL
1
Gleichseitiges Dreieck
Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten und alle
drei Winkel gleich gross. Jeder Innenwinkel beträgt 60°:
γ
s
s
(10)
a = b = g = 60°
α
β
s
„ Beispiele
(1) Gegeben ist der Winkel a.
Berechnen Sie d.
O
P
δ
Lösung:
Die Winkel a und /OPM sind Wechselwinkel
und deshalb gleich gross:
/OPM = a
α
}}
Wir zeichnen die Hilfslinie MO ein.
Das Dreieck nMOP ist gleichschenklig
}} }}
(MO = MP = Kreisradius), also gilt:
N
M
/MOP = /OPM = a
/MOP und /OMN sind Wechselwinkel und deshalb gleich gross:
/OMN = /MOP = a
}}
}}
Das Dreieck nMNO ist gleichschenklig (MN = MO = Kreisradius), deshalb gilt:
180° – a
/NOM = }}}}
2
Der Winkel d setzt sich aus den Winkeln /NOM und /MOP zusammen. Durch Einsetzen und
Vereinfachen ergibt sich:
180° – a + a = 90° – }
a + a = 90° + }
a
d = /NOM + /MOP = }}}}
2
2
2
(2) Gegeben sind die Winkel a und b.
Berechnen Sie λ.
C
Lösung:
Das Teildreieck nAPC ist gleichschenklig
}} }}
(AP = CP = Kreisradius):
λ
/PCA = a
/CPQ ist Aussenwinkel von nAPC:
A
β
α
P
Q
B
/CPQ = 2a
17
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PLANIMETRIE
I
}}
}}
Das Teildreieck nQBC ist gleichschenklig (BQ = CQ = Kreisradius):
/BCQ = b
/PQC ist Aussenwinkel von nQBC:
/PQC = 2b
Im Teildreieck nPQC beträgt die Innenwinkelsumme 180°, also kann der gesuchte Winkel
berechnet werden:
λ = 180° – 2a – 2b = 180° – 2 (a + b)
‹ Übungen 1 → S. 22
1.4
Winkel am Kreis
1.4.1
Bezeichnungen
b'
Wir wählen zwei Punkte A und B auf der
Kreislinie. Die beiden Punkte unterteilen die
Kreislinie in einen Kreisbogen b und einen
Ergänzungsbogen b ′.
M
t
r
Eine Gerade durch A und B heisst Sekante s,
die Strecke AB Sehne.
Eine Gerade durch einen der Punkte an den
Kreisbogen heisst Tangente t und steht senkrecht
auf dem Berührradius r.
B
s
A
b
Am Kreis kommen verschiedene Winkel vor. Die beiden wichtigsten sind der Zentri- und der
Peripheriewinkel:
Definition
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)
Ein Winkel mit Scheitel im Kreismittelpunkt
M heisst Zentriwinkel.
Zu jedem Kreisbogen gehört ein Zentriwinkel:
• w gehört zum Bogen b
• w ′ gehört zum Ergänzungsbogen b ′
b'
ϕ'
M
ϕ
B
A
b
18
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WINKEL
Definition
Peripheriewinkel (Umfangswinkel)
Ein Winkel mit Scheitel auf der
Kreislinie heisst Peripheriewinkel,
wenn seine Schenkel die Kreislinie
schneiden.
1
b'
γ'
γ
Zu jedem Bogen gehören beliebig
viele Peripheriewinkel:
• g und g ′ gehören zum Bogen b
• d und d ′ gehören zum Ergänzungsbogen b ′
M
δ'
δ
b
1.4.2
Kreiswinkelsätze
Zwischen den Winkeln am Kreis bestehen folgende Beziehungen:
Peripheriewinkelsätze
b'
Alle Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen b
sind gleich gross.
g = g′
γ'
(11)
Ein Peripheriewinkel über dem Bogen b und ein
solcher über dem Ergänzungsbogen b ′ ergeben
zusammen einen gestreckten Winkel.
g + d = 180°
γ
M
ϕ
(12)
Zentriwinkelsatz
Ein Peripheriewinkel über dem Bogen b ist halb
so gross wie der zum Bogen b gehörende
Zentriwinkel.
w
g=}
2
δ
b
(13)
Kommentar
• Der Satz über den Sehnentangentenwinkel wurde weggelassen. Er ist sowohl für die OrtsbogenKonstruktion wie für das Berechnen von Winkeln nicht unbedingt nötig.
• Die Sätze werden häufig auch anders formuliert: es wird von Winkeln über der gleichen Sehne statt
über dem gleichen Bogen gesprochen.
19
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PLANIMETRIE
I
1.4.3
Satz des Thales
Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes. Da der Bogen nun ein Halbkreis ist,
beträgt der Zentriwinkel w = 180° und jeder Peripheriewinkel damit g = 90°.
Satz des Thales
C
Liegt ein Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser
}}
AB, so ist der Winkel /BCA ein rechter Winkel:
/BCA = g = 90°
(14)
A
Umkehrung
B
M
Hat das Dreieck nABC bei C einen rechten Winkel,
}}
so liegt C auf dem Kreis über AB.
„ Beispiele
(1) Berechnen Sie den Winkel b aus a.
β
Lösung:
Wir zeichnen ein paar wichtige Hilfslinien
ein, um zum Lösen der Aufgabe wesentliche
Eigenschaften besser zu erkennen.
