Zahlen - TU Dresden

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Zahlen
Bernhard Ganter
Institut für Algebra
TU Dresden
D-01062 Dresden
[email protected]
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Die natürlichen Zahlen
Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S +
durch
S + := S ∪ {S}.
Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge ∅, eine
unendliche Folge von Mengen bilden:
∅ = ∅
+
∅
= {∅}
++
∅
= {∅, {∅}}
+++
= {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
∅
...
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
ω := {0, 1, 2, . . .}
Kürzt man ab
∅ =: 0
+
+
∅ =0
=: 1
++
+
=: 2
+
=: 3
∅
+++
∅
=1
=2
...
so erhält man 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, . . . , allgemeiner
also
n + 1 = {0, 1, . . . , n}.
Auf diese Weise erhält man die Menge N der natürlichen Zahlen
einschließlich Null. Ein anderes Symbol dafür ist ω.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Peano-Axiome
Man kann diese Menge durch fünf Eigenschaften charakterisieren,
die oft als die Peano-Axiome bezeichnet werden:
1
0 ∈ ω.
2
Wenn n ∈ ω, dann auch n+ ∈ ω.
3
Wenn S ⊆ ω, 0 ∈ S und mit n ∈ S auch immer n+ ∈ S, dann
S = ω.
4
Wenn n+ = m+ , dann m = n.
5
n+ 6= 0 für alle n ∈ ω.
Auf diese Weise erhält man die Menge ω, also noch nicht die
Rechenstruktur.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Arithmetik
Die arithmetischen Operationen definiert man nun induktiv.
Zunächst die Addition: Für eine beliebige Zahl m ∈ ω sei
m + 0 := m
und
m + n+ := (m + n)+ .
Man muss dann beweisen, dass diese Addition den vertrauten
Regeln genügt.
Dann definiert man die Multiplikation durch
m · 0 := 0
und
m · n+ := (m · n) + m.
Erneut kann man mit etwas Mühe nachweisen, dass die erwarteten
Regeln gelten.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Halbring (1)
Die natürlichen Zahlen mit Null bilden mit den so definierten
Operationen einen kommutativen Halbring : Man kann addieren
und multiplizieren, und dabei gelten die vertrauten Regeln (für alle
x, y , z):
Für die Addition gilt
x + (y + z) = (x + y ) + z
x +y =y +x
x +0=x
Bernhard Ganter, TU Dresden
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
0 ist neutrales Element
Mathematik I für Informatiker
Halbring (2)
Für die Multiplikation gilt:
x · (y · z) = (x · y ) · z
x ·y =y ·x
x ·1=x
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
1 ist neutrales Element
Gemeinsam gilt:
x · (y + z) = x · y + x · z
Bernhard Ganter, TU Dresden
Distributivgesetz
Mathematik I für Informatiker
Z: Die ganzen Zahlen
Man erweitert die natürlichen Zahlen zum Ring Z der ganzen
Zahlen, indem man zu jeder natürlichen Zahl z noch eine
negative Zahl −z hinzunimmt.
Die Operationen werden auf natürliche (und bekannte) Weise auf
diese Zahlen ausgedehnt.
Man erhält dadurch einen kommutativen Ring mit Eins,
d.h., man kann addieren, subtrahieren und multiplizieren.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Q :Die rationalen Zahlen
Ein weiterer Erweiterungsschritt führt zur Menge Q der rationalen
Zahlen.
Man bildet zunächst die Menge Z × (N \ {0}) und nennt deren
Elemente Brüche. Statt (z, n) schreibt man zn .
Auf der Menge der Brüche definiert man eine Äquivalenzrelation ∼
durch
c
a
∼ : ⇐⇒ a · d = b · c.
b
d
Die Äquivalenzklassen nennt man rationale Zahlen.
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Mathematik I für Informatiker
Der Körper Q der rationalen Zahlen
Man definiert (auf die allgemein bekannte Weise), wie Brüche
addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.
Man zeigt dann, dass diese Definitionen mit der Äquivalenzrelation
∼ verträglich sind. Sie definieren deshalb auch Rechenoperationen
für die rationalen Zahlen.
Die Menge Q aller rationalen Zahlen wird dadurch zum einem
kommutativen Körper, das heißt, zu einer algebraischen Struktur,
in der man mit den vertrauten Regeln addieren, subtrahieren,
multiplizieren und dividieren kann.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Die Ordnung der rationalen Zahlen
Die rationalen Zahlen bilden sogar einen angeordneten Körper.
Durch
a
c
≤ : ⇐⇒ ad ≤ bc
b
d
wird eine lineare Ordnung auf Q erklärt, die mit den Operationen
verträglich ist.
Diese Ordnung ist dicht: zwischen je zwei rationalen Zahlen liegt
eine weitere.
Diese Ordnung ist aber nicht vollständig:
Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist
keine rationale Zahl.
Nicht jede beschränkte Teilmenge von (Q, ≤) hat ein
Supremum und ein Infimum.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Dedekindsche Schnitte
Man kann den Körper der rationalen Zahlen durch Hinzunahme
(sehr vieler) Elemente zur Menge R der reellen Zahlen erweitern.
Dazu bildet man den Begriffverband des formalen Kontextes
(Q, Q, ≤). Man erhält auf diese Weise
R ∪ {∞, −∞}.
Die Begriffe von (Q, Q, ≤) sind genau die Paare (A, B) mit
A ∪ B = Q,
a ≤ b für alle a ∈ A und alle b ∈ B.
Man nennt sie Dedekindsche Schnitte.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
Der Körper R der reellen Zahlen
Die für Q definierten Rechenoperationen lassen sich problemlos auf
R erweitern. Man erhält so den Körper R der reellen Zahlen.
Vorteile:
Die reellen Zahlen lassen sich bequem als Dezimalzahlen (mit
möglicherweise unendlich vielen Nachkommastellen) schreiben.
Cauchy-Folgen konvergieren.
Suprema und Infima beschränkter Teilmengen existieren.
Aus nichtnegativen reellen Zahlen können beliebig Wurzeln
gezogen werden.
Bernhard Ganter, TU Dresden
Mathematik I für Informatiker
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