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Kapitel 1
Mechanik
1.1 Kinematik
1.2 Dynamik
1.3 Kräfte
1.4 Arbeit, Energie und Leistung
1.5 Statik
1.6 Periodische Bewegungen
1.7 Stoßgesetze
Prof. J. Stroth
Einführung in die Physik für Studierende der
Pharmazie
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1.2 Dynamik
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Einführung in die Physik für Studierende der
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1.2 Dynamik
Die Trägheit
Welche Bewegungen bedürfen eigentlich einer besonderen Ursache und welche nicht?
Galileo Galilei (1564-1642) hält fest:
– Eine Bewegung mit konstantem
Geschwindigkeitsvektor (also
gleichförmig und geradlinig) bedarf
keiner Ursache.
– N.B.: „Ruhe“ ist hiervon nur der
Spezialfall v=0.
Dies ist der Inhalt des Galileischen
Trägheitsprinzips.
Kräfte bewirken eine Veränderung des gradlinigen Bewegungszustandes:
Ursache = Kraft
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1.2 Dynamik
Kraft und Masse
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Eine Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers bedarf der Wirkung einer Kraft
auf den Körper.
rper Er wird dann beschleunigt. Die Kraft ist ebenfalls ein Vektor, der parallel
zur Beschleunigung orientiert ist.
Empirisch ist festzustellen:
) Die Beschleunigung ist proportional zur wirkenden Kraft!
Dem beschleunigt werden setzt ein Körper einen „Widerstand“ entgegen. Dies ist eine
Folge seiner trägen Masse m.
Isaac Newton (1643-1727) formuliert diese
Erfahrungstatsache in seinem Aktionsprinzip:
d 2r
F = m 2 = m&r& = ma
dt
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1.2 Dynamik
Die Newtonschen Axiome
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Die Newtonsche Formulierung der Mechanik basiert auf drei Sätzen:
Trägheitsprinzip
Ein Körper verharrt in seinen gegenwärtigen Bewegungszustand wenn die Summe der auf
ihn einwirkenden Kräfte sich kompensieren.
kompensieren
Ö z.B. die Billardkugel, die nach dem Anstoßen so lange über den Filz des Tisches läuft,
bis sie an die Tischkante kommt oder mit einer anderen Kugel zusammenstößt.
Aktionsprinzip
Die auf einen Körper einwirkende resultierende Kraft bewirkt eine proportionale
Beschleunigung.
Ö Stößt die Kugel an die Kante, überträgt diese eine Kraft auf die Kugel worauf sich die
Bewegungsrichtung ändert.
Reaktionsprinzip
Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt
eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A.
Ö Die Kraft die von der Kante auf die Kugel übertragen wurde wirkt auch auf den Tisch.
Da dieser viel schwerer ist und zudem noch fest auf dem Boden steht führt die Kraft zu
keiner merklichen Beschleunigung (m → ∞)
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1.2 Dynamik
Actio gleich Reactio
Beispiel: Laufen oder Springen
Beim Laufen oder Springen übt Ihr Körper eine nach unten gerichtete
Kraft auf die Unterlage aus. Nach dem Reaktionsprinzip übt die
Unterlage eine nach oben gerichtete Reaktionskraft auf Ihren Körper
aus.
Beispiel: Münchhausen
Hier ist kein zweiter Körper vorhanden,
der die benötigte Reaktionskraft auf
den Baron ausübt. Durch Ziehen am
eigenen Zopf kann man sich daher
nicht aus dem Sumpf retten.
Kraft und Gegenkraft heben sich auf!!
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1.2 Dynamik
Einsteins Äquivalenzprinzip
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Es gibt zwei Definitionen für "Masse"!
Schwere Masse:
Masse
) Eigenschaft der Materie die bestimmt, wie stark ein Körper von einem anderen
Körper aufgrund der Gravitationskraft angezogen wird.
Träge Masse:
Masse
) Eigenschaft der Materie, sich bei einer äußeren Krafteinwirkung einer Änderung des
Bewegungszustandes zu widersetzen.
Beispiel. Freier Fall
Beim freien Fall betrachten wir eine beschleunigte Bewegung aufgrund der
Gravitationskraft, also:
G ⋅ mschwer = a ⋅ mträge
a = G ⋅ mmschwer
träge
Da es sich in beiden Fällen offensichtlich um die gleiche Eigenschaft von Materie handelt
hat man die Gravitationskonstante so gewählt, dass träge und schwere Masse gleich sind!
1.3 Kräfte
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1.3 Kräfte
Gravitation
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Massebehaftete Körper ziehen sich gegenseitig an. Die Gravitationskraft...
– steigt proportional mit der Masse der Körper
– sinkt proportional mit dem Quadrat des Abstandes
mm
F = γ 12 2
r
mit
3
m
γ = 6.67 ⋅10 −11
kg ⋅ s 2
Diese Kraft ist uns als Lebewesen auf der Erdoberfläche allgegenwärtig. Die Schwerkraft
ist die Kraft, mit der wir von der Erde auf Grund unserer Masse (Gewicht)
Gewicht angezogen
werden. Dies ist die schwere Masse!
