Die natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen
Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger
S + durch
S + := S ∪ {S}.
Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge Ø, eine
unendliche Folge von Mengen bilden:
Ø = Ø
Ø+ = {Ø}
Ø++ = {Ø, {Ø}}
Ø+++ = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}
...
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 1
ω := {0, 1, 2, . . .}
Kürzt man ab
Ø
Ø+ = 0 +
Ø++ = 1+
Ø+++ = 2+
...
=:
=:
=:
=:
0
1
2
3
so erhält man 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, . . . ,
allgemeiner also
n + 1 = {0, 1, . . . , n}.
Auf diese Weise erhält man die Menge ω der natürlichen
Zahlen plus Null.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 2
Peano-Axiome
Man kann diese Menge durch fünf Eigenschaften
charakterisieren, die oft als die Peano-Axiome bezeichnet
werden:
1. 0 ∈ ω .
2. Wenn n ∈ ω , dann auch n+ ∈ ω .
3. Wenn S ⊆ ω , 0 ∈ S und mit n ∈ S auch immer n+ ∈ S ,
dann S = ω .
4. Wenn n+ = m+ , dann m = n.
5. n+ 6= 0 für alle n ∈ ω .
Auf diese Weise erhält man die Menge ω , also noch nicht
die Rechenstruktur.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 3
Arithmetik
Die arithmetischen Operationen definiert man nun
induktiv.
Zunächst die Addition: Für eine beliebige Zahl m ∈ ω sei
m + 0 := m
und
m + n+ := (m + n)+ .
Man muss dann beweisen, dass diese Addition den
vertrauten Regeln genügt.
Dann definiert man die Multiplikation durch
m · 0 := 0
und
m · n+ := (m · n) + m.
Erneut kann man mit etwas Mühe nachweisen, dass die
erwarteten Regeln gelten.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 4
Halbring (1)
Die natürlichen Zahlen mit Null bilden mit den so definierten
Operationen einen kommutativen Halbring: Man kann
addieren und multiplizieren, und dabei gelten die vertrauten
Regeln (für alle x, y, z ):
Für die Addition gilt
x + (y + z) = (x + y) + z
x+y =y+x
x+0=x
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
0 ist neutrales Element
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Halbring (2)
Für die Multiplikation gilt:
x · (y · z) = (x · y) · z
x·y =y·x
x·1=x
Gemeinsam gilt:
x · (y + z) = x · y + x · z
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
1 ist neutrales Element
Distributivgesetz
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Z: Die ganzen Zahlen
Man erweitert die natürlichen Zahlen mit Null zum Ring Z
der ganzen Zahlen, indem man zu jeder natürlichen Zahl z
noch eine negative Zahl −z hinzunimmt.
Die Operationen werden auf natürliche (und bekannte)
Weise auf diese Zahlen ausgedehnt.
Man erhält dadurch einen kommutativen Ring mit Eins,
d.h., man kann addieren, subtrahieren und multiplizieren.
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Q :Die rationalen Zahlen
Ein weiterer Erweiterungsschritt führt zur Menge Q der
rationalen Zahlen.
Man bildet zunächst die Menge Z × N und nennt deren
Elemente Brüche. Statt (z, n) schreibt man nz .
Auf der Menge der Brüche definiert man eine
Äquivalenzrelation ∼ durch
a
c
∼ : ⇐⇒ a · d = b · c.
b
d
Die Äquivalenzklassen nennt man rationale Zahlen.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 8
Der Körper Q der rationalen Zahlen
Man definiert (auf die allgemein bekannte Weise), wie
Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert
werden.
Man zeigt dann, dass diese Definitionen mit der
Äquivalenzrelation ∼ verträglich sind. Sie definieren
deshalb auch Rechenoperationen für die rationalen Zahlen.
Die Menge Q aller rationalen Zahlen wird dadurch zum
einem kommutativen Körper, das heißt, zu einer
algebraischen Struktur, in der man mit den vertrauten
Regeln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
kann.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 9
Die Ordnung der rationalen Zahlen
Die rationalen Zahlen bilden sogar einen angeordneten
Körper. Durch
c
a
≤ : ⇐⇒ ad ≤ bc
b
d
wird eine lineare Ordnung auf Q erklärt, die mit den
Operationen verträglich ist.
Diese Ordnung ist dicht: zwischen je zwei rationalen
Zahlen liegt eine weitere.
Diese Ordnung ist aber nicht vollständig:
Die Länge der Diagonale eines Quadrates der
Seitenlänge 1 ist keine rationale Zahl.
Nicht jede beschränkte Teilmenge von (Q, ≤) hat ein
Supremum und ein Infimum.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 10
Dedekindsche Schnitte
Man kann den Körper der rationalen Zahlen durch
Hinzunahme (sehr vieler) Elemente zur Menge R der
reellen Zahlen erweitern.
Dazu bildet man den Begriffverband des formalen
Kontextes (Q, Q, ≤). Man erhält auf diese Weise
R ∪ {∞, −∞}.
Die Begriffe von (Q, Q, ≤) sind genau die Paare (A, B) mit
A ∪ B = Q,
a ≤ b für alle a ∈ A und alle b ∈ B .
Man nennt sie Dedekindsche Schnitte.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p. 11
Der Körper R der reellen Zahlen
Die für Q definierten Rechenoperationen lassen sich
problemlos auf R erweitern. Man erhält so den Körper R der
reellen Zahlen.
Vorteile:
Die reellen Zahlen lassen sich bequem als
Dezimalzahlen (mit möglicherweise unendlich vielen
Nachkommastellen) schreiben.
Cauchy-Folgen konvergieren.
Suprema und Infima beschränkter Teilmengen
existieren.
Aus nichtnegativen reellen Zahlen können beliebig
Wurzeln gezogen werden.
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