M
α
/QRS ist Peripheriewinkel und /QMS
ist Zentriwinkel über dem Bogen QS:
/QMS = 2b
Die Dreiecke nPQM und nPMS sind
kongruent, da alle drei Seiten gleich lang
sind (eine gemeinsame Seite, zwei Paare
gleicher Kreisradien):
a und /QMP = b
/MPQ = }
2
Das Dreieck nPQM ist gleichschenklig
}} }}
(PQ = MP = Kreisradius):
S
R
β
M
P
α
/QMP = /PQM = b
Q
Aus der Innenwinkelsumme des Dreiecks nPQM folgt:
a
} + 2 b = 180° ⇒ a + 4 b = 360° ⇒ 4 b = 360° – a ⇒
2
a
b = 90° – }
4
20
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WINKEL
1
C
(2) Berechnen Sie die Winkel a, b und g.
Lösung:
Das Dreieck nAMC ist gleichseitig
}} }} }}
(AC = AM = CM = Kreisradius). So gilt für b:
γ
β
b = 60°
a ist der Peripheriewinkel, der zum Zentriwinkel b gehört. Also gilt für a:
A
D
α
M
B
b 60°
= 30°
a = } = }}
2
2
Die Dreiecke nMBC und nBCD sind gleichschenklig (gleiche Kreisradien):
/BCM = a
/CDB = /BCD = g + a
Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck nBCD folgt:
(g + a) + (g + a) + a = 180° ⇒
2g = 90°
⇒
(g + 30°) + (g + 30°) + 30° = 180°
g = 45°
‹ Übungen 2 → S. 24
Terminologie
Altgrad
Aussenwinkel
Basiswinkel
Ecken
Gegenuhrzeigersinn
Gegenwinkel
gleichschenklig
gleichseitig
Höhe
Innenwinkel
Kreisbogen
Kreislinie
Kreismittelpunkt
Nebenwinkel
orientierter Winkel
Peripheriewinkel
rechtwinklig
Satz des Thales
Scheitelpunkt
Scheitelwinkel
Schenkel
Sehne
Seiten
Sekante
Stufenwinkel
Symmetrieachse
Tangente
Uhrzeigersinn
Wechselwinkel
Winkel
Zentriwinkel
21
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PLANIMETRIE
I
1.5
Übungen
Übungen 1
1. Zeigen Sie mit der Figur und den Sätzen über Winkel
an Geradenkreuzungen und Parallelen, dass a)
γ
die Innenwinkelsumme im Dreieck 180°
beträgt,
ein Aussenwinkel gleich der Summe der beiden
gegenüberliegenden Innenwinkel ist.
b)
α
ϕ
β
2. Berechnen Sie jeweils die bezeichneten Winkel.
a)
b)
30°
α
β
α
47°
45°
c)
d)
α
α
75°
56°
β
60°
3. Ein Kugellager besteht aus 18 Kugeln. Welchen Winkel schliessen die Mittellinien zweier aufeinander folgender Kugeln ein? (Mittellinie = Linie durch das Zentrum einer Kugel und das Zentrum des Kugellagers)
4. Drücken Sie ε durch a aus.
Wie gross ist ε für a = 76°?
β
γ
ε
β α
ε
γ
5. Berechnen Sie jeweils die bezeichneten Winkel. wg ist die Winkelhalbierende von g.
a)
b)
wγ
γ
α
β
α
γ
26°
62°
42°
wγ
22
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WINKEL
c)
α
β
1
d)
27°
64°
68°
α
6. Bestimmen Sie jeweils b aus a (allgemein) sowie b für a = 38°.
a)
b)
β
x
x
α
x
α
β
7. Gegeben seien die Winkel a und bei b) zusätzlich b. Bestimmen Sie ε.
a)
b)
ε
α
ε
α
β
8. Eine Billardkugel prallt bei einem Stoss auf zwei
Banden und legt die in der Skizze eingezeichnete
rote Bahn zurück.
a)
b)
c)
d)
α
ε
α
Der Winkel g zwischen den Banden beträgt
40°. Bestimmen Sie den Winkel ε.
Drücken Sie aus, wie der Winkel ε allgemein
β
β
γ
vom Winkel g zwischen den Banden abhängt.
Ein Billardtisch hat einen Eckwinkel von
g = 90°. Setzen Sie diesen Wert in die unter b)
gewonnene Formel ein. Wie interpretieren Sie
das Ergebnis?
g sei nun stumpfwinklig, zum Beispiel 130°. Setzen Sie diesen Wert in die unter b) gewonnene
Formel ein. Wie interpretieren Sie das Ergebnis?
23
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PLANIMETRIE
I
Übungen 2
9. a)
Zeigen Sie anhand der abgebildeten Figur,
dass der Zentriwinkel w zu einer Sehne s gleich
dem Zweifachen des Peripheriewinkels g
derselben Sehne ist. Als Hilfe sind die beiden
Winkel a und a ′ eingezeichnet.
γ
M
α'
α
ϕ
s
b)
Zeigen Sie in Anlehnung an Aufgabe 9a), dass
sämtliche Peripheriewinkel g zu einer Sehne s
gleich gross sind.
γ
γ
M
s
c)
Zeigen Sie in Anlehnung an Aufgabe 9a), dass
der Peripheriewinkel g zu einem Kreisbogen
b und der Peripheriewinkel δ des Ergänzungsbogens b ′ zusammen einen gestreckten
Winkel ergeben.
b
γ
M
s
δ
b'
24
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WINKEL
1
10. Bestimmen Sie jeweils die bezeichneten Winkel.
a)
b)
α
61°
β
130°
20°
c)
32°
d)
γ
δ
132°
11. Gegeben sei Winkel a. Bestimmen Sie b.
α
β
12. Bestimmen Sie jeweils die bezeichneten Winkel.
a)
b)
β
α
4α
β
25
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