FG = G ⋅ m
mit
G=
γ ⋅ mErde
2
RErde
m
≈ 9.81 2
s
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1.3 Kräfte
Elektromagnetische Kräfte
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Coulomb-Kraft
Elektrische Ladungen wirken Kräfte aufeinander aus. Das Kraftgesetz ist analog zur
Gravitation, allerdings können Ladungen (q) positiv und negativ sein, Massen nicht!
F =α
q1q2
r2
Lorentzkraft
Wirkt auf bewegte Ladungen in einem Magnetfeld.
Magnetfeld Insbesondere daher auch auf
stromdurchflossene Leiter.
– Besonderheit: Die Kraft wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung und nur
die Feldkomponente senkrecht zur Geschwindigkeit bestimmt die Stärke
(Kreuzprodukt)
F = q (v × B )
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1.3 Kräfte
Das Hookesche Gesetz
Die rücktreibende Kraft F einer ausgelenkten Feder ist der Auslenkung x
entgegengerichtet. In vielen Fällen und für nicht zu große Auslenkungen ist die
rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung.
In diesem Fall genügt die Feder dem
Hookeschen Gesetz:
F = −k ⋅ x
Der Proportionalitätsfaktor k heißt auch
Federkonstante.
Solche Federn eignen sich besonders zur
Messung von Kräften und heißen Federwaagen.
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1.3 Kräfte
Haftreibung
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Um einen Körper, der mit der Normalkraft FN gegen seine Unterlage gedrückt wird, auf
dieser Unterlage zu verschieben, muss die tangential angreifende Kraft F den
Schwellenwert µ0FN überschreiten.
Kleinere Kräfte werden durch die Haftreibungskraft FR ausgeglichen.
Es gilt:
FR = −F
FR ≤ µ 0 FN
) µ0 heißt Haftreibungszahl. Haftreibung entsteht durch mikroskopische „Verzahnung“
der Oberflächen.
) Die Haftreibungszahl ist unabhängig von der Größe der Berührungsfläche
Autos fahren um die Kurve so lange die Haftreibungskraft der Reifen größer ist als die
Zentrifugalkraft. Es wirkt die Haftreibung da der Reifen relativ zum Untergrund (Fahrbahn)
in Ruhe ist (abrollt).
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1.3 Kräfte
Bestimmung der Reibungszahl
Man bestimmt für den Körper auf einer schiefen Ebene den Neigungswinkel α, bei dem
der Körper gerade zu rutschen anfängt (Haftreibung) bzw. bei dem er sich gerade noch
langsam gleichförmig weiterbewegt (Gleitreibung).
– Es gilt wegen der Abhängigkeit von
der Normalkraft:
µ0 = tan α
r
FH
r
F
α
r
FG
α
r
FN
F = mg sin α = FH ,max = µ 0 FN = µ 0 mg cos α
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Gleitet ein Körper auf seiner Unterlage, dann erfährt er entgegen seiner
Bewegungsrichtung eine Gleitreibungskraft FR vom Betrag
FR = µG FN
) Die Gleitreibungszahl µG ist stets kleiner als die Haftreibungszahl µ0.
) Hat also eine Antriebskraft einen
Körper erst einmal in Bewegung
gesetzt, wird sie ihn beschleunigend
weiter bewegen.
Reibungskraft FR
1.3 Kräfte
Gleitreibung
FR = µ0FN
FR = µGFN
FR = F
angreifende Kraft F
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Reibungskoeffizienten
Typische Werte
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1.4 Arbeit, Energie und
Leistung
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Arbeit
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Der Begriff der Arbeit geht auf die Erfahrungen zurück, die man beim Umgang mit Hebeln,
Seilen und Rollen macht:
Mit einer geeigneten Übersetzung lässt sich der Kraftaufwand reduzieren. Dies geht
aber immer auf Kosten des „Weges“, den man zurücklegen muss. Umgekehrt ist ein
„Weggewinn“ nur mit erhöhtem Kraftaufwand zu bewerkstelligen.
Wir fassen dies in der Goldenen Regel der Mechanik zusammen:
) Das Produkt Kraft x Weg bleibt erhalten, wenn man Reibungsverluste
vernachlässigen kann.
z.B.: Flaschenzug, Masse eine schiefe Ebene hoch ziehen, Hebel, …
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Arbeit
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Wird ein Objekt gegen eine Kraft verschoben so wird mechanische Arbeit geleistet:
W = F ⋅ ∆x
kg ⋅ m 2
[W ] = Nm = 2 = J (Joule)
s
Arbeit wird nur verrichtet, wenn die Bewegung parallel oder antiparallel zur Kraft erfolgt.
Man kann daher die Arbeit über das Skalarprodukt definieren:
W = F ⋅ ∆x = F ∆x cos α
) Es wird also keine Arbeit geleistet, wenn Kraft und Verschiebung senkrecht
aufeinander stehen.
