Schließende Statistik

Die schließende Statistik befasst sich mit dem Rückschluss
von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Population).
Die Stichprobe muss repräsentativ für die Grundgesamtheit
sein. Grundlage der schließenden Statistik ist die
Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Typische Fragestellungen sind:
• Welche Zahnpasta ist für die Kariesprophylaxe zu empfehlen?
• Kann Mukoviszidose mit einem Schnelltest frühzeitig diagnostiziert
werden?
• Welche Therapie wirkt bei Kindern mit Asthma am besten?
• Welche Faktoren beeinflussen die Heilungschancen von
Karzinompatienten?
• Treten Mißbildungen bei Neugeborenen nach Tschernobyl
häufiger auf?
• Die neue Therapie wirkt bei 85% aller Patienten.
Schließende Statistik

Typische Aufgabenstellungen sind:
• das Schätzen von Parametern, Angabe von Konfidenzintervallen
• das Testen von Hypothesen
Konfidenzintervalle dienen dem Zweck, die Genauigkeit von
Zählungen und Messungen zu bestimmen.
Testverfahren werden angewandt, um vermutete
Sachverhalte (Hypothesen) anhand von Versuchen
gegenüber täuschenden Zufallseffekten abzusichern.
Wahrscheinlichkeit

Das Bestimmen der Auftrittswahrscheinlichkeit eines
beliebigen Ereignisses:
• theoretische Überlegungen: alle Elementarereignisse (nicht weiter
aufteilbare Ereignisse: z.B. Würfeln einer 1) sind gleichwahrscheinlich
– Würfel, Kartenspiel
P = (Anzahl der günstigen Fälle) / (Anzahl der möglichen Fälle)
• Empirie – relative Häufigkeiten: mit wachsender Anzahl von
Versuchen d.h. einer langen Folge von unabhängigen Durchführungen
des zugrundeliegenden Experiments nähert sich die relative Häufigkeit
einem bestimmten Zahlenwert – der Wahrscheinlichkeit.
Statistiker
Buffon
Pearson
Pearson
Münzwürfe (n)
4000
12000
24000
Wappen (k)
2048
6019
12012
k/n
0,5080
0,5016
0,5005
Wahrscheinlichkeitsverteilung

die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die
verschiedenen Merkmalsausprägungen heißt
Wahrscheinlichkeitsverteilung, kurz Verteilung
• Beispiel: Würfel
Merkmalsausprägungen: xi = i; i = 1,2,...,6
Wahrscheinlichkeiten pi = 1/6
⇒ diskrete Gleichverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist das theoretische
Gegenstück zur empirischen Häufigkeitsverteilung.
Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wie bei Häufigkeitsverteilungen kann die in einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung enthaltene Information durch
Kenngrößen (Parameter) beschrieben werden. Die
Parameter der Grundgesamtheit werden meist mit
griechischen Buchstaben bezeichnet: z.B.
Populationsmittelwert (Erwartungswert) μ und Varianz σ2.

Die wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter den
diskreten sind die Binomialverteilung und die
Poissonverteilung, unter den stetigen Verteilungen ist es die
Normalverteilung.
Normalverteilung

Diese Verteilung hat in der Statistik eine zentrale Bedeutung:
Eine Summe von vielen unabhängigen, beliebigen
Zufallsvariablen ist angenähert normalverteilt; das bedeutet
in der Praxis, dass viele Probleme unter Verwendung der
Normalverteilungsannahme gelöst werden können vorausgesetzt, die Stichprobe ist groß genug.

Sie wird häufig verwendet um die Lage und Streuung von
Meßwerten zu beschreiben. Die Standardnormalverteilung
hat einen Mittelwert von μ=0 und eine Standardabweichung
von σ=1.
Normalverteilung
Standardnormalverteilung
0,5
y=f(x)
0,4
0,3
σ
0,2
0,1
0
-4
-3
-2
-1
μ−3σ μ−2σ μ−σ
0
μ
1
μ+σ
2
3
4
μ+2σ μ+3σ
68,2% aller Werte liegen zwischen μ ± σ
95,4% aller Werte liegen zwischen μ ± 2σ
99,7% aller Werte liegen zwischen μ ± 3σ
95% aller Werte liegen zwischen μ ± 1,96σ
99% aller Werte liegen zwischen μ ± 2,58σ
Schätzen von Parametern

Da man nicht die gesamte Population erfasst, sondern so
gut wie immer auf Stichproben von begrenzten Umfang
angewiesen ist, muß man sogenannte Schätzungen für die
Populationsparameter angeben.

