Mathematik für Informatiker Kombinatorik und Analysis ¨Ubungsblatt 8

Wintersemester 16/17
Dr. Janko Boehm
Mathematik für Informatiker
Kombinatorik und Analysis
Übungsblatt 8
Abgabetermin Montag, den 09.01.2017 vor der Vorlesung.
1. Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Abschnitt 4 für Ihren Klausurmerkzettel (etwa
1/2 DIN A4 Seite, Abgabe als Fotokopie). Notieren Sie sich auch (auf Ihrer Abgabe) Ihre
Fragen zur Diskussion in Treffpunkt und Vorlesung.
2. Auf der einen Seite einer Waage
befinden sich 10 Lebkuchen und 1 Lebkuchen auf der anderen. Die Waage stellt sich
waagerecht, wenn die eine Seite höchstens 1% schwerer als die andere Seite ist. Wir legen
nun schrittweise jeweils auf beiden Seiten 1 Lebkuchen hinzu.
(a) Nach wievielen Schritten n steht die Waage zum ersten Mal waagerecht?
(b) Sei an = 10 + n und bn = 1 + n. Zeigen Sie, dass limn→∞
3. Für n ∈ N sei
an =
an
bn
= 1.
5n
.
2n + 1
(a) Bestimmen Sie für m = 1, m = 10 und m = 100 jeweils ein N ∈ N mit
5
an − < 1
für alle n ≥ N .
2 m
(b) Zeigen Sie, dass limn→∞ an = 52 .
4. Für n ∈ N definieren wir die Folgen
√
√
an = n + 1000 − n
bn =
p
n+
n
1000
−
(a) Zeigen Sie: Für 1 ≤ n < 1 000 000 gilt an > bn , jedoch
limn→∞ an = 0
Hinweis: x − y =
limn→∞ bn = ∞
x2 −y 2
.
x+y
(b) Visualisieren Sie die beiden Folgen in Maple.
√
n
5. (4 Zusatzpunkte) Sei Fr ⊂ Q die Menge der positiven Fließkommazahlen mit r +1 Stellen,
d.h. die Menge der rationalen Zahlen
s0 .s1 ...sr · 10k := s0 · 10k + s1 · 10k−1 + ... + sr · 10k−r
mit si ∈ {0, ..., 9}, s0 6= 0 und k ∈ Z.
Bei der Fließkomma-Addition berechnet der Computer
Fr × Fr → Fr , (a, b) 7→ rdr (a + b)
wobei wir für 10k ≤ x < 10k+1 mit rdr (x) ∈ Fr die übliche Rundung
x − 5 · 10k−r−1 < rdr (x) ≤ x + 5 · 10k−r−1
von x auf r + 1 Fließkommastellen bezeichnen.
(a) Bestimmen Sie rd2 (5.491), rd2 (5.495) und rd2 (99.96).
(b) Zeigen Sie, dass für
a = 1.0002 · 10−2
b = 9.0003 · 10−2
c = 7.0001 · 10−2
gilt
rd4 (rd4 (a + b) + c) 6= rd4 (a + rd4 (b + c)) .
(c) Implementieren Sie die Fließkomma-Addition.
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