¨Ubungen zur Elementaren Zahlentheorie Bergische Universität

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Blatt 4
Abgabe bis 17. Mai 2017, 12 Uhr
Bergische Universität Wuppertal
PD Dr. Thorsten Weist
Dr. Martin Bender
Aufgabe 1
Für Elemente (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ R1 × . . . × Rn
Gegeben seine Ringe R1 , . . . , Rn .
definieren wir
(a1 , . . . , an )+(b1 , . . . , bn ) := (a1 +b1 , . . . , an +bn ),
(a1 , . . . , an )·(b1 , . . . , bn ) := (a1 ·b1 , . . . , an ·bn ).
Zeigen Sie:
a) (R1 × . . . × Rn , +, ·) ist ein Ring.
b) Sind m1 , . . . , mn ∈ N paarweise teilerfremd, so ist die Abbildung
ϕ : Z/(m1 · . . . · mn )Z → Z/m1 Z × . . . × Z/mn Z,
[a]m1 ·...·mn 7→ ([a]m1 , . . . , [a]mn )
ein Isomorphismus von Ringen.
Aufgabe 2
a) Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen x ∈ Z, welche simultan die Kongruenzen
4x ≡ 1 (mod 11)
5x ≡ 1 (mod 12)
6x ≡ 1 (mod 13)
erfüllen.
b) Bestimmen Sie für alle m ∈ {10, 20, 30} die Elemente der Gruppe (Z/mZ)∗ . Geben Sie
ferner zu jedem Element das Inverse an.
Aufgabe 3
Seien k, n ∈ N. Wir betrachten die 10k -Darstellung der natürlichen Zahl n:
n=
r
X
ai 10ki ,
ai ∈ {0, 1, . . . , 10k − 1}.
i=0
Nun definieren wir die k-Quersume (bzw. die alternierende k-Quersumme) von n durch
Qk (n) =
r
X
i=0
ai ,
(bzw. AQk (n) =
r
X
(−1)i ai ).
i=0
a) Zeigen Sie, dass [n]10k −1 = [Qk (n)]10k −1 und [n]10k +1 = [AQk (n)]10k +1 .
b) Sei x ∈ N ein Teiler von 10k − 1 (bzw. von 10k + 1). Zeigen Sie, dass n genau dann von x
geteilt wird, wenn Qk (n) (bzw. AQk (n)) von x geteilt wird.
c) Zeigen Sie, dass n genau dann von 7 (bzw. von 13) geteilt wird, wenn AQ3 (n) von 7 (bzw.
von 13) geteilt wird.
Aufgabe 4
Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Für alle n ≥ 3 ist ϕ(n) gerade.
b) Für alle n ≥ 5 ist (Z/nZ)∗ zyklisch.
c) Es existiert keine ganze Zahl x, welche simultan die Kongruenzen
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 10)
x ≡ 6 (mod 25)
erfüllt.
d) Gilt 6 | n, so folgt ϕ(n) ≤ n3 .