Die empirische Häufigkeitsverteilung ist eine Schätzung für
die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Kennzahlen, die wir in der deskriptiven Statistik
kennengelernt haben, stellen Schätzungen für die
Populationsparameter dar.
Im Falle der Normalverteilung (oder zumindest eingipfligen,
symmetrischen Verteilung) sind das arithmetische Mittel und die
Stichprobenvarianz s2 “gute” Schätzer für Erwartungswert μ und
Varianz σ2 der Population.
Konfidenzintervall

Die Punktschätzung liefert einen einzelnen Wert für den
unbekannten Parameter.

Mehr Information bietet ein Schätzintervall
(Konfidenzintervall), in dem der unbekannte (wahre)
Parameter mit entsprechend hoher Wahrscheinlichkeit (z.B.
95%) enthalten ist.

Ein solches Schätzintervall ist deshalb von besonderer
Bedeutung, weil seine Breite die Genauigkeit oder
Ungenauigkeit der Schätzung repräsentiert. Die Grenzen
werden aus der Stichprobe bestimmt.
Testverfahren
Mit statistischen Testverfahren kann man prüfen, ob die
erhobenen Daten für eine Hypothese sprechen oder ob sich die
Daten auch durch zufallsbedingte Abweichungen erklären
lassen
Der Hypothesentest ermittelt die Wahrscheinlichkeit, mit der
das Untersuchungsergebnis ein reines Zufallsergebnis ist.
Wenn diese Wahrscheinlickeit genügend klein ist (α=0.05),
zeigt uns das an, dass das Untersuchungsergebnis nicht
zufallsbedingt ist, sondern ein systematischer Effekt vorliegt. In
diesem Fall spricht man von einem statistisch signifikanten
Ergebnis.
Statistischer Test
Mit statistischen Testverfahren kann man überprüfen,
ob sich die beobachteten Daten durch zufallsbedingte
Abweichungen erklären lassen - weichen nur zufällig von
Null ab - Nullhypothese (H0)
oder
ob die erhobenen Daten für die Vermutung, dass es einen
wahren Effekt gibt, sprechen
- Alternativhypothese (H1)
objektive und nachvollziehbare Entscheidung
Einführungsbeispiel
Ein Spieler hat den Verdacht, dass ein Würfel nicht in
Ordnung ist. Er würfelt 12mal und zählt die Anzahl der 6er.
Nullhypothese (Würfel ist ideal)
Alternativhypothese (Würfel ist nicht ideal)
H0 : p = 1/6
H1 : p ≠ 1/6
Unter der Nullhypothese – Annahme der Würfel ist ideal –
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der
Augenzahl 6 bei 12 Würfen (Binomialverteilung)
Einführungsbeispiel
k
0
1
2
3
4
5
>5
P (X = k)
P (X ≤ k)
0,11
0,27
0,30
0,20
0,09
0,03
<0,01
0,11
0,38
0,68
0,87
0,96
0,99
Annahmebereich
Entscheidung für die
Nullhypothese
kritischer Bereich
Entscheidung für die
Alternativhypothese
k: Anzahl gewürfelter 6er
P(X = k): Wahrscheinlichkeit für k gewürfelte 6er
Einführungsbeispiel
Entscheidungsregel:
Falls 0≤k≤4, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt
Falls k>4, entscheidet man sich für die Alternativhypothese
Es wird angenommen, dass das Ergebnis nicht allein auf
zufällige Abweichungen zurückgeführt werden kann
Anmerkung:
Falls die Nullhypothese richtig ist, wird mit einer
Wahrscheinlichkeit von 96% eine richtige Entscheidung getroffen.
Das Risiko einer Fehlentscheidung beträgt 4%.
Fehlentscheidungen beim Testen
Fehler 1. Art (Signifikanzniveau):
das unberechtigte Ablehnen der Nullhypothese
P (Fehler 1. Art) = α
Fehler 2. Art: das unberechtigte Beibehalten der Nullhypothese
P (Fehler 2. Art) = β
Fehlentscheidungen beim Testen