) Die Arbeit ist ein Skalar
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Potential
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Für beliebige Wege muss zur Berechnung der Arbeit ein Integral ausgewertet werden:
x2
W = ∫ F(x) ⋅ dx
x1
Ist die Kraft zeitlich konstant und hängt nur dazu nur vom Ort ab, dann ist die geleistete
Arbeit bei einer Bewegung von x1 zu x2 unabhängig vom Weg zwischen den Punkten!
) Solche Kräfte werden z.B durch äußere Kraftfelder vermittelt.
8 Gravitation
8 Coulombfeld
x2
8 Reibungskräfte erfüllen dies nicht!
∫ F (x) ⋅ dx
Die verrichtete Arbeit ist in einem Körper
als potentielle Energie „gespeichert“.
x1
= W pot
bel.Weg
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Potentielle Energie
Schwerfeld der Erde (Gravitation)
) Die Seilbahn verrichtet Arbeit um dem Skifahrer
die zur Abfahrt nötige potentielle Energie zu
geben. Diese benutzt er zur Abfahrt, wobei
wiederum Arbeit aufgrund der Reibung verrichtet
wird.
) Speicherkraftwerke nutzen die potentielle
Energie von Wasser in Speicherseen zur
Erzeugung von Strom.
Gespannte Feder (Coulomb)
–
Beim Spannen der Armbrust wird Arbeit
geleistet und in der Biegung der Feder
gespeichert. Atome im Stahl werden
gegeneinander verschoben und damit aus ihrer
Ruhelage gebracht.
–
Die Fahrzeugdämpfung speichert Energie
durch Vertikalbewegung zunächst in einer Feder
und wandelt sie dann über Reibung im Dämpfer
in Wärme um.
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Escher‘s Potentialbilder
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Der Energiesatz
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Wir haben gesehen, dass verschiedene Energieformen in einander umgewandelt werden
können. Energie geht aber nie verloren, sie ist in der Natur erhalten. In einem
konservativen Kraftfeld ( = ohne Reibungsverluste) ist die Summe aus kinetischer und
potentieller Energie (mechanische Energie) konstant:
d
(Wkin + W pot ) = 0 ⇔ Wkin + W pot = konst.
dt
Das lässt sich leicht zeigen:
dWkin d ( 12 mv 2 )
=
= mvv& = mva
dt
dt
dW pot
dt
=
− Fdr
= − mav
dt
Die Einschränkung auf mechanische Energie ist wichtig. Die Gesamtenergie ist natürlich
immer erhalten. Falls jedoch Reibung auftritt, wird ein Teil der Gesamtenergie in Wärme
umgewandelt.
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Beispiele
Beschleunigen eines Körpers durch Kraft F (ohne Reibung)
) es wird Arbeit verrichtet, die dann als kinetische Energie im Körper steckt.
Anheben eines Körpers im Schwerefeld der Erde um die Höhe h
) es wird Arbeit verrichtet, die dann als potentielle Energie im Körper steckt.
Fallen lassen eines Körpers im Schwerefeld der Erde um die Höhe h:
) die potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt.
Horizontale Verschiebung eines Körpers im Schwerefeld (ohne Reibung):
) potentielle und kinetische Energie sind vorher und nachher gleich, es wird keine
Arbeit verrichtet.
Horizontale Verschiebung eines Körpers im Schwerefeld (mit Reibung):
) es wird Arbeit gegen die Reibungskraft verrichtet. Diese steckt dann in Form von
Wärme im System.
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1.4 Arbeit, Energie und Leistung
Kinetische Energie
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Beim Beschleunigen eines Körpers wird Arbeit verrichtet. Durch die Massenträgheit des
Körpers wirkt ständig eine Kraft entgegen der Bewegungsrichtung. Die verrichtete Arbeit
„trägt“ der Körper als kinetische Energie.
Energie
v = at → a =
v
t
⎛v 1 ⎞ 1
W = F ⋅ x = m(a ⋅ x ) = m⎜ ⋅ vt ⎟ = mv 2
⎝t 2 ⎠ 2
1 2 1
x = at = vt
2
2
In gewisser Weise ist auch hier die verrichtete Arbeit gespeichert. Energie und Arbeit sind
eng miteinander verknüpft. Sie haben, wie man sieht, dieselbe Einheit:
[ ]
m 2 kg m m
[Wkin ] = [m]⋅ v = kg ⋅ 2 =
⋅ = [F ]⋅ [a ] = Nm = J
s
s
s
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Leistung
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Die Leistung P gibt an, wie schnell Energie von einem System auf ein anderes übertragen
wird. Sie ist definiert als die verrichtete Arbeit pro Zeiteinheit. Sie ist ein Skalar.
W
P=
t
Nm
[P] =
= W (Watt )
s
Im Alltag gebräuchliche Leistungsangaben sind:
)
Elektrische Leistung („Stromverbrauch“)
In einer Glühbirne wird elektrische Energie in Wärme und Licht (kinetische Energie
von Photonen) umgewandelt. Der „Verbrauch“ von elektrischer Energie im
Abrechnungszeitraum wird in kWh angegeben.
1kWh = 3.6 ⋅106 Ws = 3.6 MJ
)
Die Leistung eines Fahrzeuges wir häufig noch in der Einheit PS angegeben.
1 PS = 735.5 W