Fehler 1. Art (Produzentenrisiko):
das unberechtigte Ablehnen der Nullhypothese
P (Fehler 1. Art) = α
Fehler 2. Art (Konsumentenrisiko): das unberechtigte
Beibehalten der Nullhypothese
P (Fehler 2. Art) = β
Wirklichkeit
Entscheidung des
Tests
H0 wahr
(HA falsch)
H0 abgelehnt
(HA angenommen)
Fehler 1. Art
(α)
H0 falsch
(HA wahr)
Richtige Entscheidung (Power)
(1 - β)
H0 beibehalten
(HA abgelehnt)
Richtige Entscheidung
(1 - α)
Fehler 2. Art
(β)
p - Wert, signifikantes Ergebnis
Der p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, die
vorliegenden oder extremere Studienergebnisse zu
beobachten, wenn die Nullhypothese zutrifft.
Ein Testergebnis heißt statistisch signifikant, wenn der
p-Wert unterhalb des vorgegebenen Fehlers 1. Art α (meist
0,05) liegt (p ≤ α).
Signifikant bedeutet also im statistischen Sinne, dass das
betreffende Ergebnis nicht durch den Zufall allein erklärbar
ist, allerdings unter dem Vorbehalt des Fehlers 1. Art.
Power der Studie
Erkennen eines bedeutsamen Effektes
d.h. Wahrscheinlichkeit für korrektes Verwerfen der
Nullhypothese
Geplante Studie: Fallzahlberechnung
Ein Effekt vorgegebener Größe soll, wenn er vorhanden ist
z.B. mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% als signifikant
durch den Test beurteilt werden
Signifikanz
Merke:
Vorliegende Signifikanz heißt nicht klinische Relevanz: bei
großen Stichprobenumfängen wird auch jeder irrelevante
Effekt signifikant.

Fehlende Signifikanz heißt nicht: kein Effekt.
Bei kleinen Stichprobenumfängen kann auch der Nachweis
eines tatsächlich vorhandenen relevanten Effektes
misslingen.
Die Signifikanz drückt lediglich das Vertrauen aus, dass
man darin haben kann, dass ein Effekt nicht vom Zufall
vorgegaukelt wird.
Testen von Hypothesen - statistische
Signifikanztests
Testablauf:
Formulierung der Hypothesen
Nullhypothese - Alternativhypothese

Wahl des Signifikanzniveaus (Irrtumswahrscheinlichkeit)

Wahl des Testverfahrens
Anzahl der Stichproben, abhängige oder unabhängige Stichproben,
parametrische oder nicht-parametrische Testverfahren

Ausführung des Tests und Entscheidung
Auswahl der Testverfahren

Merkmalsart: quantitativ / qualitativ

Verteilungstyp:

Anzahl der Stichproben: eine, zwei, mehrere

unabhängige oder abhängige (verbundene) Stichproben
parametrisch (Normalverteilung)
nicht-parametrisch
!!! Testverfahren haben Voraussetzungen !!!
Tests auf Lageunteschiede
quantitative Zielgröße
Anzahl und Art der parametrische Testverfahren
(Normalverteilung)
Stichproben
qualitative
Zielgröße
nichtparametrische
Testverfahren
eine Stichprobe
Einstichproben t-Test
2 verbundene
Stichproben
t-Test für verbundene
Stichproben
2 unabhängige
Stichproben
t-Test für unabhängige
Stichproben (Gleichheit der
Varianzen),
Welch-Test
Varianzanalyse
(randomisierte Blockanlage)
Wilcoxon Rangsummentest Chi-Quadrat Test
(U-Test von Mann und
Whitney)
Fishers Exakter
Test für 2x2 Tafel
Friedman Test
Varianzanalyse
Kruskal-Wallis Test
> 2 verbundene
Stichproben
>2 unabhängige
Stichproben
Wilcoxon-Vorzeichen
Rangsummentest
Wilcoxon-VorzeichenRangsummentest
Binomialtest
Mc Nemar Test
Tests auf Lageunteschiede

t-Test für 2 unabhängige Stichproben:
Hypothesen: H0: μ1 = μ2
H1: μ1 ≠ μ2
• Voraussetzungen:
Die Beobachtungen der beiden Gruppen stammen aus unabhängigen
normalverteilten Beobachtungen mit Mittelwerten µ1 und µ2 und die
Standardabweichungen sind gleich σ1 = σ2, aber unbekannt.
SPSS Ausgabe (Menü Statistik, Mittelwerte vergleichen,
Unabhängige-Stichproben T-Test)
• Beschreibende Statistik der beiden Gruppen durch Anzahl, Mittelwert,
Standardabweichung, Standardfehler und Differenz der Mittelwerte
• Test auf Gleichheit der Varianzen nach Levene H0: s1 = s2
• Ergebnis des t-Tests: Teststatistik, Freiheitsgrade, p-Wert,
Konfidenzintervall